Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы,после решения Г.Гарднером, Дж. Грином, М.Крускаллом и Р.миурой задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) методом обратной задачи теории рассеяния [1] в математической физике значительно возрос интерес к поиску и исследованию точно решаемых нелинейных эволюционных уравнений.Появление новых способов интегрирования этих уравнений стимулировало развитие ряда областей математики.
Наряду с развитием методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных активно исследовались дискретные системы нелинейных эволюционных уравнений - нелинейные цепочки. Среди дискретных систем наиболее известными являются цепочка Тода, описывающая эволюцию системы частиц с экспоненциальным взаимодействием между соседями и цепочка Ленгмюра (модель Вольтерра),фазовое пространство которой образуют переменные CLfi^t) .удовлетворяющие уравнениям
Эти модели имеют многочисленные естественнонаучные приложения. Сушлость большинства предложенных методов интегрирования данных цепочек заключается в их представлении в виде матричного уравнения Лакса
L(t) = LWA(t)-A(i)L(t)
и исследовании эволюции данных обратной задачи для разностного оператора 3- Ш, соответствующего матрице L (Ь) , в силу этого уравнения. При интегрировании цепочек Ленгмюра и Тода методом обрат-
1. Gardner G..Green J.,Kruskal М.,Miura R. A method for solving the Korteveg -de Yries equation//Phys.Rev.Lett. -1967. Vol.19, N. 19. -P. 1095-1098.
..-2-
ной задачи теории, рассеяния рассматривается разностный опера
тор, который является, дискретным аналогом дифференциального
оператора Штурма-Лиувилля,использующегося при.решении уравнения Кдф (см. [23).Как ...в случае классической цепочки Тода,так и в случае цепочки Лелгмюра при условииЯ.^(і)>0,данный.разностный оператор является самосопряжённым и ему соответствует бесконечная якобиева матрица,имеющая-три ненулевые диагонали (трёх-диагоыалъная матрица) .Что - касается - других .цетодов. интегрирования цепочки Тода.то следует отметить работы И.Ы.Кричевера [3], где было получено её общее решение в периодическом случае и А.Ю.Далецкого.Г.Б.Подколзина Ш,где была изложена процедура построения решения цепочки в случае,когда соответствующий ей разностный оператор - компактный.
Диссертация посвящена изучению таких вопросов как интегрирование ряда нелинейных цепочек, обобщающих цепочки Ленгмюра и Тода в классе ограниченных решений и развитие метода обратной задачи для их интегрирования.Цепочки будут рассматриваться как в полубесконечном (т.е. когда дискретная переменная пробегает целые неотрицательные значения), так и в бесконечном (целая дискретная переменная) случаях.Классическая, цепочка Тода в полубесконечном случае впервые была проинтегрирована Ю. М.Березан-ским методом обратной спектральной задачи для якобиевых матриц в [5].Данный метод,в отличие от метода обратной задачи теории
-
Захаров В.Е.,Манаков С.В.,Новиков С.П.,Питаевский Л.П. Теория солитонов. - М.: Наука,1980. - 320с.
-
Кричевер И.М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения//Успехи мат.наук.-1978. T.33.N 4.-С.215-216.
-
Далецкии А.Ю. Подколзин Г.Б. Групповой подход к интегрированию бесконечной цепочки Тоды//Укр.мат.журн.-1988. T.40.N 4.-С. 518-521.
-3-рассеяния , : позволяет строить решения для произвольных ограниченных начальных данных,не удовлетворяющих' никаким асимптотическим условиям на бесконечности.Чтобы применить метод к нелинейным цепочкам с операторными коэффициентами необходим аналог прямой и обратной спектральной задачи для разностных операторов,соответствующих матрицам L() представления Лакса,элементы которых - ограниченные операторы,действующие в некотором банаховом или гильбертовом пространстве. В случае полубесконечных якобиевых матриц с матричными и операторными элементами подобная теория была развита М.Г. Крейном и Ю.М.Бе-резанским.Однако,при изучении нелинейных систем,допускающих представление Лакса,часто возникает ситуация,когда соответствующая матрица L(t) не является симметрической.Следуя работе [63,где для дифференциальных операторов второго порядка была введена обобщенная спектральная функция,Ю.Л.Кишакевич в (7] ввел обобщенную спектральную функцию для полубесконечных трех-диагональных l() .коэффициенты которых - операторы в банахо-вом пространстве.Следует отметить также работу Г.Ш. Гусейнова
-
Березанский Ю.М. Интегрирование нелинейных разностных уравнений методом обратной спектральной задачи/УДАН СССР -1985. Т. 281,N 1.-С.16-19.
