Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обратная задача для одномерного возмущения оператора свертки первого порядка 10
1.1. Вспомогательные утверждения 10
1.2. Основное нелинейное интегральное уравнение 26
1.3. Решение обратной задачи 44
Глава 2. Обратная задача для одномерного возмущения оператора свертки высших порядков 53
2.1. Одномерное возмущение оператора свертки второго порядка 54
2.2. Одномерное возмущение оператора свертки порядка п > 2 65
2.3. Случай негладкого возмущения 74
Глава 3. Восстановление одномерного возмущения 82
3.1. Вспомогательные утверждения 82
3.2. Решение обратной задачи 96
Литература 101
- Основное нелинейное интегральное уравнение
- Одномерное возмущение оператора свертки второго порядка
- Одномерное возмущение оператора свертки порядка п > 2
- Вспомогательные утверждения
Введение к работе
Обратные задачи спектрального анализа заключаются в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам. Подобные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют много приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Интерес к этой тематике постоянно возрастает благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.
Исследование обратных спектральных задач обычно связано с тремя основными этапами:
выяснение того, какие спектральные данные однозначно определяют оператор, и доказательство соответствующих теорем единственности;
конструктивное решение обратной задачи: разработка метода решения и построение алгоритма восстановления оператора по рассматриваемым спектральным данным;
нахождение характеристических свойств рассматриваемых спектральных данных, получение необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи.
Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач известны для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля
-У" + Я(х)у. (1)
Обратные задачи для оператора (1) исследовались в работах В.А. Ам-барцумяна, Г. Борга, М.Г. Гасымова, И.М. Гельфанда, М.Г. Крейна, Н. Левинсона, Б.М. Левитана, В.А. Марченко, Ф.С. Рофе-Бекетова, А.Н. Тихонова, Л.Д. Фаддеева и других авторов (см. [1 - 17] и литературу в них).
Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбар-цумяну [1]. Он показал, что, если собственные значения краевой задачи
-у" + q{x)y = Ху, у'(0) = у'{тг) = О
суть \k = к2, к > О, то q = 0. Однако результат В.А. Амбарцумяна является исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного определения оператора (1). Первое основательное исследование восстановления оператора (1) по спектральной информации было предпринято шведским математиком Г. Боргом [2]. Он доказал, что два спектра дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с одним общим краевым условием однозначно определяют функцию q. Н. Левинсон [7] предложил иной метод доказательства результата Г. Борга. Он ввел новый тип спектральных данных, показав, что с точки зрения обратной задачи задание спектров двух краевых задач эквивалентно заданию одного спектра и значений собственных функций в конце интервала (собственные функции предполагаются нормированными в другом конце интервала). Будем называть эти значения коэффициентами Левинсона.
Важную роль в спектральной теории дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. К решению обратных задач оператор преобразования первым применил В.А. Марченко [10, 11], показав, что оператор (1), заданный на полуоси или конечном интервале, однозначно определяется заданием своей спектральной функции. Аппарат операторов преобразования применялся также И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном в их фундаментальной работе [4], где были получены необходимые и достаточные условия и метод восстановления дифференциального оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции.
Много приложений теории решения обратных задач связано с дифференциальными операторами высших порядков вида
У{п)+Z Рк(х)у{к), п>2. (2)
к=0
В сравнении с оператором Штурма-Лиувилля, обратные задачи для оператора (2) оказались значительно более трудными для исследования. В частности, метод оператора преобразования оказался неэффективным при исследовании этого класса обратных задач.
