Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Определения и примеры колец рядов Лорана и их обобщений 19
1 Кольца псевдодифференциальных операторов, кольца рядов Лорана и их обобщения 19
2 Определения лорановского кольца 24
3 Обобщённые лорановские кольца 29
4 Лорановские кольца: обозначения и общие свойства 39
5 Задание лорановских колец явными соотношениями 41
6 Примеры лорановских колец 51
Глава 2. Кольцевые свойства колец рядов Лорана и их обобщений 59
7 Тела 59
8 Нётеровы и артиновы кольца 60
9 Области, кольца главных идеалов и кольца Безу 61
10 Простые и полупростые кольца 68
11 Цепные и полуцепные кольца 75
12 Дистрибутивные полулокальные кольца 84
Список литературы 93
Предметный указатель 98
- Определения лорановского кольца
- Лорановские кольца: обозначения и общие свойства
- Области, кольца главных идеалов и кольца Безу
- Дистрибутивные полулокальные кольца
Введение к работе
Данная работа посвящена исследованию теоретико-кольцевых свойств колец (косых формальных) рядов Лорана и колец (формальных) псевдодифференциальных операторов. Начало использования колец косых рядов Лорана восходит к работам Шура, Диксона и Гильберта начала XX века. Например, при изучении независимости аксиом в геометрии Гильберт использовал кольцо косых рядов Лорана для построения тела, бесконечномерного над своим центром. Изучение колец рядов Лорана с произвольным кольцом коэффициентов было начато в конце 70-х - начале 80-х годов Лоренцем [31], Рисманом [46] и Смитсом [49]. Техника использования колец рядов Лорана является удобным инструментом в теории колец. Например, в [32] Макар-Лиманов с помощью колец косых рядов Лорана от двух переменных показал, что кольцо частных алгебры Вейля содержит свободную некоммутативную подалгебру. В работе Гудёрла и Смолла [21] кольца рядов Лорана используются для оценивания размерности Крулля и глобальной размерности нётеровых P.I. колец.
В работах Сонина [8]-[11] и [50] систематически исследуктся теоретико-кольцевые свойства колец рядов Лорана. В частности, выяснено, когда кольца рядов Лорана обладают размерностью Крулля, бирегулярны, строго регулярны и (в предположении конечности порядка скручивающего автоморфизма) регулярны.
Кольца рядов Лорана тесно связаны с кольцами рядов Мальцева-Неймана и кольцами обобщённых степенных рядов, интенсивно изучаемыми в последнее время. Напомним, что кольца рядов Мальцева-Неймана были определены в 1948 году <. .'. '.Мальцевым для доказательства вложимости групповой алгебры над полем в тело (независимо в 1949 году эта конструкция была определена Б.Нейманом). Среди многочисленных работ в этом направлении мы отметим работы Бергмана [14], Лоренца [31], Рисмана [46], Смитса [49] и Массона и Стаффорда [35]. Кольца обобщённых степенных рядов с показателями степени в упорядоченном моноиде в последние годы изучались в работах многих авторов (можно выделить работы Ри-бенбойма [37]-[45], а также работы [17] и [27]-[30]).
Алгебра псевдодифференциальных операторов А((5-1)) была, по-видимому, введена Шуром в 1905 году в работе [48] и с тех пор неоднократно использовалась в различных разделах математики (см., например, [1], [47], [6], [34]). Поскольку в диссертации исследуются лишь теоретико-кольцевые свойства колец псевдодифференциальных операторов, мы не излагаем здесь историю применения псевдодифференциальных операторов в математике и не приводим соответствующие работы, не относящиеся к структурной теории колец. Выделим только работы Гельфанда и Дикого [1] и Паршина [7].
В работе Паршина [7] автор развил алгебраическую теорию колец фор-
мальных псевдодифференциальных операторов от нескольких переменных и отмечает, что "другие подходы к построению колец псевдодифференциальных операторов см. в [24], [25], [2]". В этой же работе используются итерированные кольца косых рядов Лорана. В структурной теории колец I/O] кольца псевдодифференциальных операторов используются для кон-структивизации вычислений в алгебрах дифференциальных операторов (см. работу Гудёрла [20]), а также как источник многочисленных примеров (см., например, книгу Гудёрла и Уорфилда [22]). Если кольцо псевдодифференциальных операторов обладает правой размерностью Крулля, то оно является нётеровым справа кольцом [50].
Диссертация посвящена исследованию кольцевых свойств колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов. В связи с тем, что эти кольцевые свойства оказываются весьма близки друг к другу, оказывается удобно ввести понятие лорановских колец, включающее в себя как кольца косых рядов Лорана так и кольца псевдодифференциальных операторов и доказывать заметную часть результатов в такой общности. Строятся и другие примеры лорановских колец, для которых также верны многие результаты диссертации.
Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей,
* но не обязательно коммутативными. В диссертации используются базовые
сведения из теории колец, которые можно найти, например, в [4] и [12].
Первая глава диссертации посвящена определениям, обозначениям и развитию необходимой техники для проведения вычислений в лорановских кольцах. В ней также строятся различные примеры лорановских колец.
Кольцо косых рядов Лорана А((х,(р)) и кольцо псевдодифференциальных операторов Л((-1,8)) над одним и тем же кольцом А изоморфны" как абелевы группы и умножение в них задаётся похожим образом. Переменная в этих кольцах не коммутирует с коэффициентами и различие между кольцами состоит лишь в том, какое именно соотношение выступает в качестве замены коммутативности: ха = (р(а)х или ta = at + 8(a). В случае тождественного автоморфизма <р и нулевого дифференцирования 8, эти кольца изоморфны кольцу обычных рядов Лорана.
Многие теоремы переносятся с колец косых рядов Лорана на кольца псевдодифференциальных операторов и обратно практически без изменений, поэтому возникает закономерный вопрос о том, какого рода должно быть умножение (или задающее его соотношение вида ха = ...) на абеле-
* вой группе формальных рядов, для того, чтобы сохранялись те же самые
кольцевые свойства.
Оказывается, что единственное необходимое свойство (если не считать естественных требований, вытекающих из дистрибутивности умножения по отношению к формальной бесконечной сумме, и из отождествления единицы кольца коэффициентов с единицей циклической группы по умножению, порождённой переменной) состоит в том, что младшая степень произ-
ведения двух рядов должна быть не меньше суммы младших степеней этих рядов (в случае кольца псевдодифференциальных операторов, где степень переменной в формальном ряде убывает, а не возрастает, вместо младших степеней используются старшие). Кольца, состоящие из формальных степенных рядов с отрицательными степенями, удовлетворяющие этому условию, называются в данной диссертации лорановскими кольцами.
Из этого требования, с учётом обратимости х, возникает необходимое условие на соотношение перестановки переменной с коэффициентом ха = ..., состоящее в том, что младшая степень правой части должна быть равна младшей степени левой. Обратимость х требует, чтобы соотношение имело вид ха = <р(а)х + ..., где (р — автоморфизм кольца коэффициентов. Требование ассоциативности умножения накладывает на соотношение последнее условие, которое, однако, нам будет удобнее сформулировать после того, как будет развита особая вычислительная техника. Проверка этого условия в общем случае также требует значительных усилий, однако в отдельных частных случаях его удаётся легко проверить. Так, строится кольцо косых рядов Лорана с косым дифференцированием (оно изучалось в [16] в случае, когда кольцо коэффициентов является телом), которое также оказывается частным случаем лорановского кольца.
Существует определённая взаимосвязь между решёткой [правых (ле-
вых) идеалов лорановского кольца и решёткой'лравых (левых) идеалов его кольца коэффициентов: решётка идеалов кольца коэффициентов с помощью отображения ц вкладывается (с сохранением решёточных операций) в решётку идеалов лорановского кольца и существует отображение А в обратную сторону, сохраняющее отношение включения, сопоставляющее каждому идеалу кольца рядов идеал кольца коэффициентов. При этом в конечнопорождённом случае отображение А сохраняет и строгое включение, благодаря чему решётка идеалов лорановского і^ольч* не может быть значительно богаче решётки идеалов его кольца коэффициентов.
