Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обращение интегральных операторов с инволюцией 14
1.1. Теоремы об обращении 14
1.2. Случай вольтеррова оператора с инволюцией 23
Глава 2. Равносходимость для интегральных операторов с дробно-линейной инволюцией 25
2.1. Резольвента "простейшего" оператора 26
2.2. Оценки резольвенты "простейшего" оператора 34
2.3. Формула для резольвенты интегрального оператора с дробно-линейной инволюцией 46
2.4. Равносходимость спектральных разложений исходного и простейшего операторов 56
Глава 3. Равносходимость для интегральных операторов с произвольной инволюцией 65
3.1. Интегро -дифференциальная система для резольвенты 66
3.2. Исследование решений упрощенной системы 74
3.3. Исследование преобразованной интегро-дифференциальной системы 91
3.4. Основная теорема 99
Литература
- Случай вольтеррова оператора с инволюцией
- Формула для резольвенты интегрального оператора с дробно-линейной инволюцией
- Равносходимость спектральных разложений исходного и простейшего операторов
- Исследование преобразованной интегро-дифференциальной системы
Введение к работе
Многие вопросы современной математики, механики, физики приводят к спектральному анализу несамосопряженных дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных операторов. Исследования в этой области включают в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций (с.п.ф.), обращения операторов, асимптотического представления резольвенты при больших значениях спектрального параметра, разложения произвольной функции в ряд по с.п.ф., вопросы полноты и базисности системы с.п.ф., равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций, суммируемости разложений по с.п.ф. и так далее. Такого рода задачи возникают, например, при использовании метода Фурье для решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Следует отметить, что в последнее время интерес к спектральной теории возрастает, о чем свидетельствуют многочисленные публикации.
Данная работа посвящена изучению интегральных операторов с инволюцией. Основной результат - теорема равносходимости разложений по с.п.ф. интегральных операторов и в тригонометрический ряд Фурье. Предварительно получены формулы точного обращения для более широкого класса интегральных операторов с инволюцией.
Одним из основных требований теоремы равносходимости является труднопроверяемое условие регулярности краевых условий. Существует другой подход к вопросу равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций. Этот метод разработан в многочисленных работах В.А. Ильина (основополагающие статьи [7]-[9]); часто такой подход к решению задачи позволяет получить результаты окончательного характера. А.М.Седлецким были получены, например [10], теоремы равносходимости для дифференциальных операторов с «размазанными» граничными условиями.
В работе [12] было показано, что условия а) и б) ослабить нельзя, условие в), то есть, условие существования обратного оператора необходимо для равносходимости, а условие г) задает, в определенном смысле, канонический вид интегральных операторов, для разложений по с.п.ф. которого имеет место равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье.
Работы [13], [14] явились первыми в исследовании спектральных свойств интегральных операторов вида (5). В настоящий момент есть целый ряд публикаций и по другим задачам спектрального анализа опе раторов (5), при некоторых ограничениях на Ai(x,t) и с . Отмечу только некоторые из них. Так в целом ряде совместных работ А.П.Гуревича, А.П.Хромова, напрмер [20], [21], исследуется суммируемость по Риссу спектральных разложений по с.п.ф. интегрального оператора (7). В работе В.П.Курдюмова, А.П.Хромова [22] установлена базисность Рисса системы с.п.ф. оператора. В.В.Корневым, А.П.Хромовым [23] были найдены условия при которых разложения по с.п.ф. оператора (7) абсолютно сходятся, этот результат является обобщением теоремы Зигмунда об абсолютной сходимости тригонометрических рядов.
