Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Решение трехмерной скалярной задачи дифракции волн на группе отражателей и отражателях сложной геометрии методом диаграммных уравнений 22
1.1. Постановка задачи и вывод системы интегрооператорных уравнений 24
1.2. Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений 33
1.3. Асимптотическое решение 40
1.4. Результаты численных исследований 43
1.4.1. Сравнение с методом Тверского 43
1.4.2. Численное исследование асимптотического решения 44
1.4.3. Исследование сходимости вычислительного алгоритма 45
1.4.4. Исследование взаимного влияния тел 46
1.4.5. Проверка теоремы Уфимцева 49
1.4.6. Моделирование характеристик рассеяния волн телами сложной геометрии 50
Выводы 54
Глава 2. Решение задачи дифракции электромагнитных волн на группе тел и телах сложной геометрии 55
2.1. Постановка задачи и вывод системы интегрооператорных уравнений 55
2.2. Сведение краевой задачи к алгебраической системе уравнений 59
2.3. Результаты численных исследований 83
2.3.1. Исследование сходимости вычислительного алгоритма 83
2.3.2. Исследование взаимного влияния объектов 85
2.3.3. Тестирование возможности моделирования характеристик рассеяния тел сложной геометрии 87
2.3.4. Проверка выполнения оптической теоремы 91
2.3.5. Проверка теоремы Уфимцева 93
Выводы 94
Глава 3. Решение задачи дифракции электромагнитных волн на группе диэлектрических тел и диэлектрических телах сложной геометрии 96
3.1. Постановка задачи 97
3.2. Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений 99
3.3. Результаты численных исследований 114
3.3.1. Исследование сходимости вычислительного алгоритма 114
3.3.2. Исследование взаимного влияния тел 116
3.3.3. Моделирование характеристик рассеяния тел сложной геометрии. 117
3.3.4. Исследование поля 121
3.3.5. Проверка выполнения оптической теоремы 125
Выводы 127
Заключение 128
Список литературы
- Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений
- Исследование сходимости вычислительного алгоритма
- Сведение краевой задачи к алгебраической системе уравнений
- Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений
Введение к работе
Предмет исследований
Предметом исследования этой работы являются характеристики рассеяния электромагнитных волн группой тел и телами сложной формы различной природы, на поверхностях которых выполняются идеальные, импедансные граничные условия, либо условия сопряжения, как в скалярном приближении, так и в строгой векторной постановке. Основной исследуемой величиной для рассматриваемых задач являлась диаграмма рассеяния. Исследование диаграмм рассеяния представляет важное значение во многих областях науки и техники, в частности в таких, как радиолокация, метеорология, радиоастрономия, астрофизика, лазерная дефектоскопия и др., где исследуется рассеяние электромагнитных волн группами тел и телами сложной формы различной физической природы. Вышедшая недавно монография [1], посвященная изучению рассеивающих свойств систем частиц, подтверждает важность рассмотрения таких задач.
Укажем основные типы рассеивателей, различные комбинации которых рассматривались в данной работе. Все выбранные объекты являлись телами вращения. Простейшим видом таких тел можно считать сферу. Характеристики рассеяния группы сфер могут быть исследованы на основании известного аналитического решения для одиночной сферы [2]-[12]. Другим важным видом тел вращения являются сфероиды, которые, наряду со сферой, можно отнести к классу рассеивателей простой геометрии. Известно, что исследование диаграмм рассеяния сфероидов можно проводить аналитически только в случае идеальных краевых условий на их границе. В остальных случаях подобные исследования могут проводиться только при помощи численных методов. Поэтому для группы этих объектов применять те же методы, что и для сфер часто оказывается проблематично. Еще одним видом объектов, рассматриваемых в данной работе, являются суперэллипсоиды. Границы этих тел также являются аналитическими. Однако при их исследовании возникает несколько больше проблем, чем с предыдущими видами рассеивателей.
Благодаря развитию более мощной вычислительной техники появилась возможность исследовать характеристики рассеяния тел с изломами границами и/или острыми кромками. В качестве таких рассеивателей здесь исследовались конечные круговые цилиндры и полусферы.
При решении конкретных задач рассматривались различные комбинации упомянутых выше объектов. При этом проводились исследования характеристик рассеяния как групп тел различных размеров, так и геометрий.
Рассматривались также рассеивающие свойства групп тел с различными материальными параметрами.
Для исследования характеристик рассеяния тел произвольно сложной формы эти объекты заменялись комбинацией рассеивателей более простой геометрии. Адекватность такой модели была продемонстрирована в работах [13]-[14].
Исследования проводились в различных диапазонах частот, как для объектов, размеры которых много меньше длины волны, так и в области резонансных частот (характерные размеры тел порядка длины волны), и в случаях, когда размеры тел составляли несколько длин волн.
Большое внимание уделялось также исследованию взаимного влияния тел, обусловленного множественными переотражениями, при различных расстояниях между ними. В частности рассматривался вопрос, каким условиям должны удовлетворять расстояния между рассеивателями, чтобы исходную краевую задачу можно было решать для каждого объекта в отдельности.
Цель работы и метод ее исследования
Целью диссертационной работы было создание эффективного и универсального численного метода решения трехмерных скалярных и векторных задач дифракции на группе рассеивателей и рассеивателях сложной геометрии в достаточно широком диапазоне размеров и геометрий. Для этого были использованы теоретические основы метода диаграммных уравнений (МДУ). В результате было разработано обобщение МДУ на трехмерные скалярные и векторные задачи рассеяния волн группой тел и получена численная схема решения поставленных задач на основе этого метода.
Отметим основные теоретические аспекты решения поставленной задачи. С математической точки зрения она формулируется как внешняя краевая задача для системы дифференциальных уравнений Максвелла. В том случае, когда электромагнитное поле зависит гармонически от времени, уравнения Максвелла сводятся к эллиптическим уравнениям в частных производных второго порядка - уравнениям Гельмгольца. Как известно, решения эллиптических уравнений являются вещественно аналитическими функциями и удовлетворяют определенным краевым условиям, а также условию излучения, возникающему при рассмотрении внешних краевых задач.
Ниже будет приведен краткий обзор существующих методов решения задач дифракции, которые отличаются от развиваемого в данной работе подхода. Все они обладают рядом недостатков, поэтому разработка новых и эффективных методов решения задач дифракции на группе тел и телах произвольно сложной геометрии по-прежнему актуальна.
Краткий обзор существующих методов решения задач дифракции и рассеяния Материал данного раздела представляет собой краткое рассмотрение некоторых методов решения задач дифракции, а также преимуществ и недостатков этих методов. Более подробный обзор приводимых здесь методов можно найти в литературе [15]—[17]. В этой же литературе приводятся и другие, не рассмотренные здесь методы.
Задача рассеяния на группе тел является естественным обобщением задачи дифракции волн на одиночном отражателе. Для ее решения разработано большое количество аналитических, численно-аналитических, численных и асимптотических методов. Однако следует отметить, что большинство из них не могут быть распространены на задачу рассеяния волн группой тел без возникновения дополнительных вычислительных трудностей. Все эти методы можно условно поделить на две группы. К первой группе можно отнести те методы, в которых задача дифракции монохроматической волны сводится к решению уравнений Гельмгольца для каждого тела при заданных краевых условиях. Ко второй группе можно отнести такие методы, в которых исходная внешняя краевая задача сводится к нахождению решения соответствующей системы интегральных уравнений.
Остановимся сначала на описании методов, основанных на решении дифференциальных уравнений. Решение эллиптических дифференциальных уравнений в аналитической форме возможно получить при помощи классического метода - метода разделения переменных. Этот метод применим не для всех геометрий рассеивателей, а лишь для тех, граничные поверхности которых совпадают с координатными поверхностями в выбранной системе координат, в которой возможно сделать разделение переменных в дифференциальном уравнении Гельмгольца. В трехмерном векторном случае такое аналитическое решение эллиптического уравнения возможно только для сферических [2]-[6] или сфероидальных [18] частиц.
Впервые аналитическое решение задачи рассеяния на сфере было предложено Лоренцем и Ми [2], которые независимо друг от друга применили к волновому уравнению Гельмгольца метод разделения переменных. После этого для решения задачи дифракции на группе сфер было разработано большое количество методов, основанных на подходе суперпозиции всех частных решений для внешнего поля. При использовании метода разделения переменных для группы сфер [8]—[12] искомое рассеянное, внутреннее и падающее поля представляются в виде рядов по системе собственных функций - волновых сферических гармоник, которые образуют ортогональный базис в сферической системе координат [19]. Далее эти разложения переводятся в общую систему координат с использованием теорем сложения, после чего подставляются в исходные краевые условия. Это приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения рассеянного и внутреннего полей в терминах известных коэффициентов падающего поля. Одним из способов уменьшения вычислительных затрат при решении полученной алгебраической системы является так называемая «order-of-scattering technique» [8], которая основана на физической концепции множественных отражений. Главная идея этой методики состоит в том, что внешнее поле каждой сферы может быть разделено на падающее и поля, полученные от первого, второго и т.д. порядков переотражений от других сфер. В этом случае искомые коэффициенты могут быть представлены в виде суммы коэффициентов, каждый из которых отвечает за свой порядок отражения. При этом может быть получена эффективная итерационная схема решения системы алгебраических уравнений, первым приближением в которой служит первичное поле.
В общем случае для тел несферической формы разделить переменные уже не удастся, поэтому решение задач дифракции на группах таких тел можно получить только численно. Приведем краткий обзор наиболее известных численных методов решения дифференциальных уравнений Гельмгольца для группы тел.
Одним из численных методов решения уравнения Гельмгольца для группы тел является метод, названный «generalized multipole technique» (GMT). Этот метод впервые был предложен Людвигом (Ludwig) [20]—[21] в 1989 г. Здесь для решения задачи рассеяния на группе тел область поля разбивается на подобласти, каждая из которых заполнена однородным изотропным веществом. При этом для каждого объекта задается своя область. Далее, в каждой из этих областей решается уравнение Гельмгольца, а выполнение краевых условий на границах между областями требуется в заранее заданном конечном числе точек (точек коллокации). Предложенный метод коллокации является численным эквивалентом проекционного метода Галеркина и среднеквадратичной минимизации ошибок [22]. Поскольку аналитическое решение уравнения Гельмгольца возможно только для сфер и идеально проводящих сфероидов [2]-[6],[18], то этот метод крайне ограничен в применении. Кроме того, в работе [22] показано, что применение этого метода связано с большими вычислительными затратами. Так, оказалось, что при решении задачи дифракции на двух сферах время, затрачиваемое GMT, на 1-2 порядка выше времени работы алгоритма метода разделения переменных. Особенно заметно возрастает время работы GMT в случае больших сфер (значительно больше длины волны), а также относительно небольших сфероидов.
Остановимся теперь на методах, в которых рассматриваются различные численные методики решения интегральных уравнений. Метод интегральных уравнений применяется к решению задач дифракции уже достаточно давно. Основные соотношения метода и область его применимости можно найти в работах [6], [15], [23]-[28]. Этот метод наиболее эффективен, когда размеры тел соизмеримы с длиной волны падающего поля. Суть метода состоит в сведении исходных уравнений Максвелла или уравнений Гельмгольца, которым удовлетворяют искомые волновые поля, к интегральным уравнениям относительно неизвестных функций, определяющих распределение тока по поверхностям рассеивателей или внутри их объемов. Соответственно можно выделить два метода: метод поверхностных и метод объемных интегральных уравнений. Преимуществом объемных интегральных уравнений является то, что они применимы для тел как любой геометрии, так и любой зависимости коэффициента преломления в материале, заполняющем объем рассеивателя, от координат. Получающиеся интегральные уравнения обычно являются интегральными уравнениями Фредгольма I или II рода. Во всех этих методах исходные интегральные уравнения сводятся к системе линейных алгебраических уравнений различными способами. Так, например, в методе дискретно-дипольной аппроксимации (DDA) [22], [29] используется взаимосвязь вектора поляризации и полного поля. Далее, с использованием одной и той же сетки для интегрирования и дискретизации поля получается система алгебраических уравнений в терминах поляризаций. Впоследствии рассеянное поле аппроксимируется при помощи совокупности диполей с заданными поляризациями.
Метод DDA впервые был представлен в работе [29] в 1973 г. Впоследствии эта теория была существенно усовершенствована, включая улучшение численных алгоритмов решения. Очень важным вкладом в развитие этой методики было применение метода сопряженных градиентов, совмещенного с быстрым преобразованием Фурье для решения системы интегральных уравнений [30]. Однако при этом все еще требовалось уделять большое внимание особенностям функции Грина, входящей в интегральные уравнения, поскольку неаккуратное вычисление диагональных элементов матрицы системы могло приводить к существенным искажениям решения исходной задачи. Некоторые методики устранения этих проблем описаны в работах [22], [31]—[33]. Из этого следует, что решение задачи дифракции на группе тел с применением методики DDA влечет за собой существенные вычислительные трудности. Сравнение DDA с описанным выше методом GMT показало, что скорость вычислений обоих зависит от геометрии задачи и коэффициента преломления. Так, например, оказалось, что при решении задачи дифракции на группе сфер DDA дает достоверные результаты со «средней» точностью даже в случае соприкасающихся тел. Однако при этом увеличение точности возможно только при помощи использования колоссальных вычислительных затрат ЭВМ. С другой стороны, GMT выглядит более пригодным в случаях, когда сферы разделены расстоянием 1/4 -1/5 длины радиусов. Если тела расположены более близко, то требуется применять отдельные разложения для каждой из соседствующих сфер. В случаях, если сферы расположены на расстояниях 1/2 длины радиусов и больше, скорость сходимости возрастает. При этом точность вычислений становится более высокой, а результаты превосходно согласуются с методом разделения переменных. Одним из главных недостатков DDA по сравнению с GMT является то, что он очень требователен к ресурсам ЭВМ. При этом в работе [22] показано, что и DDA и GMT при решении задач дифракции на группах сфер уступают в эффективности методу разделения переменных [8]-[12], [34]—[35]. При решении задач дифракции на группе сфероидов скорость вычислений метода DDA оказалась на порядок более высокой, чем GMT. Однако, как и в случае сфер, алгоритм DDA требовал непомерных затрат памяти ЭВМ. В общем, это свидетельствует о том, что проблема эффективного решения задач дифракции на группе тел различной геометрии является весьма актуальной.
Рассмотрим кратко еще один метод, основанный на сведении исходной краевой задачи к системе интегральных уравнений, - метод дискретных (или вспомогательных) источников (МДИ) [36]—[39]. Появление МДИ связано с именами Купрадзе и Алексидзе [40]. Этот метод можно интерпретировать как дискретный вариант метода вспомогательных токов (МВТ) [41]—[42], когда интеграл в интегральном уравнении заменяется суммой по формуле прямоугольников, а равенство левых и правых частей выполняется в дискретных точках (точках коллокации). Основная идея МДИ состоит в аппроксимации решения поставленной задачи линейной комбинацией дискретных источников, которые являются фундаментальным решением уравнения Гельмгольца. При этом источники образуют дискретное множество, лежащее на некоторой вспомогательной поверхности . С ростом количества источников (для получения более точных результатов расчетов) они все плотнее располагаются на , поэтому здесь, как и в МВТ, необходимо, чтобы Е охватывала особенности дифракционного волнового поля. Кроме того, в работах [41]—[42] показано, что интегральные уравнения, возникающие в этом методе, разрешимы и притом единственным образом в том и только в том случае, если вспомогательные поверхности охватывают все особенности волнового поля внутри рассеивателей. Одним из важнейших преимуществ МДИ при решении скалярных и двумерных векторных задач дифракции является простота его реализации. Также МДИ можно назвать универсальным методом, поскольку он применим к решению задач дифракции на телах и группах тел практически любых геометрий. Единственным ограничением является требование аналитичности границ рассеивателей. Следует также отметить, что МДИ, а в особенности модифицированный МДИ [36] существенно проще, чем метод интегральных уравнений. Более полный обзор этого и других, родственных ему методов, можно найти, например, в работе [16].
В качестве одного из вариантов интегральных уравнений для решения задачи дифракции на группе тел можно рассмотреть метод В. Тверского [44].
Идея этого метода довольно близка к МДУ, предлагаемому в данной диссертационной работе. Искомыми характеристиками, для которых ищется решение поставленной задачи, так же как и в МДУ, являются диаграммы рассеяния тел. Однако здесь задача сводится к системе интегральных уравнений второго рода, в которые входят как неизвестные диаграммы рассеяния тел с учетом их взаимного влияния, так и предварительно найденные диаграммы рассеяния каждого объекта в отдельности. Таким образом, при использовании этого метода исходная краевая задача распадается на две. Первая из них состоит в том, что сначала необходимо одним из известных методов найти диаграммы рассеяния одиночных рассеивателей. Далее, подставив полученные диаграммы в интегральные уравнения, определить характеристики рассеяния группы тел. Как уже отмечалось выше, аналитическое решение задачи дифракции на одиночных объектах возможно получить только для сфер и идеально проводящих сфероидов. Из этого следует, что метод Тверского нельзя в полной мере назвать эффективным методом решения задач дифракции на группе тел.
Помимо рассмотренных выше подходов к численному решению интегральных уравнений в теории дифракции была предложена еще одна методика, основанная на матричном представлении характеристик рассеяния дифракционного поля. Речь идет о методе Т-матриц, известном также еще как метод нулевого поля и метод продолженных граничных условий [15]-[17], [45]-[46]. Этот метод основан на разложении падающего и рассеянного полей по векторным волновым сферическим гармоникам для внутренней и внешней бесконечной области соответственно. Т-матрица устанавливает явную связь между коэффициентами разложения падающего поля с искомыми коэффициентами разложения рассеянного поля (в этом суть термина «Т-матрица» - матрица перехода). Впервые метод Т-матриц был предложен Уотерменом (Waterman) [45]-[46], причем этот метод был разработан на основе использования идей метода нулевого поля. В связи с этим часто в литературе по обзору численных методов решения задач дифракции происходит путаница двух различных методов - метода Т-матриц и метода нулевого поля. Причина этого описана в работе [17], в которой было показано, что метод нулевого поля является только лишь одним из методов, в котором вычисляется Т-матрица. Так, например, Т-матрица может быть получена в рамках таких методов, как метод разделения переменных [47], метод дискретной дипольной аппроксимации [48] и др. В работах Мищенко (Mishchenko) [15], [49] было показано, что Т-матрица - это такая величина, которая, вообще говоря, содержит в себе всю информацию о характеристиках рассеяния частиц. Именно это является одним из преимуществ метода Т-матриц.
Рассмотрим кратко идею метода нулевого поля. Этот метод, по сути, является одной из форм метода поверхностных интегральных уравнений [17]. В этом методе используются так называемые обобщенные граничные условия, которые заключаются в том, что полное поле внутри рассеивателей равно внутреннему полю, а рассеянное и падающее поля взаимно компенсируются внутри рассеивателей [24], [46]. Его использование приводит к обобщенным интегральным уравнениям относительно неизвестных величин - поверхностных токов, наводимых сторонними источниками на поверхности рассеивателей. При численном решении обобщенного интегрального уравнения возникают две связанные алгебраические системы относительно коэффициентов разложения для плотности тока на граничной поверхности и рассеянного полей. Таким образом, решение в методе нулевого поля строится в два этапа: сначала ищутся коэффициенты разложения для плотности тока через известные разложения падающего поля по волновым векторным сферическим гармоникам. На втором этапе решается алгебраическая система относительно неизвестных коэффициентов разложения для рассеянного поля через найденные на предыдущем этапе коэффициенты разложения для плотности тока. Далее, обращая матрицу системы, полученную на первом этапе, и подставляя найденное решение во вторую систему, можно прийти к произведению двух матриц, которое и называется Т-матрицей.
Следует отметить, что в случае группы тел наиболее эффективным считается метод нулевого поля с дискретными источниками (NFM-DS) [13], [16]. Появление этого метода связано с тем, что стандартный метод Т-матриц не позволяет вычислять характеристики рассеяния тел с отношением характерных размеров больше, чем 1:4. Впервые идея дискретных источников в рамках метода нулевого поля была использована 10 лет назад. В первых публикациях NFM-DS носил разные названия, такие как «Multiple Multipole Extended Boundary Condition Method» [50] и «Extended Boundary Condition Method with Multipole Sources» [51].
В этом методе для разложения внутреннего поля используется концепция метода дискретных источников [36]—[39], [52] и связанных с ним методов. При этом используются следующие системы функций: сферические векторные функции низшего порядка [51], множественные мультиполи [50], электрические диполи и векторные потенциалы Ми [53]. Этот метод применялся к задачам дифракции на объектах такой геометрии как группы частиц произвольной формы, две однородные диэлектрические сферы, группа однородных диэлектрических сфер, совокупность волокон, и др. [13].
Однако следует отметить, что расположение дискретных источников внутри рассеивателей не имеет в NFM-DS четкого обоснования и никак не связано с особенностями используемого неявно аналитического продолжения волнового поля внутрь рассеивателей. Это означает, что получаемое в рамках этого метода решение задачи дифракции может оказаться неустойчивым и давать, вообще говоря, некорректные результаты.
В рамках техники Т-матриц для решения задач дифракции на группе, состоящей из большого числа тел, было предложено несколько рекурсивных алгоритмов, таких как Recursive T-matrix Algorithm (RTMA), Recursive Aggregate T-matrix Algorithm (RATMA) [54]-[56] и Recursive Centered T-matrix Algorithm (RCTMA) [56]-[58].
Алгоритм метода RTMA состоит из двух шагов: на первом необходимо вычислить множественную Т-матрицу iV-ro рассеивателя как функцию от Т-матриц каждого составляющего элемента группы из N-1 объекта. Затем отдельные Т-матрицы множественного рассеяния группы из N тел должны быть пересчитаны из предыдущих N-1 отдельных Т-матриц множественного рассеяния и посчитанной Т-матрицы N-ro тела.
Идея метода RATMA состоит в следующем. Т-матрица N-ro объекта строится по рекурсивной формуле, основанной на известной Т-матрице системы, состоящей из N-1 тела, и Т-матрицы JV-ro рассеивателя.
В работах [56]—[58] показано, что алгоритмы RTMA и RATMA являются неустойчивыми. Это связано, в том числе, с тем, что размер Т-матрицы должен, вообще говоря, зависеть от размера всей системы тел. Однако Т-матрицы, описывающие перевод /-го элемента в общую систему координат, зависят только от его размеров. В этом плане более выигрышным оказывается метод RCTMA за счет использования концепции N-центрированной Т-матрицы [58]. Однако увеличение стабильности метода RCTMA связано с увеличением общего числа матриц, которые необходимо вычислить. Так, если в методе RTMA их количество пропорционально N, то при использовании RCTMA уже имеет порядок N2. Еще одна проблема этого метода состоит в том, что из-за своей рекурсивной природы RCTMA не зависит от параметров сходимости [56].
В работе [34] было проведено сравнение метода разделения переменных с методом Т-матриц для группы сфер. Так, например, в случаях, когда расстояние между рассевающими телами достаточно велико, взаимодействие между рассеянными волнами отдельных объектов становится незначительным. Вычисление характеристик рассеяния невзаимодействующих сфер чрезвычайно просто и не требует больших затрат ресурсов ЭВМ. Это действительно имеет место при использовании метода разделения переменных. Совершенно иная картина с методом Т-матриц. С увеличением расстояния между рассеивающими телами время работы алгоритма, построенного на основе этого метода, резко возрастает и в конечном итоге приводит к отказу даже притом, что взаимодействие между телами является незначительным. Проведено также сравнение требуемого числа гармоник в разложениях поля отдельных сфер при увеличении количества тел в системе. Было показано, что при использовании метода разделения переменных это число остается практически неизменным, тогда как при численной реализации метода Т-матриц оно линейно возрастает.
Следует также отметить, что метод Т-матриц обладает рядом недостатков. Так, например, одним из недостатков метода Т-матриц является неявное использование гипотезы Рэлея [59], что сильно сужает круг решаемых этим методом задач. Вторым недостатком является отсутствие обоснования применимости метода редукции для усечения бесконечной алгебраической системы. Это ведет, в общем случае, к потере устойчивости решения при увеличении размерности решаемой конечной системы.
В работе [60] задача рассеяния волн на группе тел сводится к линейной системе уравнений без использования интегральных уравнений. При этом матричные элементы получающейся системы имеют физический смысл и могут быть вычислены аналитически с любой заданной точностью. Эти элементы являются электрическими емкостями или элементами электрических и магнитных тензоров поляризуемости. Однако следует отметить, что рамки применимости описанного подхода крайне ограничены. Во-первых, тела должны быть малыми по сравнению с длиной волны. Вторым ограничением является то, что минимальные расстояния между исследуемыми объектами должны быть много меньше максимальных размеров тел.
Перейдем теперь к описанию использовавшегося в данной работе численного метода и его предпосылок.
Краткий обзор МДУ
Метод диаграммных уравнений (МДУ) - это численно-аналитический метод, в котором исходная краевая задача для уравнения Гельмгольца сводится к решению, в общем случае, системы некоторых интегрооператорных уравнений относительно диаграмм волнового поля (диаграмм рассеяния). Впервые этот метод был предложен А.Г. Кюркчаном в работе [61] для решения двумерных задач рассеяния волн одиночным рассеивателем в свободном пространстве, и впоследствии был применен им к решению широкого круга задач теории дифракции, рассеяния и распространения волн. Речь идет о таких задачах, как рассеяние волн одиночным трехмерным телом [62]-[68] и группой двумерных тел [69]-[70] как в однородном пространстве, так и в плоскослоистой среде, дифракция волн на многорядной периодической решетке вблизи плоской границы раздела сред [71]—[74] и на рассеивателях и решетках, расположенных в плоскослоистых средах [73]-[79]. Кроме того, этот метод был успешно применен к решению задач о собственных волнах в периодических структурах и диэлектрических волноводах сложного поперечного сечения [80]—[81]. Сравнительно недавно вышли обзоры по методу диаграммных уравнений (см., например, [82]-[84]). МДУ оказался универсальным и высокоэффективным методом решения краевых задач для уравнений Гельмгольца. Однако до сих пор этот метод не применялся для решения трехмерных задач дифракции на группе тел и телах произвольно сложной формы, для которых интегральное представление Зоммерфельда-Вейля оказывается расходящимся на части границы рассеивателя.
Основу метода составляет сведение исходной краевой задачи для уравнения Гельмгольца к системе интегрооператорных уравнений II рода относительно диаграмм рассеяния. Для этого используется обобщенное представление Зоммерфельда-Вейля [85] дифракционного поля в виде интеграла плоских волн, спектральной функцией в котором является диаграмма рассеяния. Далее эта система интегрооператорных уравнений алгебраизуется с использованием разложения искомых функций в ряд по некоторому базису и последующим проектированием левой и правой частей равенства на некоторый, вообще говоря, другой базис. При определенных ограничениях на геометрию задачи, которые могут быть строго установлены, полученная бесконечная алгебраическая система разрешима методом редукции, т.е. усечения.
Суть МДУ состоит в следующем. При решении задач дифракции вычисления, как правило, сводятся к нахождению значений рассеянного (дифракционного) поля в дальней зоне. Для этого необходимо знать только лишь диаграмму рассеяния этого поля, которая, в определенном смысле, является его исчерпывающей характеристикой. Так, используя соответствующие представления волнового поля через найденную диаграмму рассеяния, можно восстановить поле практически в любой точке пространства. Исключение составляют некоторые окрестности локальных начал координат каждого тела, в которых расположены особенности волнового поля. Укажем, о каких особенностях идет речь. Известно, что волновое поле, будучи решением однородного уравнения Гельмгольца (эллиптического типа), является вещественной аналитической функцией. В соответствии с условиями излучения Зоммерфельда эта функция на бесконечности обращается в нуль. Поэтому волновое поле должно где-то иметь особенности. В противном случае, как нетрудно показать, оно всюду было бы тождественно равно нулю. Эти особенности, очевидно, должны лежать внутри рассеивателей (в так называемой нефизической области), т.е. там, где проводится вспомогательная поверхность, например, в МДИ. Игнорирование этих особенностей приводит к разрушению вычислительных алгоритмов во всех численных методах, использующих (неявно) принцип аналитического продолжения. Идея продолжения поля по его диаграмме и была использована в МДУ. Для ее реализации искомое волновое поле было представлено в виде суммы обобщенного и «стандартного» интегралов Зоммерфельда-Вейля по плоским волнам с диаграммами рассеяния в качестве спектральных функций. При этом обобщенный интеграл сходится вплоть до выпуклой оболочки особенностей продолжения поля внутрь рассеивателя. Таким образом, при использовании МДУ получающееся решение задачи рассеяния является справедливым не только во внешней по отношению к рассеивателям области, но также и внутри них вплоть до выпуклых оболочек особенностей. Это позволяет строго удовлетворить граничным условиям на поверхностях тел широкого класса геометрий и гарантировать решение задачи при любых краевых условиях.
Было установлено, что МДУ обладает рядом важных преимуществ по сравнению с другими методами решения задач дифракции и рассеяния волн.
Так, применение МДУ к скалярным и векторным задачам рассеяния волн на трехмерных телах показало его высокую эффективность. Например, скорость сходимости решения задачи о дифракции плоской волны на сфероиде даже при соотношении длин осей 40:1 оставалась примерно такой же, как и в задаче дифракции волн на сфере, радиус которой совпадает по величине с длиной большей полуоси сфероида. Столь же высокая скорость сходимости была продемонстрирована при применении МДУ и к другим задачам.
При решении скалярных и векторных задач рассеяния волн одиночным телом было установлено, что скорость сходимости вычислительного алгоритма МДУ определяется, главным образом, размером тела и практически не зависит от его геометрии [63], [66]-[68], [77]. При этом для проведения расчетов с погрешностью не более 1% необходимо, чтобы максимальный номер N гармоники в представлении диаграммы рассеяния был приблизительно равен 2kd, где к = 2я/Л, Я - длина волны падающего поля, d - диаметр описанной вокруг рассеивателя сферы. При решении же аналогичных задач методом токовых интегральных уравнений необходимо учитывать порядка (50-200)(d/A) базисных функций [86]. Следует отметить, что при решении задачи дифракции на группе близко расположенных объектов этим методом количество базисных функций еще более возрастает. Это связано с тем, что при сближении тел токи на их границах существенно искажаются. А это, в свою очередь, требует привлечения гармоник более высоких номеров для аппроксимации быстропеременных составляющих поля.
В задачах дифракции волн на группе двумерных тел [69], [79] и периодических решетках [74] было установлено, что скорость сходимости вычислительного алгоритма метода практически не зависит от расстояний между отдельными телами даже при сближении объектов почти вплоть до их соприкосновения. Это обстоятельство имеет довольно простое объяснение: при сближении тел возбуждаемые на них токи испытывают локальные возмущения, слабо сказывающиеся на диаграмме рассеяния тела, которая и является искомой характеристикой в МДУ.
Отметим, что для задачи рассеяния волн группой тел из системы интегрооператорных уравнений МДУ в качестве частного случая могут быть получены интегральные уравнения Тверского [44].
В данной диссертационной работе МДУ был впервые распространен на решение трехмерных скалярных и векторных задач дифракции на группе тел и телах сложной формы как с импедансными краевыми условиями, так и с условиями сопряжения на границах объектов.
Достоверность научных выводов. МДУ является математически строго обоснованным. Оценка правильности полученных результатов осуществлялась путем проверки оптической теоремы. Там, где было возможно, результаты расчетов диаграмм рассеяния сравнивались с результатами, полученными при помощи других численных методов.
Научная новизна работы. Научной новизной данной работы является распространение МДУ для решения трехмерных задач рассеяния электромагнитных волн группой тел и телами сложной формы с импедансными граничными условиями и условиями сопряжения на границах объектов. Этот метод не имеет аналогов ни среди российских, ни среди зарубежных методов. Он обладает высокой скоростью сходимости вычислительного алгоритма, слабо зависящей от геометрии рассеивателей и расстояния между ними.
Исследовано взаимное влияние объектов, обусловленное множественными переотражениями, при различных расстояниях между ними. Показано, что в случаях, когда расстояния не превышают характерные размеры рассеивателей, взаимное влияние тел определяющим образом сказывается на характеристиках рассеяния объектов. При дальнейшем увеличении расстояния влияние уже сказывается не столь заметно, однако пренебрежение им влечет все еще значительные погрешности. Показано, что рассматривать каждый объект в отдельности можно только в случаях, когда расстояние между телами много больше их характерных размеров.
При решении задач дифракции волн на группе тел с импедансными краевыми условиями впервые была проведена численная проверка теоремы Уфимцева, согласно которой интегральный поперечник рассеяния черного тела в два раза меньше интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего объекта, имеющего тот же теневой контур. Результаты проверки этой теоремы подтвердили ее справедливость для группы тел в случае, если их размеры составляют несколько длин волн падающего поля. Показано также, что полученные результаты хорошо согласуются с полученными ранее численными данными для одиночных рассеивателей.
Проведенные численные исследования характеристик рассеяния тел с различными краевыми условиями на их границе при помощи разработанного метода показали его высокую эффективность. Были проведены сравнения по скорости сходимости и точности численных решений с другими методами. Во всех рассмотренных случаях МДУ оказался эффективнее других известных численных методов.
Практическая значимость результатов работы связана с более точным и эффективным моделированием характеристик рассеяния волн группами тел произвольно сложной геометрии и материальных параметров. В астрофизике практическим применением метода, разработанного в данной работе, является возможность интерпретировать различные астрономические явления, обусловленные рассеянием малых частиц. Точная информация относительно рассеивающих свойств небольших частиц пыли принципиальна для понимания химического, теплового и динамического поведения межпланетного, межзвездного и околозвездного вещества. В медицинской диагностике результаты моделирования характеристик рассеяния группы тел могут быть применены, например, при исследовании частиц крови, преимущественно эритроцитов.
Апробация работы. Основное содержание диссертации опубликовано в работах [101]—[113].
Результаты работы докладывались на Научно-технической конференции профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава МТУСИ (Москва, 2004,2005 и 2006), 8-й конференции по рассеянию света несферическими частицами (8th Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles) (Гранада, Испания, 2005), на Научном семинаре «Акустика неоднородных сред» (Москва, 2005), на Общероссийском научном семинаре «Математическое моделирование волновых процессов» в РосНоУ (Москва, 2006), Московской отраслевой научно-технической конференции «Технологии информационного общества» (Москва, 2007), на международной конференции «Дни дифракции» (Days on Diffraction) (Санкт-Петербург, 2007), 10-й конференции по рассеянию света несферическими частицами (10th Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles) (Бодрум, Турция, 2007), Международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения», INTERMATIC - 2007 (Москва, 2007).
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 113 наименований. Материал изложен на 138 страницах текста, включая 54 рисунка и 15 таблиц.
Содержание работы
Во введении дан краткий обзор существующих методов решения задач дифракции и результатов применения МДУ к различным задачам дифракции, сформулированы предмет исследования и цель работы, приведен краткий обзор. Кроме того, обоснована научная новизна, отмечена практическая значимость и достоверность научных выводов работы. Приведены основные результаты работы.
В первой главе рассмотрено обобщение МДУ на трехмерные скалярные задачи рассеяния волн группой тел и телами сложной формы. Приведен подробный вывод системы интегрооператорных уравнений МДУ и сформулирована схема построения эффективного численного алгоритма решения поставленной задачи. При этом была получена бесконечная алгебраическая система уравнений для определения неизвестных коэффициентов разложения диаграмм рассеяния, которые являются искомыми характеристиками в предлагаемом здесь методе. Для диаграмм рассеяния получено явное асимптотическое решение в случае, когда большим является расстояние между объектами. Были исследованы характеристики рассеяния групп тел различной геометрии и указана скорость сходимости численного алгоритма МДУ. Проведено сравнение алгоритма МДУ с методом Тверского [44], показавшее преимущество первого по сравнению с последним. Исследовано асимптотическое решение поставленной задачи и указаны пределы его применимости. Осуществлена проверка теоремы Уфимцева [87] для группы тел. Показана возможность моделирования характеристик рассеяния волн телами сложной геометрии при помощи их замены комбинацией тел более простой формы. Проведено исследование правильности полученных результатов путем проверки выполнения оптической теоремы, которая показала хорошую точность вычислений вне зависимости от расстояния между объектами и их геометрии.
Во второй главе приводится обобщение МДУ на задачи дифракции электромагнитных волн на группе тел и на телах сложной формы в случае импедансных краевых условий. Кратко приведена идея вывода системы интегрооператорных уравнений в электромагнитном случае, а также алгоритм получения алгебраической системы уравнений без их использования. Как и в случае скалярного приближения, показано, что МДУ обладает высокой скоростью сходимости вычислительного алгоритма, слабо зависящей от расстояния между рассеивающими объектами. Показано, что теорема Уфимцева для группы тел, размеры которых много больше длины волны, выполняется с достаточно хорошей точностью, а результаты ее проверки хорошо согласуются с аналогичными, полученными для одиночных рассеивателей. Показаны преимущества моделирования характеристик рассеяния тел сложной геометрии путем составления их из компонентов более простой формы. Осуществлена проверка оптической теоремы, которая, как и в скалярном случае, показала хорошую точность вне зависимости от геометрии рассеивателей и расстояния между ними.
В третьей главе приводится обобщение МДУ на задачи рассеяния электромагнитных волн группой трехмерных диэлектрических тел и диэлектрических тел сложной геометрии. По аналогии с той схемой, которая использовалась ранее во второй главе, здесь была получена сдвоенная система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов рассеянного и внутреннего полей. На основании решения конечной системы были проведены исследования характеристик рассеяния групп различных диэлектрических тел вращения, таких как: сферы, сфероиды, суперэллипсоиды, полусферы. Рассматривались различные комбинации этих тел. Была продемонстрирована возможность эффективного моделирования характеристик рассеяния тел сложной формы и произвольно неоднородного заполнения путем замены их комбинацией объектов более простой геометрии. Показано, что МДУ позволяет вычислять не только диаграммы рассеяния тел, но и восстанавливать электромагнитное поле в любой точке пространства без привлечения каких бы то ни было дополнительных вычислительных ресурсов.
В заключении к диссертации сформулированы основные выводы по всем трем главам и указаны направления для дальнейшего распространения МДУ.
Основные результаты работы
Приведем основные результаты работы.
1. Разработано обобщение метода диаграммных уравнений (МДУ) для решения трехмерных задач рассеяния электромагнитных волн группой тел и телами сложной геометрии с импедансными краевыми условиями и с условиями сопряжения на границах этих тел, а также задачи рассеяния волн группой тел и телами сложной формы в скалярном приближении. В случае диэлектрических тел метод позволяет найти не только коэффициенты разложения диаграммы рассеяния, но и коэффициенты, определяющие поле внутри рассеивателей.
2. Исследована скорость сходимости алгоритма МДУ для групп тел различной геометрии при различных расстояниях между ними вплоть до соприкосновения. В результате было установлено, что скорость сходимости алгоритма МДУ слабо зависит от расстояния между рассеивателями. При этом решение задач дифракции на группах тел вращения предложенным методом показало его высокую эффективность. Также было установлено, что МДУ достаточно универсален.
3. Для скалярной задачи дифракции на группе тел получено явное асимптотическое решение в случае, когда большим является расстояние между объектами, и указаны пределы применимости этого решения. В / 2 частности, показано, что это решение применимо при —тах(Ы/), dx + d2 ті і где dj - характерные размеры тел, / - расстояние между рассеивателями.
4. Проведено сравнение результатов вычислений характеристик рассеяния волн группой тел при помощи МДУ с другими численными методами, которое показало, что МДУ позволяет с большей эффективностью решать такого рода задачи
5. Исследовано взаимное влияние рассеивающих объектов, обусловленное множественными переотражениями, при различных расстояниях между телами. Показано, что на расстояниях, не превышающих характерные размеры тел, взаимное влияние определяющим образом сказывается на их характеристиках рассеяния. При дальнейшем увеличении этого расстояния взаимное влияние сказывается уже не столь радикально, однако пренебрежение им приводит к значительным погрешностям в результатах. Показано, что рассматривать объекты по отдельности без заметной потери точности результатов можно только в случае, когда расстояние между телами много больше их характерных размеров.
6. Предложен единообразный подход решения векторных задач рассеяния как для групп тел с различной геометрией, так и для различных типов краевых условий.
7. Для группы черных тел впервые была осуществлена численная проверка теоремы П.Я.Уфимцева, согласно которой интегральный поперечник рассеяния черного тела в два раза меньше интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего тела той же геометрии. В результате была установлена справедливость этой теоремы для группы тел, размеры которых составляли несколько длин волн падающего поля. Показано также, что полученные результаты хорошо согласуются с данными для одиночных рассеивателей.
8. Показана возможность эффективного моделирования с приемлемой точностью характеристик рассеяния тел сложной геометрии и произвольно неоднородного заполнения путем замены их комбинацией рассеивателей более простой формы.
9. Показано, что метод диаграммных уравнений позволяет эффективно находить не только диаграммы рассеяния тел, но и восстанавливать по ним поле практически в любой точке пространства, не привлекая при этом никаких дополнительных вычислительных ресурсов. Продемонстрировано, что нормированные диаграмма рассеяния и поле, рассчитанные при помощи МДУ, на расстояниях, удовлетворяющих условию дальней зоны, практически совпадают.
Ю.Оценка правильности всех численных исследований осуществлялась с использованием проверки оптической теоремы, которая показала хорошую точность, не зависящую от расстояния между рассеивателями.
Личный вклад соискателя
Лично соискателем были получены следующие результаты:
- обобщение МДУ на векторные задачи рассеяния электромагнитных волн трехмерными группами идеально проводящих, импедансных и диэлектрических тел и тел сложной формы;
- разработка пакета программ численной реализации предложенного метода для решения трехмерных задач дифракции на группе тел с различными граничными условиями;
- результаты решения конкретных задач рассеяния на группах осесимметричных тел и осесимметричных телах сложной формы, таблицы сходимости, проверка оптической теоремы и численная проверка теоремы Уфимцева.
Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений
Задача дифракции электромагнитных волн на группе тел и телах сложной геометрии представляет интерес в широком диапазоне научно-технической деятельности. Ведущиеся в этом направлении исследования (см., например, [1],[13]-[14]) подтверждают ее актуальность.
Как известно, для полного описания электромагнитного поля необходимо знать величины векторов поля, а также их направления (поляризацию) как функции положения в пространстве и времени. Отметим, что отыскание этих функций в общем случае оказывается весьма трудоемким. Так, существующие математические методы, позволяющие решать задачу дифракции электромагнитных волн на группе тел, имеют довольно много ограничений при их численной реализации. Поэтому в качестве начального этапа рассмотрим скалярную задачу дифракции на группе тел и телах сложной формы.
Известно, что существуют такие физические задачи, в которых для описания поля достаточно одной (скалярной) функции. Так, например, в электромагнитном поле оптического диапазона вследствие его очень высокой частоты (порядка 10й сек"1) измеряются не мгновенные значения этих величин, а лишь значения, усредненные по времени в интервале, большом по сравнению с периодом колебаний световых волн. Более того, как правило, имеют дело с естественным светом, где в наблюдаемом (макроскопическом) поле нет преимущественных направлений поляризации. Это позволяет пренебречь векторной природой световых волн и описывать их поведение в рамках скалярной теории дифракции [5]. Поэтому решение обозначенной выше задачи может найти широкое применение в оптике.
Скалярная задача рассеяния на группе отражателей, несмотря на свою актуальность, остается одной из наиболее сложных и мало исследованных задач дифракции. Отметим, что большинство известных методов при численной реализации решения задачи дифракции на группе тел сталкиваются с весьма значительными вычислительными трудностями. К таким трудностям относятся, например, проблемы с особенностями в ядрах интегральных уравнений и слабая скорость сходимости рядов, используемых при численной реализации алгоритма. Эти проблемы связаны во многом с тем, что в большинстве методов искомыми величинами являются токи. При этом в случаях, когда объекты оказываются на расстоянии друг от друга, много меньшем, чем максимальные размеры тел, эти характеристики на их границах существенно искажаются. Сходные проблемы возникают и в случаях, когда тела имеют неаналитические границы, например, изломы или острые кромки. На практике это означает, что для вычисления значения токов с заданной точностью требуется резко увеличивать размеры алгебраических систем, возникающих при численных реализациях алгоритмов. А это, в свою очередь, определяющим образом сказывается на вычислительных затратах ресурсов ЭВМ.
Глава посвящена разработке и применению нового эффективного численного метода применительно к решению трехмерных скалярных задач дифракции волн на группе тел и телах сложной геометрии. Главная отличительная черта этого метода, называемого методом диаграммных уравнений (МДУ), состоит в том, что основной характеристикой, для которой ищется решение краевой задачи, является диаграмма рассеяния объекта, т.е. некий (стационарный) функционал от распределения поля по поверхности рассеи-вателя. Благодаря этому быстропеременные составляющие поля, аппроксимация которых требует привлечения «гармоник» высоких номеров, сглаживаются в результате интегрирования. В итоге это приводит к значительному снижению вычислительных затрат при фиксированной точности.
Отметим, что этот метод уже был успешно применен к решению двумерных и трехмерных задач дифракции на одиночных отражателях, а также двумерных скалярных задач для группы тел, и показал при этом высокую эффективность. В частности, оказалось, что численный алгоритм, полученный на основании МДУ, обладает значительно более высокой скоростью сходимости, чем в других известных методах, зависящей только от характерных размеров исследуемых объектов.
В данной главе приводятся основные соотношения МДУ, необходимые для реализации численного алгоритма решения скалярной задачи дифракции на группе тел и оговариваются ограничения на ее геометрию. Для диаграмм рассеяния получено явное асимптотическое решение в случае, когда большим является расстояние между объектами. В последнем разделе приведены результаты численных исследований конкретных задач дифракции на группе тел при помощи МДУ. При этом исследовались характеристики рассеяния рассматриваемых объектов при различных расстояниях между ними. Оказалось, что скорость сходимости вычислительного алгоритма для одних и тех же тел практически не зависит от того, насколько близко расположены рас-сеиватели. Показано, что даже на минимальном расстоянии между объектами размер алгебраической системы МДУ не претерпевает существенных изменений по сравнению с тем, который требуется при решении той же задачи для случаев, когда рассеиватели практически не влияют друг на друга. Этот факт позволяет реализовать алгоритм решения задачи дифракции для тел сложной формы при помощи замены их комбинацией объектов более простой геометрии. Продемонстрированы примеры такого моделирования различных отражателей сложной геометрии. Рассмотрим трехмерную скалярную задачу дифракции первичного волнового поля 7 на группе из N компактных тел (препятствий), ограниченных поверхностями Sj,j = l,N. Для определенности будем рассматривать случай N = 2. Геометрия задачи показана на рис. 1.1. Отметим, что в случае произвольной совокупности отражателей развитый в данной главе подход полностью сохраняется.
Для решения задачи дифракции на рассеивателе сложной геометрии будем заменять его комбинацией объектов более простой формы. Расположив их на минимальном расстоянии друг относительно друга, сведем ее, таким образом, к задаче дифракции на группе тел.
Исследование сходимости вычислительного алгоритма
На основании полученных результатов расчетов характеристик рассеяния волн различными группами тел можно сделать вывод о том, что МДУ позволяет с высокой эффективностью решать такого рода задачи. Во всех рассмотренных примерах наблюдалась высокая скорость сходимости вычислительного алгоритма, практически не зависящая от расстояния между исследуемыми объектами. Получено явное асимптотическое решение задачи рассеяния волн группой тел для случая, когда расстояние между ними kl»l, и выполнена оценка пределов применимости такого решения. Проведено сравнение метода Тверского и МДУ, и показано, что последний обладает большей универсальностью и не требует дополнительного исследования характеристик рассеяния отдельных объектов, которое не может не сказываться на затратах вычислительных ресурсов при решении исходной задачи. Осуществлена проверка теоремы Уфимцева для случая рассеяния волн группой тел. Показана возможность моделирования характеристик рассеяния волн телами сложной геометрии при помощи их замены комбинацией тел более простой формы. Приведены примеры вычисления характеристик рассеяния невыпуклых объектов, для которых стандартный МДУ не позволяет найти решение краевой задачи, т.к. интегральное представление Зоммерфельда-Вейля оказывается расходящимся на части границы рассеивателя. Проведено исследование правильности всех полученных результатов путем проверки выполнения оптической теоремы, которая показала хорошую точность вычислений вне зависимости от расстояния между объектами и их геометрии.
В первой главе уже была отмечена актуальность задачи дифракции электромагнитных волн на группе тел и телах сложной геометрии. При этом большинство известных методов имеют жесткие ограничения к применению. Так, например, метод разделения переменных [8]—[12], [92] справедлив только для рэлеевских тел [59], метод Тверского [44] требует предварительного решения задачи дифракции на каждом из рассеивателей в отдельности, а метод токовых интегральных уравнений весьма «чувствителен» к расстояниям между объектами.
В данной главе метод диаграммных уравнений распространен на решение задачи дифракции электромагнитных волн группой тел и телами сложной формы с импедансными граничными условиями. Основная идея метода и его отличительные черты изложены в первой главе. Здесь приведены основные соотношения, необходимые для получения численного алгоритма решения поставленной краевой задачи. Установлены ограничения на геометрию исследуемых объектов и допустимые расстояния между ними, в рамках которых можно получать решения поставленной задачи с приемлемой точностью. Последний раздел данной главы посвящен численным исследованиям решений конкретных задач дифракции электромагнитных волн на группе тел. Аналогично скалярному случаю, исследована скорость сходимости вычислительного алгоритма. Показана высокая эффективность МДУ при решении такого рода задач, практически не зависящая от расстояния между рассеивающими телами. Моделирование характеристик рассеяния волн телами сложной конфигурации, как и ранее в скалярном случае, осуществлялось путем замены их комбинацией объектов более простой геометрии. Для всех результатов численных исследований проведена проверка выполнения оптической теоремы.
Рассмотрим задачу дифракции первичного монохроматического электромагнитного поля Е, Н с зависимостью от времени в виде ехр(Ш) на груп пе из N компактных препятствий, ограниченных поверхностями SJ} j = \,N.
Геометрия задачи приведена на рис. 1.1. Пусть внешняя среда является однородной безграничной и изотропной с диэлектрической и магнитной прони-цаемостями є и //. Как и ранее рассмотрим случай двух тел. При переходе к произвольной совокупности объектов алгоритм принципиально не изменяется. Для решения задачи дифракции на отражателе сложной геометрии, как и в скалярном случае, будем заменять его комбинацией объектов более простой формы, расположенных друг относительно друга на минимальном расстоянии. В результате этого, таким образом, сведем ее к задаче на группе тел.
Поскольку идея вывода системы интегрооператорных уравнений МДУ для скалярной задачи была подробно рассмотрена в первой главе, приведем здесь лишь основные соотношения, необходимые для ее получения в векторном случае. Исходным моментом, как и прежде, служит представление Зом-мерфельда-Вейля волнового поля (например, магнитного) в виде обобщенного интеграла по плоским волнам [85]:
В этом соотношении FjH - обобщенная диаграмма рассеяния у-го тела в системе координат, повернутой таким образом, чтобы ось OZ была направлена в точку наблюдения. Для простоты рассмотрим в качестве примера вывод системы интегрооператорных уравнений МДУ в случае идеально прово А дящего рассеивателя.
Сведение краевой задачи к алгебраической системе уравнений
Исследования показали, что скорость сходимости вычислительного алгоритма, как и ранее в скалярном случае (см. гл. 1), остается практически неизменно высокой при сближении рассеивателей вплоть до их соприкосновения. Это обстоятельство позволяет нам распространить МДУ на решение задачи дифракции на рассеивателях сложной геометрии путем представления их в виде комбинации объектов более простой формы при минимальных затратах ресурсов ЭВМ.
Сложность решения задачи дифракции на группе объектов заключается в необходимости учета взаимного влияния объектов, которое связано с переотражениями между ними. Рис. 2.1 и 2.2 иллюстрируют зависимость интегральных поперечников рассеяния: двух объектов при различных значениях импеданса от расстояния между ними, где FE(0, p) - диаграмма рассеяния для двух тел с учетом взаимного влияния (кривая 1) и без учета (кривая 2). Рис. 2.1а и 2.16 соответствуют двум сферам с ка12 =10, а рис. 2.2а и 2.26, двум суперэллипсоидам с параметрами Аа)2=5,&е12 = 5,т = 20. При увеличении расстояния между объектами значение общего интегрального поперечника приближается к сумме поперечников рассеяния отдельных тел (кривая 3). Кроме того, на графиках видно, что при сближении тел происходит уменьшение суммарного поперечника рассеяния относительно суммарного поперечника, вычисленного без учета взаимного влияния. Это связано с тем, что в среднем за период часть мощности падающей волны «запасается» в области между рассеивателями за счет переотражений. Кривая 4 на рис. 2.2а и 2.26 соответствует интегральному поперечнику суперэллипсоида удвоенного размера, к которому приближается суммарный поперечник двух тел при соприкосновении объектов.
Таким образом, как и в скалярной задаче, видно, что взаимное влияние объектов наиболее ярко выражено в случае, когда расстояние между рассеи-вателями не превышает их характерных размеров. При сравнительно небольшом увеличении этого расстояния относительно максимальных размеров (1-2 диаметра) объектов взаимное влияние резко уменьшается, однако все еще остается весьма существенным. Лишь при довольно значительном увеличении расстояния между телами задачу дифракции можно решать для каждого тела в отдельности.
Проведем тестирование предложенного метода, основанное на сравнении диаграммы рассеяния одиночного тела с диаграммой рассеяния группы, состоящей из частей этого тела. Расположим их одну над другой и выберем минимальное расстояние между ними равным кА = 0.0\Я. На рис. 2.3 и 2.4 приведены примеры такого сравнения для суперэллипсоидов с параметрами каХ2 = 4,kcl2 =8,т = 20 для различных значений импеданса и углов падения волны. Рис. 2.3а и 2.4а соответствуют значению Z, 2 = 0, а рис. 2.36 и 2.46 -Zj 2 = . Рассматривались случаи продольного (вдоль оси вращения) и перпендикулярного (перпендикулярно оси вращения) падения волны. Из графиков видно, что отличия соответствующих диаграмм очень невелики.
Аналогичные исследования проводились с использованием модифицированного метода дискретных источников (ММДИ) [36]. Было проведено сравнение результатов моделирования характеристик рассеяния волн группой из двух суперэллипсоидов с параметрами ках2 =2.5,кс12 =5,т = \0, расположенных на минимальном расстоянии А = 0.02, вычисленных при помощи ММДИ и МДУ.
Одним из важных преимуществ ММДИ является простота его реализации. Однако следует отметить, что при решении трехмерных векторных задач он становится сопоставим по сложности с МДУ. Кроме того, при решении задач рассеяния на телах вращения возникают трудности, хотя и чисто технического характера, с вычислением S -функций Васильева (Фурье-компонента функции Грина).
Таким образом, из приведенных исследований видно, что алгоритм МДУ является хорошо сходящимся вне зависимости от расстояния между рассеивающими объектами и дает верные результаты при весьма близком расположении взаимодействующих тел. Это позволяет нам применить данный метод для моделирования характеристик рассеяния волн телами сложной геометрии.
Рассмотрим в качестве примера задачу рассеяния на объекте, имеющем форму «гриба», т.е. фигуре, составленной из полусферы (ка = 4) и суперэллипсоида (ка = кс = 2,т = 20). На рис. 2.6а и 2.66 приведены диаграммы рассеяния такого тела для случая Z, 2 = 0. Вычисления проведены для случая продольного (вдоль оси вращения) и перпендикулярного (перпендикулярно оси вращения) падения волны.
Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений
Во всех рассмотренных примерах была продемонстрирована высокая скорость сходимости вычислительного алгоритма, слабо зависящая от расстояния между рассеивающими телами. Как и в предыдущих главах, этот факт позволил применить МДУ к решению задач дифракции на телах сложной формы, заменяя их комбинацией объектов более простой геометрии. Показано, что, используя МДУ, можно вычислять поле в любой точке пространства. Проверка оптической теоремы показала приемлемую точность для различных комбинаций рассеивателей. Все полученные результаты хорошо согласуются с аналогичными исследованиями, приведенными в предыдущих главах. Таким образом, можно сделать вывод о том, что МДУ может быть использован для решения широкого круга задач рассеяния, независимо от сложности границ исследуемых объектов и расстояний между ними. При этом расчеты можно проводить с приемлемой точностью и минимальными затратами ресурсов ЭВМ.
Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом.
1. Разработано обобщение метода диаграммных уравнений (МДУ) для решения трехмерных задач рассеяния электромагнитных волн группой тел и телами сложной геометрии с импедансными краевыми условиями и с условиями сопряжения на границах этих тел, а также задачи рассеяния волн группой тел и телами сложной формы в скалярном приближении. В случае диэлектрических тел метод позволяет найти не только коэффициенты разложения диаграммы рассеяния, но и коэффициенты, определяющие поле внутри рассеивателей.
2. Исследована скорость сходимости алгоритма МДУ для групп тел различной геометрии при различных расстояниях между ними вплоть до соприкосновения. В результате было установлено, что скорость сходимости алгоритма МДУ слабо зависит от расстояния между рассеивателями. При этом решение задач дифракции на группах тел вращения предложенным методом показало его высокую эффективность. Также было установлено, что МДУ достаточно универсален.
3. Для скалярной задачи дифракции на группе тел получено явное асимптотическое решение в случае, когда большим является расстояние между объектами, и указаны пределы применимости этого решения. В частности, пока / 2 зано, что это решение применимо при — тах ,), где d, - харак dx + d2 п J терные размеры тел, / - расстояние между рассеивателями.
4. Проведено сравнение результатов вычислений характеристик рассеяния волн группой тел при помощи МДУ с другими численными методами, которое показало, что МДУ позволяет с большей эффективностью решать такого рода задачи
5. Исследовано взаимное влияние рассеивающих объектов, обусловленное множественными переотражениями, при различных расстояниях между телами. Показано, что на расстояниях, не превышающих характерные размеры тел, взаимное влияние определяющим образом сказывается на их характеристиках рассеяния. При дальнейшем увеличении этого расстояния взаимное влияние сказывается уже не столь радикально, однако пренебрежение им приводит к значительным погрешностям в результатах. Показано, что рассматривать объекты по отдельности без заметной потери точности результатов можно только в случае, когда расстояние между телами много больше их характерных размеров.
6. Предложен единообразный подход решения векторных задач рассеяния как для групп тел с различной геометрией, так и для различных типов краевых условий.
7. Для группы черных тел впервые была осуществлена численная проверка теоремы ПЛ.Уфимцева, согласно которой интегральный поперечник рассеяния черного тела в два раза меньше интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего тела той же геометрии. В результате была установлена справедливость этой теоремы для группы тел, размеры которых составляли несколько длин волн падающего поля. Показано также, что полученные результаты хорошо согласуются с данными для одиночных рассеивателей.
8. Показана возможность эффективного моделирования с приемлемой точностью характеристик рассеяния тел сложной геометрии и произвольно неоднородного заполнения путем замены их комбинацией рассеивателей более простой формы.
9. Показано, что метод диаграммных уравнений позволяет эффективно находить не только диаграммы рассеяния тел, но и восстанавливать по ним поле практически в любой точке пространства, не привлекая при этом никаких дополнительных вычислительных ресурсов. Продемонстрировано, что нормированные диаграмма рассеяния и поле, рассчитанные при помощи МДУ, на расстояниях, удовлетворяющих условию дальней зоны, практически совпадают.
10. Оценка правильности всех численных исследований осуществлялась с использованием проверки оптической теоремы, которая показала хорошую точность, не зависящую от расстояния между рассеивателями.