Более эффективным и универсальным методом в теории решения обратных спектральных задач является метод спектральных отображений (см. [18 - 22]), связанный с идеями метода контурного интеграла. Н. Левинсон [7] первым применил метод контурного интеграла
к исследованию обратных задач для оператора (1). Развивая идеи Н. Левинсона, З.Л. Лейбензон [23, 24] исследовал обратную задачу для оператора (2) на конечном интервале при условии " разделенности" спектра. При этом вместо операторов преобразования использовались специальные отображения пространств решений дифференциальных уравнений. Полное решение обратной задачи для операторов вида (2) в случаях конечного отрезка и полуоси получено в работах В.А. Юрко [19 - 22, 25 - 30]. В качестве основной спектральной характеристики здесь была использована так называемая матрица Вейля, являющаяся обобщением классической функции Вейля для самосопряженного оператора Штурма-Лиувилля. Отметим, что к обратным задачам по функции или матрице Вейля сводятся все вышеупомянутые обратные задачи. Метод спектральных отображений также используется при решении обратной задачи для пучков дифференциальных операторов [31]. Полное решение обратной задачи для операторов вида (2) в случае оси получено в работах R. Beals, P. Deift, С. Tomei, X. Zhou [18, 32-35].
Большое число работ посвящено обратным задачам для уравнений в частных производных. Здесь следует отметить работы Ю.Е. Аниконова, Ю.М. Березанского, А.Л. Бухгейма, И.А. Васина, A.M. Денисова, В.В. Дубровского, В. Исакова, С.Н. Кабанихина, М.М. Лаврентьева, Р.Г. Ньютона, Л.П. Нижника, Д.Г. Орловского, А.И. При-лепко, В.Г. Романова, В.А. Садовничего и других авторов (см. [36 -48] и литературу в них).
Все вышесказанное относится к обратным задачам для так называемых локальных операторов. То есть когда функция-образ в каждой точке х зависит от функции-прообраза только в сколь угодно малой окрестности точки ж, и краевые условия накладываются только в концах интервала. Существенно более трудными для исследования являются обратные задачи для нелокальных операторов. Сюда, в частности, относятся обратные задачи для дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями [49], для дифференциальных уравнений с запаздыванием [50], интегро-дифференциальных [51 - 55] и интегральных [56] операторов. Для этих классов обратных задач общая теория еше не построена, а имеются лишь отдельные фрагменты, не составляющие общей картины. Исследованию одного из таких классов и посвящена данная диссертация.
В диссертации исследуются обратные задачи спектрального анализа для одномерного возмущения интегрального вольтеррова оператора A = A(M,g,v) вида
Af = jT М(х, t)f(t) dt + д(х) f(t)v(t) dt, 0<х<тт. (3)
Как известно, обратный оператор к дифференциальному оператору Штурма-Лиувилля является частным случаем такого оператора. Более того, обратные операторы к дифференциальным и интегро-диф-ференциальным операторам Вольтерра высших порядков, заданным на отрезке [0,7г] с распадающимися краевыми условиями, из которых только одно задано в точке 7Г, также имеют вид (3). Более общим краевым условиям соответствует конечномерное возмущение. Характеристические числа оператора А совпадают с собственными значениями оператора А-1, если последний существует. Для краткости совокупность характеристических чисел будем называть спектром.
Основные результаты, связанные с прямыми задачами для конечномерных возмущений вольтерровых операторов, получены А.П. Хромовым [57] и его учениками. Что касается обратных задач, то единственная известная автору работа в этом направлении принадлежит В. А. Юрко [56]. В ней решается обратная задача восстановления функций д(х), v(x) при известной M(x,t) по характеристическим числам и коэффициентам Левинсона оператора А(М, g,v) вида (3). Кроме того, показана связь с обратной задачей для оператора Штурма-Лиувилля. В [56] требуется, чтобы М(х, t) была функцией Грина интегро-дифференциального оператора Коши первого порядка. То есть обратным к оператору
Mf = fQXM(x,t)f(t)dt (4)
является интегро-дифференциальный оператор первого порядка. Это позволяет привлечь аппарат операторов преобразования.
Основной целью настоящей работы является решение обратной задачи восстановления вольтерровой компоненты оператора А по его спектру в предположении, что функции д{х), v(x) известны априори. Заметим, что в общем случае решение этой задачи неединственно. Но как показано в данной работе, если функция M(x,t) зависит только от разности аргументов, то есть М является оператором свертки, и
Af = joX М(х - t)f(t) dt + д{х) /о" f(t)v(t) dt, (5)
то при некоторых дополнительных условиях на оператор А задания спектра достаточно для однозначного определения функции М{х).
