Введение к работе
Актуальность темы. В диссертационной работе исследуется задача об обобщенных собственных векторах пары нелинейных операторов, действующих как в конечномерном, так и в бесконечномерном пространстве. Предлагается метод исследования условий существования обобщенных собственных векторов пары нелинейных операторов, основанный на конструкции топологических индексов особенностей пары сечений векторных расслоений, обобщающей конструкцию индексов краевых индексов 1-форм (векторных полей) В.И. Арнольда.
Множество S всех особых точек векторного поля на многообразии (или, более общим образом, сечения векторного расслоения) в существенной степени дает представление о его свойствах. Например, факт непустоты S - важная характеристика рассматриваемого поля. Выявление компонент связности S (например, изолированных особых точек поля) и вычисление их топологических индексов часто помогает прояснить многое в структуре S, а использование глобальных теорем (типа теоремы Пуанкаре-Хопфа или теории Морса) вместе с процедурой трансверсализации дает результат, достаточный для первого анализа рассматриваемого поля. Распространенная практика формального представления физических полей как некоторых сечений подходящих векторных расслоений (или расслоений, ассоциированных с векторными расслоениями) позволяет считать проблему изучения множества S чрезвычайно актуальной по отношению к различным областям естествознания.
Кроме того, в рамках теории операторов в банаховых (или более общих) пространствах каждому оператору (линейному или, в общем случае, нелинейному) взаимно однозначно соответствует его график, являющийся сечением простейшего (тривиального) векторного расслоения-произведения, и, очевидно, исследуемые свойства оператора полезно соотносить со свойствами его графика (что часто использовалось как классиками, так и современными исследователями).
К рассмотрению собственных функций нелинейных операторов в свое время привели задачи о нелинейных колебаниях, об устойчивости сжатых стержней. Возникновение этой задачи обычно связывается с работами A.M. Ляпунова. Задача о собственных векторах нелинейных операторов в функциональных про-
странствах, впервые, видимо, рассматривалась Биркгофом и Келлогом
Исследованию задачи об обобщенных собственных векторах нелинейных операторов в значительной степени были посвящены исследования в научных школах М.А. Красносельского и М.М. Вайнберга. Работы в этом направлении публиковали такие специалисты как Р.Н. Rabinovich, М. Berger, К. Uhlenbeck, S.T. Cheng, J. Ize, F. Browder, С. И. Похожаев и многие другие. В.Г. Звягин исследовал задачу о собственных векторах, вводя их индексы через вторые препятствия В.Г. Болтянского. В этом направлении ведутся также активные современные исследования.
Целью работы является построение и исследование топологических индексов особенностей (в частности, обобщенных собственных векторов) пары гладких нелинейных операторов, заданных на открытом множестве с гладкой границей в сепарабелыгом гильбертовом пространстве. Также, целью работы является выделение класса сепарабельных банаховых пространств, допускающих элементы конструкции топологических индексов. Кроме того, целью работы является построение и исследование конечномерной основы конструкции топологических индексов для пары гладких сечений гладкого векторного расслоения ранга п над гладким компактным n-мерным многообразием с краем.
Методы исследования. В диссертационной работе используются методы нелинейного функционального анализа, дифференциальной топологии, общей топологии, а также отдельные методы линейной алгебры.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми:
-
для каждой подсистемы С в системе всех компонент связности множества S+(ai,(T2) особых точек пары гладких сечений (01,02) гладкого векторного расслоения ранга п над гладким компактным n-мерным многообразием с краем построена гомотопически инвариантная аддитивная целочисленная характеристика (обобщенный топологический индекс g{o\,
-
доказана теорема о связи между глобальным краевым индексом В{о\,02) допустимой пары гладких сечений векторого расслоения над n-мерным многооб-
разнем с краем и их глобальными внутренними индексами; 5(а,,(Г2) = /(аа)-(-1)в/(аі),
-
доказано, что для произвольной кристаллической среды имеется по крайней мере три направления продольных нормалей акустических волн,
-
для каждой подсистемы С в системе всех компонент связности множества 5+(Fi, F2) обобщенных особенностей пары нелинейных операторов вида
(FUF2) = (щ 1я + Ки № 1я + Кг), щ < О, / > О
с условием невырожденности F\ на границе подмногообразия нулевой коразмерности в сепарабелыгом гильбертовом пространстве Я построена гомотопически инвариантная (в естественном классе д-гомотопий) аддитивная целочисленная характеристика — обобщенный топологический индекс g(Fi, F2; С),
5) доказана теорема о связи между глобальным краевым индексом B{F\,F2)
допустимой пары нелинейных операторов в сепарабелыюм гильбертовом про
странстве и их глобальными внутренними индексами:
B(FhF2) = l(F2)-I(-F1),
-
доказана теорема о существовании "второго решения"в терминах обобщенного топологического индекса д для задачи об обобщенном собственном векторе пары нелинейных операторов в сепарабелыюм гильбертовом пространстве,
-
выделен класс Сг-многообразий М, г > 1, являющихся паракомпактами и моделированными сепарабельными 5Ср-гладкими банаховыми пространством!!, где р > тах{2, г), допускающих С-разбиение единицы.
Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории операторных уравнений в бесконечномерных пространствах, математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных. Полученные результаты могут быть использованы для доказательства разрешимости задач, которые могут быть сведены к задачам о собственных векторах пары нелинейных отображений, заданных на областях с гладкой границей.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на VIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах
(Рига, 1983), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (Самара 1992), на IX Международной конференции по топологии и ее приложениям (Киев, 1992), на Международном Конгрессе Ассоциации "Женщины - математики" (Москва, 1994), на III Международной конференции женщин-математиков (Воронеж, 1995), на международной конференции "Stochastic and Global Analysis" (Воронеж, 1997), на международной конференции "Колмогоров и современная математика"(Москва, 2003), на Международной конференции "Анализ и особенности", посвященной 70-летию В.И. Арнольда (Москва, 2007), регулярно на Воронежских зимних математических школах и на Весенних Воронежских математических школах "Понтрягинские чтения", а также на научных семинарах Воронежского государственного университета: семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа (рук. проф. Ю.Г. Борисович), семинаре кафедры нелинейных колебаний (рук. проф. А.И. Перов), на семинаре по глобальному и стохастическому анализу (рук. проф. Ю.Е. Гликлих) и семинаре кафедры математического моделирования (рук. проф. Ю.И.Сапронов).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[18]. Работы [7], [12] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. Из совместных публикаций [lj, [4], [6], [7], [13] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично аытору.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 98 наименований. Объем диссертации составляет 150 страниц.
