Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Резольвента простейшего оператора 9
1.1 Преобразование граничного условия обратного оператора 9
1.2 Формула для резольвенты дифференциально-разностного оператора L0 13
1.3 Оценки резольвенты R0 я 22
Глава 2. Резольвенты 42
2.1 Связь Яоя и Я1Я 42
2.2 Связь Ru и Яя 48
2.3 Оценки Я1Л/ 51
2.4 Оценки Rxf 58
Глава 3. Теоремы равносходимости 74
3.1 Равносходимость разложений функции /(х)по собственным и присоединенным функциям оператора L0 и оператора А 74
3.2 Равносходимость разложений функции f(x) по собственным и присоединенным функциям оператора L0 и в тригонометри ческий ряд Фурье 87
3.3 Равносходимость разложений функции f(x) по собственным и присоединенным функциям оператора А и в тригонометри ческий ряд Фурье 97
Дополнение. Обращение оператора А при произвольном п 103
Список литературы 113
- Формула для резольвенты дифференциально-разностного оператора L0
- Связь Ru и Яя
- Равносходимость разложений функции f(x) по собственным и присоединенным функциям оператора L0 и в тригонометри ческий ряд Фурье
- Равносходимость разложений функции f(x) по собственным и присоединенным функциям оператора А и в тригонометри ческий ряд Фурье
Введение к работе
Многие вопросы построения и исследования математических моделей физических явлений приводят к задачам спектрального анализа самосопряженных и несамосопряженных операторов. Спектральный анализ таких операторов включает в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций (СПФ), разложения произвольной функции в ряд по СПФ, вопросы полноты и базисности СПФ, равносходимости разложений по СПФ и по известным системам функций и т.д. Интерес к спектральной теории велик, а успехи в ее развитии за последние десятилетия значительны.
Настоящая работа посвящена получению теорем равносходимости разложений по СПФ для одного класса интегральных операторов и в обычный тригонометрический ряд Фурье.
Впервые теорема равносходимости разложений по СПФ и разложений в тригонометрические ряды Фурье была установлена в работах В.А. Стеклова [1], Е.В. Гобсона [2] и А.Хаара [3] для оператора Штурма-Л иу ви л ля. Затем Я.Д. Тамаркин [4] и М.Н. Стоун [5] распространили этот результат на произвольный дифференциальный оператор:
1[У] = уЫ + ^Рк(х)у(к\ рк(х) є Д0Д] (0.1) с произвольными краевыми условиями: Uj(y) = nfxajk/k\0) + bjk/k\\)} = 0(j = 1,..,/1) , (0.2) удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([6], стр.66-67), которые заключаются в отличии от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в UAy) (после приведения их к нормированному виду ([6], стр 65-66). Дадим формулировку этого результата.
Теорема 0.1. Для любой функции f(x) є Z,[0,1] имеет место:
,->оо *C[S,\S] lim 5r(/,x)-c7r(/,x)LM1 ,, =0 (0.3) г„ п где 8 - любое число из
0, — , Sr (/, х) - частичная сумма ряда Фурье по собственным и присоединенным функциям оператора (0.1) - (0.2) для тех собственных значений, для которых \Як\ < г";crr(f,x) - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье для тех к, для которых кп < г. Условия регулярности снять, вообще говоря, нельзя. лиувиллевского типа получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций и этот метод приводит часто к результатам окончательного характера, и исследования A.M. Седлецкого (см., например, [11]) об операторе дифференцирования с размазанными граничными условиями.
С точки зрения интегральных операторов теорема (0.1) дает равносходимость спектральных разложений для операторов вида: Af= \А(х, t)f(t)dt, (0.4) о когда А(х, t) является функцией Грина дифференциальных операторов. Для интегральных операторов общего вида вопрос о равносходимости исследовался впервые А.П.Хромовым ([12],[13] ). Он ввел следующие требования на ядро А{х, t): ds+j а) A s j (x,t) = rA{x,i), (s,j = 0,...,и) - непрерывны при t < х и х' dxsdtJ t>x , б) A~l существует, B) &d-xs(x,t) t=x= Ax$(x,t)\t=x_Q - Ax$(x,t)\tzzx+0 = osn_i, s = 0,..., n;Ssk - символ Кронекера.
В работе [13] обосновывается существенность всех этих требований для выполнения теоремы 0.1. Отметим, что условие в) задает канонический вид интегральных операторов, для которых имеет место теорема 0.1. Начиная с 1998 года (см.[14]), стали исследоваться интегральные операторы, ядра которых имеют скачки п-1 - ой производной не только на линии t = х, но и t = \-x. Эти операторы мы рассматриваем в виде: Af = ах \Ах (x,t)f(t)dt + a2 \A2(x,t)f(t)dt+
1-х 1 +а3 JA3(l-x,t)f(t)dt + a4 JA4(l-x,t)f(t)dt , (0.5)
0 1-х где а і - комплексные константы, и выполняется условие: Aj(x,t)t=x=S (s = 0,...,n). (0.6)
Для двух частных случаев оператора (0.5) - (0.6), в первом из которых а1=а3 =а4 =0, а во втором а2 = сс4 = 0; A{(x,t) = A3(x,t) теоремы равносходимости были получены А.П. Хромовым [15] и совместно А.П. Хромовым и В.В.Корневым [16].
Целью данной работы является получение теорем равносходимости для оператора (0.5)-(0.6) с произвольными константами at и произвольными ядрами At(x,t), і = 1,...,4 в наиболее простом случае п = 1, а также получение формул обращения оператора (0.5)-(0.6) для п>2, что открывает возможность обобщения теорем равносходимости и на случай произвольного п, но не входит в рамки настоящей работы.
Метод получения теорем равносходимости основывается на методе контурного интегрирования резольвенты Фредгольма оператора (0.5)-(0.6) по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра.
Диссертация содержит 115* страниц, состоит из введения, трех глав, разделенных на 10 параграфов, дополнения и списка литературы.
Для изучения поведения резольвенты Фредгольма оператора (0.5)-(0.6) при больших значениях |Я| привлекается обратный оператор. Он имеет вид (см. [14]): A-l(y) = -\(E + Nlylp-\yXx) + ay(x)) (0.7) y(0)=lA(0,t)(E + Nlr1p-l(y\t) + ay(t))dt, (0.8) где P~lf(x) = — {(«J -a2)f(x) + (a3 -a4)f(\-x)}; Nx - интегральный 8 оператор, 8 и а - константы, подробно описанные в первой главе.