-
Марченко В.А. Разложение по собственным функциям несамосоп-ряженнх сингулярных'дифференциальных операторов второго порад-ка//Мат.сборник.-I960. T.52.N 2.-С.739-788.,
-
Кишакевич Ю.Л. Спектральная функция типа Марченко разностного оператора четного порядка//Мат.заметки:-1972. T.11.N 6.-С.661-668.
[8],где была рассмотрена обратная задача по обобщенной спектральной функции для якобиевых матриц с комплексными элементами. Методика восстановления несамосопряженного разностного оператора, которому соответствует трехдиагональная матрица и(Ь) по обобщенной спектральной функции была использована М.И.Гехт-маном в [91 для интегрирования полубесконечных нелинейных систем, коэффициенты которых - ограниченные операторы в банаховом пространстве - т.н. неабелевы цепочки Тода и Ленгмпра.
В диссертации в основном рассматриваются системы нелинейных уравнении,матрицы L($ представления Лакса которых содержат больше чем три ненулевые диагонали. Данным матрицам соответствуют разностные операторы,которЦе можно интерпретировать как дискретный аналог дифференциальных операторов высокого (т. е. более второго) порядка.При исследовании обратной задачи для разностных операторов высокого порядка будет использована методика восстановления дифференциальных операторов на полуоси по матрице Вейля,изложенная в [103.Применительно к исследованию рассматриваемых разностных операторов данная методика позволяет восстанавливать коэффициенты оператора без предположения об их асимптотическом поведении на бесконечности и структуре его спектра;кроме того,частным случаем матрицы Вейля является обобщенная спектральная функция,введенная в [7-83.
8. Гусейнов Г.Ш. Определение бесконечной несамосопряженной матрицы Якоби по ее обобщенной спектральной функции//Мат. заметки. -1978. T.23,N 2.-С.237-241.
9- Гехтман М.И. Интегрирование неабелевых цепочек типа Тоды //Функц.анализ и его прилож.-1990. T.24.N З.-С.68-69. 10. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных операторов. - Саратов: Изд-во Сарат. ун.-та,1989. - 17бс.
Цедь работы. Провести обобщение метода обратной спектральной задачи на некоторые виды разностных операторов высокого порядка и проинтегрировать в классе ограниченных решений ряд нелинейных цепочек данным методом обратной задачи.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем (подробнее - см. содержание диссертации).
1. Для рассыатрнмаемого класса бесконечных матриц (матриц
/і ) сформулирован критерии разрешимости обратной задачи в
терминах моментной последовательности матрицы Ве6ляЗ(7їІ(^и установлена характеристика подкласса матриц М ("разреженные" матрицы) по данной последовательности.
-
Для конечных матриц М доказан аналогичный критерий и установлено соответствие между ними и рациональными функциями.
-
В случае бесконечных г\ с операторными элементами найден явный алгоритм восстановления их коэффициентов и доказан критерий разрешимости обратной задачи noS^(x)j.
-
В различных ситуациях доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дискретного аналога уравнения Кортевега-де Фриза и приведены процедуры их построения. Указан метод построения иерархии нелинейных динамических систем, порожденных данным дискретным КдФ.
-
Приведено решение задачи Коши для ряда нелинейных цепочек, являющихся обобщениями модели Вольтерра изложенным методом обратной задачи. Кроме того, выполнено интегрирование дискретного аналога модели главного кирзльного поля (неабелевой цепочки Тода).
Методы исследования. Использованы методы линейной алгебры, спектральной теории разностных операторов и формализм "пар Лакса" для нелинейных дифференциально-разностных выражений.
-б-
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит тео
ретический характер. Ее результаты могут найти применение в
математической физике,теории несамосопряженных операторов,теории функций и при решении некоторых биологических задач.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах по теории операторов механико-математического факультета МГУ и на 4-й Крымской осенней изїемахйЦиилой liMDAv чи иииктралышм и аиишоционным задачам.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах,список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав,включающих в себя 5 параграфов и списка литературы, содержащего 59 наименований. Обь ем диссертации - 110 листов.
