Введение к работе
Актуальность темы. Пусть U — банахово пространство, а операторы L : domL —» U ж М : domM —> Ы линейны и замкнуты с областями определения domL с U и domM с Ы . Снабдим линеал domL нормой графика || ||^ = \\L || 4- || |[, где || || — норма пространства U , и получившееся банахово пространство обозначим символом UL . Отметим, что пространство Ui непрерывно вложено в пространство U , а оператор L : Ui —> Ы непрерывен.
Введем в рассмотрение L-резольвентное множество
р\М) = {/іЄ: (/iL-M)"1 eC{U-Uc)}
и L-спектр oL(M) — С\ pL(M) оператора М. Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств оператора М в случае его а-ограниченности, р-секториальности и L -радиальности относительно оператора L Некоторые теоретические результаты прилагаются к конкретным краевым задачам для уравнения
{pL-M)u = j,
где L и М ~ простейшие эллиптические операторы.
В случае, когда существует оператор L"1 Є L(U\Ul) , информация о спектре и поведении резольвенты оператора L_1M помогает нам однозначно решить задачу Коши
и(0) = щ (0.1)
для уравнения
Lu=Mu, (0.2)
Предположим, что в уравнении (0.2) оператор L не является непрерывно обратимым, в частности, будем считать, что его ядро ker L {0}. В этом случае уравнение (0.2) принято называть уравнением типа Соболева.
К задаче (0.1), (0.2) редуцируются некоторые начально-краевые задачи, для уравнений и систем уравнений в частных производных,
не разрешенные относительно производной по времени, возникающие при моделировании различных реальных процессов. Таковы, например система типа реакции-диффузии, моделирующая широкий класс экологических процессов, а также процессы реакций с диффузией; система уравнений Осколкова, моделирующая движение несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта. Необходимость исследования разрешимости таких прикладных задач обуславливает актуальность разработки соответствующей теории.
В настоящее время уравнение (0.2) как в абстрактной форме, так и в различных конкретных его интерпретациях представляет собой объект, вызывающий интерес многих исследователей. В истории изучения задач (0.1), (0.2) можно выделить два направления. К первому мы отнесем результаты, лежащие в области функционального анализа, приложения которых к начально-краевым задачам для уравнений в частных производных носят характер иллюстративных примеров. Ко второму направлению относятся результаты, лежащие целиком в области теории уравнений с частными производными. Поэтому в нашем кратком обзоре мы ограничимся рассмотрением только тех работ, в которых явным или неявным образом возникают относительно а-ограниченные либо относительно р-секториальные операторы.
Исторически первыми результатами по задачам (0.1), (0.2) следует считать результаты Ф.Р.Гантмахера, непосредственное распространение результатов которого на случай бесконечномерного банахова пространства было сделано учениками СГ.Крейна С.П.Зубовой и К.И.Чернышевым. Они рассмотрели случай фред-гольмова оператора L (то есть mdL = 0). Абстрактную спектральную задачу (0.2) исследовал В.В.Диткин в случае, когда оператор L : Ых, —> Ы компактен , а оператор М : Ui —> U непрерывен.
В рамках второго направления наиболее значительным вкладом в теорию спектральной задачи
Ми = цЬи (0.3)
являются работы Р.А.Александряна, Т.И.Зеленяка и М.В.Фокина. Они дали анализ L-спектра а1{М) оператора М в зависимости от
области Q,. В работах указанных авторов оператор М оказывается о-ограниченным относительно оператора L. Спектральная задача (0.3) рассматривалась С.Г.Пятковым в предположении, что оператор М ограничен снизу, а оператор L вообще говоря определенного знака не имеет.
В настоящее время теория относительно и-ограниченных (относительно р-секториальных) операторов и соответствующих им групп (полугрупп) операторов с ядрами интенсивно развивается Г.А.Свиридюком и его учениками Т.Г.Сукачевой, В.Е.Федоровым. Основной целью этой теории является поиск условий, при которых фазовое пространство уравнения (0.2) совпадает с образом группы (полугруппы) разрешающих операторов. В существующем ныне наиболее полном обзоре [ 1 ] г приведены основные известные к настоящему времени результаты теории относительно а-ограниченных и р-секториальных операторов и соответствующих им групп и полугрупп разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.2).
Цель работы. Как показано выше, относительно спектрально ограниченные операторы встречаются в работах многих исследователей. Однако проверить на практике факт (L, а)-ограниченности оператора оказалось достаточно сложно. Целью работы явилось нахождение таких достаточных условий (L, а) -оганиченности, которые формулировались бы в терминах операторов М и L и не требовали бы обращения к і-резольвентному множеству оператора М .
В связи с наличием большого числа ограничений в определении (Ь,р)-секториального оператора, предложенного Т.А.Вокаревой [2] 2 , возникла необходимость упростить это понятие, а в связи с этим и всю теорию операторов данного вида.
Обобщением (Ь,р)-секториальных операторов являются L-ради-альные операторы, мало исследованные ранее. В связи с этим потребовалось описать аналитические полугруппы операторов с ядрами в
1[1]Сеиридюк Г. А. Ті общей теории полугрупп операторов // Успехи матем. наук. 1994. Т.49. N4. С.47 - 74
[ 2 ] Вохарееа Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами. Лисе. ... канд. физ.-мат. наук Санкт-Петербург, 1993.- 107 с.
случае L -радиальности оператора М в русле общей теории поя; групп операторов, предложенной Г.А.Свиридюком и изложенной
[!]
Методы исследования. Для решения указанных выше задач и<
пользуются методы функционального анализа и метод фазового прі
странства, основы которого заложены Г.А.Свиридюком.
Научная новизна. В работе получены следующие новые резул:
таты:
доказаны достаточные условия (L, с)-ограниченности опер; тора М]
доказан критерий (L, о) -ограниченности оператора М в ел; чае фредгольмовости оператора L ,
доказана выводимость одного из трех условий определена (L,p) -секториального оператора; из двух других, то есть упрогцеь определение этого понятия и других понятий, с ним связанных (ні пример, сильной (Ь,р)-секториальности). Это привело к упрощени: теории операторов данного типа;
установлена структура фазового пространства задачи (0.1 (0.2) в случае относительно радиального оператора М;
найдены необходимые и достаточные условия і-радиальност оператора М;
Все результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Основная часі результатов носит теоретический характер. Прежде всего к ним о: носятся обобщения результатов по аналитическим полугруппам ош раторов с ядрами в случае L-радиальности оператора М. Получе] ные результаты могут быть использованы для дальнейшего развити качественной теории исследуемых задач в случае, когда оо являете существенной особой точкой спектра oL(M).
Практическая ценность результатов диссертации в том, что он позволили исследовать разрешимость конкретных прикладных з; дач, сводящихся к абстрактной задаче (0.1), (0.2). Данные результ; ты могут быть использованы для чтения спецкурсов по теории ура] нений типа С.Л.Соболева в университетах.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, дс
кладывались и обсуждались на научных конференциях преподавателей Новгородского педагогического института по итогам научно-исследовательской работы за 1990— 1992 гг., на семинаре профессора А.П.Солдатова в Новгородском государственномуниверситете в 1993— 1994 гг., семинаре профессора Ю.Г.Борисовича на Воронежской зимней математической школе в 1995 г., на Герценовских чтениях в РГПУ им. А.И.Герцена в 1995 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 — 4]. Результаты, опубликованные в совместных работах с научными руководителями, получены автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 88 страницы . Библиография содержит 78 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.
Похожие диссертации на Исследование полугрупп операторов с ядрами