Вся первая глава посвящена изучению резольвенты R0 я оператора L0 вида: L0 : Р-1у';Щу) = у1у{0) + у2у{\) = 0, где ух и у2 получены в параграфе 1.1 после преобразования граничного условия (0.8) к виду: п:К0) + г2;К1) = (.у,<р)-
В параграфе 1.2 построение резольвенты 7?оя сводится к исследованию краевой задачи для дифференциальной системы первого порядка в пространстве вектор-функций размерности 2. Эта краевая задача имеет следующий вид: z'(x) + ABlz(x) = BlF(x); ^(0) + ^(1) = 0, где Вх - неособая постоянная матрица, составленная из а{, размерности 2x2, F(x) = {f(x),f(\-x)}, Рх и >1 - квадратные матрицы, содержащие по одной нулевой строке и коэффициенты ух и у2 из краевого условия оператора L0. После диагонализации матрицы В1 и приведения краевой задачи к виду: оператора L0. После диагонализации матрицы Вх и приведения краевой задачи к виду: v'(x)-mv(x) = BF(x); Pv(0) + gv(l) = 0, вх = тг где D диагональная матрица такая, что
Р = Plr,Q = Qlr,B = DF , получена формула для резольвенты R0 я оператора L0 следующего вида: ко,л/(х) = (аз ~a4)(vl(x,A)+v2(x,X)), где v(x, Л) = {vj (х, Л); v2 (х, Л)} определяется формулой: v(x, Л) = -V(x, Я)А-1 (Л) \U(g(x, t, /l))5F(0<^ + \g(x, t, X)BF(t)df, A(A) = Щу(х,Л)) = Ру(0,Я) + 2у(1Д). Входящая в формулу квадратная матрица g(x,t^) неоднозначна. Ее компоненты выбираются так, чтобы при больших значениях Щ они были ограничены. В параграфе 1.3 производится такой выбор. В результате явно получена матрица g{x,t^). Кроме того, получены оценки каждого из слагаемых формулы для R0 л при \Л\ —> оо , которые позволили получить следующие оценки для R0 xf: |Wll =00)11/1 v \Кя/\\к =o(ffi(ReiV^))|/||A, \\Яо,л/\1=0(ее)(КеЛ4я))\\/\1, \-е~угде se(y) = , при у > 0.
Для случая, когда f(x) = %(x) - характеристическая функция отрезка [Щ>т]с (Д)> получена оценка: RQXx х = 0\ - I.
Все оценки проводятся в области S8 , подробно описанной в параграфе 1.3. Во второй главе работы изучаются резольвенты RlA и /^ операторов:
Ц: Р-Ху\ U(y) = (y,(p), L: (E + N)P-ly'9 Щу) = (у,<р). В параграфе 2.1 получена формула, связывающая резольвенты i?[A и R0 л следующего вида: W = W + (Sn+s12)(W.p)> где Sn и Sn - компоненты матрицы S = -W(x,A)A ; W{x,X) - квадратная матрица, составленная из экспонент е±х Sx с не зависящими от Я постоянными коэффициентами, А(Я) = PW(0, X) + QW(\, Л) - Т{Х), Т(Л) - матрица, составленная из скалярных произведений вида (е В параграфе 2.2 получено уравнение:
Л*) = R^Ax) + Я0)яи [Д # W>) + fi2N(x,i)] + + y(l)RlJL [-М(хЛ) - P2N(x,0)] + + Ru liM't(x,t) - p2K(x,\ - t)]y(t)dt, ±xJdx (0.9) связывающее y(x) = Rxf{x) с резольвентой Rxxf{x)\ Д- - константы, N{x,i) - ядро интегрального оператора такого, что (Е + Л^ )-1 = E + N.
В параграфе 2.3 получены оценки R} xf при |Я| —> оо, аналогичные оценкам для R0 я/.
В параграфе 2.4 изучается уравнение (0.9), доказана теорема о существовании и единственности его решения, а также получены оценки компонент уравнения при больших значениях \Я\.
Третья глава посвящена получению основного результата работы -теоремы равносходимости разложений функции по СПФ оператора Айв тригонометрический ряд Фурье.
В параграфе 3.1 получены следующие оценки разности резольвент операторов L и L0 и оценки контурных интегралов от этих разностей : *я/~ WlL і-*] =(*Л\/\\к +0(*2(ReZjS))\\f\\k + L , где a3t = -Л-Гд5х аз(ЯеЛл/); - Ro,zfW = 0(\)\\f\\Li; \[RxX - RojlZW = О |Л|=г |А|=г
Кроме того, доказана теорема о равносходимости разложений функции f(x) по СПФ операторов L и L0.
В параграфе 3.2 доказана теорема о равносходимости разложений по СПФ оператора L0 и в обычный тригонометрический ряд Фурье.
Основной результат работы приведен в параграфе 3.3, где сформулирована и доказана теорема о равносходимости разложений функции по СПФ оператора Айв тригонометрический ряд Фурье.
Дополнение посвящено обращению интегрального оператора (0.5)-(0.6), допускающего на диагоналях разрыва первого рода производных ядра при произвольном п.
Основные результаты диссертации опубликованы в [17]-[22] и докладывались на объединенном научном семинаре математических кафедр (под руководством профессора А.П. Хромова); на международной школе-семинаре по геометрии и анализу (Ростов - на Дону, 2000г.), на 10 и 11 Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приближения» (Саратов, 1998г., 2000г.), на Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Крым, 2002 г.), на конференции сотрудников механико-математического факультета СГУ «Математика. Механика» (Саратов, 2002 г.), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения» (Воронеж 2003 г.).
Автор выражает искреннюю и глубокую признательность своему научному руководителю профессору А.П. Хромову за постановку задачи и большое внимание к работе.
Формула для резольвенты дифференциально-разностного оператора L0
Исследование равносходимости разложений по СПФ оператора А и в тригонометрический ряд Фурье будем проводить методом Коши-Пуанкаре контурного интегрирования резольвенты Фредгольма оператора А по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра Л. Резольвента Фредгольма оператора А является обычной резольвентой обратного оператора А-1. Для получения формулы и оценки резольвенты оператора А-1 будем использовать метод возмущений. Для этого введем в рассмотрение дифференциально-разностный оператор LQ С краевым условием: где Обозначим резольвенту этого оператора І?О,А Таким образом, І?О,А = (LQ — ХЕ) 1, где Е - единичный оператор, а Л - спектральный параметр. Рассмотрим следующую краевую задачу в пространстве двумерных вектор-функций: (Г - знак транспонирования), 7i и 72 определяются формулами (1.8) и (1.9). Теорема 1.1. Если А таково, что R0j\ существует, то z(x), где Zi(x) = R0 xf(x), z2(x) = Zi(l — x), удовлетворяет системе (1.14) — (1.15). Верно и обратное: если z{x) удовлетворяет системе (1.14) — (1.15) и соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение, то ЛО,А существует, R0t\f(x) = Zi(x) и z2(x) = zi(l — х). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Я0 А существует и zi(x) = І?0,А/(Ж). Тогда Теперь положим z2(x) = zi(l — х); /г(ж) = /i(l — х). Тогда (1.16) и (1.17) в новых обозначениях примут вид: а3)/і(я). Таким образом, (1.18) и (1.19) в матричной форме примут вид Прямое утверждение теоремы 1.1 доказано. Переходим к доказательству обратного утверждения. Пусть z(x) удовлетворяет системе (1.14)-(1.15) и соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение. Обозначим и(х) = (щ(х),и2(х))т, где щ(х) = z2{\ — х); и2{х) = z\{\ — х). Покажем, что и(х) также удовлетворяет (1.14)- (1.15). Для этого в (1.18) и (1.19) заменим х на 1 — х. Получим Таким образом, Это означает, что и(х) удовлетворяет (1.14).
