Теоремы равносходимости для операторов со степенными особенностями в краевых условиях Амвросова Ольга Ивановна

Содержание к диссертации

Введение

Глава I Теорема равносходимости для дифференциальных операторов 12

1. Краевые условия со степенными особенностями 12

2 Некоторые вспомогательные утверждения 22

3 Асимптотика собственных значений 27

4 Теорема равносходимости 33

Глава II. Теорема равносходимости для операторов интегро-дифференцирования порядка

5 Формула резольвенты 51

6 Асимптотика собственных значений 55

7 Случай абсолютной непрерывности 66

8 Теорема равносходимости 78

9 Частный случай 93

10 Контрпример 103

Литература 120

• Некоторые вспомогательные утверждения
• Асимптотика собственных значений
• Асимптотика собственных значений
• Теорема равносходимости

Введение к работе

Весьма широко применимой в различных областях современной математики, механики, физики является спектральная теория несамосопряженных операторов. Она включает в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций, разложения функций в ряд по собственным и присоединенным функциям, в частности, вопросы равносходимости таких разложений с разложениями по известным системам функций и т.д. Интерес к спектральной теории операторов велик, ж успехи в ее развитии за последние десятилетия значительны.

Настоящая работа посвящена спектральному анализу операторов, которые объединяет одна общая черта; их краевые условия записываются при помощи интегралов, содержащих степенные особенности. Для таких операторов устанавливается асимптотика собственных значений, доказываются теоремы равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям этих операторов и по тригонометрической системе.

Вопросом о разложении по собственным и присоединенным функциям оператора на отрезке [07 /J , порожденного дифференциальным выражением одним из первых занимался Дж. Биркгоф [16, 17]. Б предположении регулярности краевых условии (0.2) (см.[з], с. 66-67) он решил вопросы о распределении собственных значений, асимптотике собет венных функций, сходимости разложения по собственным и присоединенным функциям оператора (0.1)-(0,2) функции ограниченной вариации. Основным средством решения этих вопросов была асимптотика системы решений уравнения иГц]-- 1/=0 ври /я/ °о полученная Биркгофом в [l2] .

В дальнейшем результат Биркгофа был усилен ЯД.Тамаркишм, который показал в [й] , что при условии регулярности (0.2) и суммируемости функции ее разложение в ряд по собственным и присоединенным санкциям оператора (0.1)-(0.2) равносходится внутри отрезка Д/J У J о тригонометрическим рядом Фурье этой функции. Аналогичный результат независимо от Тамаркина получил М.Стоун [б] . Теорема Тамаркина (Стоуна) обобщала теоремы равносходимости, доказанные ранее для краевых задач второго порядка Е.Гобсоном [l8J f В.А.Стекловым [із] И А.Хааром [20, 2l].

Интерес к спектральной теории значительно возрос в последние годы- Относительно недавно В.А.Ильин [22-24J доказал равномерную равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье разложений в би-ортогональный ряд по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением и[іі] » с краевыми условиями, обеспечивающими некоторое асимптотическое поведение собственных значений. Теоремы В.А.Ильина, сформулированные в терминах условий на коэффициенты и[и] и функции биортогональной системы, охватывает ранее известные результаты, касающиеся равносходимости, в частности, случай регулярных краевых условий. А.П.Хромов _I4,I5j распространил теорему о равносходимости Тамаркина на интегральные операторы, ядра которых обобщают свойства функций Грина оператора (0.1)-(0.2) с регулярными краевыми условиями. А.П.Хромов показал, что такие операторы в определен -ном смысле являются каноническими в классе интегральных операторов, для которых имеет место равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям с тригонометрическим рядом Фурье.

Все перечисленные выше результаты относятся к случаю, когда краевые условия оператора, будучи записаны с помощью интегралов Стилтьеса от производных функции tt, , включают такие интегралы, где мера имеет скачки на концах рассматржваемого отрезка, другой случай рассмотрел А.М.Седлепнии [э-Ilj. Его результат относится к оператору дифференцирования с краевым условием вида Ш-0. (0.3) а. -г,-,-- -, где 0 & /, i(t) - функция ограниченной вариаций, имеющая цредельные значения на концах отреэка % у отличные от нуля. Т.е., если записать 1/(1/) с помощью интеграла Стилтьеса, то мера не имеет скачков на концах [-CU (Z/j , но ее производная ноогра-ничена вблизи этих концов и имеет при подходе к ним степенной рост. В fjjj А.М.Седдецкий доказал теорему равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям таких операторов и интегралов Фурье любых суммируемых функций. В lOJ, усовершенствовав метод доказательства, А.М.Седлещий установил также асимптотику собственных значений. В отличие от результатов, упоминавшихся выше, доказанная им теорема утверждает равносходимость не внутри промежутками dj , а больше; равносходимость на всем отрезке с весом С -/X/ . В работє[іі]А.М.Седлецкий показал, что если усилить требования к разлагаемой функции, а именно: предположить» что она из LsD (p i/ т0 понадобится вес, имеющий меньший, чем в общем случае, порядок стремления к нулю при подходе к концам отрезка.

Краевое условие (0.3) может быть записано с использованием операторов интеїро-дифференцирования дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля (см.[і], с. 567--569), иначе говоря, производных дробного порядка. Это наводит на мысль, что рассматривая краевые условия типа (0.3), естественно рассмотреть дифференциальные операторы не только целого, но и дробного порядка- Наиболее известными работами, касающимися спектрального анализа таких операторов, являются работы М.М.Джрбапнна и А.Б.Нерсесяна [13,14], В последней из них, в частности, показано для интегро-дифференциального оператора определенного вида, что теорема равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье внутри отрезка/у /J имеет место, если производная порядка В от разлагаемой функции суммируема и ограничена вблизи концов отрезка; 3 определенным образом вычисляется по параметрам данной краевой задачи. Для доказательства используется метод Пуанкаре-Кош [l5Jf т.е. метод контурного интеграла, но он применяется не к резольвенте.

В данной диссертации устанавливаются теоремы равносходимости для дифференциальных операторов целого порядка с краевыми условиями, имеющими степенные особенности, а также оператора интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля порядка оС /с/у /J с краевым условием того же типа.

В первой главе рассматривается дифференциальный оператор на отрезке /-/ /J , определенный дифференциальным выражением /к) g (0.4) и краевыми условинвд П Г"- J У fry » fytfi C0.5)

-Б ней показывается» что к виду (0 5) приводится весьма широкий класс краевых условий со степенными особенностями и устанавливается для оператора (0.4)-(0.5) асимптотика собственных значений и теорема равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье на отрезке [-/ /J с весом /—/Г/ при определенном условии на (0.5) типа условия регулярности Биркгофа. Здесь же показано, что если разлагаемая функция не только суммируема, но принадлежит l p /p l) t то утверждение теоремы можно усилить, требуя от весовой функции меньший порядок стремления к нулю на концах отрезка. Использованный метод доказательства отличается от методов, использованных А.М.Седлецким при доказательстве подобных утверждений для случая 7L- / в э-11. Он применим и к дифференциальным выражениям более общего, чем (0.4), вида.

Во второй главе изучается интегроди ференциальный оператор порядка

Лдя него также устанавливается асимптотика собственных значений и теорема равносходимости, которая оказывается справедливой в предположении абсолютной непрерывности оО ж { jf - разлагаемая функция). Здесь же приводится контрпример» который подтверждает точность данной теоремы, т.е. невозможность отбросить уело -виє абсолютной непрерывности Q Р или заменить его более слабым условием такого же типа. Рассмотренный случай - оператор (0.6) -(0.7) - отличается от рассмотренного М.М.Джрбалшюм и А.Б.Нерсе-сяном в [I4J; в результатах можно проследить аналогию. Что касается методов доказательства, они различны. Возможно приложение метода главы Пик более общему случаю (случаю сС / , а также к возмущениям таких операторов).

Перейдем теперь к более подробному изложению диссертации. Она состоит из двух глав. Нумерация параграфов в диссертации сквозная; при этом для формул, определений, лемм, теорем и следствии используется единая нумерация, состоящая из двух чисел, заключенных в круглые скобки: первое число - номер параграфа, второе число - номер формулы, леммы и т.д. в этом параграфе.

Первая глава состоит из четырех параграфов - §§ 1-4, В § I показывается, что краевые условия (0.5) таковы, что к ним приводится весьма широкий класс краевых условий, записываемых с помощью интегралов со степенными особенностями, В § 2 доказывается ряд лемм, дающих асимптотические формулы или оценки для некоторых интегралов вцца

Эти леммы широко используются как в.первой главе, так и во второй. В § 3 для краевых условий (0.5) определяется понятие регулярности и доказывается теорема (3.2) od асимптотике собственных значений оператора (0.4)-(0.5). Вместе с асимптотикой собственных значений получается оценка снизу характеристического определителя /\ //j) . Эта оценка используется далее в § 4 при доказательстве теоремы равносходимости. § 4 посвящен доказательству основной в первой главе диссертации теоремы (4.13) - теоремы равносходимости ля оператора (0.4)-(0.5): пусть Л- - оператор (0.4)-(0.5), краевые условия (0.5) регулярны, Щ/,рУ=( ф У &(Х}р %-) - разность мевду частной суммой 5/разложения функции р в ряд по собственным ж присоединенным функциям оператора Z/ , взятуи по воем собственным значениям оператора, попадающим в круг /?/ 2 , и частной суммой ( СҐ) тригонометрического ряда Фурье функции -р с номером fL таким, что . Тогда, если s oo , принимая значения из некоторой подходящей последовательности (ом. определение (4.9)), то

DwfetfM (ШЯ(х,ь)- 0 равномерно по

2) ПРИ f&LM J);f4 Ь ф (Mn,p+fy = 0

(f M) ft(fpff7 V $ равномерно по / /1 для любого y i

Вторая глава состоит из шести параграфов - §§ 5-Ю. В § 5 находится вігражение резольвенты оператора (0.6)-(0.7) и конкретный вид функции CAIAJ , нули которой являются собственными значениями оператора (0.6)-(0.7). В § 6 после доказательства леммы (6.1) и следствия из нее, дающих асимптотическую формулу япя/\Й) при Ш- оо , доказывается теорема (6.9). Она дает асимптотику собственных значений оператора и необходимые в дальнейшем оценки ІЛІлїснизу. В § 7 делаются заготовки для последующего доказательства теоремы равносходимости. В нем находятся асимптотические формулы для составных частей выражения резольвенты /L оператора (0.6)-(0.7), найденного в § 5, справедливые в той или иной части комплексной плоскости. Они устанавливаются в предположении абсолютной непрерывности об if - В § 8 все эти формулы црименяются к доказательству основной теоремы данной главы - теоремы (8.28): Пусть y€:L г/ У/ » оО 7Ґ абсолютно непрерывна на/ у/.

равномерно по . В качестве COj и СО могут быть взяты любые положительные числа, но C&J GLJ tVL f

Ццесь J " соответственно, частные суммы разложения ъ по собственным и присоединенным функциям оператора (0.6)-(0,7) и по тригонометрической системе Сточное определение ртъ см. в начале § 8).

Смысл данной теоремы проясняют два следствия из нее:

1) Пусть y L(41)? 6 абсолютно непрерывна на/-/ iJ . разномерно по

В качестве СО можно взять любое число в интервале (О 7/, то же касается д .

2) Пусть т и("/ /J et) If абсолютно непрерывна на/% і J . Тогда равномерно по X[ f7 // (в нуле функция доопределена нулем). В качестве у можно взять любое положительное число.

В § 9 доказывается ряд формул, нужных для построения контрпримера. Зцесь изучается поведение составных частей формулы резольвенты яр f гДе pfoJ-ft/Wj Z т е f " та самая функция, которая рассматривается в контрпримере. В § 10 доказывается, что душ нее разность меоду/О и 1 Сем. выше) не стремится к нулю ни при каком X из отрезка/- іГні % т#Єв теорема равносходимости неверна. Этот пример показывает, что в теореме (8.28) условие абсолютной непрерывности си 1г существенно к его нельзя ни отбросить, ни заменить более слабым такого же типа.

Основные результаты диссертации опубликованы в 25-2?] и докладывались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики (под руководством цроф. А.П.Хромова) и на объединенном семинаре кафедр дифференциальных уравнений, вычислительной математики, математического анализа и теории функций (под руководством проф. Н.П.Купцова) Саратовского государственного университета,на конференции молодых ученых СГУ в феврале 1984 г., на ХХШ Научно-технической конференции Пермского политехнического института в феврале 1983 г., на 2-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений в январе-феврале 1984 г.

Некоторые вспомогательные утверждения

Весьма широко применимой в различных областях современной математики, механики, физики является спектральная теория несамосопряженных операторов. Она включает в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций, разложения функций в ряд по собственным и присоединенным функциям, в частности, вопросы равносходимости таких разложений с разложениями по известным системам функций и т.д. Интерес к спектральной теории операторов велик, ж успехи в ее развитии за последние десятилетия значительны.

Настоящая работа посвящена спектральному анализу операторов, которые объединяет одна общая черта; их краевые условия записываются при помощи интегралов, содержащих степенные особенности. Для таких операторов устанавливается асимптотика собственных значений, доказываются теоремы равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям этих операторов и по тригонометрической системе.

Вопросом о разложении по собственным и присоединенным функциям оператора на отрезке [07 /J , порожденного дифференциальным выражением и линейно-независимыми краевыми условиями одним из первых занимался Дж. Биркгоф [16, 17]. Б предположении регулярности краевых условии (0.2) (см.[з], с. 66-67) он решил вопросы о распределении собственных значений, асимптотике собетвенных функций, сходимости разложения по собственным и присоединенным функциям оператора (0.1)-(0,2) функции ограниченной вариации. Основным средством решения этих вопросов была асимптотика системы решений уравнения иГц]-- 1/=0 ври /я/ о полученная Биркгофом в [l2] .

В дальнейшем результат Биркгофа был усилен ЯД.Тамаркишм, который показал в [й] , что при условии регулярности (0.2) и суммируемости функции ее разложение в ряд по собственным и присоединенным санкциям оператора (0.1)-(0.2) равносходится внутри отрезка Д/J У J о тригонометрическим рядом Фурье этой функции. Аналогичный результат независимо от Тамаркина получил М.Стоун [б] . Теорема Тамаркина (Стоуна) обобщала теоремы равносходимости, доказанные ранее для краевых задач второго порядка Е.Гобсоном [l8J f В.А.Стекловым [із] И А.Хааром [20, 2l].

Интерес к спектральной теории значительно возрос в последние годы- Относительно недавно В.А.Ильин [22-24J доказал равномерную равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье разложений в би-ортогональный ряд по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением и[іі] » с краевыми условиями, обеспечивающими некоторое асимптотическое поведение собственных значений. Теоремы В.А.Ильина, сформулированные в терминах условий на коэффициенты и[и] и функции биортогональной системы, охватывает ранее известные результаты, касающиеся равносходимости, в частности, случай регулярных краевых условий.

А.П.Хромов _I4,I5j распространил теорему о равносходимости Тамаркина на интегральные операторы, ядра которых обобщают свойства функций Грина оператора (0.1)-(0.2) с регулярными краевыми условиями. А.П.Хромов показал, что такие операторы в определенном смысле являются каноническими в классе интегральных операторов, для которых имеет место равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям с тригонометрическим рядом Фурье.

Все перечисленные выше результаты относятся к случаю, когда краевые условия оператора, будучи записаны с помощью интегралов Стилтьеса от производных функции tt, , включают такие интегралы, где мера имеет скачки на концах рассматржваемого отрезка, другой случай рассмотрел А.М.Седлепнии [э-Ilj. Его результат относится к оператору дифференцирования с краевым условием вида где 0 & /, i(t) - функция ограниченной вариаций, имеющая цредельные значения на концах отреэка % у отличные от нуля. Т.е., если записать 1/(1/) с помощью интеграла Стилтьеса, то мера не имеет скачков на концах [-CU (Z/j , но ее производная ноогра-ничена вблизи этих концов и имеет при подходе к ним степенной рост. В fjjj А.М.Седдецкий доказал теорему равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям таких операторов и интегралов Фурье любых суммируемых функций. В lOJ, усовершенствовав метод доказательства, А.М.Седлещий установил также асимптотику собственных значений. В отличие от результатов, упоминавшихся выше, доказанная им теорема утверждает равносходимость не внутри промежутками dj , а больше; равносходимость на всем отрезке с весом С -/X/ . В работє[іі]А.М.Седлецкий показал, что если усилить требования к разлагаемой функции, а именно: предположить» что она из LsD (p i/ т0 понадобится вес, имеющий меньший, чем в общем случае, порядок стремления к нулю при подходе к концам отрезка.

Краевое условие (0.3) может быть записано с использованием операторов интеїро-дифференцирования дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля (см.[і], с. 567--569), иначе говоря, производных дробного порядка. Это наводит на мысль, что рассматривая краевые условия типа (0.3), естественно рассмотреть дифференциальные операторы не только целого, но и дробного порядка- Наиболее известными работами, касающимися спектрального анализа таких операторов, являются работы М.М.Джрбапнна и А.Б.Нерсесяна [13,14], В последней из них, в частности, показано для интегро-дифференциального оператора определенного вида, что теорема равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье внутри отрезка/у /J имеет место, если производная порядка В от разлагаемой функции суммируема и ограничена вблизи концов отрезка; 3 определенным образом вычисляется по параметрам данной краевой задачи. Для доказательства используется метод Пуанкаре-Кош [l5Jf т.е. метод контурного интеграла, но он применяется не к резольвенте.

Асимптотика собственных значений

(Они асимптотически приближаются к четырем лучам, выходящим из точки % — (/ и образующим yvm-y-cC с вещественной осью). Кроме того, если О таково, что числа 0 + j (foB)±: ± Щ І Ш{верхний знак в знаменателе соответствует верхнему, нижний - нижнему, в остальном чередование знаков независимое) не являются целыми кратными atff и фиксировано, то на окружностях /$I Effit Q) при больших TL имеют место следующие оценки снизу модуля /А(Л/ :

Доказательство опирается на следствие (6.8), и общий его принцип подобен тому, которому следует [і] (см. с.142-146) при исследовании поведения нулей функции типа Миттаг-Леффзіера. Т.к. параллельно с асимптотикой собственных значений нам необходимо получить оценки (6.10)-(6.12), мы проведем все рассуждения подробно. Из следствия (6.8) ясно, что при достаточно больших -(обозначения все те же, что в формулировке следствия (6.8) ) при

Поэтому, разумеется, на этих множествах значений /\ Ljm) не имеет корней. Будем иметь в виду оценки (6.13)-(6.15), а корни АШбудем искать внутри четерех углов, где (/ не удовлетворяет ограничениям, при которых верны (6.13)-(6.15). Ясно, что доста точно рассмотреть один из них - угол j OL c/ Gt. Обозначим ЩЯ) = Ф Я% &f&l . Тогда при Г Первое уравнение системы 6.16) задает кривую, асимптотически приближающуюся к лучу $ j oL Второе уравнение при фиксирован-ном достаточно большом 7L задает кривую, проходящую через точку %я (r jifiH)) & на этом ""У48 и пересекающую кривую, задаваемую первым уравнением, в одной точке. Обозначим эту точку . / /- .7 5 - & . Из второго уравнения системы (6.16) видно, что —ОуЖу- Подставляя в первое уравнение, получаем С&5 гг (у(?Г/ следовательно, %, — убіі (/( у. Вновь подставляя во второе уравнение, имеем следовательно, Z ( &%) (/ Ofn)) Для получения асимптотики корней /_i уц мы воспользуемся теоремой Руше. Рассмотрим криволинейный четырехугольник, состоящий из кусков луча 0=-j cL . кривой lZf r -=-/І, ( - некото рое число, заключенное между С/ и / ) и заключенными между ни ми дугами окружностей с двумя последовательными достаточно большими значениями Ь , пусть На C/ = --oL при достаточно большом Ъ При /7 достаточно большом по модулю и лежащем выше кривой zf&tfHli fe (т.е. яр Г Є-Фт Л. ) или на ней, , Наконец, пусть // лежит между этой кривой и лучом 0 Z" - и принадлежит окружности —($Н-+р) . Тогда 0 1 - tLJ? 4 удовлетворяет уравнению {Р& У №&+р)0Л Разрешая его относительно , получаем, что &=-&+С/(л-ЩЩ следовательно, вообще на рассматриваемой дуге О — Т.к. внутри каждого такого четырехугольника получаем для корней /j/Я/ искомую асимптотику. Что касается неравенств (6.10)-(6.12), то они следуют из (6.13)-(6.15) и все тех же неравенств (6.18), (6.21) и (6.22). Теорема полностью доказана. (7.1) Лемма. Если /W/fp/йІ , то при /jf/- о (Аналогичная формула, т.е. такая же, но с Л замененным на-л /// замененным на - J , имеет место и Щ / 20/- 1/ у си Доказательство. /_\м) определяется формулой (5.9). Интеграл по отрезку/-/ Qj , входящий в нее, представляет собойCft,/ [У /Ті Ї к интегралу после замены Е - СС применима лемма (6.1) ) Поэтому для доказательства леммы (7.1) достаточно доказать ее ут-верядение для входящего в (5.9) интеграла по отрезку/// /J, Разобьем его на два: по отрезкам.

Асимптотика собственных значений

Т.к. последний повторный интеграл конечен, то после возможной, следовательно, смены порядка интегрирований получится интеграл по отрезку [Xf . Ж\ I от функции (назовем ее Q.ft/j) интегрируемой на отрезке 0 -fj (ведь в качестве /f и // _ можно взять О и I ). Если следовательно, т.к. уМ/ и тМ/ а солк тно непрерывны, то же верно и для CU f(X) .

Эта лемма показывает, что беря в качестве 4 {Х) функцию (iffl) где fi і t ш "перешагиваем" границы, определя-емые условием абсолютной непрерывности Т.е. выбранный нами пример показывает не только невозможность отбросить это условие; он и в определенном смысле демонстрирует его точность. Во всяком случаеjэто условие нельзя заменить более слабым условием такого же вида ( ои т &боолютно непрерывна, У $ ) Итак, рассмотрим f (X) (ч /ХІ) -пФ Ё 7 Найдем, преяде всего, асимптотические формулы Лг/{у и ff\ Л) (10.2) Лемма. Б предположениях, сделанных выше относительно

К(Х) и у(Х) » справедлива при кадцом фиксированном// // следующая формула Здесь Jjfof - лежащая в правой полуплоскости половина окружно с М С f 9 / ff jS) iff М - константа, не равная нулю Доказательство При доказательстве будем основываться на формуле (8,2). Заметим сразу же, что ври к(К) » определенном формулой (9-І), условия теорегш (6.9), наложенные на О вырождается в одно: P- ff/j-S/ не является целым кратным 0f . Собственные значения оператора (5Д)-(5.2) в этом случае расположены симметрично относительно осей координат, поэтому возможен единственный подходящий способ их нумерации (разница может быть лишь в нумерации конечного числа собственных значении и в том, чтобы все индексы 7Ь у л ж/ изменить - увеличить или уменьшить - на одно и то же число: ведь у нас не установлено жестко, с какого номера начинается нумерация). Этот способ соответствует любому О , удовлетворяющему оговоренному выше условию. Мы положим Q—-(f-B) (Это, вообще говоря, не существенно, но большая общность не требуется нам, и заботиться о ней мы не будем).

Далее, легко видеть, что при нашем предположении относитель где ffl t- - верхняя половина Л f поэтому рассмотрение интеграла только по л«у- еще более естественно, чем при доказательстве леммы (8.5). Так же, как в доказательстве леммы (8.5), разбиваем /22+ на части, сохраняя для них обозначения, введенные там. 0 выборе 0І скажем позже. Кроме оценок теоремы (6.9) мы будем сейчас пользоваться леммами 9, а также следующими формулами: (10.3) Каждая из этих формул верна при фиксированном /{С? /J Для оцешш интеграла по / / воспользуемся оценками 9.9), (6.12) и (1С.4). Имеем Интегралы по /«,, и /. jj оценим с помощью (9.10), (6.10) и (10.4). Имеем Последнее слагаемое в (10.II) уже было оценено в процессе доказательства леммы (8.5) (там была получена даже равномерная по X оценка). Воспользуемся результатом» т.е. неравенствами (8.13) и (8.15). В нашем случае запись можно упростить в виду того, что мы рассматриваем фиксированшш X . Последнее слагаемое в (10.II) равно , где в качестве СО можно взять любое число из (ОД), выбор ОС зависит от желательной величины ttJ . Положим СО= Х г (Делаем это с целью упрощения вида получа ff емых формул; можно было бы сохранить произвольное, сколь угодно близкое к единице СО - тогда формулы были бы точнее). Тогда Поэтоцу, собирая последнюю и ранее полученные оценки, возвращаясь к (10.9), имеем I ft где Jj» - первое слагаемое в выражении (10.II), т.е. - 109 Разобьем Iщ% на две части, соответствующие (7 &[(. / и &Є{0П,6 ) . где QiTjfa+X ZZ fa Zn.? где = №(/-6)+&щ - радиус окружности /7 , ?с положительное число, о выборе которого скажем ниже. Обозначим эти части СООТВ8ТСТБЄННО / и /я» Интеграл но /#А оценим, учитывая связь знаменателя подинтегральнои функции а Л(л) (см. лемму (9.2) ) и оценку (6.10) для /л(А)

Теорема равносходимости

Если яе иметь в виду для сЛ(Я)оценку (6.10), то при больших Ь получается другое неравенство: знаменатель просто ограничен по модулю снизу положительной константой. Т.к. имеет место (10.16), все сказанное внше относительно знагленателя верно и для выражения. По-этому величина, обратная к знаменателю, равна (мы применилиздесь при оценке снизу знаменателя в одном случае -один, в другом случае - другой ВОЗМОЖНЕЙ БДЦ оценки). Перемножив (10.15) и (10.17)}получим, что подынтегральная функция равна Подставлял ее под знак интеграла, имеем, что внражение СЮ.14) (10.18) Вспомнив равенство, определяющее ъ/п » видим, что второе слага емое есть Csrfci ЧЖ l) — (Рт ) Первое слагаемое преобразуем, сделав в интеграле замену -= - ілҐ г Б результате оно примет вид Итак, получив формулу (10,20), мы тем самым завершилинаиболее трудную часть доказательства леммы; рассмотрим теперь интеграл по l?t $ Применим формулу (9.8) из леммы (9.7), (9.5) из леммы (9.3) и (10.5). Имеем Последний интеграл - (у/? ) Первый равен Первый интеграл равен / У у -Последний интеграл легко преобразуется к интегралу по У$п + верхней половине J fr . Собирая все сделанные оценки, имеем Чтобы получить /0 п+Р\х X) нужно взять вещественную часть. Вещественная часть первого слагаемого формулы (10.22) равна первому слагаемому формулы - утверждения доказываемой леммы (это устанавливается так же, как (10,3) ). Вещественная часть второго слагаемого равна т.е. и она совпадает со вторым слагаемым формулы из утверждения леммы. Относительно третьего слагаемого комментарии излишни. Лемма доказана. Замечание. Аналогичная формула верна ДОЕЯ отрицательных X\ (10,23) Леша. Если f (x) (f M)} fl / то при каїндом фиксированном - лежащая в правой полуплоскости половина окружности О фиксировано и не является целым кратным 7Ґ . Доказательство опирается на формулу (8.4). Разобьем участвующий в ней интеграл на два так же, как и при доказательстве леммы (8-21). Воспользуемся теми же, что и в доказательстве леммы (3.21), выражениями для f/zj$)t а к функции бМ Я) применим лемму (9.25). Имеем

Складывая (10.24) и (10-25), получим утверждение леммы. Лемма доказана. Замечания, а) Аналогичная формула верна для отрицательных/ . б) В этой лемме так ке, как и в лемме (8.21) можно считать, что 77Ь и О фиксированы, произвольны и независимы друг от друга, т.к. нетрудно показать, пользуясь оценкой (2.4) из леммы (2.2), что коэффициенты Фурье функции К Г/ [fffl/J ЄСТЬ [/ffU / Впрочем, ддя нашего контрпримера это несущественно, т.к. для него совсем необязателен такой порядок стремления к нулю остаточного члена - C/{?V / Вполне достаточно просто стремления к нулю, а мы можем сразу (не задумываясь над скоростью стремления к нулю коэффициентов Фурье функции М/ ) утверждать, что формула леммы (10.23) верна при любых фиксированных, независимых друг от друга ?t и О , если заменить в ней (/(ft / на O(i) : ведь сам факт стремления к нулю коэффициентов Фурье ясен. (10.26) Лемма. Если ft(X) определена формулой (ЭЛ), /" a// ///) -А / , то для любого / такого, что Д— последовательность /3n(fcJf) C fjf-J[) не стремится к 6/ігри %-Ъ GO.