Введение к работе
Актуальность темы.
Пусть {Ад.}д.>| ограниченная последовательность точек ком-
плексной плоскости. Рассмотрим ряд
^ = - Ад.
д = і *
где Лд. Є C,^t>l^4A;| < оо. Ряды такого вида называют рядами Вольфа — Данжуа. Ряды Вольфа — Данжуа интенсивно изучались в работах А.Пуанкаре, Э.Бореля, А.Данжуа, Ж.Вольфа, Т.Карлемана, А.Берлинга, А.Гончара, Т.Леонтьевой в связи с проблемами аналитического продолжения и квазианалитичности.
Не умаляя общности, можно предполагать, что Ад. Є D, где D = {z Є С : \z\ < 1} — единичный круг комплексной плоскости. Тогда сумма ряда Вольфа — Данжуа представляет собой функцию, аналитическую в |г|>1, и можно рассматривать вопрос о представимости аналитической функции в виде суммы такого ряда и о единственности этого представления.
Хорошо известно, что вопрос о единственности нетривиален: существуют последовательности {Лд.}д.>і Є/1, {Aa.}a.>i CD, Лд. ф О такие, что
eAs0- h>1- (1)
Настоящая работа посвящена поиску наилучших возможных условий на коэффициенты Лд., при выполнении которых тождество (1) влечет Л д. = 0. в терминах быстроты убывания последовательности |Лд.|.
Рассмотрим такую последовательность положительных чисел {сд.}д.>ь что є к I 0 и будем искать такие условия на д., при которых из неравенства
|Лд.| < const--д., А->1 (2)
и тождества (1) следует Л д. = 0, к > 1 (независимо от последовательности {Ад.}д.>| CD).
Обозначим
Іх(є) = {{Лд.}д.>,. Ад. Є С : ЗС = oust, С > (),|Ад.| < С г,. к > 1}.
Э.Ворель первым показал, что это последнее предположение оправдано, когда последовательность Лд. убывает очень быстро, а именно, если
с-А. = о(ехр(-ехр(А:'-))), к —> оо,
то условие (1) влечет Ад. = 0.
Ж.Вольф (1921) впервые построил пример нетривиального ряда рассматриваемого типа, сумма которого тождественно равна нулю.
Позднее Т.Карлсман (1922) показал, что если
є к = ехр(-(а + є)к log к),
то (1) влечет Лд. = 0 (здесь a = const, а > 1 зависит от Лд., а >0 произвольно).
А.Берлинг (1934) уточнил этот результат и показал, что для единственности ряда (1) достаточно потребовать д- = ехр(— ак), и >0 .
Этот результат вытекает из теоремы о квазианалитичности для классов функций, допускающих хорошее приближение рациональными.
Этот же результат о единственности рядов (1) можно найти в статьях А.Гончара (19G0). А.Гончар исследовал возможность аналитического продолжения таких функций, которые допускают быстрое приближение рациональными функциями.
В работах А.Ланжуа (1924) приводятся примеры нетривиальных рядов (1) (т.е. рядов, для которых Ад. ф 0), таких, что
| Лд.| < const ехр(-А-1/2_).
где >0 сколь угодно мало, а также исследуется вопрос о разложении голоморфных функций в ряд с коэффициентами Ад, убывающими с такой быстротой.
Т.Леонтьепа (19GS 19G9) доказала теорему о представлении аналитических в closD функций рядами Вольфа Данжуа с условием
|Л,|<ехр(-/,'-'),
є > 0 сколь угодно мало. В диссертационной работе получен окончательный результат, завершающий эту серию классических результатов, состоящий в том, что единственность разложений в ряды Вольфа — Данжуа эквивалентна расходимости логарифмического интеграла:
А:>1 к
Цель работы.
Найти наилучшие возможные условия убывания модулей коэффициентов рядов Вольфа — Данжуа, гарантирующие единственность разложения, а также возможность разложения функций некоторых аналитических классов в ряды Вольфа — - Данжуа.
Общая методика исследования.
Используется аппарат классического комплексного анализа функций одной комплексной переменной, линейного функционального анализа, теории операторов.
Научная новизна.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в теории операторов, а также в теории аппроксимации рациональными функциями в С.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на ПОМИ-СПбГУ по спектральной теории функций, на семинарах по теории операторов и по комплексному анализу университета Бордо (Франция), на семинаре по комплексному анализу университета Орсэ (Франция), на конференции по теории операторов в г. Лилле (1994 г.)
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]. [2]-
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения и пяти глав, подразделенных на 17 параграфов. Библиография содержит 18 наименований.
