Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Прямые и обратные задачи спектрального анализа на полуоси 7
1.1. Обратная задача спектрального анализа для сингулярных дифференциальных операторов высших порядков 7
1.2. Теорема о полноте для сингулярных дифференциальных пучков 31
1.3. Доказательство теоремы о полноте 35
ГЛАВА 2. Метод обратной спектральной задачи для системы богоявленского на полуоси
2.1. Спектральная задача и ее свойства 76
2.2. Решение начально-краевой задача для системы Богоявленского 86
2.3. Необходимые и достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи для системы Богоявленского 93
ГЛАВА 3. Метод обратной спектральной задачи для векторного модифицированного уравнения КДФ на полуоси 99
3.1. Спектральная задача для дифференциальных систем 99
3.2. Решение начально-краевой задача для векторного модифицированного уравнения КдФ 103
Список литературы 113
- Теорема о полноте для сингулярных дифференциальных пучков
- Решение начально-краевой задача для системы Богоявленского
- Необходимые и достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи для системы Богоявленского
- Решение начально-краевой задача для векторного модифицированного уравнения КдФ
Введение к работе
Целью диссертационной работы является исследование прямых и обратных задач спектрального анализа для специальных классов обыкновенных дифференциальных операторов на полуоси и их приложение к решению начально-краевых задач для нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными. Спектральная теория дифференциальных операторов играет фундаментальную роль в различных разделах математики и имеет много приложений в естествознании и технике. Интерес к задачам спектральной теории операторов постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений и в настоящее время спектральная теория интенсивно развивается во всем мире.
Большинство исследований в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов относятся к скалярным дифференциальным уравнениям произвольного порядка п > 2 вида у(п) + Е^(%н = лу. (о-1) и к системам дифференциальных уравнений вида Y\x) + P(x)Y{x) = XP0Y(x), (0.2) где Y(x) — вектор-столбец, Р0 — постоянная матрица, А —спектральный параметр, а также к связанным с ними более общим объектам. Первые исследования по спектральной теории операторов вида (0.1) при п — 2 были выполнены Даламбером, Эйлером, Лиувиллем, Штурмом и Д. Бернулли в связи с решением уравнения, описывающего колебание струны. Интенсивное развитие спектральная теория для раз-личных классов операторов получила в XX веке. Глубокие идеи здесь принадлежат Г. Бирхгофу, Г. Вейлю, Д. Гильберту, К. Нейману, В.А. Стеклову, М. Стоуну и другим математикам. Как известно, прямые задачи спектрального анализа заключаются в изучении свойств спектра и корневых функций операторов, а также вопросов полноты и спектральных разложений. Обратные задачи состоят в определении операторов по их спектральным характеристикам. Во второй половине XX века существенный вклад в исследование прямых задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов внесли работы А.Г. Костюченко, В.Б. Лидского, М.А. Наймарка, В.А. Садовничего, Я.Т. Султанаева, М.К. Фаге, А.П. Хромова, А.А. Шка-ликова и других математиков (см. [17], [24], [34], [39], [41], [54]-[56] и литературу в них). Основные результата в теории обратных спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов были получены в работах В.А. Амбарцумяпа,
Р. Билса, Г. Борга, М.Г. Гасымова, М.Г. Крейна, Б.М. Левитана, Н. Левинсона, З.Л. Лейбензона, В.А. Марченко, Л.А. Сахновича, Л.Д. Фадеева, И.Г. Хачатряна, В.А. Юрко и других математиков (см. [1], [4], [19]-[23], [37], [51], [58]-[62]). В то же время целый ряд важных задач спектральной теории дифференциальных операторов в силу их сложности остается неисследованным, особенно в сингулярном случае.
