Содержание к диссертации
стр.
ВВЕДЕНИЕ 3
ГйАВА I. дифференцирование относительно сетей и единственность рядов по периодическим мультипликативным системам и системам типа Хаара 1. Определения и некоторые свойства периодических мультипликативных ортонормированных систем Ф-jrfl и систем
типа Хаара 0С\С\Д 14
2. Понятие дифференцирования относительно сетей 0^. Приз
нак монотонности функции в терминах Q -производной, 20
3. Восстановление коэффициентов рядов по системам типа Ха
ара, сходящихся к функциям, интегрируемым в смысле Перрона.29
4. Восстановление коэффициентов сходящихся рядов по мульти
пликативным системам ^{рЛ ^7
ІЛАВА II. Некоторые теоремы единственности для рядов
по мультипликативным системам *f (рД-
1. 0 формальном произведении для рядов по системам 44PtiY ^
2. достаточные условия для II-множеств. Пример контину
ального замкнутого И -множества для системы ^{(U 52
3 ill-множества нулевой ft -меры для системы ^{р 1. 58
4. 0 сумме замкнутых \Д-множеств для системы \оУр 1. 66
5. Аналог одной теоремы Привалова для систем ^pApV ЧЬ
6. Теорема единственности для некоторого метода суммирования?? ГЛАВА III. 0 множествах относительной единственности для рядов го по мультипликативным системам ^{рЛ*
1. ll(А -множества для систем \f{ рЛ 8
2. Об К -мере дополнения ИД ) -множества 96
3. (х( р) -множества для системы ^{рЛ "
ЛИТЕРАТУРА 7777 ^3
Введение к работе
Вопросы единственности разложения функций в ряды по ортого-[альным системам представляют собой важную часть теории ортогональна рядов. Возникновение этой проблематики связано с классической 'еорией единственности тригонометрических рядов, развитой в работах Г.Кантора, А.Лебега, Ш.Валле-Щгссена, А.Данжуа, Д.Е.Меньшова, I.К.Бари, А.Райхмана и др. (см. [5] , [14] )
В последние десятилетия активно разрабатывается теория единственности для рядов по системам Хаара и Уолша. (В. А. Скворцов, І.А.Талалян, Ф.Г.Арутюнян, А.А.Шапиро, В.Вейд, Г.М.Мушегян, Г.Іеворкян и др.)
Интенсивное изучение рядов по системам Хаара и Уолша обуслов-іено возросшим использованием этих систем в прикладных вопросах (в теории кодирования, в цифровой обработке сигналов, в распозно-зании образов) (см. ^34j) и в решении задня общей теории ортогональных рядов (см. [32] , [ЗЗ]). Обзор основных результатов по системам Каара и Уолша можно найти в \ТЙ\ и [4] .
В последнее время в том же круге прикладных вопросов наряду с системой Уолша стали использоваться более общие мультипликативные системы ( такие как система Крестенсона-Леви, системы Прайса, системы Виленкина-Дкафарли) (см.(і] ,[Г7]) Эти системы представляют большой интерес с точки зрения гармонического анализа, являясь системами характеров соответствующих компактных групп.Много основополагающих результатов по мультипликативным системам (в частности по вопросам приближения функций полиномами по этим системам ) получею в работах А.В.Ефимова,С.Ватари, А.И.Рубинштейна,С.Л.Рюмина и др.
Представляет также интерес впервые рассмотренный Н.Я.Виленки-ным (см. \Г7~]) класс ортогональных систем типа Хаара, содержащий в себе классическую систему Хаара\39\, 40 и связанный с соответствую-
[им классом мультипликативных систем (см.так же [ll], ) [5 ).
Настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов единс-венноети разложения функций в ряды по мультипликативным ортонор-мированным системам Прайса и системам типа Хаара.Также рассматриваются вопросы восстановления коэффициентов сходящихся рядов по указанным системам.
Первые результаты по теории единственности разложения функций по системе Уолша были получены в 1947 году Н.Я.Виленкиным Щ, в 1949 году А.А.Шнейдером [35], Н.Файном[38]а по системе Хаара -в 1964 году В.А. Скворцовым [24], Ф.Г.Арутюняном и А.А.ТалаляномИ, М.Б.Петровской[2l] .
Вопросы единственности разложения функций по мультипликативным системам рассматривались Н.Я.Виленкиным\7] , А.М.Зубакиным и И.И.Тузиковой[і5] , В. А.Скворцовым ^25І а по системам типа Хаара -Н.Я.Виленкиным [7] , Г.М.Мушегяном [19] .
Настоящая работа состоит из трех глав. Нумерация теорем и формул трехзначная: первое число означает номер главы, второе-номер параграфа, третье - собственный номер теорем и формул внутри параграфа.
Первая глава диссертации посвящена вопросу восстановления коэффициентов рядов по мультипликативным системам Прайса и системам типа Хаара, сходящихся к конечной, интегрируемой в смысле Перрона функции. Для систем Уолша и Хаара в этом направлении ранее были получены следующие результаты.
Ф.Г.Арутюнян и А.А.Талалян [3] в 1964 году доказали, что если подпоследовательность частичных сумм с номерами Z ^ ряда по системе Уолша с коэффициентами, стремящимися к нулю, сходится всюду, кроме счетного множества, к суммируемой функции, то этот ряд есть ряд Фурье-Лебега своей суммы. В [3] ими же было установлено, что, если у ряда Т^ ^ [±) по системе Хаара некоторая подпосле-
5 довательность частных сумм сходится к функции f ЩеЦрД] всюду, кроме, быть может, счетного множества точек, и Gl^ ~Ъ[У^ (h0)) для любой точки -tee[0;l] , где {Ик.} -последовательность всех натуральных чисел, для которых \ \і$)ф , то этот ряд является рядом фурье-Лебега функции () .
Эта теорема в 1970 году была перенесена Г.М.Мушегяном jjg] на системы типа Хаара. Вышеуказанный результат для случая систем Уолша в несколько ином варианте независимо был получен Р.Криттен-деном и В.Шапиро J36J. Затем В.А.Скворцовым было показано, для систем Хаара и Уолша эти утверждения сохраняет силу в случае функции, интегрируемых по Перрону (см.]29] ,[2б])
В главе I аналогичные вопросы рассмотрены для мультипликативных систем Прайда и систем типа Хаара. В 1 главы I приводятся определения и некоторые свойства мультипликативных систем Прайса и систем типа Хаара, которые в дальнейшем обозначаются соответственно через f {р^ и У{^} , где {bi}Zi.,[Pt?2) " послед-вательность натуральных чисел с помощью которых определяются системы vf Ip^ и 9^{рЛ ПРИ этом если Prt"^' П.-і,2-г..; то указанные системы представляют соответственно систему Уолша в нумерации Пэли и классическую систему Хаара.
В связи с теорией единственности рядов по системам Уолша и Хаара В.А.СкворцовымЙ6^-[Э0) был разработан метод дифференипиро-вания относительно бинарных сетей. С помощью этого метода, в частности, была установлена следующая
Теорема А ( В.А.Скворцов\2б\) Пусть $п(*)~ частичные суммы ряда по системе Уолша Zl (LvP fx) с условием йпгО^О и щготь для некоторой конечной, интегрируемой в смысле Перрона ( г-интедра-ла) функции 4fc0 выполняется равенство .wn S^-(x)=-f(cc) для всех Хбоі\ » кроме, быть может, некоторого счетного множества. Тогда данный ряд является рядом Фурье-Перрона функции |(зс) по системе Уолша, т. е.
В 2 главы І по аналогии с тем случаем [27] ,[28] , когда Pn=&, 11=1,... вводятся понятие непрерывности (GL -непрерывность) и производной (Q -производной ) относительно сетей Q , соответствующей произвольной последовательности {рЛ00, , затем доказывается следующая Теорема. (Ниже через Q обозначено множество (рк^ -рациональных чисел из 0,±] , а через 3 -множество /рЛ -иррациональных чисел (см. 1. гл.1))
Теорема 1.2.1. Пусть функция у (ос) определена для всех X 6 Q. г\[а, б] » [а,] С [ 0, l] . Q. -непрерывна для всех ас є [а, Й и для всех эс ЗО [ft, 6] » кроме, быть может, некоторого счетного множества Е , выполняется неравенство Q%(x>0. Тогда функция ^(х) не убывает на QnCft^].
Теорема 1.2.1 в случае рк~, и=1,... была доказана В. А. Скворцовым [27] .
В 3 результат предыдущего параграфа используется для доказательства теоремы о восстановлении коэффициентов сходящихся рядов по системам типа Хаара ^{п ]. А именно, основным результатом этого параграфа является следующая
Теорема I.3.I. Пусть ряд 2 0^.^ по системе типа Хаара у.{ъЛ удовлетворяет условиям
а) для любой точки ^>e[0,l]
it-*- ^м
где ії-^л^.,. ChKi,.. суть вое те номера (г- , для которых
б) некоторая подпоследовательность частичных сумм вида
X. (х^2_ С1К%Д^ сходится на отрезке [о і] .всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества точек, к некоторой конечной, интегрируемой в смысле Перрона функции (W* Тогда данный ряд является рядом Фурье-Перрона функции
системе типа Хаара ^ р 1.
Теорема I.3.I в случае суммируемой функнии другим методом была установлена Г.М.%шегяном[19^, а для системы Хаара, как уже отмечалось выше, в случае суммируемой функции она доказана ФгГ. Арутюняном и А.А.Талаляном]з], которые впервые сформулировали аналог условия а) для системы Хаара, а в случае интегрируемой по Перрону функции - В.А.Скворцовым[29]
В качестве следствия теоремы І.З.І можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 1.3.2» Пусть ряд по системе типа Хаара сходится всюду на отрезке [ОДІ к некоторой конечной, интегрируемой в смысле Перрона функции -f(pc). Тогда этот ряд является рядом Фурье-Перрона функции ^[х) по системе типа Хаара ЭДрЛ»
В 4 главы I устанавливается аналог теоремы А для произвольных мультипликативных систем ^Чр^ , А именно доказывается
Теорема 1,4.1. Пусть у ряда по мультипликативной системе
2— ^ісЧііД3^ с условием мхпЬк-С некоторая подпоследо-
вательность частичных сумм вида
^ к=о
сходится на отрезке о і] всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества точек, к некоторой конечной функции -flac) , интегрируемой в смысле Перрона. Тогда этот ряд является рядом Фурье-Перрона функции [х) по системе \j>{ р^.
В качестве следствия теоремы I.4.I можно сформулировать аналог теоремы 1.3.2 для мультипликативных систем ЦЧрЛ
Ілава II посвящена изучению множеств единственности (И-мног жеств) и множеств неединственности (^--множеств) для рядов по мультипликативным системам 4Чрп$*
Напомним, что множество Е » принадлежащее области опреде-
ления системы \\ук [зО] называется множеством единственности или Ц. -множеством для этой системы, если всякий ряд по системе
\4ftlx\jK:-0 » сходящийся к нулю всюду вне Е , имеет все коэффициенты, равные нулю. Множества, не являющиеся Ц -множествами, называются Jul -множествами.
Для рядов по мультипликативным системам аналог теоремы Кан-тора в 1947 году была доказана Н.Я.ВиленкинымЙесли ряд X ОіДіх} всюду сходится к нулю, то СІк^О при всех к-0,1,2,,,. Затем в 1949 году одновременно А.А.Шнейдер \3б] и Н.Файн\38] показали, что для рядов Уолша счетное множество является ІІ -множеством. Кроме того А.А.Шнейдер 35] построил Jit* множество меры нуль для системы Уолша, а так же класс совершенных Ц. -множеств для этой системы. Эти результаты А.А.Шнейдер получил с помощью формального произведения, введенного им для системы Уолша по аналогии с рассмотренный Раихманом формальным произведением для тригонометрической системы.
В 1 главы II следуя А.А.Щнейдеру \35] вводится понятие формального произведения для рядов по мультипликативным системам и доказываются некоторые вспомогательные леммы о свойствах формального произведения. Эти результаты о формальном произведении являются основным рабочим аппаратом главы II.
В 2 устанавливается, что как и в случае системы Уолша [35] любое множество положительной меры является -JU -множеством для мультипликативных систем Ф{рЛ . В следующей теореме этого параграфа дается достаточное условие для того чтобы множество было Ц. -множеством для системы flPnV А именно, справедлива
Теорема 2.2.2. Множество Е будет Ц. -множеством для мультипликативной системы ЧЧрц}» если для него найдется последовательность функций "f^(xl (s=l,v)» о^лад^Щ^ свойствами :
% ф 1/7
fc(x)- 2_ і* ЧЦаО причем
3 v К-0 к
9
к:=о Гх l ' J '
в) |4PV^>0 (s=i,a,...)
c$ г Lj.o при s-*<= (У=і, a,...")
2. Fs(x)-0 на E , кроме, быть может, точек множества Cs
0 которое заранее известно, что оно является Ц-мно-кєством для системы Ф-(р> \ .
Эта теорема для системы Уолша ( случай рц-2, ^=^,^.,. ) была доказана А.А.Шнейдеромрб], а в случае р^р = cortS-t^ 11=1,2,- В.Вей-дом[48). В конце параграфа 2 на основании теоремы 2.2.2 строится континуальное замкнутое Ц- множество для мультипликативной системы fipJr » ^11 Условии, когда соответствующая последовательносаь |р^ 1 имеет подпоследовательность ( } . ограниченную в совокупности.
В 3 главыП строится пример Jti -множества нулевой А- -меры для произвольной мультипликативной системы ЧЧ Ріг}* Этот результат аналогичен результату В.А.Скворцова для системы Уолша\3IJ. Доя случая тригонометрической системы такой результат был установлен О. С. Ивашевым-Мусатовым \Л. 61
Дусть К ft)-определенная на Г0, + о) неотрицателная неубывающая функция, для которой Ь.(о+1-Ь(о)=0. Тогда будем говорить, что к-мера некоторого множества Е равна нулю, если для любого ^70 найдется система отрезков {Ч- js=1 ; нто EcU\is 2лЦІ^1)^ При указанных предположениях относительно функции ^Д-к) доказывается следующая
Теорема 2.3.1. Для любой функции k(-t) и для каждой систе мы ^ЧрЛ существует множество Есо,±] , ft-мера которого равна нулю и которое является XL -множеством для системы ^{ pftj.
Отсюда, в частности, следует существование JH -множества
меры нуль для произвольной мультипликативной системы vWpl. Как уже отмечалойь выше существование М, -множества нулевой меры для системы Уолша впервые было установлено А.А.ЩнейдеромЙ}. Хорошо известно, что существование JU-множества нулевой меры для тригонометрической впервые быдо доказано Д.Е.Меньшовым в І9І6г. (сміб]) В.А.Скворцовым[25[было построено ЛІ -множество меры нуль для мультипликативной системы ЧЧрп} при условии, когда соответствующая юследовательность ^рД ограничена в совокупности.
В 4 главы II сначала доказывается одна вспомогательная теорема (теорема 2.4.1), представляющая и самостоятельный интерес, затем устанавливается, что счетная сумма замкнутых Ц-множеств оля мультипликативной системы М>{рЛ, так же является Ц. -множеством для этой системы. Этот результат, являющийся аналогом из-зестной теоремы Н.К.Бари для тригонометрической системы, в случае зистемы Уолша был установлен В.Вейдом [47] .
В 5 для мультипликативной системы ЧЧрп.} доказывается ана-юг одной теоремы И.И.Привалова[22], доказанной им для тригонометрической системы: ряд сходящийся к конечной суммируемой функции зне замкнутого Ц, -множества, является рядом Фурье своей суммы. 3 случае системы Уолша подобный результат был установлен В. А. Сквер-10вьм\2б].
В заключении главы II ( 6) приводится результат, касающийся зосстановления коэффициентов рядов по мультипликативным системам ЧК'р } ' суммирующихся некоторым регулярным методом к конечной зуммируемой функции.Этот результат аналогичен соответствующему результату М.И.Лмфшица]і8], доказанному для тригонометрической сисав-ш.
Ілава III посвящена исследованию множеств относительной единственности (1Ц<Й- и И(р)- множеств ) для мультипликативных систем ко і >\ . Приведем соответствующее определение.
Пусть t-\th\ последовательность положительных чисел, мо-нотонно стремящихся к нулю. Множество Б сГСЦб] называется множеством единственности относительно последовательности (или Ц()-множеством) для ортонормированной на [J& S] системы
(%^)пІ« ' еали шб0Ё- ряд Z a^tx) по системе {%CdcJ/,_ сходящийся к нулю всюду вне ~ и удовлетворяющий условию
0к=0(к} » имеет всё коэффициенты, равные нулю.
Понятие Lt(6)-множества было введено А.Зигмундом (смЩили [14]) для тригонометрической системы и им была доказана следующая
Теорема Б (А.Зигмунд ) Какова бы ни была последовательность 1q , можно найти соответствующее ей [Д&] -множество для тригонометрической системы, меры сколь угодно близкой к Я*5Г .
Вопрос о существовании Ц() -множества полной меры для тригонометрической системы, поставленный А.Зигмундом (cm.[I4J), был решен К.П.Каханом и И.Кацнельсоном &IJ. А именно, ими была доказана следующая
Теорема С . ( й.П.Кахан, И. Капнельсон 41 ) Для любой последовательности 5П40 существует соответствующее ей Щ)-множество для тригонометрической системы, мера которого равна 25Г.
Для системы Уолша аналог теоремы А.Зигмунда был установлен В.Шапиро |4б], а аналог теоремы Ж.П.Кахана и И.Каднельсона -Т. Г. Іеворкяном [8] и А. В. Бахшецяном [б] . Кроме того, Г. Г. Геворкяном выбыла доказана следующая
Теорема Д. (Г.Г.Геворкян 8 ) Пусть ?к 4 О ,((х)}-система Хаара. Существует множество Бс[0,і], mt$E=l такое, что если \CLWTi\-6w П-0}і,... и для некоторой подпоследовательности {1^k
(ш^ОДС*(х)=0 при 3cetO,l]\E , то все коэффициенты die равны нулю.
В 1 главы III результат Г.Г.1еворкяна[8]и А.В.Бахшенянай распространяется на мультипликативные системы vf>{p^ с условием:
соответствующая последовательность {рЛ имеет некотрую подпослв -довательность {р^ \ , ограниченную в совокупности. А именно, устанавливается
Теорема 3.1.I Пусть бп4,0 и мультипликативная система
такова, что для некоторой подпоследовательности (WlT Sup„^+^
Тогда существует множество ЕсЩі], jue5Е-1 такое, что если
уряда Z-Q^^ix) по указанной системе ^{р^} коэффициенты удовлетворяют условию 1^-0((^ и некоторая подпоследрватель-
частичных сумм вида Ьт (х)=2_ ЗДк^^ сходится к нулю всюду
вне Е , то все коэффициенты Q,^ равны нулю.
Теорема 3.1.1 в случае системы Уолта была установлена Г.Г.Ге-воркяном и А.В.Бахшецяном[б]. При доказательстве теоремы 3.1.1 мы пользуемся методом Г.Г.1Ьворкяна\8).
Из теоремы 3.1.1 непосредственно следует существование и \t) множества полной меры для вышеуказанных мультипликативных систем чЧр^Д В конце параграфа I главы III из теоремы 3.1.1 выводится аналог теоремы Д для систем типа Хаара Х^РгА с условием
Из теоремы 3.1.I следует, что какова бы ни была последовательность к^0 существует соответствующее ні ЦД&) -множество полной меры для мультипликативной системы у{рЛ с условием
Sopp ^to. В 2 главы III показывается , что этот результат может не иметь места в терминах К-меры Хаусдорфа. Доказывается Теорема 3.2.1. Пусть последовательность бпфО и (функция \[(х) . задающая К -меру Хаусдорфа, удовлетворяют условиям
&тІ^—оо , йф-иЯ(-^{п>0 . Тогда не существует 1([<*]-множества для системы vo{p Л (Sop А^ч-*») дополнение которого имело бы конечную К -меру.
В 3 главы III рассматриваются її (р)-множества для мультипли-
кативных систем
MHPaV
Пусть (УПИ} _ ортонормированная на Г&)] система. Множество сій ] называется [Др] -множеством для системы %Мг - ' есхли из сходимости РЯДа Z- ClirV foe") к НУ*7130 всюду
вне Е при условии Z- 1^1 для некоторого р^ , сле-дует, что все коэффициенты Ctfo равны нулю.
Существование Щр) -множества полной меры для тригонометрической системы было установлено Мичелом и Сорди [42], для системы Уолта Г. Г. Іеворкяном [9]. Нами этот результат переносится на случай произвольных мультипликативных систем *f{ р^}
Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность своим научным руководителям член-корр.АН СССР, профессору Д.Е.Меньшову и доктору физ.-матем. наук В.А.Скворцову за постановку задач и постоянное внимание к работе.
ъ 14