Центральным местом здесь является вывод и исследование так называемого основного нелинейного интегрального уравнения вида
^^ / ГХ \
(тг - х)Н{х) = ф) + (K{x)Hw{x) + ! В„{х, t)H*v(t) dt) ,
v=\ v J0 J (6)
0 < x < 7Г,
относительно функции H(x)) которая определенным образом связана с функцией М(х). Здесь Н*1[х) — Н{х),
Н*и(х) = JoXH(x - t)H<u~l\t)dt.
В диссертации доказана глобальная разрешимость нелинейных уравнений вида (6), что позволило получить алгоритм восстановления функции М(х) вместе с необходимыми и достаточными условиями разрешимости обратной задачи. Важным моментом является выявление согласования спектра с функциями д(х), v(x).
Сначала изучается случай, когда обратный к оператору М как и в [56] является интегро-дифференциальным оператором первого порядка. Далее, полученные результаты распространяются на случай, когда М{х — t) является функцией Грина для интегро-дифференциального оператора Коши высших порядков.
В дальнейшем для краткости будем говорить, что оператор А вида (3) и оператор М вида (4) имеют порядок п, если М(х, t) является функцией Грина для интегро-дифференциального оператора Коши п -го порядка, то есть когда
dv
—M0M)t=jB = O, i/ = 0,n-2, ^=гМ(*,і)
В частности, если M(x,t) — М{х — t), и
М((/)(0) = 0, i/ = o,n-2, Af^-^CO) ^ 0, то оператор М называется оператором свертки порядка п.
Остановимся кратко на содержании работы.
В главе 1 изучается восстановление функции М{х) в случае, когда оператор А имеет первый порядок. В параграфе 1.1 устанавливается ряд вспомогательных утверждений, которые потребуются впоследствии для решения обратной задачи. В частности, здесь подготавливается почва для вывода основного нелинейного интегрального
уравнения (6), выводу и решению которого посвящен параграф 1.2. Сложность решения уравнения (6) связана с нелинейностью его правой части и наличием при неизвестной функции множителя (тг — х), обращающегося в нуль в конце интервала. В параграфе 1.2 доказываются утверждения, с помощью которых указанные трудности преодолеваются. В параграфе 1.3 дается решение обратной задачи. Доказана теорема единственности и получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вместе с алгоритмом восстановления функции М(х). Необходимые и достаточные условия формулируются в терминах асимптотики спектра. Также в параграфе 1.3 исследуется обратная задача восстановления функции М(х) по неполной спектральной информации.
В главе 2 изучается восстановление функции М(х) в случае операторов высших порядков. Здесь важную роль играет теорема Л.А. Сахновича [58] об извлечении корня из оператора. Она, в частности, позволяет использовать результаты первой главы. Параграф 2.1 посвящен случаю п — 2, для которого получены результаты аналогичные тем, что имеют место для первого порядка. В параграфе 2.2 рассмотрен сушественно более сложный случай п > 2, когда сформулировать необходимые и достаточные условия в терминах асимптотики спектра не представляется возможным. Здесь также получена теорема единственности и алгоритм решения обратной задачи вместе с необходимыми и достаточными условиями ее разрешимости. Последние даются в терминах характеристической функции. Отметим, что для вывода уравнения (6) существенными оказываются диффе-ренцируемость функций д(х), v(x) и условие
яФЫ*) ф о. (7)
В параграфе 2.3 рассматривается более общий случай, когда функции д(х), v(x) Є 1/2(0,7г) и удовлетворяют некоторому условию, обобщающему условие (7). При этих предположениях доказывается теорема единственности решения обратной задачи в случае п > 1. Здесь используется иная идея нежели для случая гладких д{х), v(x), позволяющая свести доказательство теоремы единственности к применению теоремы Е. Титчмарша о свертке.
