Введение к работе
СВЯЗЬ РАБОТЫ С КРУПНЫМИ НАУЧНЫМИ ПРОГРАММАМИ (ПРОЕКТАМИ) И ТЕМАМИ. Часть исследований по теме диссертации выполнена соискателем в Центре исследований в Мексике (Centro de Investigacion у de Estudios Avanzados) при поддержке:
Международного научного гранта Соломона Лефшеца (Postdoctoral Lefschetz Research Fellowship, 1998-2001).
Научного гранта "Operadores у espacios de analisis complejo" Мексиканского Национального Совета по Науке и Технологиям (CONACyT, грант № 35521-Е).
Основная часть диссертации была выполнена в Ростовском государственном университете на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований:
"Методы обращения операторов типа потенциала и функциональные пространства дробной гладкости"(РФФИ 98-01-00261-А, исполнитель)
"Операторы типа потенциала с особенностями ядер или символов на многообразиях, аппроксимативные обратные операторы и функциональные пространства, связанные с такими операторами"(РФФИ 04-01-00862-А, исполнитель)
"Интегральные операторы с каноническими ядрами, сингулярные интегральные операторы на банаховых пространствах и порождаемые ими алгебры"(РФФИ 06-01-00297-А, руководитель).
За новизну и актуальность исследований соискатель был удостоен
1. Почетного звания-награды "Национальный исследователь "(награда Мексиканской Национальной Системы Исследователей, членский номер SNI 21424, Мексика, Мехико, июль 2001 г.)
Награды международного научного общества ISAAC (International Society for Analysis Applications and Computations, Германия, Берлин, август 2001 г.)
Награды В. Потанина (дважды) для молодых научно - педагогических работников ведущих вузов Российской Федерации (Россия, Ростов-на-Дону, апрель 2003 г.; Краснодар, апрель 2006 г.).
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ. Развитие новых методов исследования свойств операторов в банаховых (гильбертовых) пространствах в зависимости от свойств их ядер и (или) символов в качественно новых, ранее не изученных или мало изученных ситуациях. Разработка новых эффективных методов исследования операторов Теплица с неограниченными символами, решение открытых фундаментальных проблем для таких операторов. Исследование свойств ограниченности сингулярных интегральных операторов с осциллирующими символами и с осцилляцией в ядрах. Применение результатов исследования отдельных операторов к описанию алгебр операторов в случае, когда коэффициенты допускают однородные разрывы и для которых классические, ранее используемые методы неприменимы.
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Исследованию операторов Теплица, Хан-келя и других в пространствах типа Бергмана, Харди посвящено большое количество работ. В равной степени это относится и к *- алгебрам таких операторов. Наиболее активно эта тематика развивается в последние два десятилетия, однако многие интересные вопросы этой теории остаются открытыми или малоизученными. В частности, большинство работ по данной тематике относится к случаю ограниченных символов и применяемая в них техника плохо работает или не применима совсем в случае неограниченных символов. В то же время, в отличие от известных результатов для пространств Харди, неограниченные символы могут порождать ограниченные и даже компактные операторы в пространствах Бергмана. Отметим также, что исследование отдельных сингулярных интегральных операторов с особенностями на многообразиях
меньшей размерности является естественным продолжением тематики изучения операторов типа потенциала, исследованию которых посвящены работы многих авторов. В этом контексте возникают так называемые операторы скрученной свертки, для которых многие классические методы коммутативного гармонического анализа, вообще говоря, не применимы. Подробнее к этим вопросам вернемся при изложении осноного содержания работы.
Основные научные результаты I. Разработаны эффективные методы исследования свойств ограниченности, компактности и принадлежности идеалам Шаттена операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана со специальными, вообще говоря, неограниченными символами. Эти специальные случаи будем отождествлять с эллиптическим, параболическим и гиперболическим пучком геодезических в диске. В рамках настоящего исследования получены следующие основные результаты.
На основе специальных представлений для весовых пространств Бергмана на единичном диске и верхней полуплоскости получены интегральные представления спектрального типа для операторов Теплица, а также формулы для символов Березина этих операторов и для символа Березина композиции операторов Теплица.
Приведены достаточные условия ограниченности, а в эллиптическом случае и компактности соответствующих операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана в терминах некоторых средних (контра-вариантного) символа оператора Теплица. При дополнительных ограничениях на упомянутые выше средние установлена необходимость данных условий.
