Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Об ограниченности многомерного сингулярного оператора в обобщенных гельдеровых пространcтвах 16
1.1 Постановка задачи и некоторые.предварительные сведения 16
1.2 Основная оценка 24
1.3 Изучение сингулярного интегрального оператора в пространствах HD 50
ГЛАВА II. Об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространствах гельдера с весом .. 55
2.1 Вводная часть и постановка задачи 55
2.2 Основная оценка 61
2.3 Изучение сингулярного оператора в весовом гельдеровом пространстве 79
2.4 Классификация гельдеровых пространств с весом 100
2.5 Некоторые частные случаи 107
ГЛАВА III. О разрешимости одного класса систем нелинейных сингулярных интегральных уравнений
Литература 139
- Постановка задачи и некоторые.предварительные сведения
- Изучение сингулярного интегрального оператора в пространствах HD
- Изучение сингулярного оператора в весовом гельдеровом пространстве
- Классификация гельдеровых пространств с весом
Введение к работе
Исследование одномерных сингулярных интегралов восходит к Гильберту и Пуанкаре. В 20-х и 30-х годах Трикоми, Жиро и Михлин перенесли эти результаты на многомерный случай.
Соответствующие ссылки на эти результаты, а также их краткое описание можно найти в монографии С.Г.Михлина [14]. В этой книге содержится также исчерпывающее изложение исследований по теории многомерных сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений.
Новый период в теории многомерных сингулярных интегралов в пространствах Lp начался в 1952г. работой Кальдерона и Зигмунда [24,25] . Основная проблема, которой посвящены исследования Кальдерона и Зигмунда - это проблема об ограниченности многомерного сингулярного интегрального оператора в пространствах LJR. ), р>1 .
Несмотря на обширные исследования по многомерным сингулярным интегральным операторам, мало изучен вопрос ограниченности в пространствах непрерывных функций многомерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной т - мерной области с ядром Кальдерона-Зигмунда-Михлина. В этом направлении можно отметить работы Погожельского, Аниконова, Абдуллаева С.К. и др.
Подробно остановимся на тех работах, которые имеют непосредственное отношение к результатам настоящей работы.
В диссертации рассматривается многомерный сингулярный оператор где 6- - ограниченная область в к , /п>/2 и характеристика /(#, 0) непрерывна на G у Я ( Q - единичная сфера в R )
6)d$ =г 0 , Ухе , (I) и нелинейные интегральные уравнения, содержащие эти сингулярные интегралы.
В работе [6] Д.СьАниконов рассмотрел вопрос об ограниченнос-ти сингулярного оператора А в пространствах С {Qj непрерывных функций на Q , удовлетворяющих условию Гельдера с показателем о<ос<1 , когда граница ? области принадлежит классу С
В [6] доказана
ТЕОРЕМА I. Пусть Q - ограниченная область с границей класса С ' , /f*r> $) - непрерывная функция на G *І2 , удовлетворяет условию (I) и liCx^bJ-tfatdt'yl^LQXi-Xxl 4lSf-9i} ) где тихгє С- , 6u02eQ , Z., Л - положительные числа.
Тогда для того, чтобы оператор Д был определен и ограничен из пространства С (Q) в себя, достаточно, а также необходимо, если f(#tQ)s д($) , чтобы для всякой точки #є и любой полусферы i?t выполнялось равенство J-f(cc,e)de =0 (2)
Отметим, что эта теорема в одномерном случае не имеет аналога. Также отметшя, что в силу этой теоремы видно, что для ограниченности оператора А в С (G) сингулярное ядро должно обладать дополнительным условием (2), не выражаемым в терминах гладкости характеристики j(rt Є) .