Вторая глава диссертации посвящена изучению конкретных кольцевых свойств лорановских колец (все эти результаты, естественно, распространяются на кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов). Так, доказано, что лорановское кольцо является телом тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов является телом (для частных случаев колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов это хорошо известно (см., например, [16, с. 66]
k и [20]). Аналогично, лорановское кольцо является нётеровым (артиновым)
тогда и только тогда, когда кольцо коэффициентов является нётеровым (артиновым); это утверждение известно для колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов (см., например, [22, с. 19], [50]). Также проверено, что лорановское кольцо является областью тогда и только тогда, когда кольцо коэффициентов является областью. Доказано, что лорановское кольцо является областью главных правых идеалов
тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов является областью главных правых идеалов.
Получен также критерий того, что лорановское кольцо является цепным кольцом и критерий того, что оно является дистрибутивным и полулокальным кольцом. В этих случаях дополнительным необходимым условием оказывается артиновость (и кольца коэффициентов и лорановского кольца). Получено также описание полуцепных артиновых колец косых рядов Лорана. Для того, чтобы лорановское кольцо было простым или полупростым, должны быть, помимо такого же условия на кольцо коэффициентов, выполнены особые дополнительные условия (в случае кольца косых рядов Лорана это условие на скручивающий автоморфизм, а в случае кольцА псевдодифференциальных операторов — условие на дифференцирование).
Помимо точных критериев получены некоторые частичные результаты о дистрибутивных кольцах рядов, о полулокальных кольцах рядов и о кольцах главных правых идеалов. Для многих утверждений приведены примеры колец, иллюстрирующие необходимость каждого отдельного условия.
Перейдём к более подробному изложению. Диссертация состоит из .введения и 2 глав (12 параграфов). Все основные результаты (теоремы, предложения, примеры и т. п.) имеют двойной индекс: первое число указывает на номер параграфа (в сквозной нумерации), второе — на номер утверждения в параграфе.
Первая глава состоит из шести параграфов. В первом параграфе даются определения основных изучаемых объектов: кольца косых рядов Лорана А((х, <р)) и кольца псевдодифференциальных операторов Л((-1, S)). Проверено, в каких случаях кольцо косых рядов Лорана изоморфно (достаточно хорошим образом) кольцу обыкновенных рядов Лорана, а именно, доказано:
Предложение 1.1. Пусть А — кольцо, а (р — его автоморфизм. Тогда следующие условия равносильны:
автоморфизм (р является внутренним;
существует изоморфизм п кольца обычных рядов Лорана А((х)) на кольцо косых рядов Лорана А((у, <р)), тождественно действующий на элементах кольца коэффициентов А и сохраняющий младшую степень рядов.
Далее кратко исследуется вопрос о переходе к кольцам рядов Лорана от нескольких переменных. В работе [7] исследуются итерированные кольца рядов Лорана от нескольких переменных, которые строятся путём многократного перехода от кольца коэффициентов к кольцу рядов Лорана от одной переменной. При таком подходе переменные получаются неравно-
правны. Кроме того, с точки зрения структурной теории колец и исследуемых теоретико-кольцевых свойств, для изучения итерированных колец рядов Лорана достаточно исследовать свойства кольца рядов Лорана от одной переменной.
Поэтому в данной диссертации выбран другой естественный подход, при котором в кольцах рядов Лорана от нескольких переменных переменные равноправны. Однако при таком подходе кольцевые свойства колец рядов Лорана от нескольких переменных оказываются резко отличны от свойств колец рядов Лорана от одной переменной, что продемонстрировано в диссертации на примере кольца рядов Лорана от двух переменных. Так, в предложениях 1.2 и 1.3 доказано, что кольцо рядов Лорана от двух переменных никогда не бывает ни артиновым справа ни локальным (в частности, не бывает телом). Доказано также следующее утверждение:
Теорема 1.4. Пусть А — произвольное кольцо. Тогда -равносильны следующие условия:
А((х,у)) — полупримитивная область, не являющаяся телом;
кольцо рядов Лорана от двух переменных А((х,у)) — область;
А — область.
Во втором параграфе вводятся лорановские кольца: даются два различных определения и доказывается их эквивалентность. Первое определение отражает комбинаторный подход и фактически требует, чтобы кольцо как аддитивная группа состояло их обычных рядов Лорана с естественными ограничениями на умножение (чтобы запись коэффициентов в одночленах слева была корректной, и чтобы формальная сумма в рядах была дистрибутивной), а также с главным ограничением, состоящим в том, чтобы младшая степень произведения рядов была не меньше суммы их младших степеней.
Второе определение отражает структурный подход: требуется, чтобы в кольце была Z-фильтрация, удовлетворяющая определённым свойствам (в случае кольца рядов Лорана это фильтрация, задаваемая младшей степенью ряда). А именно, в множествах фильтрации U\ aU-i должна всегда находиться пара взаимно обратных элементов (в кольце рядов Лорана это х и ж-1), это условие ограничивает рассмотрение именно рядами с отрицательными степенями (кольцо формальных степенных рядов удовлетворяет всем условиям определения, кроме этого). Кроме того, должно быть возможно "бесконечное суммирование" элементов со строго монотонно возрастающей младшей степенью, это ограничивает рассмотрение кольцами рядов, а не многочленов (в кольце многочленов Лорана выполнены все условия кроме этого). Кольцом коэффициентов в ^-фильтрованном кольце в рамках такого подхода естественно называть кольцо Uo/Ui. Последнее условие требует, чтобы кольцо коэффициентов вкладывалось в само лора-
новское кольцо, расщепляя канонический гомоморфизм на Uo/Ui, как это имеет место в случаях колец рядов и многочленов. В случае, если это условие не выполнено, кольцо называется обобщённым лорановским кольцом и для него остаются верны многие утверждения. Ниже строится пример обобщённого лорановского кольца, не являющегося лорановским кольцом. Кроме того, во втором параграфе показано, что понятие "бесконечной суммы", введённое в определении лорановского кольца, согласовано с формальной бесконечной суммой в кольце рядов Лорана.
Третий параграф посвящен исследованию простых свойств обобщённых лорановских колец. Так, доказывается, что "бесконечная сумма", введённая в определении такого кольца, удовлетворяет естественным свойствам дистрибутивности, коммутативности и т.п. (если рассмотреть на обобщённом лорановском кольце топологию, задаваемую фильтрацией, то "бесконечная сумма" становится просто суммой сходящегося ряда, однако в данной диссертации все её необходимые свойства доказываются чисто алгебраическими средствами).
Вводится отображение А, сопоставляющее каждому идеалу (правому или левому) обобщённого лорановского кольца идеал (правый или левый) его свободных членов. Отображение А переводит решётку идеалов обобщённого лорановского кольца в решётку идеалов кольца коэффициентов и сохраняет отношение включения, что устанавливает существенную связь между этими решётками и условиями на цепи в них. Кроме того, доказана ключевая лемма об отображении А, из которой следует, что если А(Р) = А(5) и идеал (правый или левый) А(Р) конечнопорождён, то Р = S. Таким образом при некоторых ограничениях А сохраняет не только отношение включения, но и отношение строгого включения, что усиливает связь между двумя решётками идеалов.
Как простое следствие этой леммы доказывается, что "ряд" (элемент обобщённого лорановского кольца) с обратимым свободным членом всегда обратим. Отсюда выводится следствие, что если кольцо коэффициентов является телом, то и обобщённое лорановское кольцо — тело. Обратное утверждение верно только для лорановских колец (соответствующий контрпример, кольцо дробных р"-адических чисел, строится ниже).
В качестве иллюстративного соображения показывается, что в обобщённом лорановском кольце можно ввести норму, согласованную с топологией, задаваемой фильтрацией. За счёт существования "бесконечной суммы" полученное нормированное кольцо получается полным метрическим пространством. При этом кольцо многочленов Лорана получается всюду плотным подмножеством кольца рядов Лорана, так что кольцо рядов Лорана является просто расширением кольца многочленов Лорана до полного метрического пространства. При таком подходе то, что всякий "ряд" с обратимым свободным членом обратим, является следствием того факта, что сумма единицы с любым элементом, по норме меньшим единицы,
всегда обратима в полном нормированном кольце.