Исследована зависимость свойств ограниченности (компактности) оператора Теплица в весовом пространстве Бергмана от изменения параметра веса. Например, показано, что свойство ограниченности (компактности) сохраняется при уменьшении параметра веса. С использованием метода стационарной фазы и на основе полученных ранее представлений для оператора Теплица приведены примеры операторов Теплица,
для которых нарушается свойство ограниченности (компактности) при увеличении параметра веса.
В эллиптическом случае (теплицевых операторов с радиальными символами) аналогичные результаты получены в контексте исследования принадлежности операторов Теплица идеалам Шаттена на пространствах Бергмана.
П. С использованием полученных ранее результатов и применением асимптотических методов, в частности метода Лапласа, исследовано предельное поведение спектра операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана при увеличении параметра веса к бесконечности. Установлена связь между предельным множеством спектров и свойствами (контравариантного) символа оператора Теплица в каждом из трех упомянутых выше случаев (эллиптическом, параболическом и гиперболическом). Именно, доказаны следующие основные результаты.
В случае непрерывных символов показано, что предельное множество совпадает с образом контравариантного символа, а в наиболее интересном кусочно - непрерывном случае установлено, что предельное множество состоит из образа контравариантного символа с добавлением прямолинейных сегментов, соединяющих односторонние пределы. Тем самым установлена аналогия с так называемым принципом соответствия Березина, который связывает предельное поведение квантовой характеристики оператора Теплица (именно символа Березина или ковариант-ного символа) со свойствами (контравариантного) символа этого оператора.
В параболическом случае также изучено влияние различных типов осцилляции символа на формирование соответствующего предельного множества.
Для неограниченных непрерывных символов установлено, что предельное множество всегда содержит образ символа и само содержится в существенном образе символа, при этом приведены различные примеры, иллюстрирующие всевозможные соотношения в указанных выше вложениях. Приведены также примеры операторов Теплица, для кото-
рых предельное множество - диск Р, вся плоскость С, связное, несвязное множество и пр.
III. Осуществлено исследование связи между компактностью опе
ратора Теплица с неограниченным символом, действующим в весовом
пространстве Бергмана на единичном диске, и убыванием соответству
ющего преобразования Березина при приближении к границе диска. В
рамках этого исследования получены следующие основные результаты.
Описаны весовые аналитические пространства функций с ограниченной средней осцилляцией по отношению к лебеговой мере в гиперболической метрике Бергмана на единичном диске. Характеризация функций из этих пространств дается в терминах преобразования Березина.
На основе упомянутого выше описания в терминах преобразования Березина приведена характеризация компактных операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана на единичном диске с (неограниченными, вообще говоря) символами, имеющими ограниченную среднюю осцилляцию в гиперболической метрике Бергмана. Аналогичные результаты установлены для так называемых радиальных операторов, в частности - для операторов Теплица с радиальными символами.
IV. Исследована алгебра фредгольмовых символов для С* - алгебр
двумерных сингулярных интегральных операторов, коэффициенты кото
рых локально моделируются однородными функциями, имеющими раз
рывы на единичной окружности как первого, так и второго рода. В рам
ках данного исследования получены следующие основные результаты.
Исследованы псевдодифференциальные операторы на окружности специального вида, определенные в терминах операторов свертки на окружности, возникающих при представлении двумерного преобразования Фурье в полярных координатах. Показана связь таких псевдодифференциальных операторов с точностью до компактного оператора с классическими объектами анализа - сингулярными интегральными операторами на окружности.
На основании полученной выше связи описана алгебра фредгольмовых символов для модельной С* - алгебры двумерных сингулярных ин-
тегральных операторов, действующих в L (Ж ) с однородными нулевой степени символами и разрывными коэффициентами. Эти коэффициенты имеют разрывы (как первого, так и второго рода) на лучах, исходящих из начала координат, и их поведение в начале координат моделируется однородной разрывной функцией.
Указанные выше результаты применяются к описанию алгебр фред-гольмовых символов для С* - алгебр сингулярных интегральных операторов с изолированными разрывами коэффициентов, когда коэффициенты вблизи точек разрыва моделируются однородными функциями, сужения которых на окружность имеют кусочно-непрерывные и даже слабо осциллирующие разрывы.
V. Исследованы свойства 1^(Ж.П) —> L9(Kn) ограниченности (1 ^ р ^ q ^ оо) для некоторого класса операторов свертки с осциллирующими символами и ядрами и с особенностями ядер на сфере и на бесконечности. Исследованы также свойства І7,(ЖП) —у Lq(Wn) ограниченности для операторов скрученной свертки с теми же ядрами и проведено сравнение свойств Z^(Rn) —у L^(M.n) ограниченности соответствующих операторов. В рамках данного исследования получены следующие основные результаты.