Эти результаты являются еще одним оправданием того, что если характеристика ^(х, 9) обладает обычными условиями гладкости (но не обладает свойством (2)), оператор /\ надо рассматривать в пространствах непрерывных в функций, имеющих рост в окрестности границы
В связи с этим, в работе сингулярный оператор А рассматриваются в двух случаях:
1. область G и 6) обладают условиями типа условий теоремы I. Ставится задача: рассмотреть ограниченность оператора А в пространствах функций, удовлетворяющих обобщенному условию Гельдера на с мажорантой СдеМН(совокупность модулей непрерывности первого порядка). Этой задаче посвящена глава I,
2. Q - область с липшицевой границей, a jfc д) - непрерыв ная на Q yi? функция, обладающая свойством (I), а плот ность и(ч) непрерывная в . функция.
По второй задаче первые результаты принадлежат польскому математику Погожельскому [27,28,29] . -ґ--.ґ а и доказал их инвариант- ность относительно оператора А в случае, когда GcR (ії>г) _ ограниченная область с ляпуновской границей, а параметры ос и к удовлетворяют условиям:
О < ос <1 г о По определению, непрерывная в G функция U(x) принадлежит классу В^ , если: 1. fu(x)l * Г J— , VxgG-, і 1st ЬI 2. ІШЮ- UlpJ « Cu 111 где постоянные Ck , Cu зависят разве лишь от Ufa) , Ва - 8 - пространство в норме 'ы, О < ос <1, 0< /?0^ Пространства 0^ аналогичны пространствам А.И.Гусейнова "w. fn7- Отметим, что, вообще говоря, дальнейшее исследование сингу лярного интеграла (І) в случае 2, проводится по аналогии с одно мерным случаем. , В работе [з] дано весовое описание пространств В^ , а также доказано, что Ьи остается инвариантным относительно оператора А , если 0 В работе Г4] эти результаты обобщены как относительно класса областей G , так и относительно шкалы Банаховых пространств, содержащих в частности шкалу пространств 5^ . В работе [2І сингулярный оператор рассматривается по ограниченной области Q с липшицевой границей 3 G (подробно см. 2.1? и вводятся характеристики типа Я и Со (см.[2,23] ). Вводятся пространства типа W [2] , выражаемые в терминах ха- рактеристик і? и со с заданными мажорантами у , (р . Най дены достаточные условия на у , ^ , обеспечивающие ограничен ность оператора А в пространствах Цуф . о Также дано описание Нмф в виде весовых пространств На Это описание позволяет доказать ограниченность оператора Ц в пространствах // при некоторых естественных условиях на Отметим, что в одномерном случае доказано, что каждое про-странство //to , инвариантное относительно сингулярного оператора А и. sJ ц(— ^S , изоморфно некоторому инвариантному про- странству Ифф . Перенесение этого результата на многомерный случай затруднительно. Также затруднительно изучение сингулярного оператора в терминах пространств гІФФ с последующим переходом к весовым про-странствам Н^ . В связи с этим ставится задача изучения оператора А в шка- ле пространств //w (с разными w,y? ), Этой задаче посвящена глава П диссертации. В частности, найдены достаточные условия на ("/>,«) и (р*,^^ , обеспечивающие ограниченность оператора А Н ^ ~*/// . а также доказана неулучшаемость этих условий в определенном смысле (см. теорему 2.3.5). В главе Ш с использованием результатов главы П доказывается разрешимость одного класса системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Перейдем к изложению основного содержания диссертации. 1.1 носит вводный характер. Приводятся известные результаты об ограниченности сингулярного интегрального оператора А в классе гельдеровых функций. В 1.2 приводится определение ограниченной области є R с границей З^еС и излагаются некоторые вопросы, связанные с локальными координатами. Также вводятся:: I) модуль непрерывности непрерывной в Q функции 1г : 03^(0 = Step }\ҐІЮ-іЛрі у $>о , /ос-^/< сс,уд Q 2)) для функции q(x,&) , а? є- & , 0ЄІ? характеристики W/>fO - SUf l$up lfcc,,e)-f(xu$)l] } СдІ (В) » 5 [ S^ / Д*„ Qlh {(ос, &)/J . 