Введение к работе
Актуальность темы. Одной из важных задач компьютерной алгебры является поиск формальных решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В некоторых случаях эта задача сводится к следующей: д^я данного дифференциального оператора D = Р(х, у)-^ + Q(x,y)--, действующего на кольце С[.х,у] найти оценку сверху на степень неприводимых собственных многочленов1). К настоящему моменту решение этой задачи известно для некоторых частных случаев, но полного решения еще нет. В случае, если задача будет решена полностью, появится возможность алгоритмически находить полиномиальные первые интегралы дифференциальных уравнений вида х — R(x,t), где R - рациональная функция, или доказывать, что их не существует.
Данная работа посвящена дальнейшему исследованию этой задачи. В последнее время, в связи с развитием вычислительной техники и ее применением в алгебраических исследованиях, усилился интерес к вопросам алгоритмизации и разработкам конструктивных методов (соответствующая область математики получила название компьютерной алгебры). В этой связи вышеупомянутая задача является актуальной.
Цель работы. Целью работы является разработка алгоритмов для поиска собственных многочленов дифференциального оператора. Алгоритмы, найденные для различных частных случаев, сформулированы в виде, приближенном к современным алгоритмическим языкам, и полностью обоснованы.
Методика исследований. Для решения задачи используются методы современной дифференциальной и компьютерной алгебры.
Научная новизна результатов. Следующие основные резуль-
1) М.Singer, Formal solutions of differential equations, Preprint, 1989
І- 1ЧЇЇ
таты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно:
-
доказаны теоремы о структуре множества собственных многочленов дифференциального оператора Р{х,у)-^ Q{x,y)-- над различными алгебраическими областями, (доказано, что любой делитель собственного многочлена также является собственным многочленом, описано множество возможных старших однородных компонентов собственных многочленов);
-
найдены алгоритмы нахождения собственных многочленов в случаях, когда
Р и Q - однородные многочлены одинаковой степени;
дифференциальное уравнение — —jS*,vl, соответствующее данному оператору, имеет конечное число алгебраических решений;
-
предложен алгоритм, позволяющий находить решения дифференциального уравнения j^ = — р\*'у\ в виде ряда и достаточно эффективно находить полиномиальные первые интегралы, когда они существуют;
-
разработан комплекс программ для вычислений в основных алгебраических областях;
-
на базе этого комплекса реализованы представленные алгоритмы.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы могут быть непосредственно применены в системах компьютерной алгебры, как в специализированных, так и в системах общего назначения.
Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
- семинарах по компьютерной алгебре на механико-математи
ческом факультете МГУ, руководители Е.С. Голод, В.Н. Латышев,
А.В.Михалев, Е.В.Панкратьев (3 доклада);
всесоюзном семинаре по компьютерной алгебре (мех-мэт МГУ, январь 1992 г.);
IV Международном совещании по аналитическим вычислениям на ЭВМ в физических исследованиях (г. Дубна, май 1990
г-);
Международном симпозиуме по символьным и аналитическим вычислениям ISSAC91 (Бонн, июль 1991 г.).
научно-исследовательском семинаре по компьютерной алгебре, руководитель С.А.Абрамов (октябрь 1992 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5].
Структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, приложений и списка литературы. Объем текста работы составляет 80 компьютерописных страниц. Список публикаций включает 16 наименований.