Исследованы свойства ограниченности для операторов свертки (операторов типа потенциала) с осциллирующей экспонентой в символе. Приведены достаточные условия LPiW1) —у Z^(Rn) ограниченности и (при дополнительных предположениях на характеристическую часть символа) установлена необходимость этих условий. Исследован вопрос о представимости функции соответствующим потенциалом с некоторой плотностью из LPiW1) и получены формулы обращения в рамках пространств LP(Rn).
Исследованы свойства i/(Rn) —у Z^(Rn) ограниченности для операторов скрученной свертки с тем же ядром и осуществлено сравнение свойств ограниченности операторов свертки и скрученной свертки.
Исследованы свойства I^iW1) —у Lq(Wn) ограниченности для оператора скрученной свертки, определенного в общей постановке, когда зада-
ется поведение ядра. Осуществлено сравнение полученных результатов с результатами для операторов свертки с ядрами, имеющими аналогичное поведение.
Основные положения, выносимые на защиту. Научная НОВИЗНА. Основные результаты, выносимые на защиту являются новыми, получены лично автором и состоят в следующем:
Дана характеризация поведения основных свойств (ограниченности, компактности) операторов Теплица со специальными (контравари-антными) символами, связанными с тремя типами гиперболической геометрии в диске в весовых пространствах Бергмана на единичном диске в зависимости от изменения параметра веса.
Получена связь между предельным поведением спектра оператора Теплица в весовом пространстве Бергмана при стремлении параметра веса к бесконечности и свойствами (контравариантного) символа оператора Теплица в случаях непрерывного и кусочно - непрерывного символа специального вида.
В терминах преобразования Березина приведена характеризация компактных операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана с символами, имеющими ограниченную среднюю осцилляцию в гиперболической метрике Бергмана по отношению к лебеговой мере на единичном диске.
Получено представление с точностью до компактного оператора для псевдодифференциального оператора в L (Т) на окружности специального вида E(X)~1a((p1ui)E(\) с гладким символом а(<р,и>) (где Е(\) -оператор сферической свертки с ядром (—(/хи+гО) _1) в терминах проекторов, связанных с сингулярным интегральным оператором на окружности.
Получены необходимые и достаточные условия LPiW1) —у L9(Rn) ограниченности для оператора свертки с символом ||_CV^I и с ядром, имеющим особенность на сфере и осциллирующим на бесконечности, и достаточные условия ЬР(ШР) —у L9(Rn) ограниченности для оператора скрученной сверки с тем же ядром.
Апробация результатов диссертации. Отдельные части диссертации докладывались на международном конгрессе Американского и Мексиканского математических обществ (Дентон, Техас, США, май 1999 г.), трижды на последовательных международных научных школах по анализу: "Анализ: Север-Юг"в Мексике (Куернавака, Мексика, апрель 1999 г.; Мехико, Мексика, апрель 2000 г.; Мехико, Мексика, апрель 2001 г.), на V международном конгрессе по инженерии и системам (Мехико, Мексика, июнь 2001 г.), на международной конференции "Международная школа по анализу и теории операторов "IWOTA-Portugal 2000 (Фаро, Португалия, сентябрь 2000 г.), на международном конгрессе "Международного общества анализа и прикладных вычислений "ISAAC 2001 (Берлин, Германия, август 2001 г.), на ежегодном научном семинаре "Show пте"в университете Вашингтона (Сант Луис, Миссури, США, ноябрь 2001 г.), на Ежегодной Математической Конференции (Сан Диего, Калифорния, США, январь 2002 г.), на 27 - й весенней школе в университете Арканзаса (Файеттевиль, Арканзас, США, апрель, 2002 г.), на конференции "150 лет в математике"в университете Вашингтона в Сант Луисе (Сант Луис, Миссури, США, октябрь 2003 г.), на международной школе по геометрии и анализу, посвященной памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, Россия, сентябрь 2004 г.), на конференции "Математическая гидродинамика: модели и методы", посвященной 70 - летию профессора В.И. Юдовича (Ростов-на-Дону, Россия, октябрь 2004 г.), на международной конференции в Математическом институте им. В.А. Стекло-ва РАН "Функциональные пространства, теория аппроксимаций и нелинейный анализ", посвященной 100-летию академика СМ. Никольского (Москва, Россия, май 2005 г.), на международной конференции в институте математики им. А. Размадзе "Функциональные пространства, интегральные преобразования и приложения к псевдодифференциальным уравнениям"(Тбилиси, Грузия, сентябрь 2005 г.), на международной конференции "Гармонический анализ и приложения Ш"(Цахкадзор, Армения, сентябрь 2005 г.), на международной конференции в МГУ "Тихонов и современная математика"(Москва, Россия, июнь 2006 г.), на междуна-
родной конференции в математическом институте Эйлера ПОМИ им. В.А. Стеклова РАН "15th. St.Petersburg summer meeting in mathematical analysis"(С. Петербург, Россия, июль 2006 г.), на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений", AMADE-2006 (Минск, Беларусь, сентябрь 2006 г.).
С сообщениями о результатах, вошедших в диссертационную работу автор неоднократно выступал на различных семинарах научных учреждений России, Белоруссии, Мексики, США. В том числе на семинарах Центра исследований и продвинутого обучения (Мехико, Мексика, январь 1999 г., февраль 2000 г., май 2001 г., рук. профессор Э. Рамирез), на семинарах отделения анализа факультета естественных наук Автономного университета Мексики (Мехико, Мексика, июнь 2001 г., июль 2001 г., рук. профессор X. Ескивель), на семинаре по анализу на факультете математики в университете Арканзаса (Файеттевиль, Арканзас, США, октябрь 2001 г., рук. профессор Д. Хавинсон), на математическом коллоквиуме на факультете математики в университете Арканзаса (Файеттевиль, Арканзас, США, ноябрь 2001 г., рук. профессор Д. Луекинг), на семинаре факультета математики университета Говарда (Вашингтон, США, апрель 2002 г., рук. профессор Кора Садоски), на семинаре по гармоническому анализу на факультете математики университета Миссури (Коламбия, Миссури, США, октябрь 2003 г., рук. профессор М. Мит-реа), на семинаре по функциональному анализу на факультете математики университета Миссури (Коламбия, Миссури, США, ноябрь 2003 г., рук. профессор Ю.Д. Латушкин), на городском Минском семинаре им. Ф.Д. Гахова (Минск, Беларусь, ноябрь 2005 г., рук. профессора А.А. Кил-бас, Э.И. Зверович), на заседаниях Ростовского математического общества (Ростов-на-Дону, Россия, май 2003 г., апрель 2005 г., рук. профессор В.И. Юдович), многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского государственного университета (рук. профессора С.Г. Самко и Н.К. Карапетянц), на семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственного университета (ноябрь, 2005 г., рук. профессор Ю.Ф. Коробейник), на семинаре ИММ
УрО РАН (июнь, 2006 г., рук. чл.-корр. РАН Ю.Н. Субботин), на семинаре по комплексному и линейному анализу ПОМИ им. В.А. Стеклова РАН и С. Петербургского госуниверситета (рук. профессора СВ. Кисляков и В.П. Хавин), на семинаре по функциональному анализу и приложениям научного Центра математики и прикладной математики Технического высшего института Португалии (Лиссабон, Португалия, ноябрь 2006 г., рук. профессор Ф.-О. Э. Шпек), на семинаре по гармоническому анализу и приложениям математического факультета университета Алгарве (Фаро, Португалия, декабрь 2006 г., рук. профессор С.Г. Самко).
Публикации. Все результаты, приведенные в диссертации, опубликованы в работах [1] - [25]. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6] [7] [8] [11], [13], [14] [15] [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24]. См. также обзорную работу [25].
Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, получены соискателем самостоятельно. В текст диссертации для полноты изложения и без доказательств включены результаты, принадлежащие соавторам соискателя или полученные совместно с соавторами. В диссертации не содержатся результаты кандидатской диссертации соискателя.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, включающих 29 разделов, выводов и комментариев к каждой главе, заключения, библиографического списка, включающего список использованных источников и список работ соискателя и 6 приложений. Объем диссертации - 280 страница машинописного текста. Список использованных источников и список работ соискателя на 19 страницах содержат 139 и 25 наименований соответственно. Объем приложений - 13 страниц.
Примеры, моделирующие различные эффекты, использованные во второй главе диссертации, были подобраны и соответствующие компьютерные вычисления и иллюстрации были выполнены О.Н. Грудской при подготовке статей [13] - [15]. Частично эти иллюстрации приведены и в автореферате.