В главе 3 рассматривается оператор вида (3) второго порядка, и исследуется обратная задача восстановления функций д(х), v(x) по спектру и коэффициентам Левинсона оператора A(M,g,v) в пред-
положении, что функция M(x,t) известна априори. Доказана единственность решения этой обратной задачи, получены необходимые и достаточные условия ее разрешимости, и указан алгоритм восстановления функций д{х), v(x). Отметим, что используемые здесь спектральные характеристики обобщают данные, по которым однозначно восстанавливается оператор Штурма-Лиувилля. В параграфе 3.1 доказываются вспомогательные утверждения. В параграфе 3.2 дается постановка обратной задачи, и приводится ее решение.
Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [59 - 64].
Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук, профессору В.А. Юрко за предложенную тему и поддержку в ходе исследования.
Основное нелинейное интегральное уравнение
Однако результат В.А. Амбарцумяна является исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного определения оператора (1). Первое основательное исследование восстановления оператора (1) по спектральной информации было предпринято шведским математиком Г. Боргом [2]. Он доказал, что два спектра дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с одним общим краевым условием однозначно определяют функцию q. Н. Левинсон [7] предложил иной метод доказательства результата Г. Борга. Он ввел новый тип спектральных данных, показав, что с точки зрения обратной задачи задание спектров двух краевых задач эквивалентно заданию одного спектра и значений собственных функций в конце интервала (собственные функции предполагаются нормированными в другом конце интервала). Будем называть эти значения коэффициентами Левинсона.
Важную роль в спектральной теории дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. К решению обратных задач оператор преобразования первым применил В.А. Марченко [10, 11], показав, что оператор (1), заданный на полуоси или конечном интервале, однозначно определяется заданием своей спектральной функции. Аппарат операторов преобразования применялся также И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном в их фундаментальной работе [4], где были получены необходимые и достаточные условия и метод восстановления дифференциального оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции.
Много приложений теории решения обратных задач связано с дифференциальными операторами высших порядков вида В сравнении с оператором Штурма-Лиувилля, обратные задачи для оператора (2) оказались значительно более трудными для исследования. В частности, метод оператора преобразования оказался неэффективным при исследовании этого класса обратных задач.
Более эффективным и универсальным методом в теории решения обратных спектральных задач является метод спектральных отображений (см. [18 - 22]), связанный с идеями метода контурного интеграла. Н. Левинсон [7] первым применил метод контурного интеграла к исследованию обратных задач для оператора (1). Развивая идеи Н. Левинсона, З.Л. Лейбензон [23, 24] исследовал обратную задачу для оператора (2) на конечном интервале при условии " разделенности" спектра. При этом вместо операторов преобразования использовались специальные отображения пространств решений дифференциальных уравнений. Полное решение обратной задачи для операторов вида (2) в случаях конечного отрезка и полуоси получено в работах В.А. Юрко [19 - 22, 25 - 30]. В качестве основной спектральной характеристики здесь была использована так называемая матрица Вейля, являющаяся обобщением классической функции Вейля для самосопряженного оператора Штурма-Лиувилля. Отметим, что к обратным задачам по функции или матрице Вейля сводятся все вышеупомянутые обратные задачи. Метод спектральных отображений также используется при решении обратной задачи для пучков дифференциальных операторов [31]. Полное решение обратной задачи для операторов вида (2) в случае оси получено в работах R. Beals, P. Deift, С. Tomei, X. Zhou [18, 32-35].
Большое число работ посвящено обратным задачам для уравнений в частных производных. Здесь следует отметить работы Ю.Е. Аниконова, Ю.М. Березанского, А.Л. Бухгейма, И.А. Васина, A.M. Денисова, В.В. Дубровского, В. Исакова, С.Н. Кабанихина, М.М. Лаврентьева, Р.Г. Ньютона, Л.П. Нижника, Д.Г. Орловского, А.И. При-лепко, В.Г. Романова, В.А. Садовничего и других авторов (см. [36 -48] и литературу в них).
Все вышесказанное относится к обратным задачам для так называемых локальных операторов. То есть когда функция-образ в каждой точке х зависит от функции-прообраза только в сколь угодно малой окрестности точки ж, и краевые условия накладываются только в концах интервала. Существенно более трудными для исследования являются обратные задачи для нелокальных операторов. Сюда, в частности, относятся обратные задачи для дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями [49], для дифференциальных уравнений с запаздыванием [50], интегро-дифференциальных [51 - 55] и интегральных [56] операторов. Для этих классов обратных задач общая теория еше не построена, а имеются лишь отдельные фрагменты, не составляющие общей картины. В диссертации исследуются обратные задачи спектрального анализа для одномерного возмущения интегрального вольтеррова оператора A = A(M,g,v) вида
Как известно, обратный оператор к дифференциальному оператору Штурма-Лиувилля является частным случаем такого оператора. Более того, обратные операторы к дифференциальным и интегро-диф-ференциальным операторам Вольтерра высших порядков, заданным на отрезке [0,7г] с распадающимися краевыми условиями, из которых только одно задано в точке 7Г, также имеют вид (3). Более общим краевым условиям соответствует конечномерное возмущение. Характеристические числа оператора А совпадают с собственными значениями оператора А-1, если последний существует. Для краткости совокупность характеристических чисел будем называть спектром.
Основные результаты, связанные с прямыми задачами для конечномерных возмущений вольтерровых операторов, получены А.П. Хромовым [57] и его учениками. Что касается обратных задач, то единственная известная автору работа в этом направлении принадлежит В. А. Юрко [56]. В ней решается обратная задача восстановления функций д(х), v(x) при известной M(x,t) по характеристическим числам и коэффициентам Левинсона оператора А(М, g,v) вида (3). Кроме того, показана связь с обратной задачей для оператора Штурма-Лиувилля. В [56] требуется, чтобы М(х, t) была функцией Грина интегро-дифференциального оператора Коши первого порядка. То есть обратным к оператору
Одномерное возмущение оператора свертки второго порядка
В диссертации доказана глобальная разрешимость нелинейных уравнений вида (6), что позволило получить алгоритм восстановления функции М(х) вместе с необходимыми и достаточными условиями разрешимости обратной задачи. Важным моментом является выявление согласования спектра с функциями д(х), v(x).
Сначала изучается случай, когда обратный к оператору М как и в [56] является интегро-дифференциальным оператором первого порядка. Далее, полученные результаты распространяются на случай, когда М{х — t) является функцией Грина для интегро-дифференциального оператора Коши высших порядков.
В дальнейшем для краткости будем говорить, что оператор А вида (3) и оператор М вида (4) имеют порядок п, если М(х, t) является функцией Грина для интегро-дифференциального оператора Коши п -го порядка, то есть когда
В главе 1 изучается восстановление функции М{х) в случае, когда оператор А имеет первый порядок. В параграфе 1.1 устанавливается ряд вспомогательных утверждений, которые потребуются впоследствии для решения обратной задачи. В частности, здесь подготавливается почва для вывода основного нелинейного интегрального уравнения (6), выводу и решению которого посвящен параграф 1.2. Сложность решения уравнения (6) связана с нелинейностью его правой части и наличием при неизвестной функции множителя (тг — х), обращающегося в нуль в конце интервала. В параграфе 1.2 доказываются утверждения, с помощью которых указанные трудности преодолеваются. В параграфе 1.3 дается решение обратной задачи. Доказана теорема единственности и получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вместе с алгоритмом восстановления функции М(х). Необходимые и достаточные условия формулируются в терминах асимптотики спектра. Также в параграфе 1.3 исследуется обратная задача восстановления функции М(х) по неполной спектральной информации.
В главе 2 изучается восстановление функции М(х) в случае операторов высших порядков. Здесь важную роль играет теорема Л.А. Сахновича [58] об извлечении корня из оператора. Она, в частности, позволяет использовать результаты первой главы. Параграф 2.1 посвящен случаю п — 2, для которого получены результаты аналогичные тем, что имеют место для первого порядка. В параграфе 2.2 рассмотрен сушественно более сложный случай п 2, когда сформулировать необходимые и достаточные условия в терминах асимптотики спектра не представляется возможным. Здесь также получена теорема единственности и алгоритм решения обратной задачи вместе с необходимыми и достаточными условиями ее разрешимости. Последние даются в терминах характеристической функции. Отметим, что для вывода уравнения (6) существенными оказываются диффе-ренцируемость функций д(х), v(x) и условие
В параграфе 2.3 рассматривается более общий случай, когда функции д(х), v(x) Є 1/2(0,7г) и удовлетворяют некоторому условию, обобщающему условие (7). При этих предположениях доказывается теорема единственности решения обратной задачи в случае п 1. Здесь используется иная идея нежели для случая гладких д{х), v(x), позволяющая свести доказательство теоремы единственности к применению теоремы Е. Титчмарша о свертке.
В главе 3 рассматривается оператор вида (3) второго порядка, и исследуется обратная задача восстановления функций д(х), v(x) по спектру и коэффициентам Левинсона оператора A(M,g,v) в предположении, что функция M(x,t) известна априори. Доказана единственность решения этой обратной задачи, получены необходимые и достаточные условия ее разрешимости, и указан алгоритм восстановления функций д{х), v(x). Отметим, что используемые здесь спектральные характеристики обобщают данные, по которым однозначно восстанавливается оператор Штурма-Лиувилля. В параграфе 3.1 доказываются вспомогательные утверждения. В параграфе 3.2 дается постановка обратной задачи, и приводится ее решение.
Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук, профессору В.А. Юрко за предложенную тему и поддержку в ходе исследования.
Одномерное возмущение оператора свертки порядка п > 2
Нетрудно видеть, что функции (х) и Ф(ж,) суммируемы с квадратом. Действительно, пусть /(х) Є 1/г(0, Т), тогда в силу неравенства Коши-Буняковского / 2(х) С, / 3(я) С. Следовательно, справедлива оценка где /с = [], а [] обозначает целую часть числа. Таким образом, уравнение (1.2.17) имеет единственное решение г(х) Є 1,2(6, а), и функция является решением уравнения (1.2.7) в пространстве 1/2(0, а). Лемма 1.2.3 доказана. Доказательство теоремы 1.2.2. Согласно лемме 1.2.2 при достаточно малом 6 0 находим решение уравнения (1.2.7) в пространстве 1/2(0,(5). Далее, применяя лемму 1.2.3 конечное число раз, можно утверждать существование решения уравнения (1.2.7) в пространстве 1/2(0, Т). Таким образом, существование решения доказано. Покажем его единственность. Пусть у(х) - еще одно решение (1.2.7). Обозначим у = у — у, тогда у = фу — фу, то есть Суммируемость с квадратом функции Y(ж, t) следует из тех же соображений, что и для функции Ф(я,/;). Из однородности уравнения (1.2.20) вытекает у(х) — у{х) почти всюду на (0, Т). Теорема 1.2.2 доказана. Замечание 1.2.1. Из доказательства теоремы 1.2.2 видно, что, если (Т — х),(х) Є Ьг(0,Г), то уравнение (1.2.7) также имеет единственное решение у(х), такое что (Т — х)у(х) Є 1 (0, Т). Замечание 1.2.2. Доказательство теоремы 1.2.2 носит конструктивный характер, и решение уравнения (1.2.7) можно получить с помощью следующего алгоритма. Алгоритм 1.2.1. 1) Выберем такое 5 0, что \\f\\s , 5 (8С2)-1, где С = max{2,sup (ж) + /}, после чего находим решение z(x) уравнения (1.2.7) в пространстве 1 (0, 5) методом последовательных приближений; 2) находим решение у{х) уравнения (1.2.7) в пространстве 1 (0, сг), а = тт{25, Т}, по формуле (1.2.18), где функция г(х) определяется из уравнения (1.2.17); 3) если а Т, то положив 6 = а, и z(x) = у{х), х Є ( 5, т), переходим к шагу 2). Нетрудно видеть, что для уравнения (1.2.1) не может быть применена теорема 1.2.2, поскольку его свободный член р(х) Є 1/2(0,7г), если даже решение Н(х) . 