Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Диссертационная работа посвящена исследоаанию свойств рядов по ортогональным системам, обобщающим кчасснческие системы Уолша и Хаара. В ней рассматриваются свойства коэффициентов Фурье различных классов функций по рассматриваемым обобщенным системам Уолша и Хаара и вопросы единственности представления функций рядами по этим системам.
Широко известна роль ортогональных систем в решении многих теоретических и прикладных задач гармонического анализа. В теории ортогональных рядов важную роль играют классическая тригонометрическая система и системы Уолша, Хаара. Развитие теории тригонометрических рядов определялось работами Л.Эйлера, Ж.Фурье, П.Дирихле, Л.Фейера, Б.Римана, Г.Кантора, А. Лебега, Ш.Ж.Валле-Пуссена, Н.Н.Лузина, Д.Е.Меньшова, А.Н.Колмогорова, Г.Харди, Д.Литлвуда, А.Зигмунда, Н.К.Бари и др. Классическая теория тригонометрических рядов оказала сильное влияние на развитие теории рядов по системам Уолша и Хаара. При этом во многих вопросах обнаружился параллелизм, но и выявилось и существенное отличие. Интерес к системам Уолша и Хаара был обусловлен использованием этих систем в прикладных вопросах ( в теории кодирования; в цифровой обработке сигналов, в распозновании образов и др.) и в решении многих важных вопросов общей теории ортогональных рядов. На развитие теории рядов по системам Хаара и Уолша существенное влияние оказали работы А.Хаара, Д.Уолша, Г.Алексича, Б.Надя,' И.Шаудера, П.Л.Ульянова, А.А.Талаляна, А.М.Олевского, С.В.Бочкарева, А.В.Ефимова, В.А.Скворнова, Б.Н.Голубова^Г.Арутюияна, Р.Пэли, Н.Файна, С.Качмажа, Н.Я.Виленкина, К.Вагари.А.А.Шнейдера, А.И.Рубинштейна п др.
В последние десятилетия начали интенсивно развиваться общие муль типликативные системы и системы типа Хаара, обобщающие соответственно классические системы Уолша и Хаара. Рассмотрение рядов по общим мультипликативным системам, как системам характеров нуль-мерных компактных абелевых групп, впервые было предложено Н.Я.Виленкиным (Изв.АН СССР, серия матем. 1947, т.П, с.363-400).
Мультипликативные системы, обобщающие систему Уолша, рассматривались так же Н.Прайсом, А.В.Ефимовым, более частные случаи - П.Левл и Х.Е.Крестенсоном. Система Уолша и общие мультипликативные системы представляют большой интерес в абстрактном гармоническом анализе, как системы характеров компактных абелевых групп. Кроме того, они находят широкое применение в цифровой обработке информации, s построении специализированных вычислительных устройств, цифровых фильтров и цифровых голограмм. Теория рядов по системе Уолша и по общим мультипликативным системам и их применения в различных прикладных задачах изложены в монографиях Г.Н.Агаева, Н.Я.Виленкина, Г.М.Джафарли, А.И.Рубчнштенна; Б.И.Голубова, А.В.Ефимова, В.А.Скворцова; Ф.Шиппа, П.Симона, В.Вейда; Х.Хармута.
Каждая система ф{рп}, класса ф ортогональных систем Виленкина-Прайса, определяется последовательностью целых чисел {рп},рп > 2, при рп = 2, n = 1,2,... совпадает с системой Уолша-Пэли. Большинство известных результатов теории рядов по этим системам относятся к случаю supp„ = JV < со. В этом случае многие результаты аналогичны с результатами теории рядов Уолша. Оказывается, в случае supy„ = оо могут иметь место и другие ситуации. В этом случае
возникают задачи выяснения природы образующей последовательности {рп}> при которых могут иметь место те или иные результаты для соответствующей системы ф{р„}.
Н.Я.Виленкиным впервые был рассмотрен класс % полных ортогональных систем, содержащий в себе классическую систему Хаара и тесно связанный с мультипликативными системами. Так' же как и в случае мультипликативных систем, каждая система хІРп} этого класса определяется последовательностью целых, чисел {р„},Рп > 2,п = 1,2,... и При р„ — 2,n = 1,2,... представляет собой систему Хаара. Ряды по системам класса х рассматривались Б.И.Голубовым и А.И.Рубинштейном. Впоследствии обнаружилось, что результаты теории рядов по системам класса х существенно зависят от ограниченности или неограниченности образующей последовательности {рп}-
В настоящей работе нами рассматриваются ряды по системам клас-
сов ортогональных систем ф а х> содержащим в себе соответственно систему Уолша и систему Хаара. При этом большинство результатов относятся к системам 4>{рп} и х{Рп} с произвольными образующими последовательностями {р„}. Системы ф{рп} и х{Рп] назовем соответственно обобщенными системами Уолша и Хаара.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью настоящей работы является решение следующих задач:
-
Исследование возможной скорости стремления к нулю коэффициентов Фурье непрерывных, отличных от тождественных постоянных, функций по обобщенным системам Уолша и Хаара.
-
В терминах группового модуля непрерывности получить условия абсолютной сходимости рядов, составленных пз коэффициентов Фурье по обобщенным системам Уолша и Хаара.
З.Нахождение коэффициентных условий интегрируемости и Li -сходимости рядов по обобщенным системам Уолша.
4. Решение задачи восстановления коэффициентов поточечно сходя
щихся рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара.
-
Построения континуальных множеств единственности и нуль рядов для обобщенных систем Уолша.
-
Применения обобщенных систем Хаара к некоторым квадратурным формулам.
Приведенные задачи в большинстве случаев рассматриваются как для одномерных, так и для двойных и кратных рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. При исследовании свойств коэффициентов Фурье и решении вопросов единственности рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара применяются общие методы метри-ческой теории функций и методы теории рядов Хаара и Уолша. Существенно используются поведение частичных сумм с номерами тп рядов по рассматриваемым системам. В вопросах восстановления коэффициентов поточечно сходящихся рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара систематически используется метод сведения задач о поведении сумм ряда к вопросу дифференцируемости по р-ичным сетям некоторой функции. Приведены конструкции построения множеств единственно-
стп нуль-рядов для обобщенных систем Уолша.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми. Установлены ограничения на скорость стремления к нулю коэффициентов Фурье непрерывных функций по обобщенным системам Уолша л Хаарч. Получены условия абсолютной сходимости рядов нэ коэффициентов Фурье по рассматриваемым системам. При этом, в случае кратных рядов по обобщенным системам Уолша показана неулучшаемость полученных условий для некоторых классов функций.
Получены условия на коэффициенты рядов по обобщенным системам Уолша, при которых сумма рядов по этим системам является интегрируемой функцией и имеет место Lj-сходішость. Доказаны весьма общие теоремы единственности и восстановления коэффициентов рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара в случае сходимости по некоторым подпоследовательностям частичных сумм. В связи с этим рассмотрены вопросы дифференцирования по соответствующим сетям. Построены примеры континуальных U-множеств и М-множеств меры нуль для обобщенных систем Уолша. При этом образующие последовательности {р„} обобщенных систем Уолша и Хаара произвольны, в частности они могут быть неограниченными в совокупности. Приведены применения обобщенных систем Хаара к оценке погрешности некоторых квадратурных формул. Полученные результаты по рассматриваемым задачам, в большинстве случаев, относятся к одномерным, двойным также и кратным рядам по обобщенным системам Уолша и Хаара.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты диссертации в основном носяг теоретический характер. Результаты и методы работы могут найти применения при изучении родственных вопросов для систем характеров произвольных компактных абелевых групп. Использованные мартингальные свойства некоторой подпоследовательности частичных сумм рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара могут применяться в теории мартингалов. Практическую ценность имеют результаты, касающиеся дифференцирования функции по р-ичным сетям и оценки погрешности некоторых квадратурных формул.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на всесоюзных конференциях по теории функций (Черноголовка 1987 г., Ашхабад 1989 г.), по конструктивной теории функций (Санкт-Петербург 1992 г.), Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (Саратов 1992 г., 199G г.), Международной конференции пс теории функциональных пространств и теории приближений ( Москва 1995 г.), межвузовских научных конференциях (Алматы 1989г., 1993г., 1994г., 1995г.), (Караганда 1991г., 1994г.), в школе-семинаре Международной ассоциации "INTAS" в университете Ерланген-Нюрн-берг (Германия, 199Сг). Автор выступал с докладами в Москоском го-сударственномушгаерентете на семинаре член-корр. РАН П.Л.Ульянова и проф.М.К.Потапова (1994 г.), на семинаре проф. В. А. Скворцо-ва и проф. Т. П. Лукашенко (1993 г., 1994 г.), академика HAH РК У.М.Султангазина,член-корр. НАН РК Н.К.Блпева, член-корр. НАН РК М.Отелбаева, член-корр.НАН РК А.А.Женсыкбаева, член-корр. НАН РК Д.У.Умбетжанова.член-корр.НАН РК С.Н.Харина, член-корр. НАН РК Ш.С.Смагулова, проф. Н.Т.Темнргалиева и проф. К.Ж.Наурызбаева, доктора ф.-м.н. Р.О.Ойнарова,доктора ф.-м.н. Л.П.Фалалеева.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [ 1 ]-[ 25 ]. По теме диссертации опубликовано 36 работ. В работах, выполненных с соавторами, вклад соавторов был равным.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Нумерация теорем и формул трехзначная: первое число означает номер главы, второе - номер параграфа, третье - собственный номер теорем и формул внутри параграфа. Объем работы - 238 стр. машинописи. Библиография содержит 151 наименований.