Теперь покажем, что и(х) удовлетворяет краевым условиям (1.15). В новых обозначениях они переходят в матричном виде получим: Таким образом, получим Следовательно, и(х) удовлетворяет и краевым условиям (1.15). Тогда разность z(x) — и(х) будет решением соответствующей (1.14) -(1.15) однородной задачи, которая имеет только нулевое решение. Следовательно, z(x) = и(х), а значит, z2{x) = и2(х) = Z\{1 — х). Осталось показать, что #О,А/(Я) существует и z\ (х) = Ro,xf{x). Рассмотрим (1.14) Покажем, что (L0 — XE) l существует и ограничен. Пусть v\(x) таково, что L0Vi(x) — Xvi(x) = О и пусть v(x) = (vi(x),v2(x))T, где v2(x) = vi(l — х). Тогда v(x) удовлетворяет (1.14)-(1.15) при F(x) = 0. Но однородная краевая задача имеет только нулевое решение. Значит, V\(x) = 0. Следовательно, L0 — ХЕ обратим, но так как (Lo — ХЕ) 1 есть интегральный оператор, то он ограничен. Применим (Lo — ХЕ) 1 к обеим частям (1.22). Получим z1(x) = (L0-XE)-1f(x), zi(x) = R0,\f(x). Теорема 1.1 доказана. Итак, получение формул для резольвенты R0 \ сводится к решению системы (1.14)-(1.15) и выделению первой компоненты вектора решения, т.е. Zi(x). Займемся получением явного выражения для Л0)А- Систему (1.14)-(1.15) можно преобразовать, используя диагонализацию матрицы В\. Для этого необходимо найти матрицы Г и D такие, что By = TDT l, aD- диагональная матрица. Найдя собственные значения матрицы Б, легко составляем диагональную матрицу и = I /7 ) гДе = («і — а2)2 — («з — а4)2. Для получения матрицы Г, диагонализирующей Bi, находим собственные векторы В\ и составляем из них матрицу Г. Получим При условии, что а з ф щ и S ф Отбудет существовать обратная матрица Г-1. Она имеет вид:
Подставим в уравнение (1.14) вместо В 1 произведение TDT l. Получим Или Обозначим: Очевидно, что векторное уравнение (1.25) в координатном виде распадается на два независимых уравнения относительно Vi(x) и v2(x). Кроме того, из равенства z(x) = Tv(x) и теоремы 1.1 легко получить следующее соотношение: Таким образом, Займемся задачей (1.25)-(1.26). Обозначим V(x, А) - матрицу размерности 2x2, являющуюся фундаментальным решением матричного однородного уравнения V (x) — XDV(x) = 0. Обозначим W(x, X) = V 1(x,X). Так как V(x,X) неособая матрица, то V 1(x,X) существует. Введем в рассмотрение матрицу W(x,t,X), элементы которой определяются формулами: Далее будет указано правило выбора одной из этих формул. Лемма 1.2. Общее решение векторного уравнения (1.25) имеет вид: і с - произвольный постоянный вектор размерности 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Общее решение соответствующей однородной задачи для (1.25) имеет вид: Общее решение неоднородной задачи (1.25) будем искать методом вариации произвольных постоянных. Имеем Тогда из V(x,X) с (х) = BF{x) получаем или В координатной форме (1.33) примет вид: V
Связь Ru и Яя
В настоящей главе рассмотрены резольвенты Ritx и Rx операторов L\ и L. В параграфе 2.1 устанавливается связь резольвенты Д А оператора L\ с резольвентой #О,А простейшего оператора Lo. С этой целью рассматриваются две краевые задачи в пространстве вектор-функций, первыми компонентами решений которых являются Ro,xf и Ri,xf- Теорема 2.1 дает формулу, связывающую резольвенту R\,xf с Ro,xf В параграфе 2.2 путем преобразований двух скалярных краевых задач получено уравнение, связывающее резольвенту Rxf с R\txf В параграфе 2.3 получены оценки Ді,д/ в области Ss0 при больших значениях Л по нормам пространств L\ и Ь , а также получены оценки для Rit\Xi гДе X характеристическая функция отрезка D/oi i] С (0;1). В параграфе 2.4 доказывается существование и единственность решения уравнения для Rxf и получены оценки всех компонент формулы, связывающей Rxf с R\,xf При получении необходимых оценок используется лемма 4 из работы [13]. Для удобства изложения приведем формулировку этой леммы. Пусть f(x,t) непрерывна в некоторой замкнутой области из квадрата [0,1] х [0,1]. Тогда / = J /К, )е Ч = о (е ) + о (е ) (И - оо), (2.1) где о(- ) равномерны по 7ь72 м / 7ь72 могут непрерывно, зависеть от t. 2.1. Связь i?o,A и Лід Рассмотрим следующие операторы: L0:P-y, С%) = 0, (2.2) где t%) = 710(0) +722/(1); LI:P-V, Пг/) = о, где Ы = 7і2/(о)+ 72ї/(і)-(г/,р); 7i из (1.8); 72 из (1.9), tp из (1.10), Р 1 из (1.5). Положим, как и в первой главе, Ro,\ = (LQ — \Е) ; Rit\ = (L\ — ХЕ) . Введем обозначения: zi{x) = #О,А; A = o?i-a2; / = «з - «4- (2.3) Тогда из (2.2) и (2.3) получим: p-lz[(x)-\zl(x) = Pf(x). Откуда z[(x)-\PZl(x) = Pf(x). Или подробнее, учитывая вид оператора Р, получим: i(ar) - АРМх) + / 2 (1 - х)\ = М(х) + fof(l - х). (2.4) Заменим х на і — ж. Получим: 1(1 - ж) - A l - )+/ )] = А/(1 - )+&/( ) (2.5) Обозначим: z2(x) = zi(l - х); z(x) = {zi(x); z2(x)}T. Тогда (2.4)-(2.5) переходит в векторное уравнение: z {x) - \BlZ(x) = BxF(x), (2.6) где l h м Bi=[ і F(x) = {f(x);f(l-x)}T. K-fa -Pi) Из краевых условий для оператора LQ получим: P! (0) + Qi (l)=0, (2.7) где / 71 72 \ / 0 0 \ \ 0 0 / V 72 71 / Итак, получили систему (2.6)-(2.7), первая компонента вектора решения которой есть R0j\f(x). Итак, получили систему (2.6)-(2.7), первая компонента вектора решения которой есть Rot\f(x). Рассмотрим теперь резольвенту оператора L\.