1,2(0,7г). Это связано с наличием в левой части уравнения при неизвестной функции множителя (-л- — х), обращающегося в нуль в конце интервала. Поэтому с помощью алгоритма 1.2.1 уравнение (1.2.1) можно решить только на промежутке (О,Г), где Т Є (0,7г). Модифицируем алгоритм 1.2.1 так, чтобы с его помощью можно было решить уравнение (1.2.1) на всем интервале (0,7г). Пусть функция f{x) Є Ьг(0,7г) такая, что \Bu{x,t)\ f(x — t) для всех v 1. Тогда решение уравнения (1.2.1) можно получить с помощью следующего алгоритма. Алгоритм 1.2.2. 1) Выберем такое 6 О, что \\/\\б , р 5 (8С2)-1, где С = тах{2,ехр(7г) + /тг}, после чего находим решение z(x) уравнения (1.2.1) в пространстве 1/2(0, ) методом последовательных приближений; 2) находим решение у(х) уравнения (1.2.7) в пространстве 2(0,0"), о 25, а 7г, по формуле (1.2.18), где функция г(х) определяется из уравнения (1.2.17), если в последнем заменить (,{х) на (-л- — x) l((x), $(x,t) на (-7Г — x) 1 (x,t), а в определении функций С(х), ty(x,t) заменить ф„(х), u(x,t) соответственно на Ь„(х), Bv{x,t)\ 3) положим 5 = 7, z(x) = у(х), х Є (0,сг), и переходим к шагу 2). Поскольку алгоритм 1.2.2 фактически состоит из счетного числа шагов, мы ничего не можем сказать о поведении решения уравнения (1.2.1) в окрестности точки х = 7г. Известно лишь, что оно суммируемо с квадратом на любом отрезке, не содержащем точку х = 7г. В этом пункте мы докажем теорему, которая впоследствии позволит показать принадлежность решения уравнения (1.2.1) определенному классу. Положим (3(х) = (х — Ь)5/5 и введем в рассмотрение пространство L2tp(a,b) функций f(x), суммируемых с квадратом по dp(x), с нормой Теорема 1.2.3. Для любой функции f{x) Є І/2,/?(а, 6) уравнение у(х) = /(я) + 2 Г + Г G(x имеет единственное решение у{х) 1/2,/з(а, 6). Прежде чем перейти к доказательству теоремы 1.2.3 докажем несколько вспомогательных утверждений. Лемма 1.2.4. Пусть линейный ограниченный оператор F взаимно однозначно отображает банахово пространство В на себя, а линейный оператор G : В — В вполне непрерывен. Тогда, если оператор S = F + G является инъекцией, то он является и биек-цией. Доказательство. Рассмотрим оператор Si = SF-1. Имеем Si = = Е + d, где Gi = GF l. Тогда Si - инъекция, a Gi вполне непрерывен. Согласно альтернативе Фредгольма (см. [66], стр. 649) Si - сюрьекция. Следовательно, S - тоже сюрьекция, и приходим к утверждению леммы. Лемма 1.2.4 доказана.
Вспомогательные утверждения
Тогда по теореме Руше (см. [70], стр. 206) внутри контура Гдг = = {А : А — а = 2N + 1} при достаточно больших N расположено в точности 2N 4- 1 нулей Afc, /с = 0, ±1,..., dhiV, функции (А), а внутри контура 7fc( ) — {А : А — А = $} при достаточно больших /с лежит ровно один нуль Afc функции JC(A), то есть Afc = 2к+а+сЄк, aefc = о(1). Подставляя это выражение в (1.3.7), уточняем, что {aefc} Є її. Теорема 1.3.1 доказана.