9uB2eQ В 1.2 доказывается ТЕОРЕМА. І.2.І. (основная). Пусть Q - ограниченная область с границей КеС ; функция f(ac,e) , re Q , в Є Я непрерыв на на G*Q , f&oc,6)c/d * 0, (2) где -S?f - произвольная полусфера на _? и М(*) C(G) , Тогда для сингулярного интеграла f sr Щ) а% -/тЙ-««И справедлива оценка < / І і ^ ** f ъ * г і о Є [о, dj где d - диаметр Q. В I.3 вводится пространство //» Ну* {us C(Q) QJ1) = Otym), feMH} где ^// - совокупность модулей непрерывности первого порядка [12] и доказывается ТЕОРЕМА. I.3.I. Пусть область - и функция J. (ог,Ь) удовлетворяют условиям основной теоремы. Если / -Ш М<оо, 5 ^, - 0(f№ , с*1(Ю - 0(у(Г)), 0 І то сингулярный интегральный оператор du = (r действует в пространстве Ню и ограничен. Отметим, что принцип Шаудера к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям [ll,12] впервые применен А.И.Гусейновым. Полученные результаты обобщают соответствующие Погожелского [30] и Рузметова [I8J как относительно области G , так и отно-сительно шкалы пространств // . Основные результаты диссертации были доложены на семинарах член-корр.АН Азерб.ССР А.А.Бабаева в Азгосуниверситете им.С.М.Кирова, на УЇІ Республиканской научной конференции аспирантов ВУЗов Азербайджана, а также на ХХКУП Британском математическом коллоквиуме в Кембридже (апрель 1985г.). Диссертация выполнена под научным руководством член-корр. АН Азерб.ССР, доктора физико-математических наук, профессора А.А.Бабаева и кандидата физико-математических наук, доцента С.К.Абдуллаева, которым я выражаю глубокую и искреннюю признательность. Пусть Q - ограниченная область в R , т ,2 ; и(х) непрерывная функция в G , s{ S вє Q , /S/ -1} ; функции ffc &) , #e G , вє& непрерывны на G Q . Для функции Ul h удовлетворяющей условию Гельдера, С.Г.Михлиным Гі4] установлено необходимое и достаточное условие для существования сингулярного интеграла которое заключается в том, что при фиксированном х& среднее значение j.(cc в) на сфере J? равно нулю. Кроме того, им же было установлено, что при выполнении этого условия и наличия некоторой гладкости характеристики Jffab) , 1г{х)є С (Q1) , где Q -строго внутренняя подобласть области . Однако было выяснено ГбЛ , что независимо от гладкостных свойств характеристики J(x,&) интеграл 1r(oc) , вообще говоря, не принадлежит ни пространству ни даже пространству C(Q) . Интегралы типа 1г(х) возникли и в теории потенциала, и G. Gizand[26] удалось показать, что вторые производные объемного потенциала принадлежат пространству С (G) . Д.С.Аниконов f6j, требуя лишь большую гладкость границы об ласти Q (2(тЄ С (см. 1.2) доказал, что 1г(х) є С (G) и условие j(oc, Qh f(x,Q) достаточно (а в случае характеристики, не зависящие от полюса, и необходимо) для того, чтобы оператор был определен и ограничен в С (S) . Далее известно[15J, что для существования сингулярного интеграла в точке Хє G при выполнении условия Дини fмодуль непрерывности функции и(у) ) достаточно (и необходимо при и(ос)фО ), чтобы выполнялось равенство В этой работе рассмотрен сингулярный интегральный оператор и найдены условия, обеспечивающие ограниченность его из пространства Ну в себя и, следовательно, принадлежность функции 1г(ас) пространству //«, (см. 1.3). Работа является непосредственным обобщением результатов Д.С.