В четвёртом параграфе рассматриваются уже только лорановские кольца (не обобщённые), вводятся обозначения и доказываются элементарные свойства. Так, вводится отображение /х, с одной стороны обратное введённому ранее отображению А, которое сопоставляет каждому правому идеалу В кольца коэффициентов правый идеал всех тех "рядов", у которых все левые коэффициенты лежат в В. При этом \(ц(В)) = В. Отображение /і осуществляет вложение решётки идеалов кольца коэффициентов в решётку идеалов лорановского кольца.
Доказывается, что отображение /х переводит максимальные правые идеалы в максимальные правые идеалы и, как следствие, радикал Джекобсона лорановского кольца лежит в fi(J), где J — радикал Джекобсона кольца коэффициентов. Ниже будет доказано, что в некоторых случаях радикал Джекобсона в точности равен //(«/).
Пятый параграф посвящен явным вычислениям, выяснению необходимых и достаточных условий на коммутирующее соотношение ха = ..., чтобы оно задавало на множестве рядов Лорана умножение так, чтобы получалось лорановское кольцо. Конечным результатом является предложение 5.5 и предваряющие его леммы:
Лемма 5.2. Пусть А — кольцо, п — целое число, a / : А+—>Vn — гомоморфизм абелевых групп, который каждому элементу а(=А сопоставляет ряд из кольца рядов Лорана А((х)) младшая степень которого не ниже п. Тогда отображение f можно единственным образом расширить до эндоморфизма f абелевой группы А+((х)), так, что ограничение f на А будет совпадать с f, для всех рядов г и всех целых к будет выполнено равенство f'(rxk) = f'(r)xk и при этом для любого ряда г младшая степень ряда /'(г) будет больше или равна п + т, где тп — младшая степень ряда г.
Если же для всякого элемента а из А младшая степень ряда 'f(a) равна п, то для любого ряда г младшая степень ряда f'(r) будет равна п + т, где т — младшая степень ряда г.
Лемма 5.2, если подойти с топологической точки зрения, является следствием того, что равномерно непрерывную функцию можно единственным образом продолжить со всюду плотного подмножества Л[ж,ж-1] на всё кольцо Л((ж)) с сохранением равномерной непрерывности.
Лемма 5.4. Пусть А — кольцо, a tp — автоморфизм в нём. Пусть А : А+—>Л+[[ж]] — произвольный гомоморфизм абелевых групп, который каждому элементу кольца А сопоставляет ряд без отрицательных степеней переменной с коэффициентами из А. Тогда существует и единственна функция ш(-,-), которая каждой паре рядов из А((х)) сопоставляет ряд из А((х)), удовлетворяющая условиям (f,guhe соотношениях обозначают произвольные ряды из А((х)), пит — произвольные целые числа, a a ub — произвольные элементы кольца А):
u{f + g,h)=io{f,h)+a}{g,h) и u(f,g + h)=u{f,g) +w(f,h);
младшая степень рядаи>(/,д) больше или равна сумме младших степеней рядов fug, при этом младшая степень ряда со(х, /) всегда ровно на единицу больше младшей степени ряда f, а младшая степень рядаш(х-1,/) — ровно на единицу меньше;
(3)«(1,/)=/;
u>{af,gxn)=acv(f,g)xn;
ш(хп,д)=и}(х,ш(хп~1,д)) при п > О и о)(хп,д)=ш(х~1,ш(хп+1^д)) при п < 0;
ш(х,ш(х~1,а))ша;
w(x-l,a) = (p-l(a)x~1 + А{а).
* Если обозначить за Тр продолжение отображения (р до эндоморфиз-
ма А+((х)), которое существует по лемме 5.2 и аналогично за <р-1 и Д такие же продолжения (р и А, а за 7(*) обозначить эндоморфизм —Д(у>-1(-)), то для функции и> будет выполнено соотношение
а;(х,а)=|>(7''(а))*'-+\
где знак обозначает введённую ранее "обобщённую бесконечную сумму" в кольце А((х)).
Предложение 5.5. Пусть А — кольцо и R — множество с бинарными операциями сложения и умножения. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) кольцо R является лорановским кольцом с кольцом коэффициентов
А;
(2) существует автоморфизм ср кольца А, гомоморфизм абелевых групп
ц Д : А+—>у1+[[ж]] и биективное отображение п из А((х)) на R такое,
сложение в R задаётся формулой 7г(/) + 7г(<7) = тг(/ + д),
а умножение — формулой я(/)к(д) = ж(ш(/,д)), где ш — функция,
построенная по лемме 5.4 на основе ср и А, при этом <р и А таковы,
что для всех а и Ь из А выполнено соотношение A(ab)=u>(A(a),b) +
1ГЧа)Д(Ь).
Шестой параграф состоит в построении конкретных примеров лоранов-ских колец с помощью результатов предыдущего параграфа. В частном случае, когда А(А)СА, предложение 5.5 позволяет полностью описать ло-рановские кольца.
А именно, этот случай полностью описывается перестановочным соотношением х-1 а = у>-1(а)г-1 + 8{а), где <р — произвольный автоморфизм кольца коэффициентов, а 8 — ^-1-дифференцирование, то есть эндоморфизм кольца коэффициентов как абелевой группы по сложению, удовлетворяющий соотношению
S(ab)=S{a)b +<р-\аЩЪ).
Кольцо, состоящее из рядов Лорана, в котором умножение задаётся этим соотношением, называется в диссертации кольцом косых рядов Лорана с косым дифференцированием. В случае, когда 5=0, получаем обычное кольцо косых рядов Лорана. В случае, когда ip — тождественный автоморфизм кольца коэффициентов, получаем, с точностью до замены t = х~х кольцо псевдодифференциальных операторов. Таким образом в диссертации доказывается, что кольцо псевдодифференциальных операторов дей-
« ствительно удовлетворяет всем аксиомам кольца. Для получения примера
кольца косых рядов Лорана с косым дифференцированием, не совпадающего ни с одним из названных выше, можно взять любой нетождественный автоморфизм (р и 6(a) = с(а — у>-1(а)), где с — фиксированный элемент из центра кольца коэффициентов.
Выбранный в диссертации метод задания умножения и проверки аксиом кольца в кольце псевдодифференциальных операторов позволяет не строить это умножение в явном виде, а построить его с помощью итеративной процедуры и аналогичным образом проверить его ассоциативность (другие аксиомы кольца проверяются тривиально). Такой способ построения позволяет доказать результат в общем виде и воспользоваться им не только в построении кольца псевдодифференциальных операторов, но и в построении кольца косых рядов Лорана с косым дифференцированием. Однако же этот способ не позволяет записать формулу умножения двух рядов в явном виде, в отличие от явной и трудоёмкой вычислительной проверки, которая проделана, например, в [20]. Чтобы компенсировать этот недостаток, явная формула умножения двух рядов выводится в отдельном
^ утверждении:
Предложение 6.4. Пусть А — кольцо, S — дифференцирование в нём, и А((-1,<)) — кольцо псевдодифференциальных операторов. Тогда для любых двух элементов
f= 0вА((Г\5))
t=—оо
g= д^еА((г\8))
»=—оо
выполнено равенство
п+т ( п т / \ \
Л = Е Е Е L ;_t W+i"'te)У-
k=-oo\i=k-mj=k-i\l^J KJ J
Кроме того, в шестом параграфе полностью аналогично хорошо из
вестному полю р-адических чисел строится кольцо дробных га-адических
чисел и доказывается, что оно является обобщённым лорановским кольцом
с кольцом коэффициентов Z/nZ, но не является лорановским кольцом, по-
^ скольку его кольцо коэффициентов в него не вкладывается. Кольцо дроб-
ных n-адических чисел является телом только при га = рк (а при других га не является даже областью), а его кольцо коэффициентов Z/nZ является телом только при п = р (а при других га не является областью). Поэтому кольцо дробных р*-адических чисел при к > 1 является.примером обобщённого лорановского кольца, которое является телом в то время как его кольцо коэффициентов не является областью.
Вторая глава состоит из шести параграфов. В ней, на базе развитой ранее техники, доказываются конкретные утверждения о тех или иных теоретико-кольцевых свойствах лорановских колец (а также колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов как частных случаях).