Доказательство теоремы 1.3.2. Согласно (1.1.41) функция (А) имеет первый порядок роста. Следовательно, принимая во внимание (1.3.1) и то, что (0) = 1, по теореме Адамара имеем Действуя так же, как и при доказательстве леммы 1.1.9, получаем, что С другой стороны, согласно (1.1.27) числа 7 и Р определены посредством (1.3.2), (1.3.3) или в (1.3.2 ), (1.3.3 ). Так как F(ix) — 1 при а; — —оо, то ехр(г(с — р):г) — ai/7 при х — —оо. Так как ai О, то с = р, ив силу (1.3.9), (1.3.10) приходим к (1.3.4). Для доказательства (1.3.5) заметим, что, как мы только что показали, функция С(Х) имеет вид (1.1.47), и согласно лемме 1.1.9 для нее справедливо представление Доказательство теоремы 1.3.3. При доказательстве теоремы 1.3.2 было показано, что задание спектра {Л/с} оператора А Є Лі однозначно определяет его характеристическую функцию С(Х). Таким образом, если {Л/с} = {А/с}, то (А) = (А). Отсюда согласно (1.1.41) приходим к тому, что w(x) = w(x) почти всюду на (0,7г). В силу (1.2.2) получаем, что ip(x) = (р(х) почти всюду на (0,7г). Поэтому функции Н(х) и Н{х) удовлетворяют одному и тому же нелинейному интегральному уравнению (1.2.1), которое согласно теореме 1.2.1 имеет единственное решение. Следовательно, Н(х) = Н(х), а согласно (1.1.9) и N(x) — N(x) почти всюду на (0,7г). Учитывая (1.1.2), приходим к М{х) = М(х). Теорема 1.3.3 доказана. Доказательству теоремы 1.3.4 предпошлем одну лемму. Лемма 1.3.1. Если выполнены условия (1.3-4), (1-3.5), то функция /?(х), определенная по формуле (1.3.6), удовлетворяет условию (1.2.6). Доказательство. Ясно, что функция W{x), присутствующая в (1.3.6), - та же, что и в представлении (1.1.49). Согласно (1.3.6) имеем поскольку левая и правая части (1.3.14) удовлетворяют одной и той же задаче Коши откуда согласно условию (1.3.4) следует (1.2.6). Лемма 1.3.1 доказана. Доказательство теоремы 1.3.4- Строим функцию Х(\) по формуле (1.1.47). Согласно лемме 1.1.9 для Х{\) имеет место представление (1.1.49) с некоторой функцией W(x) Є L2(0, п). Определим функцию р(х) по формуле (1.3.6) и рассмотрим уравнение (1.2.1) с этой функцией р(х). Согласно лемме 1.3.1 и теореме 1.2.1 рассматриваемое уравнение имеет единственное решение Н(х), удовлетворяющее условию (1.2.5). Находим функцию N(x) из уравнения (1.1.9) и строим функцию М{х) по формуле (1.1.2). Таким образом, мы получаем некоторый оператор A = A(M,g,v) вида (1.1.1). Пусть (А) - его характеристическая функция. Тогда как и при доказательстве леммы 1.1.8 приходим к Вычитая (1.3.16) из (1.1.49) и учитывая (1.3.5), имеем Х{\) — С{\) — — 7-0.1- Так как Х{0) = (0) = 1, то ai = 7, и (А) = Х(\). Следовательно, А является оператором класса А\, и его спектр совпадает с последовательностью {A/J. Теорема 1.3.4 доказана. 1.3.3. Из условий (1.3.4), (1.3.5) видно, что при восстановлении функции М(х) спектр {А/с} обладает избыточной информацией. А именно, два характеристических числа оказываются "лишними" . Таким образом, можно решить обратную задачу по неполным спектральным данным. Для определенности считаем, что характеристические числа оператора А занумерованы целыми числами в порядке неубывания вещественной части. Обозначим Л/ = {к : к Є Z, к Ф Ф ь 2І) где Z - множество целых чисел. Зафиксируем два произвольных целых числа /q, &2, к\ ф к2, и рассмотрим следующую обратную задачу. Задача 1.3.1. По характеристическим числам Л/с, к Є Л/ , оператора A(M,g,v) Є Л\ найти функцию М{х) в предположении, что функции д(х), v(x) известны априори. Следующая теорема дает решение задачи 1.3.1. Теорема 1.3.5. Пусть заданы функции g(x), v(x) Є И О, ], такие что g(0)v(ir) ф О, и последовательность комплексных чисел {Л/с}, к Є Ajk,ft2, вида (1.3.1), где к\,к2 Є Z, к\ ф /. Тогда существует единственный оператор A(M,g,v) Є Лі, Эля которого Л/с являются характеристическими числами.