Аниконова, рассматривавшего подобную задачу в гельдеровых пространствах. Введем следующие обозначения. Consi будем обозначать произ-вольное положительное постоянное число. Шар \и --ч Я Іх-уІ г] обозначим через В/їг,г) ; шаровой слой ( : єRmt2j loc- l 22} через В(х,ги 22) , а единичную сферу в R - через -Qm_1 . Пусть через начало координат проходит некоторая гиперплоскость, вектор нормали к которой обозначим символом со . Эта гиперплоскость делит сферу S2 на две полусферы: fs Sei? , (td,S) о ), Sє Si } ((0,s ) о) . В дальнейшем произвольную полусферу, полученную указанным образом, будет обозначать через S?1 . Относительно ограниченной области G сделаем следующие предположения. Граница ее есть (№ 1) - мерная замкнутая поверхность, в каждой точке х которой существует касательная плоскость К и, следовательно, нормаль. Предполагается, что существует число Вь о такое, что Х+ тпх єQ, JS?пх для всякого г, 0 % -&в0 и для любой точки Хє ЬО- , где ЙЛ - единичный вектор внутренней нормали. Построим следующую декартову систему координат в R с центром в точке х хє: о& . Первые м 1 взаимно ортогональные оси расположим в плоскости /Сх , а Ш - ую ось направим по вектору У}х . Таким образом, откуда вытекает справедливость теоремы. Пусть область Q удовлетворяет условиям основной теоремы I.2.I и 1(0(-,0) непрерывна на & xSl . Если оператор Д определен и ограничен из пространства Ну в себя и если fior.g) а а(е) , тогда условия (I.I.I), (І.І.2) необходимы. Докажем, что если f(x,9)=4[6) , то из того факта, что оператор /) определен и ограничен из Ни, в //и , следует равенство J ffofl; а$=о . Сразу же заметим, что необходимость J f ( ,$) de o очевидна, так как в противном случае .St сингулярный интеграл (Аи)(ос) просто не существует в тех точках х , где иіюфО . Теперь предположим, что найдется полусфера J??f такая, что если отсюда удастся вывести, что (ЛиурОё Нь хотя бы для одной функции и(Ю Ну , то тем самым необходимость условия J J(9)d$ ==0 будет доказана. Мы покажем здесь, что в ка честве такой функции и[х) можно взять UM=1 , при этом [Ли) Ы) не только не принадлежит пространству Ну , но даже не принадлежит пространству С(Ю . Существует точка 2о 0 0- , обладающая свойствами: Ї) =СО0 и область С це-ликом лежит в полупространстве Rfa) , № {%:(у-г. г 1%л) о] В силу гладкости О G- существует число в о , o fi1 такое, что если Ь2 , 0 г , то f (i,z) Q ж №, ) пересекается с только по Рассмотрим [Аи)(ъ) при гично доказательству теоремы . одной точке 20 . в работе 1б ] получается, что J hoc, э) do = 0, УхєО, Введем следующие обозначения: со(эс,г) , S(x,z) - соответственно шар и сфера в пространстве 8. радиуса і с центром в точке дг R . В дальнейшем будем считать, что граница Ъ области Q есть (т-1) - мерная замкнутая поверхность, для каждой точки которой существует со( , о -) , $х о такой, что множество U (х) = Э/?со (х, 8 у в некоторой системе декартовых координат f,..., /» с началом в точке х. (соответствующее ft? -мерное пространство обозначим через R ) представимо в виде графика некоторой непрерывной функции Предположим также, что внутренность шара сд(», $ поверхностью ЪФ делится на две односвязные области, одна из которых целиком принадлежит Q ; кроме того, предположим, что ft? - ая координатная ось в окрестности точки направлена в сторону внутренности множества G . (Уп-0 - мерное пространство декартовых координат ,,..., . Обозначим через К . Тогда каждую точку пространства можно представить в виде (г, цу , где г є К ; в этих обозначениях уравнение (2.І.