Обозначим и{х) — Rit\f(x). Тогда P-Iu {x)-Xu{x) = f{x). Отсюда u (x)-\Pu(x) = Pf(x). Или подробно и (х) - X[plU(x) + (32и{1 - х)} = A/W + /?2/(1 - х)]. (2.8) Заменим х на 1 — х. Получим: „ (1 _ х) _ A[/?lW(l - х) + &«( )] = А/(1 - х) + /?2/(я). Обозначим м2(ж) = «i(l - ж); и(ж) = {wi(x),w2( )}T Тогда и (ж) - А#іи(ж) = Б (ж). . (2.9) Займемся краевыми условиями оператора Li. Имеем 7і«і(0) +72«і(1) = (и\,ф)-Отсюда получаем: 7і«і(0)+72«2(0) = (щ,(р), ,21Q, 7iM2(l)+72«i(0) = (щ, р). { Введем в рассмотрение вектор (и,ср) ={(ииср);(щ,(р)}Т. (2.11) Тогда краевые условия (2.10) примут вид: PlU(0) + QlU(l) - («, р) = 0. (2.12) Обозначим w(x) = z{x) — и{х). Тогда вектор w(x) = {wi(x);w2(x)}T будет решением однородной задачи: w (x) - XBlW(x) = 0. (2.13) Введем в рассмотрение диагональную матрицу D = I /7 ) гДе 5 = (а\ — а2)2 — («з — с 4)2. При условии, что 5 ф 0, существует неособая матрица Г такая, что В\ = TDT-1. Следовательно, однородное векторное уравнение (2.13) можно записать в виде: ги (х) - XTDT wix) = 0. (2.14) Обозначим w(x) = Г_1гі;(а:). Тогда w (x) = T lw (x). Поэтому из (2.14) получаем: w (x) - XDw(x) = 0. Или в координатной форме w[(x) - ХлДщ(х) = 0, w 2(x) + XV6w2(x) = 0 " { } Из первого уравнения системы (2.15) получаем: и;1(ж)=с1еА , а из второго уравнения: w2(x) = c2e-xV Sx. Тогда вектор w(x) можно представить в виде: Обозначим W(x,X)=( _AU, , с = {сис2}т, W(x,\) = TW(x,\). Тогда Отсюда 0 е w{x) = w(x,X)c. w(x) = Tw(x) = TW(x, X)c = W{x, X)c. Или, учитывая, что w(x) = z{x) — и(х), получим: z(x) -и(х) = W(x,\)c. (2 Из краевого условия (2.12), примененного к (2.16), получим: Pi (0) + Qiz(l) - (z, tp) - [PlU(0) + Qi«(l) - («, у?)] - Р О, Л)с + QiW(l, Л)с - (W(x, Л)с, р). Откуда получаем: -(2, р) = АЩО, Л)с + QiW(l, А)с - (W(x, Л)с, 99). (2 В соответствии с обозначениями (2.11) имеем: Далее, используя (1.23), имеем: Сі С2 e\VSx 0 -А\/с W(s,A)c = IW(a;)c = r О е = Г СіЄ с2е А\/5а: -\у/5х Qi\ — Oil — Л/б Q i — a2 + V# СіЄ С2Є ХуДх -X\/Sx (аз - a4)cieA + (0 - Qf4)c2e-A a: (оті - a2 - \/б)Сіех х + (oil - a2 + л/ )с2е-л Отсюда получаем: {{W(x,\)c)Uip) = ((a3-a4)[ciexV 5x + c2e-x %(p) = = («з - a4)Cl(exV 6x, p) + (a3 - a4)c2(e-xV 6x ). Следовательно, / (eA , ) (e"A ,v?) ,A\/; XvSx \(е ,у) (e-x , ) (W(z,A)c,y?) = (a3 «4) Обозначим Г(Л) = (аз - а4) (2.18) {exV Sx, p) {е-х х,ср) Получим: (W(x,X)c,(p) =Т(Х)с. Теперь введем матрицу А(А): А(Л) = Рг](0, A) + 3iW(l, А) - Т(А). (2.19) Тогда из (2.17) получаем: Д(А)с =-( , ). Откуда, при условии существования А-1 (А), получим: c = -A-1(X)(z,cp). Подставим найденный вектор ев (2.16). Получим: z(x) - и(х) = -W(x,X)A-1(X)(z, p). (2.20) Обозначим S = -W(x,X)A 1(X), (2.21) a {S(j}fj=l - компоненты матрицы 5. Тогда (2.20) можно записать в виде: { } [ } - V ui S22 ) \ (zu p) )-\ -(521 + S22)(zu ф) ) В первой главе было доказано, что первая компонента вектора z(x) есть RQxf(x). Аналогично доказывается, что первая компонента вектора и(х) есть Rit\f(x). Тогда первая компонента вектора z{x) — и(х) есть R0txf{x) - RltXf(x). Таким образом, ДО,А/ - ДІ,А/ = -№i + 512)(Ло,л/, р). Окончательно получаем: Ri,xf = R0,xf + (Sn + S12)(Ro,\W. Таким образом, доказана следующая теорема: Теорема 2.1. Если А-1 (Л) существует, то верна следующая формула: Ri,xf = iW + №1 + ЗД№,А/ ), (2-22) где А(Л) из (2.19), 5ц и 5i2 - компоненты матрицы S из (2.21). 2.2. Связь Д1 л/ и Rxf Рассмотрим операторы: оператор Р из (1.4), N - интегральный оператор такой, что (Е + JVi)-1 = Е + iV, iVi из (1.4), i() из (1.5). Обозначим теперь р(х) = Rit\f; у(х) = R\f. Тогда Отсюда получаем: Запишем подробнее (2.25) и (2.26).
Получим системы: Вычтем из первого уравнения системы (2.28) первое уравнение системы (2.27). Получим: Или, в обозначениях (2.23), получим: Откуда получаем: Применив к обеим частям полученного равенства оператор (L\ — \Е) 1, получим: Или Тогда из (2.29) получаем: или Для P l имеет место представление: Интегрируя по частям каждый из получившихся интегралов, получим для NP lDy: і NP lDy = Afo(l)iV(x, 1) - y{0)N(x, 0)] -hi Щ{х, t)y(t)dt+ +р2[уЩК(х,0) - y(0)N(x, 1)] + ft j N t(x, 1 - t)y(t)dt. о Таким образом, из (2.30) получаем: у(х) = RltXf(x) - Д1іЛ{А[у(і№, 1) - y(P)N(x, 0)] -/ j N t(x,t)y(t)dt + hW)N(x,0) - y{0)N(Xi 1)] + +/ J N t(x, 1 - t)y(t)dt} = R1 xf{x) + y(0){A iAiV(rc, 0)+ о +P2Ri,\N(x, 1)} + y(l){-PiRi,xN(x, 1) - p2Ri,xN(x, 0)}+ і +Ri,xf\PiN t{x,t) - ftJVJOM - %( ) ft. о Окончательно получим: y(rc) = /(3:)+ (0) 1 ,0)+ 2 ,1)1+ і +y(l)Д1 А[-АW(a, 1) - /ЗДя, 0)] + Rhx J[PiK(x, t)- (2.31) о -P2N t{x,l)]y{t)dt. Обозначим: (2.32) ()=)91 ,0)+ ,1)5 N3{x) = -fi1N(xil)-p2N(xi0yi 50 N4y(x) = J N4(x,t)y{t)dt, (2.33) где N4{x,t) = PiNfat) - faN t(x, 1 - t). Тогда в обозначениях (2.32)-(2.33) уравнение (2.31) примет вид: у(х) = RltXf(x) + y(0)Ri,xN2(x) + y(l)Ri,xN3{x) + RhXN4y{x). (2.34) Таким образом, доказана следующая теорема: Теорема 2.2. Если R\f(x) существует, то для у(х) = Rxf(x) справедливо соотношение: у(х) = Ri,xf(x) + y(0)RltXN2(x) + y(l)RltXN3(x) + RhxN4y{x): где N2(x),N3(x) из 2.32; N4y(x) из 2.33. 