В седьмом параграфе доказано, что лорановское кольцо (и, соответ
ственно, кольцо косых рядов Лорана и кольцо псевдодифференциальных
операторов) является телом тогда и только тогда, когда его кольцо ко
эффициентов является телом. В восьмом параграфе доказано аналогичное
утверждение про нётеровы справа и артиновы справа кольца. Эти утверж-
4 дения были ранее известны для колец косых рядов Лорана и псевдодиффе-
ренциальных операторов (см., например, [16, с. 66], [20], [22, с. 19]).
В девятом параграфе получены определённые результаты об областях (доказано, что лорановское кольцо является областью тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов является областью, что было хорошо известно в случае кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов) и кольцах главных правых идеалов:
Предложение 9.1. Пусть А — кольцо. Тогда:
если R — лорановское кольцо, и А совпадает с его кольцом коэффициентов, то кольцо R является областью тогда и только тогда, когда кольцо А является областью.
если (р — автоморфизм кольца А, то кольцо А((х,<р)) косых рядов Лорана является областью тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов А является областью.
если S — дифференцирование кольца А, то кольцо псевдодифферен-циалъных операторов Л((<-1,8)) является областью тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов А является областью.
Для обобщённых лорановских колец утверждение предложения 9.1 остаётся в силе только в одну сторону. Кольцо дробных рп-адических чисел является телом, а его кольцо коэффициентов (при п больших единицы) не является областью.
Предложение 9.2. Пусть А — кольцо главных правых идеалов. Тогда:
если R — обобщённое лорановское кольцо и А — его кольцо коэффициентов, то R — кольцо главных правых идеалов;
если (р — автоморфизм кольца А, то кольцо А((х,(р)) косых рядов Лорана — кольцо главных правых идеалов;
если S — дифференцирование кольца А, то кольцо псевдодифференциальных операторов -А((_1,<)) — кольцо главных правых идеалов.
Теорема 9.3. Пусть R — лорановское кольцо, А — его кольцо коэффициентов. Тогда эквивалентны следующие условия:
R — область главных правых идеалов;
R — кольцо главных правых идеалов и А — область;
А — область главных правых идеалов.
Утверждение 9.3, естественно, верно и в случае колец косых рядов Ло
рана и колец псевдодифференциальных операторов. Из теоремы 9.4 выте
кает, что кольцо рядов Лорана Z((x)) над кольцом целых чисел Z является
4 кольцом главных идеалов. В связи с этим заметим, что кольцо многочле-
нов Z[x] и кольцо формальных степенных рядов [[ж]] не являются кольцами главных идеалов, поскольку идеал, порождённый 2 и ж не является главным. Это показывает, что случай колец рядов Лорана отличается от случаев колец многочленов и колец формальных степенных рядов.
Кроме того, строится пример, показывающий, что аналоги теоремы 9.3 и предложения 9.2 для колец Безу неверны:
Предложение 9.9. Пусть А — дистрибутивная справа правая область Безу, не являющаяся телом (например, кольцо целых чисел), В = А(1)хА(2)хА(3)х ... — прямое произведение счётного числа экземпляров A(i) области А. Тогда:
В — риккартово справа и слева дистрибутивное справа редуцированное правое кольцо Безу;
В((х)) — риккартово справа и слева редуцированное кольцо, которое не является ни правым кольцом Безу, ни дистрибутивным справа кольцом.
В десятом параграфе получены результаты о простых и полупростых кольцах. Здесь большую роль играют необходимые и достаточные условия на двусторонний идеал В кольца коэффициентов, при которых правый идеал fi(B) лорановского кольца также является двусторонним. В случае кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов эти условия состоят в инвариантности идеала В относительно скручивающего автоморфизма (<р{В) = В) или относительно дифференцирования (S(B)CB). С учётом этого получены следующие утверждения:
Теорема 10.8. Пусть А — кольцо, а*р — автоморфизм в нём. Тогда следующие условия эквивалентны:
А((х,(р)) — простое кольцо;
кольцо А не имеет таких нетривиальных двусторонних идеалов В, что <р(В) = В.
Теорема 10.9. Пусть А — кольцо и S — его дифференцирование. Тогда следующие условия эквивалентны:
-A((-1,
кольцо А не имеет таких нетривиальных двусторонних идеалов В, что ё(В)СВ.
Теорема 10.10. Пусть А — кольцо, аїр — автоморфизм в нём. Тогда следующие условия эквивалентны:
А((х,(р)) — полупростое артиново кольцо;
А — полупростое артиново кольцо.
Теорема 10.11. Пусть А — кольцо, a S — дифференцирование в нём. Тогда следующие условия эквивалентны:
-4((і-1,<У)) — полупростое артиново кольцо;
А — артиново справа кольцо, причём для любого ненулевого элемента j радикала J(A) существует натуральное число п, такое что элемент Sn(j) не лежит в J (А).
В связи с теоремой 10.11 строится пример не полупростого кольца, кольцо псевдодифференциальных операторов над которым является прлу-простым за счёт выбора подходящего дифференцирования. Этот же пример предоставляет пример цепного артинового кольца, кольцо псевдодифференциальных операторов над которым не является цепным (этот пример интересен в свете описанной ниже теоремы 11.6):
Предложение 10.12. Пусть F — поле ненулевой характеристики р, К = F[x] — кольцо многочленов. Тогда коммутативное кольцо А = К/хрК является цепным артиновым, но не является полем. В кольце А можно ввести дифференцирование S с учетом правил S(xn) = пхп~1 и S(a) = 0 для каждого элемента а из поля F. При этом кольцо A((t~l, 8)) изоморфно кольцу всех рхр-матриц над полем F((t~p)), состоящим из
рядов вида f = 53 М1*) где все коэффициенты ft лежат в F. В част-
i=—oo
пости, A((t~l,6)) — простое артиново кольцо, не являющееся цепным кольцом.
В одиннадцатом параграфе получены точные критерии для цепных колец, в которых также важную роль играют упомянутые выше условия того, что идеал ц(В) является двусторонним:
Теорема 11.4. Пусть R — лорановское кольцо, а А — его кольцо коэффициентов. Тогда равносильны следующие условия:
R — цепное справа кольцо;
R — цепное справа артиново справа кольцо;
А — цепное справа артиново справа кольцо и fi(J(A)) — двусторонний идеал кольца R, где J(A) — радикал Джекобсона кольца А.
Теорема 11.5. Пусть А — кольцо, а(р — автоморфизм в нём. Тогда равносильны следующие условия:
А((х, <р)) — цепное справа кольцо;
А((х,(р)) — цепное справа артиново справа кольцо;
А — цепное справа артиново справа кольцо.
Теорема 11.6. Пусть А — кольцо и S — его дифференцирование. Тогда равносильны следующие условия:
A((t~l,8)) — цепное справа кольцо;
А((-1,<)) — цепное справа артиново справа кольцо;
А — цепное справа артиново справа кольцо и 5(J(A))CJ(A), где J(A) — радикал Джекобсона кольца А.
Также получены определённые частичные результаты о полуцепных артиновых кольцах:
Теорема 11.7. Пусть R — лорановское кольцо, а А — его кольцо коэффициентов. Пусть правый идеал fi(J(A)) является двусторонним идеалом кольца R, где J(A) — радикал Джекобсона кольца А. Тогда равносильны следующие условия:
кольцо R является полуцепным справа артиновым справа;
кольцо А является полуцепным справа артиновым справа.
Теорема 11.8. Пусть А — кольцо, а (р — его автоморфизм. Тогда
равносильны следующие условия:
кольцо А((х,<р)) является полуцепным справа артиновым справа;
кольцо А является полуцепным справа артиновым справа.
Теорема 11.9. Пусть А — кольцо, a S — дифференцирование в нём, причём для радикала Джекобсона J(A) кольца А выполнено включение S(J(A))QJ(A).Tozda равносильны следующие условия:
кольцо псевдодифференциальных операторов .А((-1,<)) является полуцепным справа артиновым справа;
кольцо А является полуцепным справа артиновым справа.