Спектральная теории дифференциальных операторов играет центральную роль при интегрировании нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными. В 19G7 году Г. Гаднер, Ж. Грин, М. Краскал, Р. Миура ([11]) открыли замечательный метод решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) щ — 6иих + иххх = 0, —со < х < со, t > О, (0.3) и(х,0) = и0(х), связанной с обратной задачей рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля с параметром t > 0. Ключевым моментом метода является то, что нелинейной эволюции потенциала и(х, t) по t соответствует линейная эволюция данных рассеяния S(L(t)). Переход к данным рассеяния можно трактовать как некий нелинейный аналог преобразования Фурье. При этом роль обратного преобразования Фурье играет обратная спектральная задача. Решение задачи Коши (0.3) можно представить следующей схемой / ~\ г/г>\ прямая задача рассеяния /-,/т/п\\ и(-,0) <-+ L(0) -» 5(Ц0)) J, линейная эволюция данных рассеяния і ,\ г / .\ обратная задача рассеяния п/ т / ,\\ U[-,t) <-> L[t) <— b{L(t))
Данный метод интегрирования получил название метода обратной задачи. П. Лаке ([18]) показал, что уравнение КдФ имеет эквивалентное представление L = [A,L], [A,L]:=AL-LA, Ly = -у" + и{х, t)y, Ay = -4у'" + 6и(х, t)y' + Зих{х, t)y.
Здесь точка обозначает дифференцирование по t. Это представление называется представлением Лакса, а пара операторов {L, А} — парой Лакса. Существует также возможность еще одного эквивалентного представления уравнения' КдФ, носящего название представления нулевой кривизны (см. [40]).
Впоследствии метод обратной задачи был распространен и на другие нелинейные интегрируемые эволюционные уравнения (см. [2], [3], [15], [40] и литературу в них). Каждому нелинейному уравнению из этого класса соответствует своя специфическая спектральная задача для некоторого дифференциального оператора. Например, нелинейному уравнению Шредингера соответствует обратная задача для системы Дирака, а уравнению Буссинеска — обратная задача для уравнения (0.1) при п = 3.
Таким образом, принципиально важным моментом применимости метода обратной задачи для конкретного нелинейного эволюционного уравнения является наличие достаточно развитой спектральной теории для соответствующего дифференциального оператора, особенно наличие теории решения обратной задачи спектрального анализа. В некоторых случаях (например, для уравнения КдФ и нелинейного уравнения Шредингера) обратные задачи для соответствующих операторов (Штурма-Лиувилля и Дирака соответственно) были решены ранее; в других случаях (например, для уравнения Буссинеска) потребовалось создавать теорию решения обратной задачи для соответствующих дифференциальных операторов заново.
До сих пор речь шла только о задаче Коши для нелинейных эволюционных уравнений, то есть о случае, когда соответствующий дифференциальный оператор рассматривается на всей оси х Є (—со, со). Существенно более трудным является применение метода обратной задачи к исследованию начально-краевых задач, когда соответствующий дифференциальный оператор рассматривается на полуоси х Є [0, со). Основные трудности здесь порождаются наличием нелинейного отражения. Несмотря на большой интерес к начально-краевым задачам и усилиям многих математиков, в настоящее время в теории начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений имеются лишь отдельные фрагменты, не составляющие общей картины. Некоторые аспекты этой теории изучались в [5], [9], [10], [14], [16], [32], [33], [35], [36], [38], [42]-[50], но в них рассматривались лишь очень частные случаи и в основном для уравнения КдФ и родственных с ним уравнений. С появлением работ В.А. Юрко [58]-[60], в которых была построена теория решения обратных задач спектрального анализа для дифференциальных операторов (0.1) на полуоси, стало возможным исследовать начально-краевые задачи для нелинейных эволюционных уравнений, соответствующих дифференциальным операторам (0.1) произвольных порядков. Так в [57] метод обратной задачи применялся для исследования начально-краевой задачи для уравнения Буссинеска.
В данной работе исследуются вопросы спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов, связанные с применением метода обратной задачи спектрального анализа для решения начально-краевой задачи в области' D = {{x,t): x>0,t>0} для нелинейной системы Богоявленского ([6], [7]) (0.4)
Щ = ~иххх + 6иих + 6vx, vt = 2vxxx - 6uvx.
Система (0.4) имеет эквивалентное представление Лакса Ly = ALy - LAy, Ly = yW + (P2(x,t)y'y + Po(x,t)y, (0.5) Ay = -Ау^ - 3p2(x, t)y' - ^p'2{x, t)y, p2{x, t) = -2u(x, t), po(x, t) = v{x, t) + u2(x, t) - uxx(x, t).
Таким образом, спектральная задача, соответствующая системе (0.4), относится к дифференциальному оператору четвертого порядка вида (0.5). Кроме того, в диссертации также рассматривается начально-краевая задача для векторного модифицированного уравнения КдФ ([25]), связанного со спектральной задачей для систем вида (0.2) с кратными корнями характеристического многочлена на полуоси ([62], [61]).
Диссертация состоит из трех глав. Глава 1 посвящена исследованию прямых и обратных задач спектрального анализа для дифференциальных операторов (0.1) на полуоси х Є [0, со). В параграфе 1.1 приводится решение обратной задачи восстановления коэффициентов оператора по его спектральным характеристикам. В качестве спектральных характеристик используется введенная В.А. Юрко (см. [58]-[60]) матрица Вейля. Исследуются свойства спектральных характеристик, приводится конструктивная процедура решения обратной задачи, даются необходимые и достаточные условия ее разрешимости.
Основным результатом главы 1 является теорема о полноте (теорема 1.6, с. 34) специальных вектор-функций, определяемых по произведениям Ф^- (х, А)Ф^(я, А) (v = 0,1), где Фj(x,\) являются решениями дифференциального уравнения (0.1) при п = 4 с заданным поведением на бесконечности, а именно **(*, А) = (Ф,(х, А)Фт(х, A), j{Z - хЩ& А)#т(Є, A) df), где к — m при j — 1, т = 1,3, и к = 4 при j = т = 2. Отметим, что вопросы, связанные с исследованием полноты произведений решений дифференциальных уравнений часто встречаются в различных задачах спектральной теории (см, [8], [13], [52], [53]). В параграфе 1.2 вводятся необходимые понятия и приводится формулировка теоремы о полноте, а в параграфе 1.3 дается ее доказательство. В частности, удалось доказать, что нелинейные комбинации Ф&(:г, А) (к = 1,4) решений дифференциального уравнения (0.1) при п = 4 образуют линейное подпространство убывающих на бесконечности решений линейной сингулярной дифференциальной системы типа Камке Z{7)(х) + Y, zU)(x)pj(x) - KZ{3){x)n + Z'(x)Rl(x) + Z(x)R0{x)) = 0, (0.6) Z(x) = (Z1(x),Z2(x)).
Далее строится и изучается функция Грина соответствующей сингулярной краевой задачи на полуоси для пучка операторов, определяемого левой частью равенства (0.6). Используя аналитические и асимтотические свойства функции Грина, методы спектральной теории операторов и теории аналитических функций, доказывается искомая теорема о полноте.
Результаты главы 1 используются в главе 2 при исследовании начально-краевой задачи для системы Богоявленского (0.4) в области D методом обратной спектральной задачи. В параграфе 2.1 приводится начально-краевая задача для системы Богоявленского, а также ряд вспомогательных утверждений. В параграфе 2.2 получены эволюционные уравнения на элементы матрицы Вейля оператора (0.5). Эти эволюционные уравнения являются нелинейными, тем не менее удается их решить глобально и получить явные формулы для эволюции матрицы Вейля в силу системы Богоявленского. Опираясь на эти формулы получен алгоритм решения начально-краевой задачи, одним из этапов которого является решение обратной спектральной задачи по матрице Вейля. Наиболее трудным вопросом при исследовании начально-краевой задачи является вопрос о необходимых и достаточных условиях ее разрешимости, что определяется наличием нетривиальных связей между начальными и краевыми условиями. В параграфе 2.3 даны необходимые и достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи в терминах соответствующей матрицы Вейля, то есть в терминах спектральных характеристик дифференциального оператора (0.5). При доказательстве достаточных условий существенно используется теорема о полноте, доказанная в главе 1.
В главе 3 аналогичная теория строится для начально-краевой задачи для векторного модифицированного уравнения КдФ в области D (параграф 3.1). Получены эволюционные уравнения на элементы матрицы Вейля и дан алгоритм решения начально-краевой задачи методом обратной спектральной задачи (параграф 3.2).
Результаты, представленные в диссертации, прошли апробацию на международном коллоквиуме "Обратные задачи и их приложения"(Германия, Дуйсбург, февраль 2003 г.), на 12-ой Саратовской зимней школе (Саратов, 27 япв.—3 февр. 2004 г.), на 13-ой Саратовской зимней Школе (Саратов, 27 янв.—3 февр. 2006 г.), на Воронежской весенней математической школе (Воронеж, 3—9 мая 2006 г.). Основные результаты диссертации опубликованы в [2б]-[30].
Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору В.А. Юрко за постановку задачи и руководство ходом исследования.
Теорема о полноте для сингулярных дифференциальных пучков
Здесь точка обозначает дифференцирование по t. Это представление называется представлением Лакса, а пара операторов {L, А} — парой Лакса. Существует также возможность еще одного эквивалентного представления уравнения КдФ, носящего название представления нулевой кривизны (см. [40]).
Впоследствии метод обратной задачи был распространен и на другие нелинейные интегрируемые эволюционные уравнения (см. [2], [3], [15], [40] и литературу в них). Каждому нелинейному уравнению из этого класса соответствует своя специфическая спектральная задача для некоторого дифференциального оператора. Например, нелинейному уравнению Шредингера соответствует обратная задача для системы Дирака, а уравнению Буссинеска — обратная задача для уравнения (0.1) при п = 3. Таким образом, принципиально важным моментом применимости метода обратной задачи для конкретного нелинейного эволюционного уравнения является наличие достаточно развитой спектральной теории для соответствующего дифференциального оператора, особенно наличие теории решения обратной задачи спектрального анализа. В некоторых случаях (например, для уравнения КдФ и нелинейного уравнения Шредингера) обратные задачи для соответствующих операторов (Штурма-Лиувилля и Дирака соответственно) были решены ранее; в других случаях (например, для уравнения Буссинеска) потребовалось создавать теорию решения обратной задачи для соответствующих дифференциальных операторов заново.
До сих пор речь шла только о задаче Коши для нелинейных эволюционных уравнений, то есть о случае, когда соответствующий дифференциальный оператор рассматривается на всей оси х Є (—со, со). Существенно более трудным является применение метода обратной задачи к исследованию начально-краевых задач, когда соответствующий дифференциальный оператор рассматривается на полуоси х Є [0, со). Основные трудности здесь порождаются наличием нелинейного отражения. Несмотря на большой интерес к начально-краевым задачам и усилиям многих математиков, в настоящее время в теории начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений имеются лишь отдельные фрагменты, не составляющие общей картины. Некоторые аспекты этой теории изучались в [5], [9], [10], [14], [16], [32], [33], [35], [36], [38], [42]-[50], но в них рассматривались лишь очень частные случаи и в основном для уравнения КдФ и родственных с ним уравнений. С появлением работ В.А. Юрко [58]-[60], в которых была построена теория решения обратных задач спектрального анализа для дифференциальных операторов (0.1) на полуоси, стало возможным исследовать начально-краевые задачи для нелинейных эволюционных уравнений, соответствующих дифференциальным операторам (0.1) произвольных порядков. Так в [57] метод обратной задачи применялся для исследования начально-краевой задачи для уравнения Буссинеска.
В данной работе исследуются вопросы спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов, связанные с применением метода обратной задачи спектрального анализа для решения начально-краевой задачи в области Таким образом, спектральная задача, соответствующая системе (0.4), относится к дифференциальному оператору четвертого порядка вида (0.5). Кроме того, в диссертации также рассматривается начально-краевая задача для векторного модифицированного уравнения КдФ ([25]), связанного со спектральной задачей для систем вида (0.2) с кратными корнями характеристического многочлена на полуоси ([62], [61]).
Диссертация состоит из трех глав. Глава 1 посвящена исследованию прямых и обратных задач спектрального анализа для дифференциальных операторов (0.1) на полуоси х Є [0, со). В параграфе 1.1 приводится решение обратной задачи восстановления коэффициентов оператора по его спектральным характеристикам. В качестве спектральных характеристик используется введенная В.А. Юрко (см. [58]-[60]) матрица Вейля. Исследуются свойства спектральных характеристик, приводится конструктивная процедура решения обратной задачи, даются необходимые и достаточные условия ее разрешимости.
Основным результатом главы 1 является теорема о полноте (теорема 1.6, с. 34) специальных вектор-функций, определяемых по произведениям Ф - (х, А)Ф (я, А) (v = 0,1), где Фj(x,\) являются решениями дифференциального уравнения (0.1) при п = 4 с заданным поведением на бесконечности, а именно где к — m при j — 1, т = 1,3, и к = 4 при j = т = 2. Отметим, что вопросы, связанные с исследованием полноты произведений решений дифференциальных уравнений часто встречаются в различных задачах спектральной теории (см, [8], [13], [52], [53]). В параграфе 1.2 вводятся необходимые понятия и приводится формулировка теоремы о полноте, а в параграфе 1.3 дается ее доказательство. В частности, удалось доказать, что нелинейные комбинации Ф&(:г, А) (к = 1,4) решений дифференциального уравнения (0.1) при п = 4 образуют линейное подпространство убывающих на бесконечности решений линейной сингулярной дифференциальной системы типа Камке
Далее строится и изучается функция Грина соответствующей сингулярной краевой задачи на полуоси для пучка операторов, определяемого левой частью равенства (0.6). Используя аналитические и асимтотические свойства функции Грина, методы спектральной теории операторов и теории аналитических функций, доказывается искомая теорема о полноте.
Результаты главы 1 используются в главе 2 при исследовании начально-краевой задачи для системы Богоявленского (0.4) в области D методом обратной спектральной задачи. В параграфе 2.1 приводится начально-краевая задача для системы Богоявленского, а также ряд вспомогательных утверждений. В параграфе 2.2 получены эволюционные уравнения на элементы матрицы Вейля оператора (0.5). Эти эволюционные уравнения являются нелинейными, тем не менее удается их решить глобально и получить явные формулы для эволюции матрицы Вейля в силу системы Богоявленского. Опираясь на эти формулы получен алгоритм решения начально-краевой задачи, одним из этапов которого является решение обратной спектральной задачи по матрице Вейля. Наиболее трудным вопросом при исследовании начально-краевой задачи является вопрос о необходимых и достаточных условиях ее разрешимости, что определяется наличием нетривиальных связей между начальными и краевыми условиями. В параграфе 2.3 даны необходимые и достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи в терминах соответствующей матрицы Вейля, то есть в терминах спектральных характеристик дифференциального оператора (0.5). При доказательстве достаточных условий существенно используется теорема о полноте, доказанная в главе 1.
В главе 3 аналогичная теория строится для начально-краевой задачи для векторного модифицированного уравнения КдФ в области D (параграф 3.1). Получены эволюционные уравнения на элементы матрицы Вейля и дан алгоритм решения начально-краевой задачи методом обратной спектральной задачи (параграф 3.2).
Результаты, представленные в диссертации, прошли апробацию на международном коллоквиуме "Обратные задачи и их приложения"(Германия, Дуйсбург, февраль 2003 г.), на 12-ой Саратовской зимней школе (Саратов, 27 япв.—3 февр. 2004 г.), на 13-ой Саратовской зимней Школе (Саратов, 27 янв.—3 февр. 2006 г.), на Воронежской весенней математической школе (Воронеж, 3—9 мая 2006 г.). Основные результаты диссертации опубликованы в [2б]-[30].
Решение начально-краевой задача для системы Богоявленского
Целью диссертационной работы является исследование прямых и обратных задач спектрального анализа для специальных классов обыкновенных дифференциальных операторов на полуоси и их приложение к решению начально-краевых задач для нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными. Спектральная теория дифференциальных операторов играет фундаментальную роль в различных разделах математики и имеет много приложений в естествознании и технике. Интерес к задачам спектральной теории операторов постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений и в настоящее время спектральная теория интенсивно развивается во всем мире.
Большинство исследований в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов относятся к скалярным дифференциальным уравнениям произвольного порядка п 2 вида где Y(x) — вектор-столбец, Р0 — постоянная матрица, А —спектральный параметр, а также к связанным с ними более общим объектам. Первые исследования по спектральной теории операторов вида (0.1) при п — 2 были выполнены Даламбером, Эйлером, Лиувиллем, Штурмом и Д. Бернулли в связи с решением уравнения, описывающего колебание струны. Интенсивное развитие спектральная теория для раз-личных классов операторов получила в XX веке. Глубокие идеи здесь принадлежат Г. Бирхгофу, Г. Вейлю, Д. Гильберту, К. Нейману, В.А. Стеклову, М. Стоуну и другим математикам. Как известно, прямые задачи спектрального анализа заключаются в изучении свойств спектра и корневых функций операторов, а также вопросов полноты и спектральных разложений. Обратные задачи состоят в определении операторов по их спектральным характеристикам. Во второй половине XX века существенный вклад в исследование прямых задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов внесли работы А.Г. Костюченко, В.Б. Лидского, М.А. Наймарка, В.А. Садовничего, Я.Т. Султанаева, М.К. Фаге, А.П. Хромова, А.А. Шка-ликова и других математиков (см. [17], [24], [34], [39], [41], [54]-[56] и литературу в них). Основные результата в теории обратных спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов были получены в работах В.А. Амбарцумяпа, Р. Билса, Г. Борга, М.Г. Гасымова, М.Г. Крейна, Б.М. Левитана, Н. Левинсона, З.Л. Лейбензона, В.А. Марченко, Л.А. Сахновича, Л.Д. Фадеева, И.Г. Хачатряна, В.А. Юрко и других математиков (см. [1], [4], [19]-[23], [37], [51], [58]-[62]). В то же время целый ряд важных задач спектральной теории дифференциальных операторов в силу их сложности остается неисследованным, особенно в сингулярном случае.
Спектральная теории дифференциальных операторов играет центральную роль при интегрировании нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными. В 19G7 году Г. Гаднер, Ж. Грин, М. Краскал, Р. Миура ([11]) открыли замечательный метод решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) связанной с обратной задачей рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля с параметром t 0. Ключевым моментом метода является то, что нелинейной эволюции потенциала и(х, t) по t соответствует линейная эволюция данных рассеяния S(L(t)). Переход к данным рассеяния можно трактовать как некий нелинейный аналог преобразования Фурье. При этом роль обратного преобразования Фурье играет обратная спектральная задача. Решение задачи Коши (0.3) можно представить следующей схемой
Данный метод интегрирования получил название метода обратной задачи. П. Лаке ([18]) показал, что уравнение КдФ имеет эквивалентное представление Здесь точка обозначает дифференцирование по t. Это представление называется представлением Лакса, а пара операторов {L, А} — парой Лакса. Существует также возможность еще одного эквивалентного представления уравнения КдФ, носящего название представления нулевой кривизны (см. [40]).
Необходимые и достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи для системы Богоявленского
Получено решение обратной задачи восстановления обыкновенных дифференциальных операторов произвольных порядков по их спектральным характеристикам (параграф 1.1) и доказана теорема о полноте (параграф 1.2, теорема 1.6) специальных вектор-функций, определяемых по произведениям решений и их производных обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка. Теорема о полноте является основным результатом главы 1 и применяется в главе 2 при исследовании начально-краевой задачи для системы Богоявленского.
Ниже приводится решение обратной задачи для дифференциальных операторов произвольЕіьіх порядков. В качестве основной спектральной характеристики используется матрица Вейля, которая является обобщением классической функции Вейля для оператора Штурма-Лиувилля. Определяются решения Вейля Ф (х, А) (к = 1, п) и матрица Вейля М(\) — [Mkj{X)]. Приводятся свойства матрицы Вейля и строится конструктивная процедура решения обратной задачи. Также даны необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Основным методом исследования является метод спектральных отображений. В этом параграфе автор в основном следует работам В.А. Юрко [58]-[60].
Условимся в обозначениях. 1. Если рассматривается некоторый дифференциальный оператор /, то наряду с ним рассматривается дифференциальный оператор I того же вида, по с другими коэффициентами. Если некоторый символ ip обозначает объект, относящийся к /, то ф обозначает аналогичный объект, относящийся к /, а ф = ір —-.ф. 2. Одним и тем же символом С будем обозначать различные положительные константы в оценках, не зависящие от ж и А. 3. Матрицу А с элементами ац {% = l,r, j — l,s) будем записывать одним из следующих способов Постановка обратной задачи. По заданной матрице Вейля М(Х) построить дифференциальный оператор (1.1). II. В этом пункте исследуется структура особенностей функций Вейля (теорема 1.1) и доказывается теорема единственности восстановления дифференциального оператора (1.1) на полуоси при произвольном поведении спектра по заданной матрице Вейля Л/(А) (теорема 1.2). Пусть а Є (0, со), ра := 2nmaxip„z,(Qj0O). Известно ([24], с.58), что в каждом секторе S со свойством (1.2) существует фундаментальная система решений уравнения (1.1) Ва = {yk(x,p)}k=T вида
Решение начально-краевой задача для векторного модифицированного уравнения КдФ
В этой главе рассматривается приложение прямых и обратных задач, рассмотренных в первой главе, к решению начально-краевой задачи для нелинейной системы Богоявленского на полуоси. Решение проводится методом обратной спектральной задачи, в котором решение нелинейной задачи сводится к обратной задаче по матрице Вейля для линейного дифференциального оператора четвертого порядка на полуоси. В параграфе 2.1 приводится начально-краевая задача для системы Богоявленского и ряд вспомогательных утверждений для соответствующей спектральной задачи. В параграфе 2.2 получены нелинейные эволюционные уравнения для элементов матрицы Вейля, а также явные формулы, представляющие их решения. На основе последних построен алгоритм решения начально-краевой задачи. В параграфе 2.3 даны необходимые и достаточные условия разрешимости такой задачи.
Здесь Uk и Vk, к = 0,3 — непрерывные комплекснозначные функции своего аргумента такие, что щі (ж), v — ОД ul(x), V0{X) Є L(0,oo), u0(0) = щ(0), vQ(0) = -Ui(O) и щ(І), щ(Ь)— непрерывные. Как показано в [7] (с. 80-88), [6] (с. 62-63), система (2.1) является вполне интегрируемой.
Пусть D = {(х, t) : х 0, t 0} . Обозначим через J множество вектор-функций (f(x,t),g(x,t)) таких, что функции непрерывны в D и суммируемы на полуоси х Є [0, со) при каждом фиксированном t 0. Будем говорить, что функции {и(х, t),v(x,t)} принадлежат классу Р, если вектор (u(x,t),v(x,t)) Є J и функции u2(x,t),ux(x,t) Є 1(0, со) при каждом фиксированном t 0. Решение задачи (2.1)-(2.3) будем искать в классе Р.
Похожие диссертации на Прямые и обратные задачи спектрального анализа и их приложения к нелинейным эволюционным операторам
