Введение к работе
Актуальность темы. Теория дробного интегро-дифферзнцирования. или дробного исчисления, является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов математического анализа. Основными объектами теории являются классические дробные интегралы и производные' Рима-на-Лиувилля, их различные обобщения и модификациии и многомерные дробные интегралы и производные (потенциалы Рисса и Бесселя, гипе-
РСИНГУЛЯРНЫЙ ИНТРГГйЛЫ И пр V ЧеТОЛ.Н ДробїїСГС "C'VACZdlllZ SKpuKu
используется р тяоряк дк^^гснциалшых ;: ;їїїТБГрадших уравнений, теории интегральных преобразований и других науках.
Асимптотические и композиционные методы играют важную роль в математике и, в частности, в указанных направлениях. Они позволяют найти асимптотические разложения интегралов, получить явные решения отдельных типов интегральных и дифференциальных уравнений и исследовать асимптотику решений таких уравнений, изучить структурные свойства интегральных преобразований. Асимптотическое поведение на бесконечности одномерных дробных интегралов исследовали
N.Berger, R.&.Handelsimn. J.P.McClure, R.Wong; ПРИЛОЖЄНИЄ ЭТИХ ро-
зультатов к нахождению первых членов асимптотики решения нелинейного интегрального уравнения теории теплопроводности дали R.A.Han-
delsman, W.E.Olmstead, R.Wong,
Композиционные методы, заключающиеся в представлении операторов в виде композиций операторов дробного исчисления с известными интегральными и дифференциальными операторами, с интегральными преобразованиями, элементарными и специальными функциями, применяли В.Вольтерра, N.Zeiion, С.Г.Самко, L.von vfoifersdorf, Б.С.Рубин, А.А.Килбас и др. для решения одномерных интегральных уравнений первого рода со степенными и логарифмическими ядрами; Н.Н.Лебедев.
Е.Т. Copson, A.Erdelyi, I.N.Sneddon, R.G.Buschman, Н.И.БаКИЄВИЧ, E.R.Love, T.R.Prabhakar, О.Н.МаричеЗ, J .S.Lcwndcs, М.М.СмИрНОВ И
др. - для решения одномерных интегральных уравнений первого рода со специальными функциями в ядрах; Е.т. Copson, Н.Н.Ростовцев, С.Г.Самко, Ch.s.Kahane. Н.К.Карапетянц, Б.С.Рубин, С.М.Умархаджи-ев, В.А.Ногин, С.И.Василец и др. - для решения многомерных интегральных уравнений СО СтёпеЙНЫМ ЯДРОМ: J.LiouvilXe, Hj.Holmgren, А.В.ЛеТНИКОВ, П.А.НекраСОВ, J.H.Barrett. A.Erdelyi, М.A.Al-Bassam, М.М.ДжрбаШЯН, А.Б.ВерсесЯН, А.М.Нахушев, S.L.Kalla. A.C.McBride.
J.S.Lowndes, H.Saigo, В.Ф.ВОЛКОДЗВОВ, О.А.РепИН, K.Nishimoto, K.S.
Miller, B.Ross и др. - для решения дифференциальных уравнений;
H.Kober, G. Doetsch, D.V.Bidder, A.Erdelyi, I.К. Sneddon, А.П.Пру-ДНИКОВ, S.L. Kalla, S.L.Bora, R.K.Saxena.B.Martic, K.J.Srivastava, V.M.Bhise, S.L.Mathur, S.L.Rakesh, B.Singh, О.И. Маричев, P.G. Rooney, A.C.McBride, H.-J.Glaeske, H.H.Srivastava, H.Saigo, I.H.Dimovski, V.Kiryakova, Ю.А.БрьіЧКОВ, By КИМ ТуаН, СБ. ЯкубОВИЧ
и др. - для исследования интегральных преобразований и специальных функций.
Полученные результаты применимы только к отдельным классам интегральных и дифференциальных уравнений и интегральных преобразований и не дают полной картины рассматриваемых проблем, в том числе новых, возникающих в приложениях. Поэтому одной из актуальных проблем в теории дробного исчисления является разработка асимптотических и композиционных методов, позволяющих получить новые результаты как в самой теории дробного интегро-дифференцирования. так и в области дифференциальных и интегральных уравнений и интегральных преобразований и их приложений.
Связь работы с крупными научными темами. Диссертационная работа выполнена на кафедре теории функций Белгосуниверситета в рамках научно-исследовательских тем Министерства Образования и Науки Республики Беларусь "Краевые задачи комплексного анализа: линейные, нелинейные, для обобщенных функций, с бесконечным индексом. Специальные функции, свертки, интегральные и дифференциальные операторы и их реализация методами компьютерной алгебры". "Специальные и ообобшенные функции и операторные уравнения" и "Композиционные и асимптотические свойства интегральных операторов и решение особых интегральных уравнений и краевых задач".
Цель и задачи исследования. Разработка асимптотических и композиционных методов для операторов дробного интегрирования и дифференцирования, методов асимптотического и явного решения одномерных и многомерных интегральных уравнений первого и второго рода, дифференциальных уравнений дробного порядка и обыкновенных дифференциальных уравнений, структурных и композиционных свойств интегральных преобразований со специальными функциями Фокса, типа Бесселя и гипергеометрической функцией Гаусса в ядрах.
Научная новизна. На основе предлагаемых алгоритмов вперв] найдены полные асимптотические разложения на бесконечности и в ну-
ле одномерных и многомерных дробных интегралов, формулы композиций операторов дробного интегрирования и дифференцирования со специальной функцией типа Миттаг-Леффлера, операторам интегрального преобразования типа Бесселя и дифференциальным операторам осесиммет-рической теории потенциала и интегральные представления многомерных дробных интегралов. Полученные результаты применены для нахождения решения в замкнутой форме новых классов линейных и нелинейных интегральных уравнений, дифференциальных уравнений дробного и целого порядков и явных формул асимптотик решений интегральных уравнений. Существовавшие до исследований диссертанта алгоритмы позволяли рассматривать отдельной чаотнме случаи и получать « основним шрным члени исишпитик решении уравнений. В специальных пространствах основных и обобщенных функций дано дальнейшее развитие структурных и композиционных свойств оператора интегрального преобразования типа Бесселя, операторов обобщенного дробного интегрирования с н-функцией Фокса и операторов обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса."
Практическая значимость. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах как дробное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, интегральные преобразования, теория потенциала при исследовании свойств операторов, сводящихся к операторам дробного интегро-дифференцирования, при решении интегральных, дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, а также при решении конкретных задач математической физики и механики, в частности, задач механики сплошной среды и контактной теории упругости, теории теплопроводности, теории распространения волн, теории течения воды и теории полярографии.
Результаты диссертации могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованиями в областях дробного исчисления, интегральных и дифференциальных уравнений, интегральных преобразований и их приложений в Математическом институте РЖ Вычислительном центре РАН, в Белорусском, Ростовском, Одесском и Казанском университетах, в Минском педагогическом университете, в Брестском, Витебском и Самарском педагогических институтах, в Самарском экономическом институте.
Некоторые идеи, методы и результаты диссертации уже нашли отражение в монографиях СС.Г.Самко, А.А.Килбас, О.И.Маричев [14],
[29]; K.S. Miller and B. Ross: V.Kiryakova) и ИСПОЛЬЗОВаны В ОТДЄ-
льных работах по дробному исчислению и его приложениям.
Основные положения, выносимые на зашту.
Применяемые в диссертации методы позволили решить задачи дробного исчисления, связанные с асимптотическими и композиционными свойствами классических и обобщенных операторов дробного интегрирования и дифференцирования, получить асимптотические и явные ре-тения одномерных и многомерных интегральных уравнений первого \ второго рода, решить в замкнутой форме дифференциальные уравнения дробного и целого порядков, а также изучить структурные и композиционные свойства интегральных преобразований со специальными функциями Фокса, типа Бесселя и гипергеометрической функцией Гаусса:
на основе модифицированного метода последовательных разложений даны явные формулы степенных или степенно-логарифмических представлений на бесконечности и в нуле одномерных дробных интегралов типа Эрдейи-Кобера и Римана-Лиувилля в случае обшей степенной асимптотики плотности на бесконечности и в нуле; с их помошью построены асимптотические разложения на бесконечности многомерных дробных интегралов и решений краевых задач для дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу; предложенный способ позволяет найти все члены разложений и дать оценки для их остаточных членов;
на базе асимптотических разложений дробных интегралов получены явные формулы асимптотики в нуле и на бесконечности решений встречакшихся в приложениях нелинейных и линейных интегральных уравнений Абеля-Вольтерра, у которых известные функции имеют степенные асимптотики в нуле и на бесконечности;
даны условия, при которых асимптотические разложения решений отдельных классов нелинейных и линейных интегральных уравнений Абеля-Вольтерра совпадают с их явными решениями и изучены вопросы единственности решения таких уравнений;
введена специальная целая функция, обобщающая классические функции Миттаг-Леффлера; получены формулы ее композиций с операторами дробного интегрирования и дифференцирования Римана-Лиувилля; на основе найденных соотношений дано решение в замкнутой форме новых классов линейных интегральных уравнений Абеля-Вольтерра, дифференциальных уравнений дробного порядка и обыкновенных дифференциальных уравнений и соответствующих задач типа Каши и Коши;
в специальных пространствах основных и обобщенных функций
исследованы структурные свойства интегрального преобразования типа Бесселя; доказаны формулы композиций оператора такого преобразования с операторами дробного интегрирования и дифференцирования Ри-мана-ЛИувилля, с линейным дифференциальным оператором второго порядка, с операторами осесимметрической теории потенцила и углового момента; даны приложения к решению дифференциальных уравнений;
- введены операторы обобщенного дробного интегрирования с'н-
функцией Фокса, обобщавшие классические интегральные операторы
дробного исчисления; изучены их структурные и композиционные свой
ства В СПеїІИЯЛКНих прп^т роист РГЇХ НСТ.'ОППЇЛХ " ZCoSZEiihtAA іун'киий:
яокя?'->нь! Ферулы композиций сператсрсв оСоСщинної и дробного интегрирования с н-функцией Фокса и операторов обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса с дифференциальным оператором осесимметрической теории потенциала;
даны достаточные условия, при которых многомерные операторы типа потенциала с достаточно обшими ядрами действуют из пространства р-суммируемых функций в пространства гладких (гельдеровс-ких или липшицевских) функций;
получены композиционные представления многомерных дробных интегралов по шаровому слою; с их помощью изучены необходимые и достаточные условия разрешимости и построены явные формулы решений многомерных интегральных уравнений первого рода со степенным и логарифмическим ядрами по шаровому слою в случаях произвольной и радиальной плотности при четных значениях параметра.
Апробация результатов. Отдельные части диссертации докладывались на Международном математическом Конгрессе (Польша, Варшава, і 982 г.), на Всесоюзной конференции "Классические и неклассические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения" (Куйбышев, 1987 г.), на Республиканской конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения" (Одесса, 1987 г.), в юколе по теории функций и теории операторов (Теберда. 1988 г.) , на Международной конференции по дробному исчислению и его приложениям (Япония, Токио, 1989 г.), на конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" (Алма-Ата, 1991 г.), на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (Самара, 1992 г.), на конференции математиков Беларуси (Гродно,
1992 г.), на конференции Японского математического общества (Япония, Осака, 1993 г.), на Международной конференции "Методы преобразований и специальных функций" (Болгария, София, 1994 г.), на Международном Симпозиуме "Методы и приложения анализа" (Гонконг, 1994 г.), на Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (Москва, 1995 г.).
С сообщениями о результатах диссертации автор выступал на семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского государственного университета (руководитель - профессор С.Г. Самко), на семинаре отдела теории функции Математического института им. В.А.Стеклова РАН (руководители - академик С.М.Никольский и чл.-корр. Л.Д.Кудрявцев), на семинаре Белорусского математического общества (руководитель - академик И.В. Гайшун).
Результаты диссертации многократно докладывались и обсуждались на Минском городском семинаре по краевым задачам имени академика Ф.Д.Гахова (руководитель - профессор Э.И.Зверович).
Опубликованность результатов и. личный вклад. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[13], [15]-[28] и отражены в монографиях [14], [29]. Часть результатов пп. 3.1-3.4, 4.1-4.4, 5.2, 5.4, е.1-6.5, 7.2-7.6 получена в совместных работах [б]-[13], [20]- [28] и в равной мере принадлежит автору диссертации и соавторам.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, семи глав, включающих зз раздела, выводов, списка использованных источников и восьми приложений. Объем диссертации - 243 страницы машинописного текста. Список использованных источников на 19 страницах содержит 252 наименования, при этом работы автора по теме диссертации приведены в конце списка. Объем приложений - 24 страницы машинописи.
