Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Восстановление базиса ядра линейного оператора в гильбертовых пространствах 12
1. 8 -базис ядра линейного оператора и его свойства. 12
2. Алгоритм восстановления В - базиса ядра оператора А в гильбертовом пространстве 21
3. Дискретная аппроксимация бесконечномерного алгоритма 32
ГЛАВА 2. Регуляризирувдие алгоритмы в пространстве функций ограниченной вариации 41
1. Регуляризация уравнения I рода в пространстве функций ограниченной вариации 41
2. В -базис в пространстве функций ограниченной вариации и его свойства 52
3. Алгоритм восстановления В -базиса в пространстве функций ограниченной вариации 55
ГЛАВА 3. Метод невязки для задачи определения В -базиса ... 65
1. Построение оптимального на компакте метода для точно заданного оператора 65
2. Выбор параметра регуляризации в задаче нахождения базиса ядра оператора 76
3. Конечномерная аппроксимация бесконечномерных ал горитмов 82
Приложение. 88
Заключение 97
Литература 98
- Алгоритм восстановления В - базиса ядра оператора А в гильбертовом пространстве
- Регуляризация уравнения I рода в пространстве функций ограниченной вариации
- Алгоритм восстановления В -базиса в пространстве функций ограниченной вариации
- Выбор параметра регуляризации в задаче нахождения базиса ядра оператора
Введение к работе
Специальный класс составляют задачи, решение которых неустойчиво к малым изменениям исходных данных. Интенсивное развитие методов решения таких задач началось с работ М.М.Лаврентьева, А.Н.Тихонова, В.К.Иванова. Результаты исследования этих авторов и их учеников изложены в L35J, L4I J, L63J. Ссылки на работы других авторов можно найти в I 641.
Рассмотрим задачу решения уравнения I рода
A a = J (o.i)
где А линейный непрерывный оператор,действующий из банахова пространства U в банахово пространство F
Определение I. Говорят, что задача (0.1) является некорректно поставленной (по Адамару), если нарушается хотя бы одно из условий:
1) Область значений оператора A R(A) = F.
2) А взаимно-однозначный оператор.
3) Оператор А непрерывен.
Фундаментальным понятием, позволяющим устойчиво решать некорректно поставленные задачи, является понятие регуляризи-рующего алгоритма введенного А.Н.Тихоновым в L6IJ. Регуляризи-рующие алгоритмы строятся на основе итерационных методов [ 9], [ IIJ , LI9J, [б5J (библиография по итерационным методам есть в [бз] на стр. 59). Регулярные методы можно строить, заменяя оператор А близким к нему [44]. Широкое распостранение получили вариационные методы построения регуляризирующих алгоритмов: метод А.Н.Тихонова [62J, метод квазирешений [34], метод невязки [зз], метод обобщенной невязки [27].
Регуляризирующие алгоритмы позволяют использовать дополни - ' тельную информацию о точном решении, которая часто задается с помощью вполне непрерывного взаимооднозначного оператора В , действующего из банахова пространства 2 в V . При этом требуется, чтобы точное решение уравнения (0.1) принадлежало R ( В )» что равносильно L27J, L66 J некоторой гладкости точного решения. Регуля-ризующие алгоритмы в пространстве функций ограниченной вариации впервые были построены в L29J , L 30 J. В этих работах была доказана сходимость приближенных решений в Lp . В дальнейшем в работах [28J, L45J, L47J, I 52 J и независимо в работе автора [i] , удалось доказать равномерную сходимость приближенных решений. Заметим, что в регуляризирующих алгоритмах, использующих вариацию, на точ-ное решение накладываются достаточно слабое требование: \/cuiLU)<0 (монотонность или выпуклость искомого решения требовалась в [23J, [25], [2б]).
Необходимо отметить, что регуляризирующие алгоритмы позволяют получать приближение только одного решения задачи (0.1), как правило, & -нормального решения (смотри, например, [її], [49J, [50J .
Определение 2. Элемент Цреализующий
WHIIB-'UII: AU=S,U R(B)^ (02)
называется 3 - нормальным решением уравнения (0.1).
Это значит, что если выполняется условие 2), либо нам требуется В - нормальное решение уравнения (0.1), то применение регуляризирующих алгоритмов эффективно. Иначе необходимо привлекать дополнительную информацию об искомом решении.
Обширная литература в теории обратных задач посвящена дока-
1. Тезисы этой работы были опубликованы ранее в кн.: Всесоюз. конф. по некорректно поставленным задачам.: Тезисы докл. Фрунзе,
сентябрь 1979. - Фрунзе: ИЛИМ. - 1979. - с.З.
тельству того, что А взаимно-однозначный оператор [42], [43] (оператор А нелинейный). Для линейного оператора критерии выполнения условия 2) сформулированы в [б], L2IJ, [38J. В случае нарушения условия 2) для задач гравиметрии и магнитометрии в Г20], [57J описаны все решения задачи (0.1), (А - нелинейный точно заданный оператор). Обзор работ такого рода есть в [54J.
Для оператора, являющегося сужением оператора А на R (В ), обратимость равносильна условию К 61А П R (В) = 0j. Для получения общего решения (0.1) в R ( 8 ) достаточно знать В -нормальное решение (0.1) и базис в КЄІ АП R(B) (если точное решение Uo^Md) ). В приложениях возникают уравнения, у которых КЄЛ А Пк(В)*{о|и для этих уравнений необходимо определять все или некоторое множество решений. Эта задача представляет также общематематический интерес. При этом, задача определения базиса в КЄЛА О R(B) по оператору А ^ IIА " Ah.Ik d является неустойчивой, если область значений оператора R(A) не замкнута в F .
Основная цель диссертации - построение регулярных алгоритмов определения базиса в KeiAOR(B) по оператору Af,, .
Для задачи определения базиса в гильбертовых пространствах впервые построены аналоги метода А.Н.Тихонова и метода невязки. Установлена связь этих методов. Для метода А.Н.Тихонова выписан аналог уравнения Эйлера, что позволяет свести построение приближенных решений к задаче определения собственных функций оператора
Построены регуляризирующий алгоритм для решения задачи (0.1), использующий вариацию, и соответствующий регулярный алгоритм определения базиса в Ke/L А О R С В).
В терминах аппарата дискретной сходимости получены достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям соответствующих бесконечномерных задач.
4) Исследованы свойства функции У (ос) = ( 8г+ 01 Xі) / /Чи) (/40()- минимальное собственное число оператора Qoi = A*A+((B") В ) - основной оценочной функции [ 72 ] погрешности оптимального на компакте М г - t U s
II В ~ U. (| ^ 1 } метода и модуля непрерывности обратного к А оператора.
Оценками точности регуляризирующих алгоритмов занимались многие авторы. Неравномерные оценки получены в [ 25 ] (в [б4 ] есть ссылки на другие работы). Как показал В.К.Иванов в [ Зі] для линейного вполне непрерывного оператора А равномерные оценки точности возможны только на ограниченно компактном множестве. Оценки погрешности на компакте Мг для нелинейного оператора проводились в L 13 j, Г 24 J, [бв], для линейного точно заданного оператора в [ю], [і4], [бо] (оценки в случае, когда КегА П R(B)*CJ получены в [59 J ). В случае линейного возмущенного оператора оценки точности строились в [її], L58J. Оптимальные на Мг методы строились в [бб]. Связь этих вопросов с задачей С.Б.Стечкина Г 55 J изучалась в [el
Согласно [ 72] минимум функции Yfa) совпадаете со(5}г) - модулем непрерывности обратного к А оператора, функция
CJ(S,l) играет важную роль при оценке погрешности регуляризирующих алгоритмов на Мг . Общие методы вычисления cv(S,z) рассматривались в [ 7 ], [в], Гзг], [4о], [ 73 ].
Следует отметить, что основная цель при исследовании задачи определения базиса в К е г А П R (В) и задачи вычисления погрешности оптимального метода является общей, а именно, построение регулярного алгоритма решения соответствующей задачи. Для некоторых операторов А эти задачи можно решить аналитическим. Модуль непрерывности Ю (8 у Ч.) обычно выражают
- 7 -через спектр оператора А А . При этом требуется, чтобы оператор А А коммутировал с (В / В , в то время как, для применения алгоритма вычисления uj(8, ъ) коммутируемости операторов А А и (В ) В не требуется, не требуется также знание спектра оператора А А .
Перейдем к изложению материала по главам.
В главе I для линейного непрерывного оператора А , для случая, когда JJ , F , 2. гильбертовы пространства, построен регулярный алгоритм восстановления специального базиса в КегАЛ
R ( В) по оператору A h, . Описание расчетов и обсуждение результатов по применению алгоритма, построенного в этой главе, приводятся в приложении.
В 1 обсуждаются вопросы корректности задачи восстановления базиса в К ег А П R ( В) по оператору А к » введен специальный базис в К е. г A fi R ( В) и исследованы его свойства.
В 2 рассмотрена последовательность экстремальных задач
^Н'ІАь Ullp +*\\B"*U\ll ' U6l/i,IJU//v-l}, (0.3) где Ui=R(B) , a Ui=tUeR(B) :(U, tLjh)-0, js-j, ... *- - 1 j ^} — решения (0.3) полученные ранее }. Последовательность задач (0.3) является аналогом метода А.Н. Тихонова. Далее доказано, что l U,$. Jt = і совпадает с последовательностью собственных функций оператора
Оа-^ь,Ак~*"&(В ) и у занумерованных так, что соответствующие собственные числа упорядочены по возрастанию. Доказана теорема сходимости і Ні }^і к специальному базису в К ег А П R ( В) (введенному в 1) при & -» О , fu-*- О , (г /й -^ О . Также установлена сходимость С Ut J гe i
к базису в ЬСег А П R (В) при ot-> О, k->o., kl/a. ^const. В случае, если КегА П RC8) = o} доказано, что || В"' U. *fc/l-> оо при OL -> О , к -+ О.
В 3 формируется последовательность конечномерных задач и в терминах дискретной сходимости ( [ 12], [70 ], [ 71 ], [ 74 J, смотри также, [ I6J, ,') сформулированы достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям задач (0.3) (другой общий подход к изучению конечномерных аппроксимаций описан в [58]). В результате для определения базиса в КегА П R(B) достаточно найти собственные функции, отвечающие малым собственным числам симметричной положительно определенной матрицы.
В главе 2 определен вполне непрерывный оператор вложения
банахова пространства L V = { U. є L pzoL)ii:XOL ^<е>^ ъ ^ р ( L V имеет норму: HU||tv= ||u,.||Lp + otiCUJ ).
Рассмотрен метод А.Н.Тихонова решения уравнения (0.1) с этим оператором В (оператор А , вообще говоря, нелинейный) и аналог метода А.Н.Тихонова определения базиса в KeiAHR(B) (для линейного оператора А ). Этот базис в часности:может состоять из разрывных функций.
В 1 построен регуляризирующий алгоритм для решения уравнения (0.1) и рассмотрены его конечномерные аппроксимации.
В 2 определен специальный базис в КегА П LV и исследованы его свойства.
В 3 введена последовательность экстремальных задач
toj{ HAkUHp + а $аг[и] : UeVL , II иІІ„мЗ, (о.4)
где Ui = L V , Vi - {UeL V : (11,1^) = 0,4 = V-
I - і , Uj - ранее найденные решения (0.4)) .
„ ґ „ W-ї іг»і' к специально-
му базису (введенному в 2) в КегАП R(8) при сх -> О j
k -* 0 ) a Л* —> О Также рассмотрены конечномерные
аппроксимации задач (0.4) и сформулированы достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям задач (0.4).'
В главе 3 в гильбертовых пространствах U , F , Z рассмотрены две задачи. Сначала исследуется функция Y4
Далее рассмотрен регулярный алгоритм восстановления специального базиса в К ЄЛ А П R ( В) по оператору A iv Этот алгоритм можно назвать методом "невязки". Установлена связь с введенным ранее в 2 главы I регулярным алгоритмом определения базиса в Кег А П R(B).
Введены конечномерные аналоги метода "невязки" и сформулированы достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям соответствующих бесконечномерных задач;. .
В 1 сначала доказаны леммы, которые используются затем на протяжении всей 3 главы. В этих леммах изучаются свойства функций J<«x) , Y (<*) = 11 A Ua UpVllB^UjI^- SVt*
II A IU ||F).H В"1 U a 11 , где U«c - собственная функция оператора Q* > отвечающая -/*(<*) (/<(*) минимальное собственное число) такая, что II U« llv= 1 . Затем для точно заданного оператора ( k - О ) дано другое доказательство основных результатов [ 72 J и установлены свойства функции Vte)
В 2 определена последовательность экстремальных задач
Ulf{IIB~'ulla: UeJJi , llUllvf , I/AkUIIp^L}, (0.5)
где Ui - R(B), Ut = It* \]л і (UyU%) =0, j= 1,. . . (.-1, U? - функции удовлетворяющие (0.5)).
Доказана теорема сходимости С W.t }tei к специальному базису в КегА П R(B) при к — О . Установлено, что при выполнении некоторого условия для всех і і Ы существует
(А такое, что множество решений задачи (0.5)" совпадает с множеством функций,удовлетворяющих условию //А^и<*//= К, и являющихся решением задачи
"tf{ II A kUj* +*fB"ul\ UeVcJlUl^l}, (0.6)
где I7>={U^ RIB): (U, и^)= 0,i = 1, . . . 1-1} то же множество, что и в задаче (0.5).
В 3 с помощью аппарата дискретной сходимости рассмотрены конечномерные аппроксимации задачи минимизации VYtfJ и задач (0.5). Обсуждается применение метода штрафных функций для снятия ограничения We [/| в задаче (0.6).
Приложение содержит расчеты, иллюстрирующие применение алгоритма из 2 главы I для восстановления базиса в КегАЛ R(B) по оператору Ак Эти расчеты показывают, что интегральное уравнение Фредгольма I рода, возникающее в методе рентгеноспект -рального структурного анализа ( Е X A FS) , имеет неединственное решение. Метод X A FS служит для определения функции радиального распределения атомов, которая является важной характеристикой внутреннего строения аморфных тел. Работа по созданию методики обработки данных рентгеноспектрального структурного анализа ( В XAF S ) и дифракции проводилась совместно ИШ и ИММ УВД'АН СССР.
В приложении также, на примере уравнения, возникающего в методе Е X A F S , обсуждаются особенности решения уравнений, имеющих неединственное решение. Рассматривается уравнение возникающее в методе дифракции, которое имеет единственное решение.
- II -
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах член-корреспондента АН СССР В.К.Иванова в Уральском государственном университете в г.Свердловске (1978 - 1984), на всесоюзной конференции по некорректно поставленным задачам (Фрунзе, 1979), на конференции молодых ученых в г.Ленинграде (ЛОМИ, 1980), на школе-семинаре по теории некорректно поставленных задач (Самарканд, 1983), на школе молодых ученых в г.Новосибирске (1984).
Автор выражает благодарность своему руководителю к.ф.-м.н. В.В.Васину за постоянную помощь и внимание.
Г Л А В A I.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ БАЗИСА ЯДРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.
1. В - базис ядра линейного оператора и его свойства.
Пусть U , р гильбертовы пространства, А линейный непрерывный операторjдействующий из U в F, с незамкнутой в F . областью значений. Вместо оператора А известен оператор А ^ ; II А "" А ц II h, \ Далее всюду, где это не вызовет недоразумений, опустим знак пространств при нормах. Кроме того, все последовательности собственных векторов считаем занумерованными так, что соответствующие собственные числа упорядочены по возрастанию. Рассмотрим задачу определения базиса в ядре оператора А К ei А - { U.e U ' А ц= о} по оператору A^, Для этого введем меру близости между двумя наборами ортонорми-рованных последовательностей ТП-j и Ш^ (аналогичная мера вводится при определении Я - сходимости [35J стр. 42);
dw(Tni,1Tii) = Sup uif sup llUi- Veil . (I.I)
Для конечномерного случая задача нахождения базиса в ядре линейного оператора в определенном смысле устойчива относительно возмущений оператора. Пусть оператор А является матрицей,
[/= R , F = R (область значений оператора замкнута
в F ). Обозначим через VI ^ все ортонормированные наборы
- ІЗ -
собственных векторов матрицы А^ А ^ (соответствующие собственные числа згпорядочены по возрастанию), а через 7П - совокупность ортонормированиях базисов в Ket А - Xti А А Содержание нижеследующей теоремы, по-видимому, является известным, но не встречалось автору в нужной форме.
ТЕОРЕМА I.I. Если размерность /Cet А больше либо равна А/ , то Л-ы(Пк}ГП) -* о при п. ~+ и . Доказательство будем вести индукцией по N . Пусть di (Уґіь. ,^) -V О при k-+0 . Это значит, что
Существует С>0 , ПОСЛеДОВаТеЛЬНОСТИ Гін, t «і Ji.=-f
^itrt. , такие, что п.«.~*0 при /t -*
u^ft-vjl». (1-2)
Так как || И^ \\ -'\ , то,без ограничения общности,
можно считать, что, U. і ~> W при /г-vо (в норме R )
Поскольку
Н a, Utktl!| = inf {IIVw« --«аііи}^^
IIA w IM W II A ц*"11 і tm (/IAU u^*h
Значит , W KeiA , что противоречит (1.2).
пусть с!*-і(тпк, m)-* о при /і-*о и tf„ с 7nK)m)-v>o
при h. -* О , . '
Это значит, что существует >0 , последовательности Я п., { U. Г );-ч є ТП. l такие, что /in"* О при /і-+<*» и
ini, $"P llU^-Vill»*. (1.3) По предположению индукции
при M -> oo . Тогда существуют і Vi }* є ТП такие, что
sup \[u^h- v?ll-+ о
при а -> оо . Поскольку II Vі К - 1 , то можно считать,
что У-Л -> Vi при Л->оо для l=1,...IV-7 и {ViJ^Ttl
Тогда
sup Uu^^VlU -*о
при И-»оо . Так как Ц U J* 1/ = ^ , то можно считать, что U^*1 —> W при ft-* о . Поскольку (W>Vi) = 0 для t =*,... ЛЛ-1 ( (\Л/, V) = &m ( V>fc, />*я) ) то, чтобы прийти к противоречию с (1.3), достаточно показать, что
V* Кег А.
Положим
v:=(i/N -f W, uht*ft) u^11; /и v„ -r^^Vm.
Так как ( Vv , UL ^^)-+0 для і = 1, . . . Л/- 1 при ft.-+00 ,
то V^ —у V* при *г-+оо .С другой стороны
II AklvuKv^||= uif {ІІАкл ц.|| : II U|/=1 ,(и,ик?*)*о, і»і,... А/-1І * II Ak„Vb II 4 k^+IIA V^II^O
при Hi ->oo . Поэтому
IIA W|| = hm. II AuVl * ^fn {k„ +II A,. (/^1() = 0.
Значит W Kei A , что. противоречит предположению (1.3).
Вернемся теперь к случаю, когда U , F бесконечномерные пространства и область значений оператора А не замкнута в F . Покажем, что din (^k> W)A*0 при к^-О . Для этого нам понадобится определение псевдообратного оператора([35]стр.29,
Определение I.I. Псевдообратным оператором для А назовем оператор А с областью определения ^(А ) = R (А) R(A) и A+5=Vl/ , где VeS = tU* U - Au=Qf} такой, что || V\\ < И U\l для всех U е 5* , U * V Здесь означает прямую сумму, R(А)-область значений оператора А і R(A) пространство ортогональное R С A) , Q-оператор проектирования на пространство R(A) .
По теореме 7 [ЗбЗ стр. 30, так как /?(А) незамкнуто в F , А неограничен. Значит существует последовательность {.^Л} такая, что II UK\\ = 1 , для всех Ve Кег A (U.^,V) = 0 и А иЛ - О при »г -> оо .
Положим
A* u = A ( u -(u,^)^) .
Поскольку
II (А^ -A)u.||4 (ІАиЛІ|-Ки,ОІ * Л A uNNI u||,
то || А^- А II // А И*"II -> О при ft -* о . Выберем
и зафиксируем такое п , что II А ^ ~ А II ^ h. . Так как
А а tC^^-O » то существует С W-i }., с ТП^ такое, что U1 = Ц*1, Но
LTtJ II (І*- V1 // = I (1.4)
ввиду того, что ( Uft , Uj ) = О для всех У* є / Пусть В линейный взаимнооднозначный вполне непрерывный оператор из гильбертова пространства Z в U , с областью значений R ( В ) всюду плотной в U. По оператору Д^ будем восстанавливать базис в KeiAf)R(B) ( КегА OR (В) *№} ). В следующем параграфе будет предложен регулярный алгоритм восстановления специального базиса в І^гАП/?(В)і Введем необходимые определения, обозначения и исследуем свойства этого базиса. Пусть Ui = К lh О R (В)*[0). Обозначим через { U-J решения следующих вариационных задач ілШВ~1иГ-ЦеїА,//и// = <т]; (1.5) где Ui -{UetT, : (U,Uj) = 0 J = 1, ... t-1}. Если для некоторого t Vi~iO}, то последовательность будет состоять из 1-І элемента. Через Щ будем обозначать совокупность последовательностей { Ui^, удовлетворяющих (1.5), а через ТП совокупность всех ортонормированных базисов в КVIА П Rio) . Здесь, как и во всех других случаях, будем писать {Uc]1 даже если система iUi) конечна. Определение 1.2. Систему {U'L}1 , удовлетворяющую (1.5), будем называть В - базисом ядра оператора А, или просто В - базисом. Лемма І.І. В - базис ядра оператора А существует, то есть,всякое множество решений задачи (1.5) iUi]^ либо является В - базисом, либо U-l J-i может быть дополнено до В - базиса. Доказательство будем вести по индукции. С?= Ut {HB'Vll : UeU, , f/U|| = l]. В силу ограниченности I II б Vj II } и вполне непрерывности оператора В можно считать, что 8 ^ -* 8" l/o, Vj —* Vo при J- - оо ( —* означает слабую сходимость в пространстве Ї, -> сходимость по норме пространства V ). Тогда Vo Є Ui . II Vo II = 1 и HB"4lU&m НВ~Чі/=с? . Значит Vo есть решение (1.5). Пусть теперь { W-j},, построены и L/v + 1 ^lOj. Повторяя только что приведенные рассуждения,получаем, что существует (U.^J1 - решения задач (1.5). Исследуем свойства В - базиса ядра оператора А Лемма 1.2. Пусть ( W. і }^В- базис, УєКеіАПЯ(В) и (V) Ц.{.) = 0 для і = 1; ... Л/ . Тогда ( 8"1V, B'VchO для і = 1, . . . А/ . Доказательство. Пусть это не так: II V// — 4 и (B^ut, B'VJ «,Я*0. Построим элемент Up. удовлетворяющий следующим условиям NU.p, 11=1, иРЯєІГі , llB"1UPc,ll< II В"1 kill и, тем самым, придем к противоречию с определением В - базиса;. Положим tlB^Upil)1- ||В"1иіІ|4 + ІЧЯ+Ч;0(Ч), где tun 0(9)=0. Ч -»>о Выберем малое q такое, что і&<0 . Тогда II В"1 Up$1/< I/ S"~^1 Ы.г Н . С другой стороны UP9 e.Ui и ИмріИ«1 . Лемма 1.3. Пусть Cut} В - базис, tft = И6"1^:(/ Если Кеч Л (ШВ) бесконечномерно, то \) -*«» при 1-»ов, Доказательство. Если для всех і \){ ^ С ? то существует подпоследовательность { U і } сходящаяся в I/ .Но этого не может быть, так как f U і} ортонормированная последовательность. Обозначим через V линейное подмногообразие I/, порожденное (Ui) , где iUi) некоторый В - базис. Через V и KeiAnR(B) обозначим замыкания V и КЧгА (\R(B), соответственно, в пространстве V . Лемма 1.4. V = КегА (\R( В) , то есть В - базис является базисом в KeiAOR(B). Доказательство. Ясно, что V с KeiAHRvB). Поэтому достаточно установить включение Kci'A flR(6)cV . Предположим противное. Тогда существует V fCeiADR(B) такое, что V$V. Поскольку V замкнутое подпространство,можно считать, что V ортогонально V и // V // = f. Значит , Л В"1 U і И ^ II В"1 V II для всех і , что про-.' тиворечит лемме 1.3. (Если Kei А П R ( В) конечномерно, то доказываемая лемма очевидна). Лемма 1.5. Если {Ui} В -базис,- V є Кет. A OR (В) и (B"*V> B"1Uj=0 дляі=1, ... А/ , то (v,U.) = o для і = л . .. N. Доказательство. Пусть V- Т» Ci-Ui + ул где ( V< , U t) = О для I =г л, . . . N . Поскольку Ул є Vn+i = { Ue((eiAnR(B)j(u;uL)=o L=1,..-H}, то по Тогда для всех j- ^ N (B"V, jB-'UiJ'-Cj IIВ"1 ^ ».* Значит Cj. = О для j = 1 >. . . N и ( V ; W;) = всех UA/, Обозначим через 2 л подпространство Z > порожденное і В' "Ui}^ . Следующая лемма показывает, что СB"iUc}ii!i будет базисом в В (КеіА П RCB)). Лемма 1.6. Справедливо соотношение где черта означает замыкание в пространстве 2 Доказательство. Поскольку В' ( KeiA f\R(e)i замкнутое предположим противное. Пусть существует 6 В (KetA 'ПК(о)) такое, что 2Ф Zi . Как в доказательстве леммы 1.4 можно счи- тать, что 2 ортогонально всем элементам We ^ , «В 111=1 и В г. є КегА OR (В). Значит , ( В" В Ъ , В"1 Ц()=0 для всех с . По лемме 1.5 для всех I имеем ( В 2 і К. (.) = О. По лемме 1.4 отсюда следует, что В Ъ - О , а это противоречит условию Л В 2 I/ = 1 Лемма 1.7. Если Ue KeiA RR(B) , то справедлива неулучшаемая оценка где Vl= llB"1U.cll5V=IIB"V||/i|U||;A/TaKOBo, что \)*+i > l>i . Доказательство. Достаточно проверить это неравенство при II U || = 1 . Поскольку то справедливо неравенство ( V: монотонно возрастают). Отсюда имеем І = А/+1 1 = 1 Vv + 1 Vi . Убедимся, что оценка неулучшаема. Действительно, если . U= Ui/tfT + U*+i /№ , то llu /п\\ = f - -тг тс 2. Алгоритм восстановления 6 - базиса ядра оператора А в гильбертовом пространстве. Введем обозначение J* г .' - .і л . . її SL . ^ и D-1 ,і и 2. Ф uj =МАкиІГ+<х HB_1u Выпишем последовательность вариационных задач, которая поро СПИ Ф*[ U] : U С t/i , HUH = 1}, (1.6) где Ui-.i UeUi J (U>Ujfc) =0, Множество всех последовательностей і ^ l }і , удовлетворяющих .(1.6), будем обозначать ТМ .' Докажем, что 1Т7 совпадает с множеством всех ортонормирован-ных последовательностей собственных функций оператора Q<* = А к А к +Л(В ) В . Для этого нам понадобятся леммы 1.8, 1.9 (их доказательство аналогично доказательству леммы I.I и леммы 1.3) и формулы (1.7) и (1.8). я Mil ч О /W* * Ь. Лемма 1.8. Существует і U^ j^-.,, ТП. . Ф0^ Lt?K ] -* Оо ПРИ Ї-+ОС Обозначим через ^ ^+1= В" ( 1Д ) и определим функционалы. FL : 2L -* R , FlC2] - II В z IIі. Через г- обозначим производную Фреше. Тогда v гГ1ЕЦ , z) =^ (At АІгВІ; Bz) +а«Г2,2), (і.?) (1^^^2) = ^(62,82). (1.8) ТЕОРЕМА 1.2. ТИ совпадает с множеством.всех ортонормированиях последовательностей собственных функций оператора Qa = А Afc +«(Вт'Г В'1 , действущего И3 R(8 8*) в U (в теореме утверждается, что определенна U. L ). Причем, если ^і собственное число Q« отвечающее (A*k , то ^ = $>* t ufk]. Доказательство. Поскольку R(B) всюду плотно в У , то оператор В взаимно-однозначный, а отсюда следует, что существует (8*)~1== ( В"1) . Установим сначала, что U»" Я(ЬВГ) и что U?*1 собственный вектор оператора <2<х . Будем вести доказательство индукцией по і Пусть это верно для «М I , докажем, что U; + 1e R (8 В / Qt ft л л ^L+1 собственная функция оператора Q<* (дальнейшие рассуждения справедливы также при 1+1=1 ). Перепишем (1.6) в виде и для снятия ограничений применим правило множителей Лагранжа ([37] стр. 34, 74). Поскольку отображение Ч^ регулярно, то ввиду (1.7), (1.8) имеем для некоторого А R ((At AK-*E)u,Bz) + 0(6-^,2)=0, где И = В 2 U1 + 1 , для всех ZeZt + 1 Докажем, что это равенство справедливо для всех ъ й 2 . Действительно, пусть 2 а В "^ U і для . і - Л р . . * ^ тогда * ( u,<^-A}u.jfc)-o, так как U є Ui,+ 1 и (B*(AtAk-"AE)u + a6"1w.,?)=o для всех 2? . Отсюда сразу следует требуемое утверждение. Поскольку (U.**1}.^ по лемме 1.8 существует, то существует система собственных функций оператора Q*. содержащая Ш- і Jf. Пусть QolU-1 и}Ш\1 = 1 .Тогда +*[и] = И/КІЬк+*(в-1)Вті)и,")~*. Поскольку Qoi самосопряженный оператор, то собственные векторы Q* отвечающие различным собственным значениям оператора Q*. ортогональны. Докажем от противного, что всякий собственный век-тор Ц. оператора Q ФС и?! < 3 - 4>"С Я J < * "С we^J . -24-. С другой стороны U, є Un+i и это неравенство противоречит (1.6). Доказанная теорема позволяет определять С ^Г^}^* TYL*^ либо с помощью последовательности вариационных задач (1.6), либо как собственные функции оператора GU .Первый способ удобнее в теоретических рассуждениях, второй способ нужен для практического определения і U-L Зі . Перейдем к доказательству теоремы сходимости аналогичной тео-реме I.I.. Для этого введем меру близости между ТМ и ТїЦ - совокупностью В - базисов ядра оператора А . Эта функция порождает более сильную топологию, чем of л/ ( 7Т?а h у пг*\л) (смотри (I.I) ) с От"11, та. W up ** supi6-Yuik-v)ii<(i.9) ТЕОРЕМА. І.З. Пусть размерность КегАЛЯ(б) больше либо равна N . Тогда Т„Ст.^,ГПл)->0 при о( -v О у n,-*.Oj Доказательство будем проводить индукцией по N .По той же индукции будем доказывать неравенство ФвС^к].*а(1В"1иуГ+^(«,0); (і.щ где ^(аЛ)-*0 при ос->0, h.-*0 , й. /ос-* О. Нужно заметить, что по теореме 1.2 значения Ф Си і J не зависят от выбора { U* }'iai W. . Точно так же значения II 8 " ^ і и не зависят от выбора { U і} !(* 6 ТИ1 а) База индукции: N -1 > Ui = R (В) . Поэтому где [UlI^TH.,, . Значит,(І.І0)щш Ы- і доказано. Продолжим доказательство от противного. Пусть TifTM , ^1)^0 при а-О , К-* О , Я /ос-* О . Тогда существует >0 и последовательности йц , h* такие, что ос^-* о , h.*-* 0 » к/<**.-> О при *г-^о .Существуют { И."* К|г]^ е Щ*11*1* такие, что ЦТ" ИВ"1 u"""1*- B"V,II». (їді) Ввиду неравенства (I. 10) ЄІЇІ пв^и^и IIВ"1 и1 II. И->оо Цоэтому можно считать, что В Ц. J" * —=* Zo — 6 Vo ( —* означает слабую сходимость в Z ). Так как g вполне непрерьшный оператор, то II Vo 11=1 и Значит VoKe^AOR(B) «По свойству слабого предела и ввиду (I.IO). Soli* Ckn. и в"1 u** ^//5 \\в"цлч. .Из этого неравенства следует, что \/о = иа . Подставляя вместо Uі Vo . , имеем существование &m //8"1U^H-//- II 8"Ve//. Кроме того В"и.1и'*-*,6 Vo при л.-*ао . Следовательно В ~ 1 U (I.II). б) Шаг индукции. Ты ( УП*кі ТИ.і)-*О при а -* О для і = 1, . . , Л/. Old I Докажем неравенство (1.10). Для произвольного СК- }fe Уп*к выберем id] *7П 1 такое, что . Sup ИВ"1 (u^-ui) If * a^fm^,^) и рассмотрим проекцию U */+1 на множество { U є R ( 6 ) * ( U., U.^ ^)=0 1=1,.. . N } . Обозначим эту проекцию через 1=1 ' Тогда |1М|-1| *. Ku^u^isf yuV-utll«vvme,4). Поэтому jf- - 1+0(а.,Ь.) ) Urn O(a;k) = 0. Далее a(IIB-1u^J|-I IIB-'utNl-Ku?1, uW1)|). Пользуясь (1.10), для t = l, . . . Л/ получаем, что Ф" С vj і ( h. + І Л(ів-цііі»+лі^лй И "V-"і »Л А/ ,-4 С " "і la-f Так как Т^СШ , Ші)-*0 при <*-> 0^0,^ ->0, первое и третье слагаемые.в правой части этого неравенства,деленные на Ot , стремятся к 0 при <Х -> О , k-* О, к. /а -> О* Докажем неравенство (I.IO). Ф*[ ^1 ] < *"[V] //I I///** ос (1 + о<*,k)) (UB'1u„+1ll% 0^схЛ)) = * (IIB^U^/lV^^/i)), где j8(o(, Я)-^ О при а-» о, А.-* О, кг/а -+о. Продолжим доказательство от противного. Пусть Z ы„ (ТП^ГП^) -V О при су-*0, h. -*о, fiVa-* О. Значит,существуют >0 , dfc , кц такие, что <*„_-» о , Ь.*."* О , fi ц,/Я ц. ~* О при la-* о . Существуют после-довательности I U.J, Ji=ic іг( такие, что. ins sup HB-\u?K^-Vi)U*e/z.a.i2) По предположению индукции можно выбрать {Vі (.к)}i-i УУ11 такие, что sup HBmi(u?*h*-Vi(n))ll-+o при л-» о . Докажем, что можно выбрать подпоследовательность Заметим, что f 1/^^^1 есть собственные векторы оператора Oi 6-і , где S-j сужение оператора В на подпространство . Тогда по леммам 1.3 и 1.4 можно написать разложение КегА (ШВ) = ,& . & где «Те конечномерные подпространства собственных векторов оператора 81 Oi , отвечающие одному собственному числу. Поэтому для всех п при любом выборе следовательно, можно выбрать подпоследовательность Ик такую, что V: (П.*) -*- V-L є Si ПРИ *-*-<» для і- 1, . --. А/. Отсюда в силу конечномерности 5* є следует требуемое утверждение. Пусть ft к = ft . Тогда имеем sup iiB-'(u.tk-Vi)ll->o При H -* о И Далее, применяя (1.10), также как в а), можно установить, что ||B"1v II«ecw іів-1<;,Чі * llfi-1u*,J. ft.-» po Ясно, что V е l/N+1 =f ue Кег A 0R(B) : (U,Vi)'0, . Поэтому V удовлетворяет (1.5) и существует tun IIB-1uXk,4l = II В"VI). H-*oo -1 ..ОиЛн. . O-ft/- ^1 Следовательно В " и**** -> 8"1 V= B' I/*,*, при И, -» о , что противоречит предположению (I.I2). Для случая « -* О , /i-*0 , кг/<Х ^COnt докажем утверждение, которое является более слабым по сравнению с теоремой 1.3. (вместо функции Га/ будет использована функция сЫ) определяемая формулой (I.I), кроме того будет доказана близость ТП не к ТП-1, а к более широкому множеству TY\ , где У(1 множество всех ортонормированных базисов в Ken. A 0R(B)). ТЕОРЕМА. 1.4. Пусть размерность KetAOR(B) больше либо равна N . Тогда (ы ( Жа4, УП) -» О при а-> О , k-> О , A.Va СС?/гх. Доказательство будем вести индукцией по /V одновременно с доказательством неравенства <Р*Сиїк]бСс« (і.із) где С И.* }^ є ТПа k , константы С не зависят от выбора f U" }J" . Неравенства справедливы при L as 1 > . . . Л/. а) База индукции. Пусть Ц^/СегАПКСВ)) II ЬЦІІ = 1 Тогда Положим dVk/o<-HIB~1U«j|l . Далее проведем доказательство от противного. Пусть существуют >0 и пос-ледовательностй а*. , кк. , { Ut } СГ| ГП.*"-^ такие, что а„.-> о » krt-^O . k ^/<*л ^ С О rt t При ft,-* оо И Из (І.ІЗ) при is 1 следует, что С II В М.1 "* II J ограничено. Поэтому можно считать, что В U1tb ^ —* В И/ II W II = 1 и We/CeiAORCB) , что противоречит (I.I4). б) Шаг индукции. Докажем неравенство (I.I3) от противного. t<*U}ui е 7П*кк"- такие, что Ф*Т U^>] /а*- оо (I.I5) при К. -» Оо . Так как неравенство (I.I3) справедливо при I - 1, * . W> то, также}как в теореме 1.3, можно считать, что и і ~> Vt-при п ->- о для = 1, ... N .В силу предположения индукции яс- - зи - но, что Vi є КггА П R (В) и V'L]fi^ ортонор- мированная последовательность. Выберем произвольное V//+і є KeiAHR(B) такое, что С VL } Vn+i) = 0 для і = 1, . . . М и \ Vn+i II - 1 Расмотрим проекцию W+1 на множество { Ц : ( it } ц«н. tit )=- О , с * 1, ... Л/ J Поскольку ( Vw + 1 , ц?**1-*-) _» о при ГЪ->оо , то W„.—» \/д/+ї при іг->оо . Ясно, что Пользуясь неравенствами (I.I3) при i = -f, . . Л/ , оценим г [WJ І 1 = 1 'V L-i Это неравенство противоречит (I.15). Далее, также,как в теореме І. 3 , можно доказать, что tf*/*n*fc ,тп)-* О при аЛ^О , fvVor^const. В теоремах 1.3 и 1.4 предполагалось, что размерность К Є 1 А П R (В) больше либо равна А/ . В следующей теореме рассматривается поведение ?П при "OL , k -> О , h*/c< « С О ft S t ; когда КегА Л R(B) = {Oj. - ЗІ - теорема 1.5. Пусть KeiAnR(B)={0}, Тогда при a, k -> о. Доказательство. Пусть это не так, то есть существуют СХ^ , На-+0 при 1-*оо и 11В~1 U^SkC Без ограничения общности можно считать, что В" Ц-,*"-'1—»> || \1**Ь-*> \\ =/J , то УФО . Докажем, что VG К Є г А П R(B) и, тем самым,придем к противоречию с условием KetAOR(B) ={0} Как уже отмечалось в начале этой главы}поскольку f?(A) не замкнута в F , существует последовательность Wk такая, что // WK // = і } //A WK7/ —>0 при К -* сю . Выберем сначала К(Є) так, чтобы llAvv^g) ||$1/ а потом МС6J так, чтобы ли(е) II В"1 WK(C) II ^1/6^ Тогда справедливо неравенство «А V It IА ( V - Ц**4*) || + кл + II Ahll и«*Ч| * при С->скэ (в этом неравенстве везде ) и К=/<(.) ). Значит ; Ve Кег А П R (В). 3. Дискретная аппроксимация бесконечномерного алгоритма. В этом параграфе на основе аппарата дискретной сходимости формулируются достаточные условия, при которых решения конечномерных задач сходятся к решениям задач (1.6) (теорема сходимости для проблемы собственных значений). Понятие дискретной сходимости (см., например, С12], [ 70 ] , [ 71 ] , Г 74 J ) позволяет с единых позиций рассматривать проекционные и конеч-норазностные методы. В конце этого параграфа глы рассмотрим соответствующие примеры. Надо заметить, что в [ 12 ] есть общие теоремы сходимости для проблемы собственных значений, но проверка условий применимости этих теорем в нашем случае затруднена, ввиду неограниченности оператора Qd . Дадим необходимые определения, следуя [l2j . Пусть U , Un гильбертовы пространства (п. - 1,1.. . ) . Определение 1.3. Система 3і = { РЛ} линейных ограниченных операторов действующих из U в UK таких, что для любого U U ИРлиЦил^ Hull при 1->о ,'называется системой связывающих операторов. Определение 1.4. Пусть ^sfP»iJ система связывающих операторов. Будем говорить, что последовательность ипІ/л дискретно сходится к Ц є U , если Uun-p*ullVri-+o при К -* о . Будем обозначать U —* U. при п. -> о . Определение 1.5. Пусть U , Un. , F , Fn гильбертовы пространства, А ' U """* F > А ц ' Un ~~> Fn. } ^ ~ С Рц] ) Q - С ? л J системы связывающих операторов между U и Uп. » ^ и F^ соответственно. Будем говорить, что А п. ^ Q сходится к А или дискретно,сходится (обозначаем An.""* А ), если для любой последовательности и1г ~Un такой, что Ц —> U и при *г->« , последовательность АцЦ^Д All при и-><э Определение 1.6. Последовательность U* СД, дискретно слабо сходится к U U (обозначаем U11-* LC )t если для любой последовательности Vа ^ [/^ такой, что Vft — V при *г->оо , справедливо ( UK> V*) -+ (U у V) при /г— о Для дальнейшего нам понадобятся следующие свойства дискретной сходимости. а) Из любой последовательности U*^ U* такой, что для всех И- // Un II у 4- СО US t 7 можно выделить подпоследовательность цп* —* u.6 U при ігк-+ о 8) Если Ll^U и Н1(Л/|-* IIUII при /г->оо р то U. ^ —> Ц при *г -> . С). Если U —* U при И ~* <*> , то Hull 4 Ь#п (ц11 IL И-+о Л). Если Ц* - U при n-><» , то UK-*U при И-> О . Є). Если U*1— U при *г-*оо , то \\икЦи -+\\иЦ при »г -> о» . Рассмотрим последовательность конечномерных задач. Пусть 2 п- * ^к » Ри. гильбертовы пространства (конечномерные), R = t Ти.} , ^- С Ри} * Q = С^п.3 системы связывающих операторов между 2: и Zft , U и ft , г и ~ 34 ~ гіг соответственно. Пусть также определены операторы Аа : Ufi -> Fk , Bn ' Ї и. ""* Un А*., В* - ЛИНеЙНЫе Операторы, Для U*4 [/п обозначим Ф" С ип] = IIА» а"ИД+« НВ-Ги"//^ . Введем последовательность вариационных задач Щ tKEU11] : ЬЛТЛи, HU^lhO, (I.I6) где 1/щ- C/n. , f U-i}i=r1 - решения задач (I.I6) и Множество всех последовательностей, удовлетворяющих (I.I6) обозначим 771 Ясно, что теорема 1.2 справедлива и в этом случае, и 777* ( напомним, что t^-Ji занумерованы так, что соответствующие собственные числа оператора Q» упорядочены по возрастанию). С помощью операторов { Рк] и С9н} введем две функцции, соответствующие Т^ и С?л/ ( формулы (I.I) и (1.9)). Положим Если для всех {Ц*к}? "таА все элементы U*k:R(e)) то определим Сформулируем условия сходимости VfC* к TU . 1) А*.-* А^ при к~>оо (дискретно сходится). 2) ИВ;1Р,,и||2 -Г II В"'" II при и. -* о для всех ueR(BB*). 3) Если 2*-^Z при М->о« , то в^г^-^вг при іг -> о Для дальнейшего нам понадобится Лемма I.II. Пусть выполняются условия 1)-3), N на при ик -> о для = 4, . . . Л/, f Ц t j~f є ТИ* Доказательство будем вести индукцией по N . Пусть {U?k]l11 7Поск .Тогда «Ай. и-їи^ +« iibv и* //*п ^ ( //а^ и:'1//' + а . - и о-і і.* и* * С //Ль Ри. игчії ttH6;ipftuVilJJ/iiP-M.«,'.Clfc. и. Воспользовавпшсь определением дискретной сходимости и условиями I) и 2), получаем, что W ФЇГИ-3 <«!<*J . ш 4 у. Jc h. U1 —* 2. . Положим V ~ В 2 .Тогда согласно свойству с) и ввиду условий I), 3) и. 3і имеем, что Ил —> V при /г->оо и IIА ь. VIIі + а II В" V іЛ< W ^ С и*] « fwf CL М-*оо Ввиду свойства Z) \\ VII - 1 . Значит, v удовлетворяет (1.6) и, следовательно, II A, u^|S- <* II 6-1и«Ч|г = W Ч»Г СbCJ. (Lis) где Ц"к= V . Поскольку // А к U* И F —* l/A^U" // при И-> о , т0 llB-'u^// = um i/eru*//, Значит по свойству %) g"^ Ц* ^> В'* U*k при а-»* <*> . Шаг индукции. Будем считать, что В*1 U* -Ь В"1 U* для 1 = 1,... А/ прим-*оо , где { U*>}ui 6 ТП0"1 . Пусть V есть проекция элемента Рц Uі на множество То есть ул=р, и& - I u.?(ui,P«uUJ. Ввиду свойства <{) и условия 3) W^ -* Ц^ при И-*оо , а значит ( U-* , Рц U*l ) -* О при И, -* оо для i= f, ... Ы , при *г-* оо для --/,... Л/. Тогда, поскольку IIК u-U, fFft +« II B-'ul» |Іг% [ ( пкРл u«u IJf^x Л/ а С //Am. U,*//FmL { //8^и|7/ і ограничены, то ввиду I), 2) получаем Далее,также как для Л/=1 , устанавливается, что &*UnN+i -** В"" ^, щш И-»о- . ТЕОРЕМА 1.6. Пусть выполняются условия 1)-3), N нату i*ifc.o «^UP H6;1^~^nB"Vf|| >.. (1.20) По лемме I.II можно считать, что В^,1 Ui — В"*^*'1 принтов для U-f, ... V; Где і и\к}Ці Пі"!1 Это противоречит (1.20). По свойству 6) и условию 3) всегда можно считать, что U * —> Ц. l ПРИ Л. - о для l - 1, - . . Л/ . Значит те же рассуждения применимы к ^.ык ( W1} 7YL*k). Рассмотрим два примера .дискретизации задачи (1,6) и проверим выполнение условий I) - 3). Пример I. 1 = Wl = f Z є \Л/г1 : 2 ( «J * 2 ( f j " О J где КЧ^,$) непрерывная по совокупности переменных функция. Пусть на d, $ } и на С С,'с?] заданы равномерные сетки {$і)*+і и {t}]**1 с шагом М и Д Ь соответственно . Определим элементы матрицы А ц по формуле Положим где # означает транспонирование. Определим 7^ 2 совпадающим с Рц? на W t . где Ц*^ , Гк , Ї ъ пространства К -мерных векторов, а индекс I означает координату U ,* , 2 *** , 8 *. — оператор вложения 2- к в l/п. . Операторы Р* , Sf л. > ^п. будут связывающими операторами ( Г 75] стр. 14.) Проверим выполнение условий I), 2), 3). Справедливость условия установлена в работе [17 J стр. 273. Пусть существует =U-j^ Є L% гл, G J (то есть ^ є R (6 В / ). Тогда sM абсолютно непрерывная функция и ЛІ J3jt^[ftH)-WBL)+ AS -55— где 0<^ , 0t)03<1, 01(Д$)-* О при Д-* О равномерно по і . Значит где О (&$)- О при Л S-> О . Поскольку // РКЦ Hv+ll и II при /Х->оо , то 2) доказано. 3) Пусть ga К, а —* о U . Требуется доказать, что U ~> U при *г -* oe . Пусть Щ, Un кусочно-линейное восполнение (Л.*1 . Тогда sup |Я\иЛ- u(s)| -ь sup I0^AS)| . S . По лемме 4 [ 16 ] JT»t U —* U при Jt -* о ( —* здесь слабая сходимость в W^ ), следовательно, ^"н, U * сходится к Ц. в пространстве Cca.,J . Поэтому первое слагаемое в правой части неравенства стремится к О при LS ~> О . Так как U($) абсолютно непрерывная функция, то второе слагаемое тоже стремится к О Поэтому II ик- Ркиї* = f (иї - *-. їй(і) Л)4Д5 .< Un- і = 1 UJ si S' ( supiuj - fs S'ucsirfsl)1^-*)-^ L Si при Л S -* О . Пример 2. Пусть d = О , #М , { S UiTiS)? система базисных функций, Vn. пространство натянутое на эту систему функций. Положим Got Vn. ~* Vn. . flL(0r1ia,+ l) SlnSTtS. In.' Wi~*V*i - оператор проектирования WJi на Ул> , ^-единичный оператор из F в F ; Рк - оператор проектирования в Lj. на Vn . Следует из полноты системы {s*i5TsJ в ^s.co}ij. Пусть Ц = У Ci Sin Wis ,где С; = ^U(S) Sиг 3TLS cfa. ! И О Тогда II B-VUI1^ С?(1 + 3144 -> II В'1 U II*-при "К. -> оо , так как ряд сходится при U є R ( в в*). 3) Условие справедливо, так как дискретная слабая сходимость в Для оператора, являющегося сужением оператора А на R (В ), обратимость равносильна условию К 61А П R (В) = 0j. Для получения общего решения (0.1) в R ( 8 ) достаточно знать В -нормальное решение (0.1) и базис в КЄІ АП R(B) (если точное решение UO MD) ). В приложениях возникают уравнения, у которых КЄЛ А Пк(В) {ои для этих уравнений необходимо определять все или некоторое множество решений. Эта задача представляет также общематематический интерес. При этом, задача определения базиса в КЄЛА О R(B) по оператору А IIА " Ah.Ik d является неустойчивой, если область значений оператора R(A) не замкнута в F . Основная цель диссертации - построение регулярных алгоритмов определения базиса в KeiAOR(B) по оператору Af,, . 1) Для задачи определения базиса в гильбертовых пространствах впервые построены аналоги метода А.Н.Тихонова и метода невязки. Установлена связь этих методов. Для метода А.Н.Тихонова выписан аналог уравнения Эйлера, что позволяет свести построение приближенных решений к задаче определения собственных функций оператора 2) Построены регуляризирующий алгоритм для решения задачи (0.1), использующий вариацию, и соответствующий регулярный алгоритм определения базиса в Ke/L А О R С В). 3) В терминах аппарата дискретной сходимости получены достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям соответствующих бесконечномерных задач. 4) Исследованы свойства функции У (ос) = ( 8г+ 01 Xі) / /Чи) (/40()- минимальное собственное число оператора Qoi = A A+((B") В ) - основной оценочной функции [ 72 ] погрешности оптимального на компакте М г - t U s II В U. ( 1 } метода и модуля непрерывности обратного к А оператора. Оценками точности регуляризирующих алгоритмов занимались многие авторы. Неравномерные оценки получены в [ 25 ] (в [б4 ] есть ссылки на другие работы). Как показал В.К.Иванов в [ Зі] для линейного вполне непрерывного оператора А равномерные оценки точности возможны только на ограниченно компактном множестве. Оценки погрешности на компакте Мг для нелинейного оператора проводились в L 13 j, Г 24 J, [бв], для линейного точно заданного оператора в [ю], [і4], [бо] (оценки в случае, когда КегА П R(B) CJ получены в [59 J ). В случае линейного возмущенного оператора оценки точности строились в [її], L58J. Оптимальные на Мг методы строились в [бб]. Связь этих вопросов с задачей С.Б.Стечкина Г 55 J изучалась в [el Согласно [ 72] минимум функции Yfa) совпадаете со(5}г) - модулем непрерывности обратного к А оператора, функция CJ(S,l) играет важную роль при оценке погрешности регуляризирующих алгоритмов на Мг . Общие методы вычисления cv(S,z) рассматривались в [ 7 ], [в], Гзг], [4о], [ 73 ]. Следует отметить, что основная цель при исследовании задачи определения базиса в К е г А П R (В) и задачи вычисления погрешности оптимального метода является общей, а именно, построение регулярного алгоритма решения соответствующей задачи. Для некоторых операторов А эти задачи можно решить аналитическим. Модуль непрерывности Ю (8 у Ч.) обычно выражают через спектр оператора А А . При этом требуется, чтобы оператор А А коммутировал с (В / В , в то время как, для применения алгоритма вычисления UJ(8, Ъ) коммутируемости операторов А А и (В ) В не требуется, не требуется также знание спектра оператора А А . Перейдем к изложению материала по главам. В главе I для линейного непрерывного оператора А , для случая, когда JJ , F , 2. гильбертовы пространства, построен регулярный алгоритм восстановления специального базиса в КегАЛ R ( В) по оператору A h, . Описание расчетов и обсуждение результатов по применению алгоритма, построенного в этой главе, приводятся в приложении. В 1 обсуждаются вопросы корректности задачи восстановления базиса в К ег А П R ( В) по оператору А к » введен специальный базис в К е. г A fi R ( В) и исследованы его свойства. В 2 рассмотрена последовательность экстремальных задач Н ІАь Ullp + \\B" U\ll U6l/i,IJU//v-l}, (0.3) где Ui=R(B) , a Ui=tUeR(B) :(U, tLjh)-0, js-j, ... - - 1 j } — решения (0.3) полученные ранее }. Последовательность задач (0.3) является аналогом метода А.Н. Тихонова. Далее доказано, что l U,$. Jt = і совпадает с последовательностью собственных функций оператора Оа- ь,Ак "&(В ) и у занумерованных так, что соответствующие собственные числа упорядочены по возрастанию. Доказана теорема сходимости і Ні } і к специальному базису в К ег А П R ( В) (введенному в 1) при & -» О , fu- - О , (г /й - О . Также установлена сходимость С Ut J гe i к базису в ЬСег А П R (В) при ot- О, k- o., kl/a. const. В случае, если КегА П RC8) = o} доказано, что В" U. fc/l- оо при OL - О , к -+ О. В 3 формируется последовательность конечномерных задач и в терминах дискретной сходимости ( [ 12], [70 ], [ 71 ], [ 74 J, смотри также, [ I6J, , ) сформулированы достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям задач (0.3) (другой общий подход к изучению конечномерных аппроксимаций описан в [58]). В результате для определения базиса в КегА П R(B) достаточно найти собственные функции, отвечающие малым собственным числам симметричной положительно определенной матрицы. В этой главе рассматриваются две задачи: задача построения оптимального на компакте метода и задача выбора параметра регуляризации при определении В -базиса ядра линейного оператора. Кроме того, исследуются конечномерные аппроксимации этих задач. В первом параграфе сначала доказываются леммы, необходимые во всей 3 главе. В этих леммах изучаются свойства функций минимальное собственное число,а Ц х соответствующий собственный вектор оператора Q a = А А +01 (В В такой, что И Uсі II - 1 (Существование J (ck) и Ц. следует из теоремы 1.2). Обоснование лемм проведено по известной Г50]схеме. Затем изучается задача построения оптимального на множестве метода решения уравнения I рода и вычисления его погрешности. Согласно [ 72 ] величина погрешности оптимального метода совпадает с минимумом функции \ГЧ?(&) : В 1 устанавливаются необходимые свойства функции У (а), позволяющие использовать для ее минимизации традиционные методы. Во втором параграфе построен регуляризирующий алгоритм для задачи определения базиса ядра линейного оператора. Этот алгоритм можно назвать методом невязки. Установлена связь этого алгоритма с регуляризирующим алгоритмом, построенным в 2 главы I. Конечномерная аппроксимация задач, рассмотренных в первом и втором параграфе,исследуется в параграфе 3. Пусть I , U , F гильбертовы пространства, А линейный непрерывный оператор из U в F . Оператор 6 взаимно -однозначный вполне непрерывный оператор из 2 в U с областью значений всюду плотной в U . Рассматривается уравнение Вместо S известно . Введем оценку точности регуляризирующего алгоритма на Мг (смотри, например, [Зб] стр.III). Определение 3.1. Методом решения задачи (3.1) называется отображение Р F - U , которое ставит в соответствие $ элемент,называемый приближенным решением, P($s) U. Определение 3.2. Под погрешностью метода Р на Мг понимают величину Определение 3.3. Метод Pof3t называется оптимальным на Мг , если Д(Рор,) = uiffA(P) ; P -PJ, где Р множество всех методов решения (3.1). Определение 3.4, Модулем непрерывности (в нуле) обратного к А оператора на Мг или просто модулем непрерывности называется функция (она определена также в том случае, когда. А не существует) Обозначим через S( x) множество всех собственных функций U оператора Q , отвечающих ./Ча) , таких, что 11и 1М. По теореме 1.2 при каждом сК 0 существует / (0 » которому отвечает конечное число линейно независимых векторов, принадлежащих $(0 . При этом справедливы соотношения Введем две константы: По леммам I.I, І.З V есть пересечение конечномерного пространства с единичной сферой. Поэтому существует элемент, который в дальнейшем будем обозначать l V такой, что \\ A g / = rf1 . Предположим, что выполнено условие Для дальнейшего нам понадобятся леммы,выясняющие свойства функций КАК II, Л б 1 где cf и «-г определяются (3.6) и (3.7) соответственно. Доказательство. Установим, что &иог J Ся) = О . Тогда ввиду (3.4) j m ИД U J=0. Поскольку R (А) не замкнуто в F, существуют иЛє I/ такие, что II Un, 11=1 и II A U к II" О при П.- оо .Так как RCB) всюду плотна в V , то можно считать, что и.п?(В)и, следовательно, ввиду (3.5) В пункте I рассмотрено интегральное уравнение,возникающее в методе EXAFS [5l], [67], [бв], [бэ]. Представлены результаты расчетов по определению элементов В -базиса ядра этого оператора. На основании проведенных расчетов можно сделать вывод о неединственности решения уравнения,возникающего при обработке Е X A F S — данных в рамках заданной точности. На примере этого уравнения обсуждаются особенности применения метода регуляризации А.Н.Тихонова к уравнению, имеющему неединственное решение. Применение регуляризирующих алгоритмов к решению Е ХА FS уравнения и результаты расчетов для модельных и экспериментальных данных изложены в статьях [5IJ,L67J, [бв], [69J, выполненных совместно с коллегами из лаборатории кинетики явлений WM УЩ АН СССР. В этих работах автору диссертации принадлежит програмная реализация регуляризирующих алгоритмов на ЭВМ и частично выполнение расчетов. Отметим, что вопросы неединственности решения В X A F S уравнения в указанных работах не исследовались и не обсуждались. В пункте 2 рассмотрено уравнение, возникающее при обработке данных в методе дифракции. Согласно теории, это уравнение имеет единственное решение. Приведен модельный расчет иллюстрирующий теорему 1.5. В пункте 3 рассматривается специально построенное уравнение, для которого В -базис известен. Приведен расчет по определению этого В -базиса. Пункт I. В методе Е ХА FS определению подлежит функция радиального распределения атомов $Ci) , которая является единственной, известной в настоящее время, характеристикой ближнего порядка в аморфных материалах. Уравнение в методе Е ХА FS имеет вид (подробную постановку задачи можно найти в [51], [69] ). где U константа, 5(К) , ЧЧ \ ) известные функции, Кс і 1 ,У$ ( К) у экспериментально измеряемая функция. Известно, что 9об \А/г1 , %o(CL) = 0 , gcCg) = 1 (Ще точное решение (4.1)). Для решения (4.1) применим метод А.Н.Тихонова Функцию,реализующую минимум в (4.2) обозначим через # Выберем функцию, которую назовем модельным решением и обозначим ее 9U .Положим ЯГ? «A3- и найдем g решение (4.2). Выявилось [51J значительное рассогласование между J01 и %м., даже при очень малых ос и J8 , (ниже этот факт иллюстрируется). Существенно лучший результат получился [бв] только после привлечения дополнительной информации об искомом решении (4.1), но здесь мы не будем на этом останавливаться. Кроме рассогласования #. с о отметим, что,в зависимости от соотношения с и fi j может приближать различные нормальные решения уравнений (4.1). Все вышесказанное наглядно представлено на рис.1, где кривая I это $VM , кривая 2 - J04 при Обратимся к исследованию на неединственность уравнения возникающего в методе Е X A F $ (используем алгоритм изложенный в главе I). Для этого вычислим первое собственное число и соответствующую собственную функцию оператора Q я - А А к+ & Е & зёг - (первую собственную функцию обозначим через $1 : II 91 II = I! I/ ). Расчеты показали, что // А #««// = II Mlw=f75". Для сравнения с рис.1 на рис.2 приведены $ ч -кривая I, ( 9 ч + 3 3-і ) - кривая 2, ( 9 ч - 3 9-» )- кривая 3. При этом что соответствует погрешности исходных данных и все три функции, изображенные на рис.2,являются решениями уравнения (4.1) в рамках заданной точности. Ясно, что без привлечения дополнительной информации нельзя предпочесть одну из функций,изображенных на рис.2, другой. В заключение отметим, что конечномерная аппроксимация оператора А ь, использованная для расчетов, описана в примере I 3 главы I; вторая производная d ft/dl аппроксимировалась разностью Пункт 2. Для определения функции радиального распределения атомов cKl) можно также использовать метод дифракции. Уравнение в этом случае имеет вид дкд = 58 Цр г(&(г)-1)5ыгКгЛг = П0, (4.з) . где (К) известная функция, Q. и 8 константы, те же, что и в (4.1), К [ С , с?] . Константы С, с? отличаются от тех, которые были в уравнении (4.1). При этом возможна экстраполяция $(К) и "XjdC) практически до К = О . Таким образом, обратимость оператора А следует из того, что этот оператор связан с прямым синус - преобразованием. В качестве иллюстрации к теореме 1.5 и следствию 3.5 приведем на рис.3 графики 9-і1 и 1 (кривая I и кривая 2 соответственно), где #1 и (П собственные функции операторов Qa , и Qttj., отвечающие минимальным собственным числам этих операторов. Определим интегральное уравнение (заметим, что Ане симметричный оператор). В качестве оператора В возьмем оператор вложения W fUeW :U(-1) = U(1) = 0} в Lstc- 13. Тогда В -базисом ядра оператора А будут функции Sua 0Г, Sun. /Jrs, Sui JT\?3 ... Восстановим два первых элемента 6 -базиса ядра оператора А алгоритмом,изложенным в главе I. Результаты расчетов при (X = 5" 10"9, Я = S 1 0 представлены на рис.4. На части а) представлены функции Sunt S и % (S) на отрезке СН, О] (сплошная и штрихованная линии соот ветственно), на части 6 -функции S ui S и 2 L (S) на отрезке С0,1J (сплошная и штрихованная линии соответственно), Здесь Ъ? и 9f собственные функции оператора Q«jr А А + « Е - - yrjt . Надо заметить, что 9"(S) = -J S+l) дая 5ё[-1,0] и &f(S) «.-etfs-lbSe [О,і]. Поэтому нет необходимости приводить функцию 1 на to,l] и функцию я. на Г-1,о]. Бис. 4. a) SUx2XS - кривая I; $1 - кривая 2; в) S UI Ч JTS - кривая 3; $ - кривая 4. Таким образом, для оператора, заданного с ошибкой, в условиях нарушения корректности по Адамару, по-видимому, впервые построены регулярные методы определения базиса ядра линейного оператора. 1. Для задачи определения базиса ядра линейного оператора в гильбертовых пространствах построен аналог метода А.Н.Тихонова. 2. Обоснован способ выбора параметра регуляризации в методе А.Н.Тихонова "по невязке" (для задачи определения базиса ядра линейного оператора). 3. В пространствах функций с ограниченной вариацией построен аналог метода А.Н.Тихонова, который позволяет, в часности, восстанавливать разрывные элементы базиса ядра линейного оператора. 4. Бесконечномерные алгоритмы, упомянутые выше, сведены к своим конечномерным аналогам. 5. Для задачи оценки оптимального на компакте метода исследованы свойства оценочной функции. 6. Рассмотрены приложения построенных алгоритмов определения базиса ядра линейного оператора к исследованию вопроса о неединственности решения интегральных уравнений I рода, возникающих при обработке рентгеновских спектров.
Пусть ^[/,,1/^//=1 и // В'1 VJ // -> Л f где
лемме 1.2 ( 8~1Vi , B"1U.c) = О для c= і, . . . N.
множество, то ясно, что Далее
ждает регулярный алгоритм восстановления В - базиса ядра опера
тора А .
Пусть решения задач
Лемма 1.9. Если 1 Uj, jj_a1 ТП , то
к-» О , к /ос-* О и неравенство (І.ІО) справедливо
Ик , для которой 8 ^Cft.*)-* 8"f^c при Пк->оо
для t = 1, ... N и { Угнети, .
и, следовательно, U,,*" " —> V/ при ft,-* . При этом
Пусть существуют последовательности 0( а , кц ,
Ь-п , { иаЛКл}.?1 є 7П*кКк такие, что OU-* О ,
B"V , Ц*и* -* V при И->оо . Поскольку
совпадает с множеством всех ортонормированных систем собствен-
ных функций оператора Q = AM.A»l4~cX(8^) BJ
туральное число. Тогда для любой последовательности f Ui}i=ie
Vft- существует подпоследовательность К к такая, что
ральное число. Тогда Тд,а (ТМ*, Ш**) -> О ,
d^jru^.n^-^O при и.-* о
Доказательство. Установшл сначала, что Т^^, (?я* УґІаі1)-*-0
при я -> 9с . Пусть это не так. Тогда существуют >0 ,
{Ui}1 74, такие, что
В - оператор вложения из Wj с«., *J в Ь 9.c<\jti 1 ,
Ъ , Z и. и I/ , TJп. совпадает с обычной слабой схо
димостью в Ї , С? соответственно([15 J
стр. 16 ) .Алгоритм восстановления В - базиса ядра оператора А в гильбертовом пространстве
Регуляризация уравнения I рода в пространстве функций ограниченной вариации
Алгоритм восстановления В -базиса в пространстве функций ограниченной вариации
Выбор параметра регуляризации в задаче нахождения базиса ядра оператора
Похожие диссертации на Регулярные алгоритмы определения базиса ядра линейного оператора