Одно из направлений дальнейшего исследования, которое сейчас активно развивается, это изучение интегрального оператора (4), ядро которого терпит разрывы первого рода на ломаных линиях определенного вида. Эти ломанные могут быть образованны из сторон и диагоналей квадратов, получаемых разбиением единичного квадрата на п2 равных квадратов. Основополагающей является работа [24], в ней изучается равносходимость разложений в тригонометрические ряды Фурье и по с.п.ф. оператора. Следует отметить, что полученная теорема равносходимости отличается от обычной тем, что равносходимость имеет место не на интервале [8,1 — 5], а на объединении п непересекающихся интервалов кон-, кретного вида.
Во всех указанных работах используется метод контурного интегрирования резольвенты оператора. Исследования начинаются с изучения резольвенты Фредгольма конкретного оператора этого класса, так называемого «простейшего» оператора. Отправным моментом в этих исследованиях является возможность построения для резольвенты простейшего оператора конечномерной краевой задачи, хотя обычно, при произвольном выборе интегрального оператора конечную дифференциальную систему получить невозможно. Затем находится решение краевой задачи, на основании чего получают различные оценки резольвенты «простейшего» оператора, хотя выписать в явном виде саму резольвенту, как правило, не удается. На следующем этапе исследования получают формулу для резольвенты Фредгольма произвольного оператора класса через резольвенту «простейшего» оператора. И далее, в зависимости от цели исследования, изучаются различные операторы, вспомогательные краевые задачи и так далее.
Следует отметить, что вторая глава является обобщением работы [14]. Но в работе [14] с.п.ф. «простейшего» оператора являлась обыкновенная тригонометрическая система функций. Из чего сразу следовала равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье.
Равносходимость разложений функции по с.п.ф. оператора AQ, а следовательно, разложений по с.п.ф. оператора А вида (9), с тригонометрическим рядом Фурье была получена в [32]. В диссертационной работе эта часть не излагается, так как она была получена методом, используемым в третьей главе диссертации. В конце второй главы только формулируется теорема равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье.
Основной результат работы излагается в третьей главе . Доказана равносходимость разложений функции по с.п.ф. оператора (9) в случае произвольной инволюции р(х) Є С3 [0,1] с тригонометрическим рядом Фурье.
Отметим основные отличия методов. Во второй главе, хотя и строится двумерная краевая задача, но почти весь материал излагается для одномерного случая. В третьей главе исследование ведется в двумерном случае. Если в третьей главе изучается резольвента Фредгольма исходного оператора и для нее строится краевая задача, исследуемая в дальнейшем, то во второй главе фактически изучается резольвента Фредгольма простейшего оператора, для нее строится краевая задача, проводится по этапное доказательство. В начале доказывается равносходимость операторов с простейшим, а уже потом получена равносходимость разложений по с.п.ф. простейшего оператора с разложением по тригонометрической системе. Поскольку последнее утверждение доказывается для оператора у которого ядро является константой, то есть, Ао(х, t) = 1, то хотя и использован метод главы 3 , но дополнительных ограничений на ядро оператора в этой части доказательства не появляется, то есть нет тех ограничений, на ядро vl(a;,t), которые возникают если применить этот метод к самому оператору, а не его простейшему.
Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору А.П. Хромову за постановку задачи и внимание к работе.
Случай вольтеррова оператора с инволюцией
В работе [13] были получены формулы обращения для операторов (5). Теорема равносходимости изначально [14] была получена для оператора ядро которого А(х, t) удовлетворяет условию Axs(x,x) = 8Q,S (S — 0,1). Причем были даны два доказательства теоремы равносходимости. Одно свелось к проверке выполнимости условий теоремы равносходимости из [12] для оператора А2. При втором варианте доказательства теоремы, как отмечено в работе, значительно снижены требования на гладкость ядра оператора, требуется всего лишь непрерывность функций A(x,t), Ax(x,t), At(x,t), Axt{x,t) при 0 t х 1. Второе доказательство проведено по схеме рассуждений статьи [12] и основывалось на изучении резольвенты Фредгольма R\ = {Е — ХА) ХА «протейшего» оператора вида (6), когда A(x,t) = 1. Заметим, что такой выбор оператора, использование инволюции р(х) = 1 — ж, позволили свести интегральное уравнение для резольвенты Фредгольма «простейшего» оператора к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка, хотя обычно к конечной системе не сводится. Что в свою очередь позволило выявить структуру резольвенты, получить оценки резольвенты при больших значениях спектрального параметра. Более того, выбор пределов интегрирования в операторе позволил освободиться от требования трудно проверяемого условия регулярности по Биркгофу граничных условий обратного оператора, что существенно упрощает формулировки результатов. Отметим, что в доказательствах используется метод Коши-Пуанкаре [15] интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра.
Дальнейшее обобщение результата шло за счет увеличения числа интегральных слагаемых оператора, изменений ограничений на ядро оператора и конечномерных возмущений оператора. Отмечу основные из этих работ. Сначало была доказана теорема равносходимости для операторов вида при тех же ограничениях на ядро оператора. Затем в совместной работе В.В.Корнева и А.П.Хромова [16] были изменены ограничения на ядро оператора, требовался скачок не самого ядра, а некоторой его производной, а именно, ядро А(х, t) п раз непрерывно дифференцируемо по х: один раз по t при 0 t a; 1и Axa(x, i)\t=x = s.n-i? s = 0,..., п. Отметим, что такое изменение оператора существенно изменило схему доказательства. Кроме того, полученная теорема равносходимости отличается от обычной формулировки, впервые сравнение разложений в ряд по с.п.ф. идет не с одним, а с двумя тригонометрическими рядами.
В работе Е.В.Назаровой [17] была получена теорема равносходимости для оператора (5), то есть для случая четырех интегральных слагаемых. В этой задаче остается требование регулярности краевых условий, проверить его не удалось. Конечномерные возмущения интегральных операторов (6), при некоторых ограничениях на A(x,t) и а были рассмотрены А.П.Хромовым [18], В.А.Халовой [19].
Работы [13], [14] явились первыми в исследовании спектральных свойств интегральных операторов вида (5). В настоящий момент есть целый ряд публикаций и по другим задачам спектрального анализа операторов (5), при некоторых ограничениях на Ai(x,t) и с . Отмечу только некоторые из них. Так в целом ряде совместных работ А.П.Гуревича, А.П.Хромова, напрмер [20], [21], исследуется суммируемость по Риссу спектральных разложений по с.п.ф. интегрального оператора (7). В работе В.П.Курдюмова, А.П.Хромова [22] установлена базисность Рисса системы с.п.ф. оператора. В.В.Корневым, А.П.Хромовым [23] были найдены условия при которых разложения по с.п.ф. оператора (7) абсолютно сходятся, этот результат является обобщением теоремы Зигмунда об абсолютной сходимости тригонометрических рядов.
Одно из направлений дальнейшего исследования, которое сейчас активно развивается, это изучение интегрального оператора (4), ядро которого терпит разрывы первого рода на ломаных линиях определенного вида. Эти ломанные могут быть образованны из сторон и диагоналей квадратов, получаемых разбиением единичного квадрата на п2 равных квадратов. Основополагающей является работа [24], в ней изучается равносходимость разложений в тригонометрические ряды Фурье и по с.п.ф. оператора. Следует отметить, что полученная теорема равносходимости отличается от обычной тем, что равносходимость имеет место не на интервале [8,1 — 5], а на объединении п непересекающихся интервалов кон-, кретного вида.
Во всех указанных работах используется метод контурного интегрирования резольвенты оператора. Исследования начинаются с изучения резольвенты Фредгольма конкретного оператора этого класса, так называемого «простейшего» оператора. Отправным моментом в этих исследованиях является возможность построения для резольвенты простейшего оператора конечномерной краевой задачи, хотя обычно, при произвольном выборе интегрального оператора конечную дифференциальную систему получить невозможно. Затем находится решение краевой задачи, на основании чего получают различные оценки резольвенты «простейшего» оператора, хотя выписать в явном виде саму резольвенту, как правило, не удается. На следующем этапе исследования получают формулу для резольвенты Фредгольма произвольного оператора класса через резольвенту «простейшего» оператора. И далее, в зависимости от цели исследования, изучаются различные операторы, вспомогательные краевые задачи и так далее.
Формула для резольвенты интегрального оператора с дробно-линейной инволюцией
В этой главе изучается равносходимость разложений функции по с.п.ф. интегрального оператора с произвольной инволюцией и в тригонометрический ряд Фурье. В параграфе 3.1 строится краевая задача для резольвенты Фредгольма рассматриваемого оператора. Затем эта задача преобразуется к виду более удобному для изучения. В параграфе 3.2 изучается вспомогательная упрощенная краевая задача, для нее найдено решение. Приведены оценки вспомогательных функций, входящих в это решение, на основании которых получены оценки самого решения упрощенной задачи в различных пространствах. В параграфе 3.3 найдено решение преобразованной задачи для резольвенты Фредгольма через решение упрощенной задачи. Получен ряд промежуточных оценок. В параграфе 3.4 доказывается основной результат работы - теорема равносходимости разложений функции по с.п.ф. интегрального оператора и в тригонометрический ряд Фурье. Для этого вводится двумерная краевая задача, распадающаяся на задачи, собственными функциями которых является тригонометрическая система. Приводится решение задачи, оценки решения. В ряде утверждений сравниваются решения различных краевых задач, рассмотренных в третьей главе.
Основные результаты главы 3 содержатся в теоремах 3.1, 3.2, 3.8, 3.9. Предполагается, что инволюция р(х) Є С3[0,1], функции А(х, t), Ax(x,t), At(x,t), Axt(x,t), Ax2t(x,t), Axt2(x,t) непрерывны при 0 t x 1, A(x,x) = 1. Для оператора (3.1) в теореме 1.4 и ее следствии был получен обратный оператор. Только в данной главе для ядра оператора вместо обозначения A%{x,t) используем обозначение А (ж, t). Через R\ = (Е — ХА) гА обозначим резольвету Фредгольма оператора А. Рассмотрим следующую краевую задачу в пространстве двумерных вектор-функций: Теорема 3.1. Если А таково, что R\ существует, то вектор z{x) с координатами Z\{x) = R\f{x), z2(x) = Zi(p(x)) является решением задачи (3.2), (3.3). Обратно, если z{x) удовлетворяет (3.2), (3.3), и соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то R\ существует, и R\f{x) = Zi(x), z2(x) = z\{p{x)). Доказательство. Пусть резольвента R\ существует. Обозначим Zi(x) = R\f(x), то есть, zl(x) = (E-XA)-1Af(x). Применим к обеим частям последнего равенства оператор А 1(Е — ХА), имеем A z x) - Azi(ff) = f(x), и воспользуемся явным видом (1.20) оператора А г, получим х p (x)zfMx))+N(x,x)Zl(p(x)) - JN;{x,t)zMt))dt- i(x) = /W- (3-4) о В уравнении (3.4) заменим х на р(х), учитывая то, что р(р{х)) = х, р (х)р (р(х)) = 1, приходим к равенству Р\Х) щ4(х) + М(р(х),р(х))21(х) - J Ni(p( ),t i(p(t))dt -XzMx)) = f(p(x)). (3.5) Положим z2(x) = Zi(p(x)), Fi(x) = f(x), F2(x) = f(p(x)), тогда уравнения (3.4), (3.5) в матричном виде можно записать следующим образом: / 0 1 \ / z[(x) \ ( 0 N{x,x) \ ( Zl{x) \ \{р {х)) 0 )\ z 2(x) ) + V Щр{х),р{х)) 0 )\z2(x)) + } ( 0 -s(x,t)N[(x,t) \ / Zl(t) \ ( Zl(x) \_( Fi(rr) Л +У V 0 -e(p(x),t)N (p(x),t) ) V ( ) ) V ( ) 7 " V ВД ) о (3.6) или как уравнение (3.2). Из теоремы 1.4 имеем граничное условие і(1) = 0. (3.7) Поскольку 2:2(0) = 2і(1), то граничное условие можно записать в матричном виде следующим образом: то есть приходим к краевому условию (3.3). Докажем обратное утверждение. Пусть z(x) является решением задачи (3.2), (3.3), и соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение. Тогда и(х) = (ui(x),u2{x))T с компонентами ui(x) = Z2(p(x)), и2(х) — Z\(р(х)) также является решением задачи (3.2), (3.3). Покажем это. В уравнении (3.6) заменим х на р(х), полученное равенство выпишем как систему двух уравнений, получим i(p(aO) + N(p(x),p(x))z2(p(x)) - Je{p{x),t)N t(p(x),t)z2{t)dt о -\z1{p(x)) = F1{p{x)), (3.8) і щг Мх)) + N{x,x)z1(p(x)) - Je{x,t)N t(x,t)z2(t)dt 0 - Xz2(p(x)) = F2(p(x)). (3.9) В новых обозначениях, учитывая то, что р \х)р \р(х)) = 1, F2(p(x)) = = 1 (Р(Р(Х))) = Fi(x), F2(x) = Fi(p(x)) уравнения (3.8), (3.9) примут вид: і -ущи х) - N{p{x),p(x))Ul{x) - J є{p{x),t)NІ(p{x),t)u2(t)dt--Хи2(х) = F2(x), 1 и2(х) + N(x, x)ib2(x) — / є(х, t)Nt(x, t)u2(t) dt — \u\{x) = Fi(x), или в матричной форме Q(x)u (x) + Р{х)и{х) + Nu(x) - Хи(х) = F(x). Таким образом, и{х) удовлетворяет уравнению (3.2). В новых обозначениях краевые условия (3.3) будут следующими: и2(0) = 0, мі(1) = 0, или М0и(0) + Мги{1) = О, то есть, и(х) удовлетворяет краевым условиям (3.3). Поэтому, разность и(х) — z(x) является решением соответствующей (3.2), (3.3) однородной задачи, которая имеет только тривиальное решение. Значит, z(x) = и(х). Следовательно, (ж) = U2(x) = Z\{p{x)). В заключение покажем, что резольвента R\f существует и R\f(x) = Zi(x). Замена Zi{x) на zi(p(x)) в уравнении (3.2) приводит к равенству
Равносходимость спектральных разложений исходного и простейшего операторов
В диссертационной работе рассматриваются операторы, обобщающие операторы вида (5), а именно, где p(x) - инволюция. Как уже отмечалось, существование обратного оператора является необходимым условием для равносходимости. Поэтому изучение оператора (8) естественно начать с обращения. В первой главе диссертации получены формулы точного обращения операторов вида (8). Эта глава является обобщением работы [13] на случай произвольной инволюции.
Во второй главе работы устанавливается равносходимость разложений функции по с.п.ф. оператора вида (9), ядро которого Ao(x,t) = 1. Определен явный вид резольвенты Фредгольма оператора А0. На основании этого получен ряд оценок резольвенты оператора А0 в различных пространствах. Выведено уравнение, связывающее резольвенты- операторов АиД), показано существование и единственность решения этого уравнения. И методом Коши-Пуанкаре доказывается равносходимость разложений по с.п.ф. операторов А и А0.
Следует отметить, что вторая глава является обобщением работы [14]. Но в работе [14] с.п.ф. «простейшего» оператора являлась обыкновенная тригонометрическая система функций. Из чего сразу следовала равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье. Равносходимость разложений функции по с.п.ф. оператора AQ, а следовательно, разложений по с.п.ф. оператора А вида (9), с тригонометрическим рядом Фурье была получена в [32]. В диссертационной работе эта часть не излагается, так как она была получена методом, используемым в третьей главе диссертации. В конце второй главы только формулируется теорема равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье. Основной результат работы излагается в третьей главе . Доказана равносходимость разложений функции по с.п.ф. оператора (9) в случае произвольной инволюции р(х) Є С3 [0,1] с тригонометрическим рядом Фурье. Понятно, что во второй главе рассмотрена часть операторов, изучаемых в третьей главе. Однако, существенно отличаются не только методы исследования, но и условия при которых получены теоремы равносходимости. А именно, во второй главе теорема равносходимости получена для интегрального оператора со следующими ограничениями на ядро оператора: требуется непрерывность ядра A(x,t) и его производных An(x,t), At(x,t), Axt(x,t), кроме того, А{х,х) = 1, Ax(x,t) = 0. В более общем случае, рассмотренном в третьей главе, усилены требования на гладкость: требу ется еще непрерывность Ax2t(x,t), Axt2(x,t), но условие Ax(x,t) = 0 удалось снять. Отметим основные отличия методов. Во второй главе, хотя и строится двумерная краевая задача, но почти весь материал излагается для одномерного случая. В третьей главе исследование ведется в двумерном случае. Если в третьей главе изучается резольвента Фредгольма исходного оператора и для нее строится краевая задача, исследуемая в дальнейшем, то во второй главе фактически изучается резольвента Фредгольма простейшего оператора, для нее строится краевая задача, проводится по этапное доказательство. В начале доказывается равносходимость операторов с простейшим, а уже потом получена равносходимость разложений по с.п.ф. простейшего оператора с разложением по тригонометрической системе. Поскольку последнее утверждение доказывается для оператора у которого ядро является константой, то есть, Ао(х, t) = 1, то хотя и использован метод главы 3 , но дополнительных ограничений на ядро оператора в этой части доказательства не появляется, то есть нет тех ограничений, на ядро vl(a;,t), которые возникают если применить этот метод к самому оператору, а не его простейшему.
С другой стороны, применение метода L-диагонализации, в третьей главе позволяет снять требование Ax(x,t) рой главе требуется выполнение условий А(х, х) = 1 и Ах(х, t) = 0, а в общем случае, рассмотренном в третьей главе, только условие А(х, х) = 1. Поясним формальное строение работы. Работа содержит 113 страниц, состоит из введения, трех глав (десяти параграфов) и списка литературы. Параграфы имеют двойную нумерацию. Охарактеризуем основное содержание каждого из параграфов. В параграфе 1.1 получены (теорема 1.1) обратные операторы для интегральных операторов (8), в предположении их существования: - комплексное число, Sp0 - интегральный оператор. В теоремах 1.2-1.4 рассмотрены частные случаи оператора (8), где доказано существование оператора А 1. В теореме 1.4 получен обратный оператор для оператора (9), этот результат используется во второй главе. Следствие из теоремы 1.4 дает другой вид обратного оператора, используемый в третьей главе. В параграфе 1.2 рассмотрены интегральные вольтерровы операторы с инволюцией. Для этих операторов в теореме 1.5 получены обратные операторы и доказано их существование. Во второй главе рассматривается интегральный оператор А вида (9) с дробно-линейной инволюцией. В параграфе 2.1 строится краевая задача z (x) = \B(x)z{x) + B(x)F{x), QQz(0) + QlZ{l) = 0, где B(x), Qo, Qi -матрицы размерности 2x2, F(x) = (/(ж), f(p(x)))T. Первая компонента z\(x) решения этой задачи является резольвентой Фред-гольма RQxf{x) простейшего оператора AQ. Задача решена путем сведения дифференциальной системы к дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами для функции Zi(x) (теорема 2.2). Найден (теорема 2.3) явный вид резольвенты Фредгольма R f(x) = Zi(x). В параграфе 2.2 леммы 2.1-2.5 дают оценки резольвенты Rx в различных пространствах, а именно, при больших значениях А[ справедливы
Исследование преобразованной интегро-дифференциальной системы
В этой главе изучается равносходимость разложений функции по с.п.ф. интегрального оператора с произвольной инволюцией и в тригонометрический ряд Фурье. В параграфе 3.1 строится краевая задача для резольвенты Фредгольма рассматриваемого оператора. Затем эта задача преобразуется к виду более удобному для изучения. В параграфе 3.2 изучается вспомогательная упрощенная краевая задача, для нее найдено решение. Приведены оценки вспомогательных функций, входящих в это решение, на основании которых получены оценки самого решения упрощенной задачи в различных пространствах. В параграфе 3.3 найдено решение преобразованной задачи для резольвенты Фредгольма через решение упрощенной задачи. Получен ряд промежуточных оценок. В параграфе 3.4 доказывается основной результат работы - теорема равносходимости разложений функции по с.п.ф. интегрального оператора и в тригонометрический ряд Фурье. Для этого вводится двумерная краевая задача, распадающаяся на задачи, собственными функциями которых является тригонометрическая система. Приводится решение задачи, оценки решения. В ряде утверждений сравниваются решения различных краевых задач, рассмотренных в третьей главе.
Предполагается, что инволюция р(х) Є С3[0,1], функции А(х, t), Ax(x,t), At(x,t), Axt(x,t), Ax2t(x,t), Axt2(x,t) непрерывны при 0 t x 1, A(x,x) = 1. Для оператора (3.1) в теореме 1.4 и ее следствии был получен обратный оператор. Только в данной главе для ядра оператора вместо обозначения A%{x,t) используем обозначение А (ж, t).
Через R\ = (Е — ХА) гА обозначим резольвету Фредгольма оператора А. Рассмотрим следующую краевую задачу в пространстве двумерных вектор-функций: Если А таково, что R\ существует, то вектор z{x) с координатами Z\{x) = R\f{x), z2(x) = Zi(p(x)) является решением задачи (3.2), (3.3). Обратно, если z{x) удовлетворяет (3.2), (3.3), и соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то R\ существует, и R\f{x) = Zi(x), z2(x) = z\{p{x)). Докажем обратное утверждение. Пусть z(x) является решением задачи (3.2), (3.3), и соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение. Тогда и(х) = (ui(x),u2{x))T с компонентами ui(x) = Z2(p(x)), и2(х) — Z\(р(х)) также является решением задачи (3.2), (3.3). Покажем это. В уравнении (3.6) заменим х на р(х), полученное равенство выпишем как то есть, и(х) удовлетворяет краевым условиям (3.3). Поэтому, разность и(х) — z(x) является решением соответствующей (3.2), (3.3) однородной задачи, которая имеет только тривиальное решение. Значит, z(x) = и(х). Следовательно, (ж) = U2(x) = Z\{p{x)).
В заключение покажем, что резольвента R\f существует и R\f(x) = Zi(x). Замена Zi{x) на zi(p(x)) в уравнении (3.2) приводит к равенству Интегрируя по частям, учитывая граничное условие Zi{l) = 0, после преобразований приходим к равенству или Применим к обеим частям уравнения (3.10) оператор (Е + iVi), где Ni определен в (1.19). Учитывая то, что (Е + Ni)(E + N) = Е, имеем В уравнении (3.11) заменим х на р(х), умножим равенство на р (х), получим
Оператор (.Е — ХА) обратим. Покажем это. Если Vi(x) — XAvi(x) = О, то, как показано выше, v(x) = (vi(x), vi(p(x)) )т удовлетворяет (3.2), (3.3) при F{x) = 0. Но однородная краевая задача имеет только тривиальное решение. Значит, vi(x) = 0. Следовательно, оператор (Е — ХА) обратим.
Похожие диссертации на Теоремы равносходимости для интегральных операторов с инволюцией