В двенадцатом параграфе получены односторонние результаты о дистрибутивных кольцах и о полулокальных кольцах:
Предложение 12.2. Пусть А — кольцо. Тогда:
если R — лорановское кольцо и А — его кольцо коэффициентов, и кольцо R полулокально, то кольцо А полулокально;
если <р — автоморфизм кольца А, и кольцо А((х,ср)) косых рядов Лорана полулокалъно, то кольцо А полулокально;
если S — дифференцирование кольца А, и кольцо псевдодифференциальных операторов Л((-1,^)) полулокально, то кольцо А полулокалъно.
Предложение 12.3. Пусть А — кольцо. Тогда:
если R — лорановское кольцо и А — его кольцо коэффициентов, и кольцо R дистрибутивно справа, то и кольцо А дистрибутивно справа;
если <р — автоморфизм кольца А, и кольцо А((х, <р)) косых рядов Лорана дистрибутивно справа, то и кольцо коэффициентов А дистрибутивно справа.
если S — дифференцирование кольца А, и кольцо псев до дифференциальных операторов A((t~l,S)) дистрибутивно справа, то и кольцо коэффициентов А дистрибутивно справа.
Кроме того, получено полное описание дистрибутивных полулокальных лорановских колец:
Теорема 12.6. Пусть R — лорановское кольцо, а А — его кольцо коэффициентов. Тогда равносильны следующие условия:
кольцо R дистрибутивно справа и полулокально;
R — прямое произведение конечного числа цепных справа колец;
R — прямое произведение конечного числа цепных справа артиновых справа колец;
А — прямое произведение конечного числа цепных справа артиновых справа колец А{, причем правый идеал ц{А{) является двусторонним для всех і.
Теорема 12.7. Пусть А — кольцо, a ip — его автоморфизм. Тогда равносильны следующие условия:
кольцо А((х,(р)) дистрибутивно справа и полулокально;
кольцо А((х, <р)) является прямым произведением конечного числа цепных справа колец;
кольцо А((х,<р)) является прямым произведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец;
кольцо А является прямым произведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец А\, причем
В связи с теоремой 12.7 заметим, что ситуация в случае колец рядов Лорана отличается от случая колец формальных степенных рядов, поскольку можно проверить, что кольцо формальных степенных рядов от одной переменной является прямым произведением конечного числа цепных справа колец тогда и только тогда, когда кольцо коэффициентов является конечным прямым произведением тел.
Теорема 12.8. Пусть А — кольцо, a S — дифференцирование в нём. Тогда равносильны следующие условия:
кольцо Л((-1,)) дистрибутивно справа и полулокально;
кольцо A((t~l,S)) является прямым произведением конечного числа цепных справа колец;
кольцо A((t~l,S)) является прямым произведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец;
кольцо А является прямым прдизведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец А{, причем 8(А{)СА{ для всех і.
Цель работы. Изучение кольцевых свойств колец рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов.
Методы исследований. В диссертации используются методы структурной и комбинаторной теории колец. Для изучения свойств лорановских колец автором развита особая техника работы с бесконечными формальными суммами элементов этих колец.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и приведены ниже.
Получено описание колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов, являющихся областями главных правых идеалов.
Описаны простые и полупростые кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов.
Выяснено, когда кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов являются полуцепными артиновыми или цепными кольцами.
Получено описание дистрибутивных полулокальных колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях в структурной теории колец и теории модулей.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих 12 параграфов, и списков литературы и используемых обозначений. Она изложена на 98 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 66 наименований.
Апробация результатов. Результаты диссертации отражены в работах автора [57]-[66]. Они также докладывались на алгебраических семинарах в МГУ, на международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения" , посвященном памяти Л.А.Скорнякова (Волгоград, 6-11 сентября 1999 г.) , на международной конференции "Formal Power Series and Algebraic Combinatorics" (Москва, 2000), на международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию научно-исследовательского семинара
МГУ по алгебре (Москва, 13-16 сентября 2000 г.), на девятых и десятых математических чтениях МГСУ "Математические методы и приложения" (Руза, 2002, 2003 г.г.).
Автор выражает благодарность своим научным руководителям профессору А.В.Михалёву и доценту В.Т.Маркову за постоянное внимание к работе и полезные советы.
Условные обозначения
А[[х]] кольцо формальных степенных рядов 19
А[х, ж-1] кольцо многочленов Лорана 20
А((х, (р)) кольцо косых рядов Лорана 19
А{{х)) кольцо рядов Лорана
(при тождественном скручивающем автоморфизме) 19
A((t,S)) кольцо псевдодифференциальных операторов 21
Qn кольцо дробных п-адических чисел 56
{/„} набор подмножеств, задающий Z-фильтрацию
обобщённого лорановского кольца 26
Vn множество рядов Лорана с младшей степенью не ниже п 19
Л отображение из решётки идеалов обобщённого лорановского
кольца в решётку идеалов кольца коэффициентов 34
fi отображение из решётки идеалов кольца коэффициентов
в решётку идеалов лорановского кольца 39
J(A) радикал Джекобсона кольца А
А+ аддитивная группа кольца А
fi канонический (левый) коэффициент ряда / при г-ой степени пе-
ременной
Определения лорановского кольца
При рассмотрении рядов Лорана от одной переменной важную роль играет младший член — член суммы, содержащий наименьшую степень переменной. Для ряда от нескольких переменных понятие младшего члена необходимо уточнить. Если мы рассматриваем ненулевой ряд Лорана от двух переменных ж и у, то выберем из всех членов ряда те, в которые ж входит в наименьшей степени, а из них выберем тот член, который содержит наименьшую степень переменной у и назовём его младшим членом для перестановки (ж, у). Поменяв местами переменные ж и у мы получим определение младшего члена (у, ж) этого ряда. В случае п переменных для любой заданной перестановки переменных жі,ж2,...,жп можно определить свой младший член. Если зафиксировать одну перестановку переменных, то, очевидно, что произведение младших членов двух рядов либо равно нулю, либо равно младшему члену произведения этих двух рядов. В кольце рядов Лорана от двух переменных важной характеристикой ряда является совпадение или несовпадение двух его младших членов. В следующих главах будет доказано, что кольцо рядов Лорана от одной переменной является телом (артиновым справа кольцом) тогда и только тогда, когда кольцо коэффициентов является телом (артиновым справа кольцом). Следующие предложения показывают, что эти утверждения не переносятся на кольца рядов Лорана от нескольких переменных. Предложение 1.2. Пусть А — произвольное кольцо. Тогда кольцо рядов Лорана от двух переменных Л((ж,у)) не является артиновым справа кольцом. Доказательство. Достаточно доказать, что кольцо Л((ж,у)) содержит необратимый справа элемент, не являющийся левым делителем нуля. Таким элементом является ж + у. Действительно, допустим, что / — некоторый ряд из Л((ж,у)), такой, что (x + y)f = 0. Пусть fxy — младший член (ж, у) ряда /. Тогда младший член (ж, у) ряда (ж + у)/ должен быть равен yfxy и, следовательно, отличен от нуля, что противоречит равенству (ж + у)/ = 0. Заметим теперь, что элемент ж+у обратим в кольце А((х))((у)), причём его обратный равен (ж + у)-1 = (—1) ж -1у , но элемент (ж + у)-1 не t=0 лежит в кольце Л((ж, у)), вложенном в Л((ж))((у)). В силу единственности обратного элемента в кольце А((х))((у)), получаем, что элемент х+у не обратим (ни слева ни справа) в кольце А((х,у)). Доказательство завершено. Замечание. Рассмотренный в доказательстве элемент ж+у обратим и в кольце А((х))((у)) и в кольце Л((у))((ж)), но его обратные в этих кольцах отличаются друг от друга как формальные суммы одночленов от ж и у. Кольцо А называется локальным, если его факторкольцо по радикалу Джекобсона является телом. Предложение 1.3. Пусть А — произвольное кольцо.
Тогда кольцо рядов Лорана от двух переменных А((х,у)) не является локальным. Доказательство. Действительно, если Л((ж,у)) локальное кольцо, то либо элемент (ж-1 + у-1) обратим либо элемент 1 + (ж-: + у-1) обратим. Пусть один из них (обозначим его /) обратим. Заметим, что младшие чле ны ряда / равны fxy = ж-1 и fyx = у-1. Тогда пусть g — ряд, обратный к /, а его младшие члены равны дху и дух (возможно совпадают). Тогда младшие члены ряда fg равны х хдху и у-1 дух и не могут совпадать (по скольку в первый из них ж входит в по крайней мере на единицу меньшей степени, чем во второй). Но это противоречит тому, что fg — 1. Кольцо А называется областью, если произведение любых двух его ненулевых элементов отлично от нуля. Кольцо А называется полупримитивным, если его радикал Джекобсона равен нулю. Теорема 1.4. Пусть А — произвольное кольцо. Тогда равносильны следующие условия: (1) Л((ж,у)) — полупримитивная область, не являющаяся телом; (2) кольцо рядов Лорана от двух переменных Л((ж,у)) — область; (3) А — область. Доказательство. Равносильность условий (3) и (2) легко следует из того, что младший член (ж, у) произведения двух рядов равен произведению их младших членов (ж, у) и из того, что кольцо А естественным образом вкладывается в А{[х,у)). Импликация (1)=4 (2) тривиальна. Остаётся доказать импликацию (3),(2)= (1). Действительно, пусть / — ненулевой ряд, лежащий в радикале Дже-кобсона кольца А((х,у)). Тогда пусть fxy — axlyn и fyx = bxkym — его младшие члены (ж, у) и (у,х) соответственно (при этом 1 к и т п). Заменив в случае необходимости. / на /ж г/ т, мы можем считать, что I — О, т = 0 и fxy = ауп, fyx = Ьхк. Допустим, что fxy = fyx, тогда п = к = 0. Тогда заменим / на д = f(x + у) и получим, что дХуфЭух- Поэтому можно считать, что fxy fyx и п 0, к 0. Ряд / лежит в радикале Джекобсо-на кольца А((х,у)), поэтому ряд 1 + x 1y 1f обратим, но тогда обратим и ряд д = ху + /. Нетрудно видеть, что младшие члены ряда g равны Qxy = fxy = y и дух = fyx — Ьхк и, следовательно, не совпадают друг с другом. Пусть h — ряд, обратный к ряду д. Пусть hxy и hyx — его младшие члены (возможно, они совпадают). Тогда младшие члены ряда gh равны, соответственно, hxygxy и hyxgyx. Нетрудно видеть, что младшие члены ряда gh также не совпадают друг с другом. Но h — обратный к д, поэтому gh — 1. Получено противоречие. Осталось доказать, что кольцо А((х,у)) не является телом — это сле дует, например, из предложения 1.2. Из определений кольца косых рядов Лорана А((х,(р)) и кольца псевдодифференциальных операторов .А((-1, У)) над одним и тем же кольцом коэффициентов А нетрудно заметить, что между этими двумя кольцами есть естественная биекция, переводящая х в t l, а формальные суммы степеней х в соответствующие формальные суммы степеней t l. Эта биекция является изоморфизмом левых модулей лА((х,(р)) и AA((t l,8)) над кольцом А. Такое сходство этих двух конструкций придаёт им близкие кольцевые свойства и даёт возможность в некоторых случаях доказывать одинаковые теоремы для колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов, причём доказательства совпадают почти дословно.
В связи с этим будет удобно определить лорановское кольцо, частными случаями которого будут являться кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов и доказать возможно большее число теорем в такой общности. Будет дано два определения лорановского кольца и доказана их эквивалентность: пределение 1. Кольцо R называется лорановским кольцом с кольцом коэффициентов А, если существует изоморфизм 7г абелевой группы по сложению кольца рядов Лорана А+((ж))н»абелеву группу по сложению R+, обладающий перечисленными ниже свойствами: (1) ограничение отображения 7Г на кольцо А является унитарным кольцевым мономорфизмом кольца А в кольцо R; (2) тг осуществляет изоморфизм левого модуля АА((Х)) на левый модуль AR, где модуль AR определяется в соответствии с правилом ar = тг(а)г; (3) младшая степень произведения двух рядов больше или равна суммы их младших степеней; (4) ограничение отображения 7Г на группу по умножению, порождённую элементом ж, является групповым мономорфизмом. Замечание. Если отождествить каждый ряд / из кольца рядов Лорана А((х)) с соответствующим ему элементом тг(/) лорановского кольца, то, в связи с доказанной ниже леммой 2.1, определение можно дать так: абе-лева группа А+((ж)) с введённым на ней умножением о называется лорановским кольцом, если она является кольцом, удовлетворяет соотношению (af) о (дхп) = a(fog)xn, где аА, и при этом младшая степень произведения двух рядов больше или равна суммы их младших степеней. Очевидно, что само кольцо А((х)) является лорановским кольцом при я- = ІАКХ.)). Докажем несколько простых свойств . отображения 7г: Лемма 2.1. Пусть R — лорановское кольцо с отображением л- из Л((ж)) в R, как в определении. Тогда для любого ряда f из Л((ж)) и любого элемента а кольца А выполнено равенство 7г(а)7г(/) = 7г(а/). А для любого ряда f из А{[х)) и любого целого числа п выполнено равенство
Лорановские кольца: обозначения и общие свойства
Пусть R — лорановское кольцо, А — его кольцо коэффициентов, а л- — фиксированное отображение из А ((ж)) в І2, как в определении 1. Тогда если f = J2 fix% — РЯД из кольца рядов Лорана Л((ж)), будем для краткости называть элементы /{ из кольца А левыми коэффициентами элемента 7г(/)єЯ. Поскольку отображение 7г — биекция Л((ж)) на R, у каждого элемента из R существует один и только один набор левых коэффициентов (при фиксированном отображении 7г). Непосредственно проверяется, что если элемент и лежит в Uo, то его свободный член совпадает с его левым коэффициентом «о, вне зависимости от выбранного отображения 7г из А{{х)) в R. Пусть R — лорановское кольцо, а Л — его кольцо коэффициентов. Тогда для каждого подмножества В кольца А обозначим за f(B) множество всех тех элементов кольца R, все левые коэффициенты которых лежат в В. Непосредственно проверяется, что если В — правый идеал кольца А, то ц(В) — правый идеал кольца R и что \(fi(B)) — В. Кроме того, если В — правый идеал, то правый идеал р(В) замкнут относительно взятия "обобщённых бесконечных сумм" как в условии (Hi). Отображение fj, осуществляет вложение решётки правых идеалов кольца А в решётку правых идеалов кольца R (это вложение является гомоморфизмом относительно решёточных операций сложения и пересечения, в том числе и бесконечных сумм и пересечений). Легко видеть, что для любого главного правого идеала а А кольца коэффициентов выполнено равенство /i(aA) = ir(a)R. Замечание. Отображение /І, В отличие от отображения Л, определено не симметрично относительно умножения справа или слева. Можно было бы определить его для правых коэффициентов и тогда оно осуществляло бы вложение решётки левых идеалов. Кроме того, наличие такого отображения существенно требует выполнения условия (iv) определения 2 и само отображение (поскольку оно использует понятие левых коэффициентов) зависит от выбора конкретного биективного отображения 7г из А({х)) в R. Лемма 4.1. Пусть R — лорановское кольцо, а А — его кольцо коэффициентов. Тогда если В — максимальный правый идеал кольца А, то ц(В) — максимальный правый идеал кольца R. Доказательство. Действительно, пусть г — какой-то элемент кольца R, не лежащий в f-i(B). Тогда достаточно доказать, что rR + (i(B) = R. Поскольку элемент г не лежит в ц(В), то какие-то из его левых коэффициентов не лежат в В, выберем из них коэффициент с наименьшим номером (такой, который стоит при самой младшей степени переменной в А((х))), пусть этот коэффициент будет г„. Тогда, вычитая из элемента г элементы, лежащие в ц(В), можно добиться того, чтобы все левые коэффициенты г с номерами меньше п будут равны нулю. Поэтому будем считать, что т„ имеет наименьший номер среди ненулевых коэффициентов.
Перейдя от элемента г к элементу Г7г(ж п), можно добиться того, чтобы число п было равно нулю. Тогда элемент г лежит в Щ и его свободный член го не лежит в В. Поскольку В — максимальный правый идеал кольца А, ГТ.ю, .; най дутся такие элементы а из А и Ъ из В, что гоа + b = 1. Тогда у элемента Г7г(а) + 7г(Ь) свободный член равен единице (а сам этот элемент лежит в rR + fi(B)), следовательно, по предложению 3.4, он обратим в кольце R. Поэтому rR + fi{B) = Л, что и требовалось доказать. Предложение 4.2. Пусть R — лорановское кольцо, а А — его коль цо коэффициентов. Тогда радикал Джекобсона J(R) кольца R лежит в fi(J(A)), где J(A) — радикал Джекобсона кольца А. Доказательство. Действительно, поскольку радикал J( А) совпадает с пересечением всех максимальных правых идеалов В кольца А, то пра вый идеал fi(J(A)) совпадает с пересечением соответствующих им правых идеалов ц{В). По лемме 4.1 все правые идеалы ц{В) являются максималь ными правыми идеалами кольца R, поэтому все они содержат радикал J(R). Отсюда получаем, что J(R) лежит в /i( J(A)). Лемма 4.3. Пусть R — лорановское кольцо, а А — его кольцо коэффициентов. Пусть Р — такой двусторонний идеал кольца А, что ц(Р) — двусторонний идеал кольца R. Тогда на R/(i(P) можно естественно ввести структуру лорановского кольца, причём его кольцо коэффициентов будет изоморфно А/Р. Доказательство. Действительно, проверим определение 1 лоранов ского кольца. Пусть В = А/Р. Построим отображение х из В((х)) в R/fi(P). Пусть Ь — ряд из В((х)), а {Ь;} — его коэффициенты, так что Ь = %2ЬіХ . Пусть для каждого г выполнено равенство 6; = а,- + Р, где {а,-} — набор элементов из кольца А. Тогда обозначим за а ряд Y! aix% и положим х(Ь) — ""(я) + и(Р) Непосредственно проверяется, что это опре деление не зависит от выбора а,- и что выполнены все свойства, требуемые в определении 1.
Области, кольца главных идеалов и кольца Безу
Предложение 9.1. Пусть А — кольцо. Тогда: (1) если R — лорановское кольцо, и А совпадает с его кольцом коэффициентов, то кольцо R является областью тогда и только тогда, когда кольцо А является областью. (2) если (р — автоморфизм кольца А, то кольцо косых рядов Лорана А((х, р)) является областью тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов А является областью. (3) если 8 — дифференцирование кольца А, то кольцо псевдодифференциальных операторов A{(t x,8)) является областью тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов А является областью. Доказательство. С учётом предложений 6.1 и 6.2 утверждения (3) и (2) являются частными случаями утверждения (1) (1) Пусть R область. Тогда А тоже является областью, поскольку изоморфно подкольцу области R. Пусть теперь А область. Пусть г\ и г2 — произвольные ненулевые элементы кольца R. Тогда представим их в виде га = wiVi и г2 = v2w2, где vi и V2 — элементы из Uo с ненулевыми свободными членами, a W\ и w2 — обратимые элементы кольца R. Тогда г\г2 = wi(viv2)w2, при этом элемент v\v2 отличен от нуля, поскольку его свободный член, равный произведению двух ненулевых элементов области А, отличен от нуля. Но тогда и элемент т\т2 отличен от нуля, что и требовалось доказать. Замечание. Для обобщённых лорановских колец утверждение предложения 9.1 остаётся в силе только в одну сторону. В предложении 6.5 построен пример обобщённого лорановского кольца Q рп, которое является телом, а его кольцо коэффициентов (при п больших единицы) не является областью. Кольцо А называется кольцом главных правых идеалов, если каждый его правый идеал является главным правым идеалом. Кольцо А называется правым кольцом Безу, если каждый его конечнопорождённый правый идеал является главным. Предложение 9.2. Пусть А — кольцо главных правых идеалов. Тогда: (1) если R — обобщённое лорановское кольцо и А — его кольцо коэффициентов, то R — кольцо главных правых идеалов; (2) если р — автоморфизм кольца А, то кольцо косых рядов Лорана А((х,(р)) — кольцо главных правых идеалов; (3) если S — дифференцирование кольца А, то кольцо псевдодифференциальных операторов A((t l,S)) — кольцо главных правых идеалов. Доказательство. С учётом предложений 6.1 и 6.2 утверждения (2) и (3) являются частными случаями утверждения (1) (1)
Действительно, пусть Р — правый идеал кольца R. Тогда А(Р) — правый идеал кольца Л и по условию порождается каким-то элементом а из А. Тогда, поскольку а лежит в А(Р), найдётся элемент г из PfWo такой, что свободный член г равен а. Тогда к правому идеалу Р и к элементу г применима лемма 3.3, из которой следует, что rR = Р, что и требовалось доказать. Теорема 9.3. Пусть R — лорановское кольцо, А — его кольцо коэффициентов. Тогда эквивалентны следующие условия: (1) R — область главных правых идеалов; (2) R — кольцо главных правых идеалов и А — область; (3) А — область главных правых идеалов. Доказательство. Условия (1) и (2) равносильны в силу предложения 9.1. Из условия (3) вытекает условие (2) в силу предложения 9.2. Остаётся доказать, что из условия (2) вытекает условие (3). Действительно, пусть В — произвольный ненулевой правый идеал кольца А. Тогда правый идеал ц(В) кольца R является главным и порождается каким-то элементом /. Поскольку элемент / (как и всякий ненулевой элемент кольца R) можно представить в виде uv, где и лежит в С/о и имеет ненулевой свободный член, at) — обратим, то без ограничения общности можно считать, что / лежит в С/о и имеет ненулевой свободный член. Пусть а — свободный член /, очевидно, а лежит в В. Для всякого элемента b из В выполнено включение 7г(Ь) Є f (B), поэтому для какого-то элемента д из R выполнено равенство fg = тт(Ь). Поскольку А — область, в силу леммы 3.2, получаем, что младшая степень элемента д равна нулю (так как младшие степени / и 7г(Ь) равны нулю). Тогда, поскольку свободный член произведения равен произведению свободных членов, получаем, что ад0 = Ь, где до — свободный член д. Тогда Ь лежит в аА, и тогда В = аА — главный правый идеал, что и требовалось доказать. Из теоремы 9.3 с помощью предложений 6.1 и 6.2 получаем две теоремы: Теорема 9.4. Пусть А .— кольцо, а (р — его автоморфизм. Тогда эквивалентны следующие условия: (1) А((х,(р)) — область главных правых идеалов; (2) А((х, р)) — кольцо главных правых идеалов и А — область; (3) А — область главных правых идеалов. Теорема 9.5. Пусть А — кольцо, a S — дифференцирование в нём. Тогда эквивалентны следующие условия: (1) І4((-1, У)) — область главных правых идеалов; (2) Л(( -1, $)) — кольцо главных правых идеалов и А — область; (3) А — область главных правых идеалов. Замечание. Из теоремы 9.4 вытекает, что кольцо рядов Лорана Z((x)) над кольцом целых чисел Z является кольцом главных идеалов. В связи с этим заметим, что кольцо многочленов Z[x] и кольцо формальных степенных рядов Z[[x]] не являются кольцами главных идеалов, поскольку идеал, порождённый 2 и ж не является главным. Это показывает, что случай колец рядов Лорана отличается от случаев колец многочленов и колец формальных степенных рядов. Сумма подмодулей (или идеалов) называется сократимой, если в. ней есть такое слагаемое, при удалении которого из суммы сумма не меняется. Сумма подмодулей (или идеалов) называется несократимой, если при удалении любого из её слагаемых сумма меняется. Лемма 9.6. Пусть МА — правый модуль над кольцом А. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) любая бесконечная сумма подмодулей {Ма\а Є ft} модуля МА сократима. (2) все фактормодули модуля МА конечномерны — то есть не содержат бесконечных прямых сумм ненулевых подмодулей. ш
Доказательство. (1)= (2). Действительно, пусть NA — фактормо-дуль модуля МА И В нём существует бесконечная прямая сумма ненулевых подмодулей Na. Тогда рассмотрим их прообразы Ма при каноническом гомоморфизме МА на NA- ПО условию, сумма подмодулей Ма должна быть сократима, то есть для некоторого /3 модуль Мр лежит в сумме 53 Ма. афР Но тогда и модуль Np лежит в сумме 53 Na, что противоречит предполо афР жению. (2)=Ф- (1). Пусть {MQa ft} — произвольное множество подмодулей модуля М. Рассмотрим подмодуль РА модуля М, равный сумме Пусть р = 53 тгс/з (лишь конечное число членов суммы отлично от нуля) Реп — какой-то элемент подмодуля Р, причём трЄМр П 53 Ма для всех 0 из афР ft. Тогда для каждого (3 ft элемент тр лежит в модуле 53 ОД , и элемент ФР р — тр = 53 та лежит в модуле 53 Afa, поэтому элемент р также лежит ФР афр в модуле 53 Ма. Таким образом для каждого /? Є ft выполнено включение хфр Р С Ма. афР Обозначим за NA фактормодуль М/Р, а за Na — образ подмодуля Ма при каноническом гомоморфизме М на N. Докажем, что модули Na образуют прямую сумму, для этого нужно доказать, что для каждого /З ft пересечение модуля Np с модулем 53 Na равно нулю или, что то же самое, афр доказать, что пересечение модуля Мр + Р с модулем Р + 53 Ма лежит в ФР Р. Как доказано выше, выполнено включение Р С 53 -Wa» поэтому надо афр доказать только, что пересечение модуля Мр с модулем 53 Ма лежит в Р. ФР Но это верно по определению модуля Р. Таким образом модули Na образуют бесконечную прямую сумму в фак тормодуле N = М/ Р и по условию не могут быть все нулевыми. Поэтому для некоторого /3 ft модуль Np равен нулю и, следовательно, МрСР. Как было доказано выше, выполнено включение Р С 53 Ма, поэтому
Дистрибутивные полулокальные кольца
Лемма 12.1. Пусть R — лорановское кольцо, а А — его кольцо коэффициентов. Пусть кольцо R инвариантно справа, а кольцо А редуцированно. Тогда: (1) если (р — автоморфизм кольца коэффициентов А, переводящий элемент uo + Ui в элемент -к(х)и0тг{х 1) + U\, то (рп(а)А = аА для всех а из А и для всех целых п; (2) если для элементов г, з из Uo и для целого числа п выполнено соотношение rn(xn)sUn+i, то для свободных членов го и Зо выполнены соотношения, гоЗо = О и ЗоГо = 0. (3) если для свободных членов го и зо элементов г, з из Uo выполнено соотношение TQSO = 0, то для любого целого числа т выполнены соотношенияr7c(xm)sGUm+i и sn(xm)rGUm+i. (4) радикал Джекобсона J(R) кольца R равен нулю. Доказательство. В доказательстве потребуется следующее свойство редуцированного кольца А: если а,Ь Є А и аЬ = 0, то (Ьа)2 = Ь(аЬ)а = 0, откуда, в силу отсутствия нильпотентных элементов, ba = 0. Кроме того, каждый обратимый справа элемент редуцированного кольца А обратим слева. (1) Пусть а — элемент кольца А, а п — целое число. Тогда элемент фп(а) из А равен свободному члену элемента 7г(ж")7г(а)7г(а; п) из Uo. В силу правой инвариантности кольца R элемент 7г(жп)7г(а)7г(х п) лежит в правом идеале 7t(a)R = ц(аА), поэтому все его левые коэффициенты (и, в частности, свободный член) лежат в а А. Поэтому (рп(а)АСаА. В силу того, что п может принимать и отрицательные значения, получаем, что рп(а)А = аА для всех а из Л и для всех целых п. (2) Действительно, rir{xn)s7t(x n)Ui, поэтому произведение свободных членов элементов г и it(xn)sn(x n) равно нулю, то есть Го(рп(з0) = 0. Из пункта (1) вытекает, что з0(=(рп(з0)А, поэтому ros0 = 0, откуда вытекает также, что зо о = 0. (3) Пусть т — произвольное целое число. Тогда в силу (1) ч т(за)йзоА и поэтому г0 рт(зо) = 0, то есть произведение свободных членов элементов г и ir(xm)sir(x m) равно нулю, откуда гіт(хгп)зж(х т)єиі. Получаем, что riz(xm)s(=Um+i. Аналогично из соотношения з0г0 = 0, получаем 57г(жтп)гЄ/т+і, что и требовалось доказать. (4) Допустим, что радикал J(R) отличен от нуля. Тогда в нем найдётся элемент г = 7г(/ж-1), младшая степень которого равна —1 (и тогда младшая степень ряда / равна нулю). В силу предложения 4.2 все коэффициенты ряда /ж-1 (и, следовательно, все коэффициенты ряда /) лежат в радикале J(A). Пусть (1 + г)-1 = ir(gxm) — элемент из R, обратный к 1 + 7г(/ж-1) и младшая степень ряда д равна нулю. Допустим, что т 0. Из равенства (1 + 7г(/х-1))7г( 7хт) = 1 получаем (п(х) + 7г(/))7г(ж-1)7г( 7) = 7г(г-т)є/_тСУ0. По пункту (2) получаем, что f0g0 = 0 и до/о = 0. В силу правой инвариантности кольца R выполнено включение Из равенства силу доказанного выше тг(/0)7г(х-1)7г( 7о) = 0, поэтому Домножив справа на 7г(х-1)7г(/0) и учтя, что получаем откуда, по пункту (2) получаем, что fogifo = 0, откуда (/o 7i)2 = 0 и /o 7i = 0. Отсюда получаем, что и поэтому из включения получаем я(1+fi)it(g0)(E.Ui, откуда (l+/i) 7o = 0. Но элемент /і по предложению 4.2 лежит в радикале Джекобсона, поэтому элемент 1 + /і обратим и, следовательно, 7о = 0, что противоречит выбору элемента д.
Допустим теперь, что т = 0. Аналогично предыдущему случаю получаем равенства /о 7о = 0 и g0f0 = 0. Проводя аналогичные рассуждения, получаем 7г(/о)7г(х-1)7г(д1)7г(х)+С/1 = l-n{f0)n{(p-1(g1))+U1, откуда (1 + fi)go = 1 — /oV3_1(fl,i)- Элемент /о по предложению 4.2 лежит в радикале Джекобсона J(A), поэтому элемент 1 — /oV-1(5i) обратим, аналогично обратим и элемент l + /i. Поэтому элемент до также обратим, что противоречит равенству fogo = 0 и выбору ряда /. Наконец, допустим, что т 0. Тогда из равенства вытекает, что т — 1 и произведение свободных членов элементов 7г(/) и 7г(ж-1)7г( 7)7г(:с) равно единице. Но этого не может быть, поскольку по предложению 4.2 свободный член элемента тг(/) лежит в радикале J(A) и, следовательно, не может быть обратимым. Полученное противоречив завершает доказательство. Предложение 12.2. Пусть А — кольцо. Тогда: (1) если R — лорановское кольцо и А — его кольцо коэффициентов, и кольцо R полулокально, то кольцо А полулокально; (2) если р — автоморфизм кольца А, и кольцо А((х,(р)) косых рядов Лорана полулокально, то кольцо А полулокально; (3) если S — дифференцирование кольца А, и кольцо псевдодифференциальных операторов A((t l,8)) полулокально, то кольцо А полулокально. Доказательство. (1) Действительно, допустим, что кольцо А не полулокально. Тогда в нём существует бесконечная последовательность максимальных правых идеалов Ві,В2,Вз,... такая, что правые идеалы #1, Bif\B2, В! ]В2Г\Вз, . образуют строго убывающую по включению последовательность. В силу леммы 4.1 правые идеалы Ц(ВІ) являются максимальными правыми идеалами кольца R, при этом идеалы тоже образуют строго убывающую последовательность, что противоречит полулокальности кольца R. Полученное противоречие завершает доказательство. Пункты (2) (3) непосредственно вытекают из (1) и предложений 6.1 и 6.2. Из того, что отображение ц является инъективным вложением решётки правых идеалов кольца А в решётку правых идеалов кольца Я, непосредственно вытекает следующее простое утверждение:
