Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Пусть G - локально-компактная абелева группа (или полугруппа), а М - некоторое пространство функций на С, инвариантное относительно группы (полугруппы) сдвигов. Задачи, связанные с описаниями подпространств М, инвариантных относительно сдвигов (т.е., по существу, задачи о решениях свё'рточных уравнений на G), являются одними из основных в коммутативном гармоническом шал пае.
В важном частном случае, когда в качестве G рассматривается полугруппа Z+ неотрицательных целых чисел, а в качестве Л/ - классические пространства Лебега ^(2+) (или пространства с весом ?{wn, Z+))i вопрос о таком описании восходит к знаменитой работе А. Бёрлинга [1]. Часто бывает удобно иметь дело не с самими пространствами последовательностей (P(w„), а с пространствами t?A(von) тех формальных степенных рядов (или аналитических функций), последовательности коэффициентов Фурье (Тейлора) которых попадают в (Р(уип). В втих пространствах прямой сдвиг - это оператор z умножения на независимую переменную z, а оператор обратного
(сопряжённого) сдвига z* действует по формуле / \-* —-.
Отметим, что классические пространства Харди Н7, Дирихле, Бергмана, пользующиеся особым вниманием аналитиков, являются частными случаями описанной ситуации (1\, 1\{п + 1) и ^(гГ+г) соответственно).
Полное описание z-инвариантных подпространств в Я2 получено Бёрлингом [1], для остальных же рассматриваемых пространств вопросы о таком описании являются нерешёнными и очень трудными. В этой ситуации важная роль отводится более частным задачам, таким, например, как характеризация циклических векторов (т.е. тех векторов, орбита которых под действием оператора порождает всё пространство) для операторов гиг*. Первый результат в этом направлении - описание г-циклических векторов в Я2 - был получен В. И. Смирновым / ещё в 1932 году [2]. По поводу последних достижений см. [3-5].
Изучение циклических векторов оказывается полезным в самых разных областях анализа. Упомянем, среди прочих, связи
с периодическими в среднем функциями (через посредство преобразования Борелл, см. [б]), со спектральными кратностями, с популярными в последнее время задачами о "хаотических полугруппах" (изучение гиперциклических векторов и т.д.). Наконец, нельзя не отметить, что основное в теории линейных динамических систем понятие "управляемости" по существу тождественно определению цикличности относительно полугруппы, определяемой уравнением (или относительно её генератора).
Характеризации и подробному изучению z*-циклических векторов в пространстве Харди Я3 посвящена работа Р. Дугласа, Г. Шапиро и А. Шилдса [3] (см. также [7]): циклическими являются те и только те функции, которые не допускают псевдопродолжения до функции класса Неванлинны в дополнении замкнутого единичного круга. Отметим, что свойство функции / быть z*-циклической всегда имеет ясный аппроксимационный смысл: ото свойство равносильно тому, что всякий елемент рассматриваемого пространства может быть аппроксимирован линейными комбинациями остатков ряда Тейлора функции /.
Часть I диссертации посвящена изучению связей между частотным спектром функции (т.е. множеством её ненулевых коэффициентов Тейлора) и её аппроксимационной способностью (цикличностью для оператора обратного сдвига) в пространствах РА и tPA{wn). Изучение таких связей примыкает к широкому и интересному кругу вопросов, относящихся к принципу неопределённости в гармоническом анализе (подробно о нём можно прочитать в [8]). Например, тот факт (доказанный в [3]), что всякий невырожденный степенной ряд с лакунарним по Адамару спектром в пространстве Н3 является 2*-циклическим, может быть переформулирован следующим образом: лакунарные функции в Я3 не допускают псевдопродолжения, т.е. может рассматриваться как аналог классической теоремы Фабри о невозможности аналитического продолжения аналитической функции с редким спектром за пределы её круга сходимости (ср. [8]). Глубиной втих (и прочих) связей цикличности, псевдопродолжений, лакунарности и пр. можно объяснить, например, и то обстоятельство, что до сих пор не известны прямые (т.е. не использующие оператор сдвига, циклические векторы) доказательства упомянутого факта о невозможности псевдопродолже-
ния для аналитических функций с лакунарним спектром. Что касается других (отличных от Харди) пространств, то здесь известно совсем немного. Упомянем работу [6], где, в частности, доказана цикличность лакунарних рядов для класса пространств Фреше (в том числе для пространства всех целых функций), а также тот факт (Н. К. Никольский), что в очень широком классе пространств степенных рядов г*-нецикличность равносильна существованию некоторого (зависящего от пространства) аналога псевдопродолжения (правда, обычно с трудом поддающегося ясному списанию).
Отметим ещё один круг вопросов, связанный с инвариантными подпространствами оператора прямого сдвига в t?A(wn). Каково геометрическое расположение таких подпространств? В частности, могут ли два (ненулевых) из них иметь тривиальное (нулевое) пересечение? Само существование пространств, в которых есть указанные пары подпространств, было открытым вопросом вплоть до 1974 года, когда Ч. Горовиц [9], используя тонкую аналитическую технику, построил такую пару в пространстве Бергмана. Позднее был предложен другой, основанный на теории дуальных алгебр подход к (неявному) доказательству существования континуальных семейств z-инвариантных подпространств с попарно-тривиальными пересечениями в пространствах типа Бергмана (см. [10]).
Теория операторов Ганкеля и их спектральных характеристик имеет разнообразные связи с инвариантными подпространствами и циклическими векторами операторов сдвига. Вот две наиболее очевидные: z-инвариантные подпространства пространства Харди Я2 суть ядра ганкелевых операторов, действующих в Я2; функция / является ^'-циклической в Я2 в том и только том случае, когда оператор Ганкеля с символом / имеет плотный образ. Часть II реферируемой работы посвящена обратной спектральной задаче (ОСЗ) для ганкелевых операторов конечного ранга. Общая постановка ОСЗ для операторов Ганкеля и их модулей - описать все такие операторы (или их модули) в спектральных терминах с точностью до унитарной эквивалентности - восходит к П. Халмошу. Её интерес определяется разнообразными приложениями в теории наилучших приближений, стационарных случайных процессах, теории управления, гармоническом анализе. Упомянем три важ-
- G
них продвижения, полученные о последние годы: решение ОСЗ дин модулей гаикелсиых операторов [11]; для самосопряжённых гинкелсвых операторов [12]; построение ненулевого оператора Ганкелл с нулевым спектром ([13], решение известной задачи Пауэра). С другой стороны, как начальный етап для обшей ОСЗ представляет интерес изучение различных спектральных характеристик (спектры, кратности собственных чисел, жорданова структура и т.д.) гаикелевых операторов конечного ранга.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертации является:
-
Изучение аппроксимационной способности (цикличности для обратного сдвига) степенных рядов с редким спектром в пространствах 1РЛ и ^(и/„): её зависимость от метрики пространства; получение необходимых и достаточных условий на цикличность таких рядов; характеризация пространств, в которых лакунарность влечёт цикличность; усиления известных факти для пространства II2. Использование полученных результатов для построения континуальных семейств попарно-дизъюнктных z-инвариантных подпространств (в частности, в пространствах типа Бергмана, в пространствах Рл, р > 2).
-
Решение обратной спектральной задачи для операторов Ганкелл конечного ранга.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. Основной метод, развиваемый и используемый в диссертации - непосредственная аппроксимация лакунарними степенными рядами -базируется на комбинаторной технике, именно, на изучении структуры пересечений левых сдвигов лакунарной последовательности. Также применяются стандартные методы функционального анализа, теории операторов, линейной алгебры, многомерного комплексного анализа.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в теории операторов и гармоническом анализе при изучении инвариантных подпространств и циклических векторов операторов сдвига на группах и полугруппах, в теории аналитических в единичном круге функ-
ций при исследовании свойств псевдопродолжений, в теории упрапления для систем, где генератором полугруппы является оператор обратного сдвига, в спектральной теории операторов Ганкеля.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на семинаре ПОМИ-СПбУ по спектральной теории функций, на конференцияхпо теории операторов в Варшаве (1992 г.), Марселе (1993 г.), Лилле (1994 г.), на аналитических семинарах университетов Парижа, Бордо, Барселоны.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14,15].
СТРУКТУРА И ОБЪЁМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из Введения и трёх глав (первые две главы составляют Часть I, третья глава - Часть II диссертации). Список литературы содержит 35 наименований.