2.3. Оценки Rit\ Рассмотрим формулу (2.22), связывающую Ritxf с Ro,xf Ri,xf = ДО,А/ + (Sn + S12)(Ro,xf, f), где 5ц и S\2 - компоненты матрицы S = — W(x,\)A l, причем матрица А(Л) имеет вид: А(Л) = A W(0, A) + QiW(l, Л) - Г(Л), (2.36) где /71 72 \ / 0 0 \ ( (exVSx , p) (e-A ,rf Л= ;Qi = ;Г(Л) = (а3-а4) \ 0 0 / \ 72 71 / \ (ел ,у) (e-A ,rf Лемма 2.1. 5 области Ss0 при А — оо и ReAv 0 для компонент матрицы Т(Л) верны оценки: (exV Sx, p) = o{exV s); (2.37) (e-x ,ip) = o(l). (2.38) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ИЗ (2.18) имеем: Г(Л) = (аз - а4) (e rf (e- jrfJ где (еА , )= f exV Stcp(t)dt. о
Равносходимость разложений функции f(x) по собственным и присоединенным функциям оператора L0 и в тригонометри ческий ряд Фурье
Переходим к получению теоремы равносходимости рядов Фурье функции f(x) по СПФ оператора LQ И обычной тригонометрической системе. Для этого введем в рассмотрение краевую задачу: Векторное уравнение (3.31) аналогично уравнению (1.25), компоненты вектора решения которого vi(x,X) и г 2(ж,А) давали формулу для резольвенты оператора LQ: Ro,xf = (#з — cv4)(vi(x,X) + 2( , А)). Лемма 3.1. Пусть X таково, что А_1(А) существует, v(x,X) -решение задачи (1.25) — (1.26); и(х,Х) -решение задачи (3.31) — (3.32). Тогда ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим вектор-функцию ш(х, A) =v(x,X) — и(х,Х). Она является решением однородного векторного уравнения: Постоянный вектор с находим, применяя краевое условие задачи (1.25)-(1.26) к (3.34). В силу того, что U(v(x,X)) = 0, получим: Таким образом, U(V(x,X)c) = —U(u(x,X)). Тогда Откуда Тогда, подставив (3.35) в (3.34), получим утверждение леммы. Лемма 3.1 доказана. Вернемся к задаче (3.31)-(3.32). Положим F(x) = 0. Тогда (3.31)-(3.32) в координатной форме примут вид: Числа Л = -у 2кт:і, к Є Z являются собственными значениями для Мі(ж) и щ(х). Удалим дополнительно из области S$0 точки А = А 2кт вместе с окрестностями SQ И обозначим оставшуюся область вновь через Ss0. Лемма 3.2. В области Ss0 верны оценки: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим скалярный оператор с краевыми условиями: Системой собственных функций этого оператора является обычная тригонометрическая система e2klTX, а собственными значениями А& = 2ктгі, к Є Z. Обозначим G(x,t,X) функцию Грина этого оператора. Для получения оценки функции Грина рассмотрим уравнение с краевым условием: Общее решение этого уравнения имеет вид: х о Из краевого условия и (3.43) находим константу с: і „А г 1-еЛ eMf(t)dt. (3.43) Тогда решение краевой задачи (3.42) принимает вид:
Тогда Следовательно, из (3.40) и (3.43), обозначив {Ь -}? -=1 элементы матрицы В, получаем: Аналогично получаем оценку для щ(х,\): Таким образом, (3.37) доказано. Докажем второе утверждение леммы. Рассмотрим задачу для f(x) Х(х). Тогда Итак, пусть 0 х щ, t х. Тогда / р \y/d+AVd[x) [?7;77i]n[0;l] »70 G(x,t,\y/6)X(t)dt = J ——jz-dt = m p\y/S(l+x) Vr і / p\VS(l+x) 1 e XVStdt = = e ,xVs 1 - e 8 J Xy/S\l 1 ( ЄХУД{Х+І-ГЦ) eX\fS(x+l—q0) \VS \ 1 - ел 1 - ел Следовательно, G(x,t,XVd)dt = О (j\ 0(1) = 0 (j [»?o;»7i]n[0;l] Пусть теперь 77o x щ. Тогда ХУД(Х-І) С ЄХУД+ХУД{Х-І) dt = Г ,- Г eXVd(x) J G «. Mt)dt = J j- dt + J [»7o;»7i]n[0;l] 770 x „XVSx г- „X\fl+X\flx r ,_ I 1 e-bVstdt + / e-xVstdt = I _ exVs J 1 _ exVs „ХУДХ , N „xVs+xVSx e ( -ХУДЦХ \ _ __ A(l - e ) V W \J8(\ - eA ) 1 I e \fi {x-vo) _ exV6+xVs(x-r]i) _i_ exVs _ "x7l \ і-ел Откуда получаем: f G(x,t,\y/S)dt = o(j [rjo;»?i]n[0;l] Переходим к случаю x щ, t x. Имеем: / г eWS{x) G(x,t,\V5)dt = j T— dt = [r7o;m]n[0;l] vo "Пі „ХУДХ Г рЛл/йж/ р—ХУДГІО _ _—\\Дтц \ = _ / e- dt = 1 = 1 - ел J (1 - e )Xy/S 1 J e (x Vo) _ gA\/ S(a:-J?i) x7s \ і-ех Откуда получаем: f G(x,t,Xy/S)dt = o(jj . [т/о;і?і]п[0;1] Таким образом, і JG(x,t,\V5)X(t)dt = o(j о Аналогично получим оценку для второго интегрального слагаемого: і JG(x xVS)X(l)dt = o( j Тогда щ(х, А) = О ({) при f(t) = ( ), /(1- і) = X(l - ). Аналогично получаем оценку для второй компоненты вектора и(х, А). щ(х, Х) = 0 (I) при /( ) = xW, /(1 - 0 = x(i - ) Таким образом, лемма 3.2 полностью доказана. Лемма 3.3. Для любого Si Є (О, ) в области Ss0 справедливы оценки: \\Vi(x,X) - Ui(x,X)\\c[5ul„Sl] = \\f\\LlO (е-л ) , і = 1,2; (3.45) Л-Ач/ Л їф,А)-мг-(:с,А)с[(5і;і_5і] = О I —-— J , при f(x) = x(x), і = 1;2. (3.46) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПО формуле (3.33) имеем: v(x,X)-u(x,X) = -V(x,X)A-1(X)U(u(x,X)). В лемме 1.8 для {ЩУІІ-\ - элементов матрицы V(x,X)A i(X) были получены оценки: Щ1 = О (еА -2)) ; щ2 = 0 (е -1 ) ; т1 = О (е"А ) ; 7722 = 0 (e- ( +i)) . Пусть х Є [tfi; 1 - Ji], где Si Є (О; ). Тогда rjn = О (ел -2)) - О (eW?(i- -2)) = 0 (елЛГ(-і- і)) . г,12 = О (ел «-і)) = О (ел і- -і)) = О (е"А ) ; 7721 = о(е-А )=о(е-А ); Г722 = О (е-л ( +і)) = О (е-А 1+ )) = О (е -1- )) . Кроме того, в силу оценки (3.37) и формулы (3.33) имеем: v{x, А) - и(х, X) = -У(ж, Л)Д-1(Л)?7(м(ж, Л)) = г/21 г/22 / V 0(1) / V г/210(1) + г/220(1) »/11 »712 \ / 0(1) \ / 77пО(1)+7/120(1) Или в координатном виде: «!( , А) - «!( , А) = (г/цО(1) +7/ 0(1))11/11 = 0(е-Л 1+Й1))+0(е-Л ) \ /J L1 = О [ е" 1 «2(ж, А) - u2(a, A) = (r/210(l) + ї7220(1))/к = О (e"Av Тогда \\у{(х,\) - и(х,\)\\с[5и1-51] = \\f\\LlO (е х Утверждение (3.45) леммы доказано. Пусть теперь F(x) = {Х(Х)ІХ(1 Х)}Т Тогда из формулы (3.33) и леммы 3.2 получаем: v(x,X) — и(х,Х) = — VU 12 mi цп ЧіГ Лі), o(l) - (і) V .о(1)+чво(і) \ О о X -\у/58і Л / Следовательно, \vi(x,X) - Ui(x,\)\\c[5i;1_Sl] = О -\Vs8i Х г = 1,2. Таким образом, лемма 3.3 полностью доказана. Лемма 3.4. Для любой функции f из L[0; 1] и любого Si Є имеет место равенство: lim fiJ/c[ i;l-Ji] = 0, 1— оо гое nrf = f i2(vi(x,X)-Ui(x,X))dX Am / z— A=r и г таково, что {А Є C/A = r, -\ argAxA y С &0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выполним замену: \х = Хл/б. Тогда имеем: о /izrr\/ $ (3.49) с 2 п . /7 / У2ЫХ,л) - и (х, X))dfi. 2iri\/o J r-f fi\=r\VS\ В показательной форме ц имеет вид: ц = г\у/5\ег р, где (р = ащХу/б; Тогда из (3.49) получаем: / . \ \йц\ C[Si;l-Si] J fij/c[ i;l- i] =0 2(УІ(Х,Х) -щ(х,Х) i=i \n\=r\V&\ Зтг / = 0 rv dyj . (г;,-(ж,Л) -и,-(ж,Л) г=1 C[Si;l-Si] Разобьем отрезок интегрирования на две части. Тогда 37Г 7Г 37Г 2 2 2 /-// 7Г 7Г 2 (3.50) Для первого интеграла из (3.45) получаем: О v,-(s,A) -и,-(я, А) г=і /л dip C[ i;l- i] J ( f LX0 fie dcp Vf Подробнее рассмотрим полученный интеграл. Имеем: 7Г \ /Л. 2 \ /2 / = 0 ,Re(-/i i) d = О I / e-»Sld(p Vf J = / і f е-Ш« ч сІір\ =0 f e Wsin(f-v)d(p\ = V = 0\ e-Sl s[nTdr \ = 0 f е 6 Чт\ =0(1). Аналогично оценивается и второй интеграл из (3.42). Тем самым, получена оценка: II /IC№;1- ,]=0(1)/U, (3.51) Если же f(x) = x(x)i то? воспользовавшись в предыдущих рассуждениях оценкой (3.46) вместо (3.45), получим: ll lcfcii- oQ) Откуда получаем: lim НФхІІсриї- !] = 0. (3.52) Из (3.51) и (3.52) по теореме Банаха-Штейнгауза вытекает утверждение леммы. Лемма 3.4 доказана. 3.3.
Равносходимость разложений функции f(x) по СПФ оператора Лив тригонометрический ряд Фурье Получим теперь основной результат работы. Теорема 3.5 (о равносходимости разложений функции / по СПФ оператора Айв тригонометрический ряд Фурье). Пусть а) ядро оператора А непрерывно дифференцируемо по х и по t, за исключением диагоналей t = xut = l — х; б) выполняется условие (1.2); в) 6 = («і - a2f - {а3 - а4)2 ф 0; і г) Var A x(x,t) ограничена по t. о х Тогда для любой функции f(x) Е Ьі[0; 1] и любого Si Є (О; ) имеет место соотношение: lim max 5г(/,ж) - аг]уДі{Ф{х),х)\ = 0, . (3.53) г—Юо ді ж 1—Оі где Sr{f,x) - частичная сумма ряда Фурье функции f(x) по СПФ оператора А для тех характеристических чисел Хк, для которых А& г; а, д,(Ф(х),х) - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции Ф(х) для тех номеров к, для которых -А=-2ктг г; ф{х) = {а" гҐ{(3п Ms(x) + {а" гҐ((3lx" М9{х)і (3,54) g(x) = /(1 — х),г таково, что {X Є С/ \Х\ = г; 0 arg А 2ж} С Ss0, {Pij}l,j=i элементы матрицы В из (1.24). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1.2 резольвента простейшего оператора LQ имеет вид: Ro,\f = (аз -a4)(v1(x,X) + v2(x,X)), где Vi(x,X) и г 2(ж,А) - компоненты вектора решения краевой задачи (1.25)-(1.26). Рассмотрим разность: — / RxfdX--— / (a3-a4)(ui{x,X) + u2{x,X))dX, (3.55) 2т J 2ITI J A=r А=г где U\(x,X) и 1 ( , А) - компоненты вектора решения краевой задачи (3.31)-(3.32). Преобразуем (3.55) следующим образом: —- I RxfdX--— / (с з -a4)(u1(x,X)-\-u2(x,X))dX 2т J 2т J А=г А=г = — RxfdX- — / (az-a4)(v1(x,X)+v2(x,X))dX+ A=r A=r 2тгг А=г («з - Qf4)(vi(ar, Л) + и2(ж, Л))с?Л— (3.56) - —: / (a3-a4)(ui(x,X + u2(x,X))dX 2т J А=г [ (Rxf - Ro,xf)dX+ \т J A=r + 2 / 3 ( 2(и,"(ж Л) и,"(ж Л ) Л А=г І=1 Обозначим Qrf = -J (Rxf - Ro,xf)dX. (3.57) A=r Тогда в обозначениях (3.49),(3.57) равенство (3.55) примет вид: — / RxfdX-— / (a3-aA)(u1(x,X) + u2{x,X))dX = А= А=г = О-/ + (а3 - аг4)Ф/. (3.58) По теореме 3.4 и лемме 3.4 каждое слагаемое в (3.58) стремится к нулю по норме в С[8\\ 1 — 8\] при г — оо. Следовательно, = 0. lim max г- оо 8\ .х \—&\ 2т A=r Ш RxfdX — ——. / («з — а4)(«і(ж,А) +u2(x,X))dX A=r (3.59)
