Содержание к диссертации
Введение
1 Конечномерные редукции в бифуркационном анализе вариационных краевых задач (для фредгольмовых уравнений) 15
1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях 15
1.2 Бифуркации решений фредгольмовых уравнений с параметрами 19
1.3 Общая схема конечномерных редукций 21
1.4 Операторная схема Ляпунова - Шмидта (локальная) 22
1.5 Приближенное вычисление ключевой функции 24
1.6 Редукция Ляпунова-Шмидта как обобщенная ритцевская аппроксимация 26
1.7 Нелокальная вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта 27
1.8 Редукция Морса-Ботта 30
1.9 Топологическое сравнение редуцирующих схем 33
1.10 Конечномерные редукции и упрощение задач 35
1.10.1 Стационарные осесимметричные течения в цилиндрическом гидроциклоне 37
2 Приближенные методы в нелокальном анализе вариационных задач на основе конечномерной редукции 42
2.1 Трансверсальность семейств функционалов своим особенностям 43
2.1.1 Функционал в окрестности вырожденной критической точки 46
2.1.2 Трансверсальность особенностям 48
2.2 Построение приближенной ключевой функции методом Галёркина 49
2.2.1 Уравнение без параметра 52
2.2.2 Уравнение с параметром 55
2.3 Метод Галёркина в реализации схемы Ляпунова-Шмидта. Основной вычислительный алгоритм 57
2.3.1 Схема вычислительного алгоритма 59
Нелокальный анализ некоторых вариационных задач на основе конечномерной редукции 61
3.1 Фазовые переходы в кристаллах. Сведение к уравнению колебаний маятника (редукция Дзялошинского) 61
3.2 Схема Ляпунова - Шмидта для уравнений Дуффинга и колебания маятника 64
3.3 Подходы к оценке результатов 66
3.4 Результаты вычислений 70
3.4.1 Уравнение Дуффинга 71
3.4.2 Уравнение колебаний маятника 75
3.4.3 Краткая оценка результатов 77
3.4.4 Схема Ляпунова-Шмидта и приближение решений 79
3.5 Задача о периодическом решении для неоднородного уравнения Дуффинга 81
Приложение (программные коды Maple) 84
Получение неравенств при рассмотрении трансверсальности 84
Реализация основного алгоритма на базе схемы Ляпунова-Шмидта 87
Литература 92
- Нелокальная вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта
- Стационарные осесимметричные течения в цилиндрическом гидроциклоне
- Метод Галёркина в реализации схемы Ляпунова-Шмидта. Основной вычислительный алгоритм
- Фазовые переходы в кристаллах. Сведение к уравнению колебаний маятника (редукция Дзялошинского)
Введение к работе
Обіцеизвестно, что многие нелинейные задачи математической физики допускают трактовку в виде операторного уравнения [24]
f(x) = 6, х Є X, b Є Y, (1)
в котором f — гладкое фредгольмово отображение гладкого банахова многообразия X в гладкое банахово многообразие Y. Решение такой задачи часто можно осуществить переходом (редукцией) к конечномерному уравнению [5]
в(0 = 0, Є М, /З Є N, (2)
в котором в() = ф^1 (f'(<>())' М и N — гладкие конечномерные многообразия, і/? и ф — гладкие вложения многообразий М н N в X и Y соответственно. При этом предполагается, что / и ф трапсворсальны и 9(М) = Г^ФІЮ).
Описанию некоторых используемых схем перехода от (1) к (2) (вариантов локальной схемы Ляпунова-Шмидта) при условии, что уравнение (2) наследует топологические и аналитические свойства уравнения (1) (кратности и топологические индексы решений, типы бифуркационных диаграмм и т.д.), посвящены работы [5], [7], [14], [18], [19], [22], [29], [37], [39], [42], [43], [56], [57], [59], [60].
Вариационные модификации описаны в [3], [22], [37], [42], [43], [59]. Глобальная редуцирующая схема Морса-Ботта из вариационной теории геодезических [35] была использована в работах [4], [55], а затем схема Морса-Ботта была включена, наряду с нелокальной вариационной версией Ляпунова-Шмидта, в более общую абстрактную редуцирующую схему (см. [37])).
Ряд аспектов теории бифуркаций экстремалей развивался при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса, симплектиче-ской геометрия (А.Т.Фоменко, В.В.Шарко [45, 46], Болотин СВ. [4|, С.С. Conley, Е. Zehnder [55] и др.) и теории ветвления решений нелинейных вариационных эквивариантных уравнений (Н.А.Бобылев, Б.В.Логинов, В.А.Треногий и др.).
Исторически схемам Ляпунова-Шмидта и Морса-Ботта предшествовал локальный метод Пуанкаре понижения размерности в конечномерной экстремальной задаче [61]. По-видимому, А. Пуанкаре предполагал, что его метод может быть применен и к системам с бесконечным числом степеней свободы. Впервые математически строго обоснованные схемы редукций бесконечномерных систем к конечномерным были предложены A.M. Ляпуновым [30] и Э. Шмидтом [63].
Фредгольмовы отображения ввел в современную математику Р. Кач-чиополи (см. [5], [32], [53]-[54] и библиографию в этих источниках). В его работах был дан набросок теории топологической степени для этого класса отображений. Появлению теории фредгольмовых отображений способствовала нелинейная проблема Дирихле (проблема разрешимости нелинейных эллиптических уравнений с частными производными при различных краевых условиях), занимавшая умы многих математиков в первой половине двадцатого столетия. Впоследствии, в связи с успехами более простой теории отображений Лере - Шаудера (отображений вида / + с, где с — вполне непрерывное отображение), интерес к фред-гольмовым отображениям пропал и возобновился лишь в бО—ые годы, особенно после опубликования работы С. СмеЙла [62], посвященной бесконечномерному обобщению теоремы Сарда о структуре множества критических значений.
На основе принципов обратимости и аппарата степени фредгольмовых
отображений удалось исследовать многие нелинейные краевые задачи [5], [18], [19]. Наибольшое количество результатов имеется в области локального анализа и теории бифуркаций. Наиболее заметные достижения последних десятилетий связаны с изучением эквивариантных уравнений и с применением теории особенностей гладких отображений.
Вместе с тем следует признать, что до сих пор задача о структуре множества критических значений фрсдгольмова отображения остается недостаточно изученной, как и задача о бифуркации экстремалей фред-гольмова функционала (при нелокальном рассмотрении функционала).
Центральная задача данной диссертации, вокруг которой сгруппировано ее содержание, — нелокальное сведение (редукция) задачи об изучении уравнения (1) к аналогичной задаче для конечномерного уравнения (2) с последующим качественно-численным анализом конечномерного уравнения на основе современных вычислительных средств.
При каждой реализации идеи конечномерной редукции возникает необходимость не только в ее обосновании, но и в разработке алгоритмов, позволяющих извлекать точную информации о строении ключевого отображениям (?() и его возмущений. Важную роль при этом играют идеи и методы теории особеностей гладких отображений [1].
Основными составляющими центральной задачи являются задача описания геометрической структуры дискриминантного множества Е и задача описания раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к Е).
В диссертации предложено решение этих задач, осуществленное при некоторых дополнительных условиях и вариантах конечномерно параметризованной правой части.
Вариационный характер уравнения означает, что его левая часть является градиентом V{x) — гладкого функционала на банаховом про-
странстве Е. При решении подобных задач в локальном случае достаточно хорошо зарекомендовал себя метод конечномерной редукции [22], [37]. В соответствии с этим методом, локальное исследование бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала сводится к анализу бифуркаций критических точек ключевой функции. Вместе с тем заметим, что до сих пор остается недостаточно изученной задача о бифуркации экстремалей фредгольмова функционала при его нелокальном рассмотрении.
Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация метода нелокального бифуркационного анализа экстремалей фредгольмова функционала и разработка приложений к нелинейным задачам математической физики.
В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, теории приближений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.
Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
Разработан и обоснован алгоритмы приближенного вычисления ключевого отображения и ключевой функции.
Разработай и обоснован алгоритм приближенного вычисления параметризаций двумерных сечений дискриминантного множества.
Проведена апробация алгоритма на примерах 2—точечных краевых задач.
Проведен нелокальный бифуркационный анализ 2—точечной краевой задачи первого рода для уравнения Дуффинга.
Проведен нелокальный бифуркационный анализ 2—точечной краевой задачи, определяющей геликоидальные сегнетоэлектрические фазы
кристалла.
Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых отображений в вариационном исчислении.
Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.
Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (2004 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2002 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).
Результаты диссертации опубликованы в работах [64] - [72].
Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, приложения с программными кодами реализации алгоритмов и списка цитируемой литературы из 72 наименований. Общий объем диссертации — 101 стр.
Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (20 рисунков), выполненной в средах Maple и Mathematica.
В первой главе изложены основы анализа нелинейных краевых задач вариационного исчисления методами функционального анализа и теории и теории фредгольмовых отображений. Дано описание рассмотренного класса фредгольмовых уравнений и используемых редуцирующих схем. Сделан краткий обзор близких результатов других авторов.
Во второй главе для выделенного класса задач приведен алгоритм исследования, сочетающий методы конечномерной редукции, приближения решений операторных уравнений и решения конечномерных систем
уравнений. Приведено обоснование применения используемых в алгоритме подходов и методов.
Для функционала V\, рассмотренного на тройке непрерывно вложенных пространств Е С F С Н (E,F - банаховы, Н - гильбертово), введено условие УФП: состоящее из следующей системы требований:
V\ - гладкий (с градиентом /д) фредгольмов (нулевого индекса) функционал.
dim%{x)
Существует набор гладких векторных полой ei(x, А),..., е„(ж, А) и гладких функций v\{x, A),..., i/n(x, А) таких, что
(a) (ei{x1X),ej(x,X)}H = Sij ,
(b) $(x)ei(x>ty - щ(х,Х)ві(х,Х).
Квадратичная форма (-^-(x)h,h) положительна на ортогональном дополнении Nxf (в Е) к NX)\ = Lin (е\(х,Х,... ,еп(х, А))).
Бесконечномерная компонента /д : N^f —> N^x ~ собственное отображение.
Требования 1,4,5 обеспечивают глобальную редуцирусмость функционала но схеме Ляпунова-Шмидта. Систему условий можно рассматривать с точностью до слагаемого (q, х).
Теорема 1. Функционал действия, соответствующий уравнению x+gx{x) = q(t) с краевыми условиями х{0) = х(1) = 0, где g\ = d/dx G\, имеет не более, чем одномерное вырождение критических точек.
Точка а называется параболической для V\{x), если dim^(a) > 0. Множество параболических точек Р\ для функционала V\{x) является
К)
сечением А = А параболического множества для V\ (как параметрического семейства функционалов).
При выполнении условия УФп параболическое множество можно представить в виде
Важным свойством этого представления является то, что Р(~|Рд = 0, і ф j (непосредственно следует из требования 2).
Если а — вырожденная критическая точка, то можно перейти к ключевой функции без требований 4, 5. Такой (локальный) переход используется давно (в первую очередь - для одномерных вырождений), он вполне укладывается в схему редукции Ляпунова-Шмидта как обобщенной рит-цевской аппроксимации: V\(x) = V\(a + е + v), где е - орт одномерного ядра 4Ь{о>), v _1_ е. И по теореме о неявной функции локально имеем представление v = 7^2 + 0(2)> что Дает нам ключевую функцию и ее представление:
v±e
(здесь Ф() - отображение, "реализующее" теорему о неявной функции). Разложение Wi(^) в ряд по степеням можно получать формально через разложение V\(x) в ряд Тейлора по х в окрестности а:
Щ( = У'ХІР) + \v$(te + 72 + - -, Єє + іЄ + ) +
+^(^ + 7^ + .--,^ + 7^ + .--,^ + 7^ + ...) + .--==
= І^(е)Є,е)С3 + ... = ^3 + ^4 + ... Теорема 2. Фунщионал
^,9)00=/ fy-Ay+w(^,A)-^J di, о
рассмотренный при краевых условиях х{0) = х(1) = 0, а также при условии выпуклости гладкой функции со и условии А < 7г2(и + I)2, принадлежит классу УФп.
Теорема 3. В окрестности вырожденной критической точки ключевая функция для функционал класса УФ%, к > 0, имеет асимптотическое представление
^а(0 = <*3 + /34 + К4), (з)
а ~ -Vy (е.е, е),
$ = Й?(е'е'е'е) + \VS <е- <= ?) + \VS (т. т) <4>
Трансверсальность глобально определенной ключевой функции своим особенностям определяется через локальную ключевую функцию, определяемую в окрестности вырожденной критической точки. Если ограничиться рассмотрением особенностей типа складки и сборки, то можно выделить некоторую область U = {(ж, А) | р(х,Х) > 0}, в которой встречаются только такие особенности.
Теорема 4. При условии ^1^(а)(у) ф 0 семейство У(х) = У\{х) — (q, х) является версальиой деформацией в любой особой точке а из U .
Формула глобальной ключевой функции по схеме Ляпунова - Шмидта служит удобной основой для создания алгоритмов вычисления приближений ключевой функции (как обобщенных ритцевских аппроксимаций).
В диссертации используется процедура создания алгоритма при условие (L), состоящем из следующих четырех требований: 1) Е = F (конфигурационное пространство и пространство значений градиента совпадают);
для градиента имеет место представление /(ж, 5) ~ I + с(ж, 6), где с — вполне непрерывное отображение из Е х Д в Е (условие представимости градиента в форме Лере - Шаудера);
существует такая последовательность конечномерных подпространств
{Еп+т\ — Еп+о = N С En+i С Еп+2 С ... С Еп+т С ... ,
что последовательность ортопроекторов Рт : Н —> Еп+т сильно сходится к единице на пространстве Е\
4) ограничение V\„ является коэрцитивной функцией.
Ясно, что компонента Ре^-п! отображения / тогда тоже представима в форме Лере - Шаудера: f^(vt 6) = I+c^(v, 5). Следовательно, уравнение ft(v,S) = 0, определяющее Ф(), можно решать (приближенно) на основе галеркинских аппроксимаций
v + %(v, 8) = 0, veN1f] Еп+т, (5)
%(vtS):=Pn+m{ct{vt8)).
Уравнение (5) можно приближенно решать на основе разнообразных вычислительных процедур, разработанных для конечномерного случая (переход к галеркинской аппроксимации этим и оправдан).
Гладкую равномерную сходимость можно установить применением нелокальной версии леммы Морса и обобщения (па параметрический случай) известного результа М.А. Красносельского и С.Г. Крейна ([26]).
Анализ уравнения в целом представляет собой в диссертации следующую последовательность действий (при фиксированном Л):
Численное описание параболического мнооїсества для Wj.
Численное описание каустики для Wj на основании параметрического описания параболического множества через через параметры qk (коэффициенты Фурье правой части q исходного уравнения),
Выбор конкретных q уз компонент связности дополнения к каустике и описание лебеговых множеств для соответствующих Wj.
Численное описание всех указанных множеств после соответствующего редуцирующего перехода осуществлен (при п = 2) на сетке в некоторой (уточняемой экспериментально) прямоугольной области из координатной ПЛОСКОСТИ ^1,^2-
В третьей главе дана апробация развитой во второй главе теории в случаях конкретных краевых задачах. В частности, дано применение предложенных алгоритмов, адаптированных к задаче об исследовании геометрического строения каустики и к задаче об описании раскладов бифурцирующих экстремалей. Основным результатом главы является визуализация нелокального рассмотрения бифуркационных эффектов — получение серии изображений сечений каустик ключевой функции и определяемых ими &/—раскладов ключевой функции, наглядно представленных изображениями ее линий уровня.
В разделе Приложение приведены вычислительные программы.
Нелокальная вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта
Ключевые функции Wis и WMBI построенные в пк—мерных схемах Ляпунова - Шмидта и Морса - Ботта для функционала будут гладко эквивалентны на Rnfc: ключевая функция Ляпунова -Шмидта пе изменится, если вместо рассмотренного выше пространства Е использовать энергетическое пространство Н1, Ключевые параметры Морса - Ботта ХІ{ҐЬ[) В силу теоремы Рисса о линейных функционалах на гильбертовом пространстве могут быть записаны в виде
Понятно, что функционал (1.23) имеет вид (1.21): здесь Лх — х — ( )2Ах; Q[x) = JQ oj(x) dt. Таким образом, редукции Ляпунова - Шмидта и Морса - Ботта удовлетворяют условию утверждения 5., и, следовательно, ключевые функции Ляпунова - Шмидта и Морса - Ботта гладко эквивалентны на Rnfc.
Теоретической основой для рассмотренных в третьей главе задач по преимуществу является аппарат точных конечномерных редукций - элементы теории особенностей возникают "в конце" его применения, а использование галеркинских аппроксимаций вызвано не существом исследуемых задач, а, скорее, их классом.
Уравнения Дуффинга и движения маятника безусловно интересны сами по себе, тем не менее было бы неправильным не видеть в их выборе, в выборе их правых частей шага "навстречу теории", точнее - обоснованному ее применению. Такое обоснование может являться не только достаточно трудоемким, но и не всегда возможным в удовлетворитслъной полноте на данный момент. Поэтому не будет лишним помнить и о болсо широком контексте, в котором имеют свое место точные конечномерные редукции.
Сведение задачи к более простой - естественный методологический прием. Обычной его проблемой является не столько проблема обоснования, сколько оценка места полученных результатов в изучаемом явлении. Обычно это знание приходит из практики, закрепляя на будугцее подобный шаг в исследовании и прочих задач - так вполне естественным приемом стал поиск решения типа "бегущей волны". Сродни ему широко известные течения Куэтта. В этом разделе мы также кратко изложим похожий пример поиска стационарных осесимметричпых течений в цилиндрическом гидроциклоне3. Похожим образом и уравнение движения маятника может быть получено при изучении фазовых переходов в кристаллах, что будет показано в начале 3 главы. Однако, переход к более простой задаче может быть и "ближе" к теории - в разделе, посвященном, оценке полученных результатов по точной схеме Ляпунова-Шмидта мы приводим изящный пример конечномерной модели задачи, которая наследует важнейшие структурные свойства самой задачи.
Этой же цели, представить панораму подходов, служит и довольно частое обращение к ритцевским аппроксимациям. В данном случае, правда, мы скорее находим им границы - демонстрируем "предел" их применения, полагаемый редукцией по схеме Ляпунова-Шмидта, представляющей собой обобщенную ритцевскую аппроксимацию.
Течения быстро вращающейся жидкости в цилиндрическом гидроциклоне удобно описывать уравнениями Навье-Стокса в цилиндрической системе координат r,ip,z [13]: где (U-V) = u&+z%+w&, A = +11-+ + ("цилиндрический" лапласиан), р — давление. Предполагается, что вязкость равна единице, \z\ I и 5 г a(z), 6 0 {a(z) — гладкая выпуклая функция). К уравнениям Навье-Стокса добавляется уравнение неразрывности
Если, по аналогии с течением Куэтта [51] - [52], положить v 4, В — константа, то второе уравнение системы (1.24) удовлетворится автоматически. Оставшиеся компоненты (по радиальному и осевому направлениям) будут связаны системой уравнений где Я — некоторая достаточно гладкая функция (гамильтониан), мы автоматически удовлетворим уравнение неразрывности (последнее уравнение системы (1.26)). После исключения из системы (1.24) давления получим определяющее соотношение в виде
Здесь Jp := J + , A jfi) — характеристическая функция отрезка [а, 6]. На первом этапе осуществляется подбор функции Но так, что G(HQ) jn : 5. Функцию Яо задается в виде произведения Щ{г,г) = a(r)/3(z), в котором а(г) и (3{z) — первообразные (в цилиндрических координатах) к некоторым заранее заданным функциям си (г) = Ylakek{r) и @{z) — рода), mi,m2, . — последовательность (возрастающая) положительных нулей функции Бесселя. Рассмотрим уравнение.
Стационарные осесимметричные течения в цилиндрическом гидроциклоне
Для е(а, Л) можно указать не только очевидную общую формулу (Я \$і) (0), но и свести задачу его вычисления к задаче о собственных векторах в терминах требования 3:
В ряду подходов к вычислению собственных значений и векторов (см., например, [20]) этот характерен тем, что в случае близких задач (см. [50]) служит хорошей основой для создания алгоритмов.
Даже если у нас нет дополнительных указаний к порядковому номеру нужной нам ветви щ(а,Х), он может быть определен расчетом всех значений и выбором ветви, обращающейся в нуль.
Из утверждений, приведенных в [12], трансверсальность своим особенностям любого из узлов следующей диаграммы редукционных переходов влечет за собой выполнение того же свойства и для остальных узлов: (здесь правый узел представляет глобальную редукцию и нижний - локальную, в окрестности особой точки, по схеме Ляпунова-Шмидта, переход от одной ключевой функции к другой является редукцией Пуанкаре, формализуемой подобно схеме Ляпунова-Шмидта, но для конечномерных функций).
Таким образом, трансверсальность приближаемой глобально определенной ключевой функции изучаема через локальную ключевую функцию, определяемую в окрестности вырожденной критической точки (только такие точки нуждаются в проверке). То есть нам необходимо, чтобы параметрическая развертка локальной ключевой функции при изменении параметра транс вер сально проходила свою особенность, то есть представляла собой версальную деформацию или была локально диф-феоморфна ей. В такой постановке эта задача, конечно же, является слишком общей, поэтому мы сформулируем некоторые условия в перспективе задач, которые будут рассматриваться в следующей главе.
Если потребовать /3 0 в (2-2), то мы ограничимся рассмотрением особенностей 3 и 4. Если теперь в этом неравенстве к форме (2.3) абстрагироваться от характера точки а и не фиксировать более А, то это неравенство даст нам некоторую область U = {(х, А) /?(х, А) О 0} (обобщая рассмотрение других типов особенностей, можно было бы также рассмотреть систему множеств U1 = {(ж, А) ;ш д() 0}). Теорема 4. При условии \%2.У\{а){у) Ф 0 семейство V(x) — V\(x) — {q,x) является версалъной деформацией в любой особой точке а из U. Доказательство. Возмущение А дает локально вид деформации а дополнительное условие на производную и характер зависимости от q обеспечивает локальную субмерсивность отображения (A, q) — (єі,Є2) а, значит, и версальность деформации.. Формула глобальной ключевой функции (2.1) для схемы Ляпунова -Шмидта и фиксируемое системой ключевых параметров разложением E = En(& oo-n могут служить удобной основой для создания алгоритмов вычисления обобщенных ритцевских аппроксимаций - приближений ключевой функции. Опишем одну из возможных процедур создания алгоритма, Предположим, что для V выполнено условие (L), состоящее из следующих четырех требований: 1) Е = F (конфигурационное пространство и пространство значений градиента совпадают); 2) для градиента имеет место представление f(x, 5) = / + с(х, 5), где с — вполне непрерывное отображение из Е X Д в Е (условие представимости градиента в форме Лере - Шаудера); 3) существует такая последовательность конечномерных подпространств {Еп+т} = Еп+о = N С Еп+1 С Еп+2 С ... С Еп+т С ... , что последовательность ортопроекторов Рт : Н —-» Еп+т сильно сходится к единице на пространстве Е\ 4) ограничение V „ является коэрцитивной функцией. Ясно, что отображение РЕ - І (1-14) тогда тоже представимо в форме Лере - Шаудера: f (v,S) = / + c (v,S). Следовательно, уравнение f (v,S) = 0, определяющее Ф() (1.15), можно решать (приближенно) на основе галеркинских аппроксимаций.
Метод Галёркина в реализации схемы Ляпунова-Шмидта. Основной вычислительный алгоритм
Если применить к полученным результатам соображения, выделенные в разделе 3.3, то имеем следующее: Правило изменения числа критических точек при трансверсальном пересечении стратов сечений каустики в общем положении (не в особых точках и не в точках самопересечения) выполняется; на графиках сечений параболического множества отчетливо различимы непересекающиеся подмножества Р (см. пункт 2.1). Наблюдается быстрая стабилизация итерационного метода, так для уравнения Дуффинга имеем следующую ситуацию с описанием каустики па основе первой и второй итерации метода Галеркина: Столь быстрая стабилизация не должна удивлять ввиду объясненной "удачности" выбранного базиса и близости результатов по обычной ритцевской схеме. Что касается результатов, полученным другими методами, то мы наблюдаем "грубое" соответствие с результатами по методу Рит-ца. Эта "грубость" вполне корректируется в сторону совпадения с результатами по основному подходу применением для конкретных областей дополнения к каустике схемы (непараметрической) Морса-Ботта. И, наконец, мы имеем полное совпадение раскладов критических точек и топологическую эквивалентность каустик в сравнении с конечномерной моделью, что особенно интересно ввиду указанных ее свойств.
Резюмируя, скажем, что результаты вычислительного эксперимента по алгоритму па основе схемы Ляпунова-Шмидта мы можем признать вполне достоверными, поэтому далее мы уже более кратко и без сопоставлений несколько разовьем этот подход в применении к приближению решений и к исследованию периодической задачи.
Удобным для нас свойством схемы Ляпунова-Шмидта является то, что она хорошо "согласована" с базисом Фурье в Н: экстремумы ключевой функции являются отрезками ряда Фурье - проекциями решения задачи па линейную оболочку ключевых параметров. Бели зафиксировать теперь экстремум ключевой функции и провести редукцию к ключевой функции от на единицу большего числа переменных, то первоначальная функция одной переменной будет уже, очевидно, иметь единственный экстремум, отыскав который, зафиксируем его и увеличим еще на единицу размерность пространства определения ключевой функции. Проделаем это то количество раз, которое обеспечит нам приемлемую точность. В принятых ранее обозначениях последовательность приближений коэффициентов Фурье решения задачи будем получать, как отыскание экстремумов функций одной переменной: где п — минимальная размерность пространства ключевых параметров, 1, ..., определяются фиксированием интересующего экстремума соответствующей ключевой функции, к определяется размерностью En+m+k (номером последней использованной аппроксимации в проекционном методе для приближении ключевой функции), „+1,... соответствуют критическим точкам описанных функций одной переменной.
Так, если для уравнения движения маятника при А = 47г2 + 20 мы зафиксируем неседловую критическую точку, рождающуюся при переходе от области В к области А дополнения к каустике (мы взяли q\ = 36.1, Ц2 = 93), то этот процесс на W даст нам последовательность приближений коэффициентов Фурье, по шести членам которой имеем:
И точно также, если для уравнения Дуффинга при А = 47г2 + 10 мы зафиксируем точку в области А дополнения к каустике (мы взяли ?i — 1J 72 = 1) и заинтересуемся "правым"(в ориентации приведенных линий уровня) минимумом ключевой функции, то рассмотрение Wz от разного числа переменных даст нам последовательность приближений коэффициентов Фурье и соответствующие приближения решений: Соответствующее рассмотрение невязки (разности левой и правой частей уравнения с подстановкой приближения решения) на каждом шаге показывает адекватное ее уменьшение.
Рассмотрим краевую задачу с неоднородным уравнением Дуффинга в несколько иной, нежели ранее, форме Аналогичное прежнему исследование применимости метода Ляпунова - Шмидта дает положительный результат, с уточнением, что для к2 А (к + I)2 возможна редукция к к ключевым параметрам.
Фазовые переходы в кристаллах. Сведение к уравнению колебаний маятника (редукция Дзялошинского)
Требования 1,4,5 обеспечивают глобальную редуцирусмость функционала но схеме Ляпунова-Шмидта. Систему условий можно рассматривать с точностью до слагаемого (q, х).
Теорема 1. Функционал действия, соответствующий уравнению x+gx{x) = q(t) с краевыми условиями х{0) = х(1) = 0, где g\ = d/dx G\, имеет не более, чем одномерное вырождение критических точек.
Точка а называется параболической для V\{x), если dim (a) 0. Множество параболических точек Р\ для функционала V\{x) является сечением А = А параболического множества для V\ (как параметрического семейства функционалов). При выполнении условия УФп параболическое множество можно представить в виде Важным свойством этого представления является то, что Р( Рд = 0, і ф j (непосредственно следует из требования 2). Если а — вырожденная критическая точка, то можно перейти к ключевой функции без требований 4, 5. Такой (локальный) переход используется давно (в первую очередь - для одномерных вырождений), он вполне укладывается в схему редукции Ляпунова-Шмидта как обобщенной рит-цевской аппроксимации: V\(x) = V\(a + е + v), где е - орт одномерного ядра 4Ь{о ), v _1_ е. И по теореме о неявной функции локально имеем представление v = 7 2 + 0(2) ЧТО Дает нам ключевую функцию и ее представление: v±e (здесь Ф() - отображение, "реализующее" теорему о неявной функции). Разложение Wi( ) в ряд по степеням можно получать формально через разложение V\(x) в ряд Тейлора по х в окрестности а: рассмотренный при краевых условиях х{0) = х(1) = 0, а также при условии выпуклости гладкой функции со и условии А 7г2(и + I)2, принадлежит классу УФп. Теорема 3. В окрестности вырожденной критической точки ключевая функция для функционал класса УФ%, к 0, имеет асимптотическое представление Трансверсальность глобально определенной ключевой функции своим особенностям определяется через локальную ключевую функцию, определяемую в окрестности вырожденной критической точки. Если ограничиться рассмотрением особенностей типа складки и сборки, то можно выделить некоторую область U = {(ж, А) р(х,Х) 0}, в которой встречаются только такие особенности. Теорема 4. При условии 1 (а)(у) ф 0 семейство У(х) = У\{х) — (q, х) является версальиой деформацией в любой особой точке а из U . Формула глобальной ключевой функции по схеме Ляпунова - Шмидта служит удобной основой для создания алгоритмов вычисления приближений ключевой функции (как обобщенных ритцевских аппроксимаций). В диссертации используется процедура создания алгоритма при условие (L), состоящем из следующих четырех требований: 1) Е = F (конфигурационное пространство и пространство значений градиента совпадают); 2) для градиента имеет место представление /(ж, 5) I + с(ж, 6), где с — вполне непрерывное отображение из Е х Д в Е (условие представимости градиента в форме Лере - Шаудера); 3) существует такая последовательность конечномерных подпространств что последовательность ортопроекторов Рт : Н — Еп+т сильно сходится к единице на пространстве Е\ 4) ограничение V\„ является коэрцитивной функцией. Ясно, что компонента РЕ -П! отображения / тогда тоже представима в форме Лере - Шаудера: f (vt 6) = I+c (v, 5). Следовательно, уравнение ft(v,S) = 0, определяющее Ф(), можно решать (приближенно) на основе галеркинских аппроксимаций Уравнение (5) можно приближенно решать на основе разнообразных вычислительных процедур, разработанных для конечномерного случая (переход к галеркинской аппроксимации этим и оправдан). Гладкую равномерную сходимость можно установить применением нелокальной версии леммы Морса и обобщения (па параметрический случай) известного результа М.А. Красносельского и С.Г. Крейна ([26]). Анализ уравнения в целом представляет собой в диссертации следующую последовательность действий (при фиксированном Л): Численное описание параболического мнооїсества для Wj. Численное описание каустики для Wj на основании параметрического описания параболического множества через через параметры qk (коэффициенты Фурье правой части q исходного уравнения), Выбор конкретных q УЗ компонент связности дополнения к каустике и описание лебеговых множеств для соответствующих Wj. Численное описание всех указанных множеств после соответствующего редуцирующего перехода осуществлен (при п = 2) на сетке в некоторой (уточняемой экспериментально) прямоугольной области из координатной ПЛОСКОСТИ 1, 2 В третьей главе дана апробация развитой во второй главе теории в случаях конкретных краевых задачах. В частности, дано применение предложенных алгоритмов, адаптированных к задаче об исследовании геометрического строения каустики и к задаче об описании раскладов бифурцирующих экстремалей. Основным результатом главы является визуализация нелокального рассмотрения бифуркационных эффектов — получение серии изображений сечений каустик ключевой функции и определяемых ими &/—раскладов ключевой функции, наглядно представленных изображениями ее линий уровня. В разделе Приложение приведены вычислительные программы.