І) и множество U записываются следующим образом где У (be) - ортогональная проекция (JiX) на , при этом за-метим, что U (оО содержит некоторый (т-0 - мерный шар радиуса о с центром в точке (ЇМ,-.., о)е , относительно области 6-сделаем следующее предположение: для каждой точки xe G- сущест-вует положительное постоянное Яд. такое, что для любых 2,,2 и(х) Заметим, что область, ограниченная гладкой поверхностью, обладает всеми требуемыми свойствами. Для каждой точки Z IG- и $ о определим множество которое назовем цилиндром. Для каждой точки хе R обозначим zix) Inf 1х-щ Для областей, обладающих вышеприведенными свойствами, имеет место ЛЕММА 2.I.I. Пусть ХЄІЇ . Эти результаты являются еще одним оправданием того, что если характеристика (х, 9) обладает обычными условиями гладкости (но не обладает свойством (2)), оператор /\ надо рассматривать в пространствах непрерывных в функций, имеющих рост в окрестности границы В связи с этим, в работе сингулярный оператор А рассматриваются в двух случаях: 1. область G и 6) обладают условиями типа условий теоремы I. Ставится задача: рассмотреть ограниченность оператора А в пространствах функций, удовлетворяющих обобщенному условию Гельдера на с мажорантой СдеМН (совокупность модулей непрерывности первого порядка). Этой задаче посвящена глава I, 2. Q - область с липшицевой границей, a jfc д) - непрерыв ная на Q yi? функция, обладающая свойством (I), а плот ность и(ч) непрерывная в . функция. По второй задаче первые результаты принадлежат польскому математику Погожельскому [27,28,29] . а и доказал их инвариант ность относительно оператора А в случае, когда GcR (ії г) _ ограниченная область с ляпуновской границей, а параметры ос и к удовлетворяют условиям: По определению, непрерывная в G функция U(x) принадлежит классу В , если: Отметим, что, вообще говоря, дальнейшее исследование сингу лярного интеграла (І) в случае 2, проводится по аналогии с одно мерным случаем. , В работе [з] дано весовое описание пространств В , а также доказано, что Ьи остается инвариантным относительно оператора А , если 0 h i , о 1 В работе Г4] эти результаты обобщены как относительно класса областей G , так и относительно шкалы Банаховых пространств, содержащих в частности шкалу пространств 5 . В работе [2І сингулярный оператор рассматривается по ограниченной области Q с липшицевой границей 3 G (подробно см. 2.1? и вводятся характеристики типа Я и Со (см.[2,23] ). Вводятся пространства типа W [2] , выражаемые в терминах характеристик і? и со с заданными мажорантами у , (р . Най дены достаточные условия на у , , обеспечивающие ограничен ность оператора А в пространствах Цуф . о Также дано описание НМФ в виде весовых пространств На Это описание позволяет доказать ограниченность оператора Ц о о в пространствах // при некоторых естественных условиях на Отметим, что в одномерном случае доказано, что каждое про-странство //to , инвариантное относительно сингулярного оператора А и. sJ ц(— S , изоморфно некоторому инвариантному пространству ИФФ . Перенесение этого результата на многомерный случай затруднительно. Также затруднительно изучение сингулярного оператора в терминах пространств гІФФ с последующим переходом к весовым про-странствам Н . В связи с этим ставится задача изучения оператора А в шкале пространств //w (с разными w,y? ), Этой задаче посвящена глава П диссертации. В частности, найдены достаточные условия на ("/ ,«) и (р , , обеспечивающие ограниченность оператора А Н /// . а также доказана неулучшаемость этих условий в определенном смысле (см. теорему 2.3.5). В главе Ш с использованием результатов главы П доказывается разрешимость одного класса системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Перейдем к изложению основного содержания диссертации. 1.1 носит вводный характер. Приводятся известные результаты об ограниченности сингулярного интегрального оператора А в классе гельдеровых функций. В 1.2 приводится определение ограниченной области є R с границей З еС и излагаются некоторые вопросы, связанные с локальными координатами. Использованием результатов главы Е доказывается применимость принципа Шаудера "о существовании неподвижной точки" к системе (3.1). Если заданные функции и 9 00 УДвлетвоРяют условиям 1)-5) и если постоян ная JH удовлетворяет условию Л/ ч 1 , то н 2п тал { си с2] система сингулярных уравнений (3.1) имеет по крайней мере одно решение [ ,..., fh J, где (х)є Н0 ,0 1,...,п Отметим, что принцип Шаудера к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям [ll,12] впервые применен А.И.Гусейновым. Полученные результаты обобщают соответствующие Погожелского [30] и Рузметова [I8J как относительно области G , так и отно-сительно шкалы пространств // . - 15 Основные результаты диссертации были доложены на семинарах член-корр.АН Азерб.ССР А.А.Бабаева в Азгосуниверситете им.С.М.Кирова, на УЇІ Республиканской научной конференции аспирантов ВУЗов Азербайджана, а также на ХХКУП Британском математическом коллоквиуме в Кембридже (апрель 1985г.). Диссертация выполнена под научным руководством член-корр. АН Азерб.ССР, доктора физико-математических наук, профессора А.А.Бабаева и кандидата физико-математических наук, доцента С.К.Абдуллаева, которым я выражаю глубокую и искреннюю признательность. Пусть Q - ограниченная область в R , т ,2 ; и(х) непрерывная функция в G , s{ S вє Q , /S/ -1} ; функции ffc &) , #e G , вє& непрерывны на G Q . Для функции Ul h удовлетворяющей условию Гельдера, С.Г.Михлиным Гі4] установлено необходимое и достаточное условие для существования сингулярного интеграла которое заключается в том, что при фиксированном х& среднее значение j.(cc в) на сфере J? равно нулю. Кроме того, им же было установлено, что при выполнении этого условия и наличия некоторой гладкости характеристики Jffab) , 1г{х)є С (Q1) , где Q -строго внутренняя подобласть области . Однако было выяснено ГбЛ , что независимо от гладкостных свойств характеристики J(x,&) интеграл 1r(oc) , вообще говоря, не принадлежит ни пространству , ни даже пространству C(Q) . Интегралы типа 1г(х) возникли и в теории потенциала, и G. Gizand[26] удалось показать, что вторые производные объемного потенциала принадлежат пространству С (G) . - 17 Д.С.Аниконов f6j, требуя лишь большую гладкость границы об ласти Q (2(тЄ С (см. 1.2) доказал, что 1г(х) є С (G) и условие j(oc, Qh f(x,Q) достаточно (а в случае характеристики, не зависящие от полюса, и необходимо) для того, чтобы оператор был определен и ограничен в С (S) . Далее известно[15J, что для существования сингулярного интеграла Є. Іх-уГ Аг-у/ в точке Хє G при выполнении условия Дини f — — ai 0О о ( &\ Ю - модуль непрерывности функции и(у) ) достаточно (и необходимо при и(ос)фО ), чтобы выполнялось равенство jf(x, )de o CI.I.D і? В этой работе рассмотрен сингулярный интегральный оператор и найдены условия, обеспечивающие ограниченность его из пространства Ну в себя и, следовательно, принадлежность функции 1г(ас) пространству //«, (см. 1.3). Работа является непосредственным обобщением результатов Д.С.Аниконова, рассматривавшего подобную задачу в гельдеровых - 18 пространствах. Введем следующие обозначения. Consi будем обозначать произ-вольное положительное постоянное число. Шар \и --ч Я Іх-уІ г] обозначим через В/їг,г) ; шаровой слой ( : єRmt2j loc- l 22} через В(х,ги 22) , а единичную сферу в R - через -Qm_1 . Пусть через начало координат проходит некоторая гиперплоскость, вектор нормали к которой обозначим символом со . Эта гиперплоскость делит сферу S2 на две полусферы: fs Sei? , (td,S) о ), Sє Si } ((0,s ) о) . В дальнейшем произвольную полусферу, полученную указанным образом, будет обозначать через S?1 .Постановка задачи и некоторые.предварительные сведения
Изучение сингулярного интегрального оператора в пространствах HD
Изучение сингулярного оператора в весовом гельдеровом пространстве
Классификация гельдеровых пространств с весом
Похожие диссертации на Исследование многомерного сингулярного оператора по ограниченной области с непрерывной плотностью и его приложения