Известно, что — 2 j f R\f d\ есть частичная сумма ряда Фурье функ т А=г ции f(x) по СПФ оператора А для тех характеристических чисел А ., для которых \Xk\ г. Рассмотрим теперь —: J («з — щ)( і(ж, Л) + м2{xi X))dX. Из (3.40) имеем: — / (аг3-а4)мі(а;,А) А = —3 . / і/і(ж,А) А = А=г А=г 1 »3 — #4 /" dX f G(x,t,\VS)(BF{t))1dt = 2тгг А=г 0 ( 3-0 4 2т A=r о і (а3 - а4)Ри /" dA f G{x,t,\V&)f(t)+ 2m A=r 0 1 («3 - «4) 12 /" dA fG(x,t,\V6)f(l)dt. 2m А=г 0 dX J G(x, t, XVS)((3nf(t) + /W(l ))dt Обозначим = A\M- Тогда последнее равенство примет вид: і —- / (а3-aA)ui(x,X)dX= 1U ї. — I d\i G(x,t,/i)f(t)dt+ 2m J y/S2m J J d\i G(x,t,fi)f(l)dt. (312(а3 - A) I VS2ni J H=r\Vs\ (3.60) 1 Учитывая, что o = — — f dX f G(x,t,X)f(t)dt является частичной m \\\=r 0 100 суммой тригонометрического ряда Фурье функции f(x), (3.60) перепишем в виде: —. І {a3-a4)u1(x,X)dX = и аъ а4 ( о-г (/ )) + А=Г (3.61) /?12(of3 - ац) VS (-VrVsifO-- ) )) Аналогично преобразуем - - / (»3 — а4)щ(х, X)d\. Из (3.41) имеем: т А=г —- / (а3-a4)u?(x,X)dX= 3 , / u2{x,X)dX = A=r A=r l ((3 - Q?4) 2тгї A=r 0 / 21( 3- 4) /" f dX f G(x,t,-XV5)(BF(t))2dt = 1 dX J G{x,t,-\V6)f(t)dt+ 2-кі A=r 0 /" dA {G(x,t,-\V$)f(l)i + /Ы з a4) dX I G(x,t,-XV5)f(l)dt = A=r 0 21( -04) /" dlifG{Xitifi)mdt_ 2niVS J M=r\Vs\ 0 / 22( 3 - «4) 1 / d/г / G(x,t,fj)f(l )dt = 2т:іу5 H=r\Vs\ = p (-«w/и. )) + тР1 (- wa - ---)) Таким образом, в обозначениях (3.54), учитывая, что j / R\f dX = m A=r 101 —Sr(f,x), получим: —- I R\fd\-—: (а3-а4)(щ(х,\)+и2(х,\))(1\ 2m J 2т J A=r A=r = Sr{f,x) + аг1 (Ф(х),х). Тогда из (3.59) и (3.62) следует: ( lim max г—too Si x l— Si Sr{f,x)-ar]VE (x),x) = 0. Теорема 3.5 доказана. 102 Дополнение. Обращение оператора А при произвольном п В дополнении рассматривается задача точного обращения оператора (0.5)-(0.6), допускающего на диагоналях разрывы п — 1-ой производной ядра при произвольном п. Метод получения обратного оператора приводит к интегро-дифференциальному оператору, определенному на множестве функций, имеющих абсолютно непрерывные производные до п — 1-го порядка и удовлетворяющих полученным краевым условиям. В пространстве L2[0,1] рассмотрим интегральный оператор:
Равносходимость разложений функции f(x) по собственным и присоединенным функциям оператора А и в тригонометри ческий ряд Фурье
Получим теперь основной результат работы. Теорема 3.5 (о равносходимости разложений функции / по СПФ оператора Айв тригонометрический ряд Фурье). Пусть а) ядро оператора А непрерывно дифференцируемо по х и по t, за исключением диагоналей t = xut = l — х; б) выполняется условие (1.2); в) 6 = («і - a2f - {а3 - а4)2 ф 0; і г) Var A x(x,t) ограничена по t. о х Тогда для любой функции f(x) Е Ьі[0; 1] и любого Si Є (О; ) имеет место соотношение: lim max 5г(/,ж) - аг]уДі{Ф{х),х)\ = 0, . (3.53) г—Юо ді ж 1—Оі где Sr{f,x) - частичная сумма ряда Фурье функции f(x) по СПФ оператора А для тех характеристических чисел Хк, для которых А& г; а, д,(Ф(х),х) - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции Ф(х) для тех номеров к, для которых -А=-2ктг г; ф{х) = {а" гҐ{(3п Ms(x) + {а" гҐ((3lx" М9{х)і (3,54) g(x) = /(1 — х),г таково, что {X Є С/ \Х\ = г; 0 arg А 2ж} С Ss0, {Pij}l,j=i элементы матрицы В из (1.24). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1.2 резольвента простейшего оператора LQ имеет вид: Ro,\f = (аз -a4)(v1(x,X) + v2(x,X)), где Vi(x,X) и г 2(ж,А) - компоненты вектора решения краевой задачи (1.25)-(1.26). Рассмотрим разность: — / RxfdX--— / (a3-a4)(ui{x,X) + u2{x,X))dX, (3.55) 2т J 2ITI J A=r А=г где U\(x,X) и 1 ( , А) - компоненты вектора решения краевой задачи (3.31)-(3.32). Преобразуем (3.55) следующим образом: —- I RxfdX--— / (с з -a4)(u1(x,X)-\-u2(x,X))dX 2т J 2т J А=г А=г = — RxfdX- — / (az-a4)(v1(x,X)+v2(x,X))dX+ A=r A=r 2тгг А=г («з - Qf4)(vi(ar, Л) + и2(ж, Л))с?Л— (3.56) - —: / (a3-a4)(ui(x,X + u2(x,X))dX 2т J А=г [ (Rxf - Ro,xf)dX+ \т J A=r + 2 / 3 ( 2(и,"(ж Л) и,"(ж Л ) Л А=г І=1 Обозначим Qrf = -J (Rxf - Ro,xf)dX. (3.57) A=r Тогда в обозначениях (3.49),(3.57) равенство (3.55) примет вид: — / RxfdX-— / (a3-aA)(u1(x,X) + u2{x,X))dX = А= А=г = О-/ + (а3 - аг4)Ф/. (3.58) По теореме 3.4 и лемме 3.4 каждое слагаемое в (3.58) стремится к нулю по норме в С[8\\ 1 — 8\] при г — оо. Следовательно, = 0. lim max г- оо 8\ .х \—&\ 2т A=r Ш RxfdX — ——. / («з — а4)(«і(ж,А) +u2(x,X))dX A=r (3.59) Известно, что — 2 j f R\f d\ есть частичная сумма ряда Фурье функ т А=г ции f(x) по СПФ оператора А для тех характеристических чисел А ., для которых \Xk\ г. Рассмотрим теперь —: J («з — щ)( і(ж, Л) + м2{xi X))dX. Из (3.40) имеем: — / (аг3-а4)мі(а;,А) А = —3 . / і/і(ж,А) А = А=г А=г 1 »3 — #4 /" dX f G(x,t,\VS)(BF{t))1dt = 2тгг А=г 0 ( 3-0 4 2т A=r о і (а3 - а4)Ри /" dA f G{x,t,\V&)f(t)+ 2m A=r 0 1 («3 - «4) 12 /" dA fG(x,t,\V6)f(l)dt. 2m А=г 0 dX J G(x, t, XVS)((3nf(t) + /W(l ))dt Обозначим = A\M- Тогда последнее равенство примет вид: і —- / (а3-aA)ui(x,X)dX= 1U ї. — I d\i G(x,t,/i)f(t)dt+ 2m J y/S2m J J d\i G(x,t,fi)f(l)dt. (312(а3 - A) I VS2ni J H=r\Vs\ (3.60) 1 Учитывая, что o = — — f dX f G(x,t,X)f(t)dt является частичной m \\\=r 0 100 суммой тригонометрического ряда Фурье функции f(x), (3.60) перепишем в виде: —. І {a3-a4)u1(x,X)dX = и аъ а4 ( о-г (/ )) + А=Г (3.61) /?12(of3 - ац) VS (-VrVsifO-- ) )) Аналогично преобразуем - - / (»3 — а4)щ(х, X)d\. Из (3.41) имеем: т А=г —- / (а3-a4)u?(x,X)dX= 3 , / u2{x,X)dX = A=r A=r l ((3 - Q?4) 2тгї A=r 0 / 21( 3- 4) /" f dX f G(x,t,-XV5)(BF(t))2dt = 1 dX J G{x,t,-\V6)f(t)dt+ 2-кі A=r 0 /" dA {G(x,t,-\V$)f(l)i + /Ы з a4) dX I G(x,t,-XV5)f(l)dt = A=r 0 21( -04) /" dlifG{Xitifi)mdt_ 2niVS J M=r\Vs\ 0 / 22( 3 - «4) 1 / d/г / G(x,t,fj)f(l )dt = 2т:іу5 H=r\Vs\ = p (-«w/и. )) + тР1 (- wa - ---))
Таким образом, в обозначениях (3.54), учитывая, что j / R\f dX = m A=r 101 —Sr(f,x), получим: —- I R\fd\-—: (а3-а4)(щ(х,\)+и2(х,\))(1\ 2m J 2т J A=r A=r = Sr{f,x) + аг1 (Ф(х),х). Тогда из (3.59) и (3.62) следует: ( lim max г—too Si x l— Si Sr{f,x)-ar]VE (x),x) = 0. Теорема 3.5 доказана. 102 Дополнение. Обращение оператора А при произвольном п В дополнении рассматривается задача точного обращения оператора (0.5)-(0.6), допускающего на диагоналях разрывы п — 1-ой производной ядра при произвольном п. Метод получения обратного оператора приводит к интегро-дифференциальному оператору, определенному на множестве функций, имеющих абсолютно непрерывные производные до п — 1-го порядка и удовлетворяющих полученным краевым условиям. В пространстве L2[0,1] рассмотрим интегральный оператор: х _ 1 Af(x)=ai / Ai(x,t)dt + a2 / A2(x,t)dt+ 0 х 1-х 1 +а3 / A3(l -x,t)dt + a4 / АІ(1- x,t)dt. (4.1) 0 1-х Предположим, что Ai(x, t) для і = 1 и і = 3 непрерывно дифференцируемы по х при t х, а, Ai(x,t) для і = 2 и і = 4 непрерывно дифференцируемы по х при t х и выполняются соотношения: jAi{x,t)\t=x = 8jtn-u j = 0,n-l, дхі я J1 І = І гДе ij = \п ... О, гфз Тогда A i(x, t) = -Ц -— + о(ж - )", x O. (n — 1)! Рассмотрим задачу точного обращения данного интегрального оператора. Метод получения А-1 разработан в [16] и приводит к интегро-дифференциальному оператору. Существенным требованием для получения формул обращения является существование обратного оператора А-1. Это условие в общем случае труднопроверяемо. Лемма 4.1. Если 6 = (аі — а2)2 — (аз — аА)2 ф 0; то оператор Pf(x) = (ttl - a2)f(x) + (-1) з - а4)/(1 - х) 103 орбратим и P lg(x) = ]{{ ! - 2)д(х) + (-1)п(«4 - «зМ1 - х)}. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим Pf(x) =д(х). Тогда («і - a2)f(x) + (-1)п(а3 - щ)/(1 - х) = д(х). Заменим х на 1 — х. Получим («і - а2)/(1 - х) + (-1) з - aA)f(x) = д(1 - х). Таким образом, получается система уравнений относительно f(x) и /(1 - х) вида (of! - a2)f(x) + (-l)n(a3 - а4)/(1 - яг) = ?( ) (-1)п(а3 - а4)/(ж) + («і - а2)/(1 - ж) = #(1 - ж). Определитель этой системы S = (а?і — а2)2 — (аз — СУ4)2 ф 0 по условию. Следовательно, существует единственное решение системы. По формулам Крамера получаем _ (ац - а2)д(х) + (-1)п(а4 - з)р(1 - ж) 1{х) - g Это, в свою очередь, означает; что f(x) = P lg{x). Лемма доказана. Займемся задачей обращения оператора А. Пусть у(х) = Af{x). Подробнее х 1 у(х) = on /" Аі(ж, )/( ) dt + a2f А2(х, t)f(t) dt+ О ж 1-ж 1 +а3 / A3(l-x,i)f(t)dt + a4 / А4(1 - x,t)f(t) dt. О 1-а; Тогда а; 1 у (х) = aiJ A ljX{x, t)f(t) dt + a2j A 2 x(x, t)f(t) dt+ 104 1-х +(-1) з J A!3tX(l - x,t)f(t) dt + (-1)0-4 І Л4 я(1 - M)/W dt. 1-х
Дифференцируя до n-го порядка включительно, получим уЫ(х) = («! - a2)f(x) + (-1) 3 - «4)/(1 - )+ ж 1 +«i J A{"ln(x,t)f(t)dt + a2 J A ]xn(x,t)f(t)dt+ О х 1-х 1 +(-1) у 42» и - , )/w +(-1) лц. (1 - )/ м л. О 1-х Обозначим „(я, i) = aiA ln (х, t)s(x, t) + а2А хп (ж, )є(, ж)+ +(-1) АІЦ„(1 - x,t)e(l -x,t) + (-1)"а44?2»(1 " ММ 1-я), где (ж,) = 1 при t х, є(х,і) = 0 при t x. Тогда yM(x) = Pf(x) + Snf{x), і где Snf(x) = jSn(x,t)f(t)dt. о Пусть А 1 существует. Рассмотрим последовательность операторов Л0,Аі,...,А„, где А0 = А; Аі = —А0 + А)А0, аж -An — т An—і т Рп—іАп—і, аж причем / - произвольные постоянные комплексные числа. С помощью этой последовательности будем строить А-1. Введем оператор D = — и рассмотрим Dn kAk, где & = 1,п. Оче видно, что любой из операторов Рп кАк будет иметь вид: Dn kAk = DnA + alkDn lA + ... + akkDn kA, (4.2) 105 где dik - некоторые комплексные числа, зависящие от /?0,/?i,... ,/; к = 1,п; і = 1, &. Покажем сначала, что всегда можно указать такой набор констант Pi, что какой-нибудь РІЗ операторов Dn kAk будет обратим. В правой части $2) только первое слагаемое DnA будет представлять собой сумму оператора Р и интегрального оператора Sn. Остальные слагаемые являются интегральными операторами, а, значит, их сумма - тоже интегральный оператор. Обозначим і Nkf{x)= / (Sn(x,t)+alkSn-i{x,t)+ о +a2kSn-2(x,t) + ... +akkS„-k{x,t))f(t)dt. Тогда любой из операторов Пп кАк можно представить в виде Dn kAkf(x) = Pf(x) + Nkf(x). По лемме 4.1 оператор Р обратим. Тогда P lDn-kAkf(x) = f(x) + Р- Шіх). Обозначим Nk = Р-1Д . Получим P lDn-kAkf{x) = (Е + Nk)f(x). (4.3) Операторы Nk - интегральные с непрерывными ядрами всюду, кроме линий і = Ї и і = 1 - ж, где допускают конечные разрывы. Тогда их можно представить в виде: Nkf(x) = {Vk + Wk)f(x), где Vjt - конечномерный оператор, а И 1. Подробнее vkf(x)= / W W/W о s=1 где Y2 9з,к{х)ф8 k(t) ЯДР конечномерного оператора Vk. s=l Преобразуем Vkf(x).
Похожие диссертации на Теоремы равносходимости для интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях
