Введение к работе
Актуальность темы. D диссертации исследуется дискретный спектр, появляющийся в спектральной лакуне (a,j3) эллиптического дифференциального оператора (ДО) второго порядка
A = -divg(x)grad + p(x), х Є Rrf, (1)
при возмущении неотрицательным ДО с убывающими коэффициентами. Знак возмущения оказывает существенное влияние как на характер обнаруживаемых эффектов, так и на выбор технических средств. Случай неположительных или незпакоопределенных возмущающих потенциалов изучен п некоторых отношениях полнее (см., например, [4|, [1]). Но дискретность спектра в лакуне заведомо нарушается при незпакоопределенных возмущениях даже второго порядка. В случае неотрицательных возмущений содержательный анализ дискретного спектра возможен для возмущающих ДО сколь угодно высокого порядка.
Основным предметом исследования является считающая функция, которая в случае неотрицательных возмущений определяется как
Л'(А, A, W, т) := ]Г сІішКефІ + tWW ~ XI), А Є (а,0), г > 0, (2)
*Є(0,т]
т.е. как число собственных значений оператора B(t) = А 4- iWlV, прошедших через точку «наблюдения» А при увеличении і от 0 до г. При этом представляет интерес асимптотика считающей функции по большой константе связи т. Также интересны условия конечности спектра оператора B(t) в спектральной лакуне (а, /3) оператора Л и асимптотика считающей функции, когда точка наблюдения выводится на левый край лакуны; тогда по определению
iX(a,A.W,T):= lim N(X,A,W,t), т > 0. (3)
Л-+а+0
До сих пор подобные вопросы изучались при возмущении вещественным убывающим потенциалом (см., например, [5], [6], [1], [2J) или неотрицательным ДО второго порядка (см. [3]). Были получены старший член степенной асимптотики
считающей функции по константе связи и, для некоторых задач, условия конечности спектра оператора B(t) в лакуне (а, (3). Возникает естественный вопрос о распространении этих результатов на случай возмущения неотрицательным ДО высокого порядка с убывающими коэффициентами. Положительным результатам на этот счет посвящена предлагаемая диссертация.
Цель работы. Найти условия, при которых спектр оператора B{t) в лакуне (а,/3) 1) дискретен; 2) не накапливается к правому краю; 3) конечен. Указать оценку сверху для считающей функции N(\,A,W,t), Л Є [а,13), г > 0, и для полного числа собственных значений (с учетом кратности) оператора B(t) в лакуне (а,/3). Найти асимптотику считающей функции N(\A,W,t) по большой константе связи т.
Научная новизна. В рамках абстрактной операторной теории были получены следующие новые результаты. 1) Найдены некоторые абстрактные условия дискретности спектра, оператора B(t) в спектральной лакуне (a, j3) оператора А и ненакопления этого спектра к правому краю лакуны. 2) Задача о спектре оператора B(t) в (а,13) сведена к задаче о возмущении компактным оператором части оператора А, отвечающей спектру оператора А, лежащему левее лакуны (а,/3). 3) Задача об оценках и асимптотике считающей функции N(\,A,W,t) сведена к задаче о спектральных оценках и спектральной асимптотике некоторого самосопряженного компактного оператора.
Для дифференциальных операторов получены следующие новые результаты. 4) При возмущении эллиптического ДО (1) оператором W"4V, где W — ДО вида
W = y/rtx){-&)m, <р>0, m6N, (4)
получены условия а) сохранения существенного спектра: Ь) ненакопления спектра B(t) к правому краю лакуны. Кроме того при некоторых условиях на, р, д и f получены верхние оценки считающей функции (2). 5) В ситуации, когда А — периодический эллиптический ДО (1), a W — ДО вида (4), найдены условия
конечности спектра оператора Б(і) в лакуне (а, в) и, при этих условиях, получены оценки величины N(oi,A,\V,t). (і) Для периодического эллиптического ДО А вида (1) и возмущения IVIV, имеющего некоторый специальный вид (см. ниже гл.4), согласованный с оператором А, получен старший член степенной асимптотики считающей функции N(\,A,W,t), А Є (а,/3). При некоторых дополнительных ограничениях получена асимптотика и в точке А = а. Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования возмущений ДО (1) оператором произвольного дифференциального порядка. Результаты об оценках и асимптотике считающей функции N(X,A,W,t) могут быть использованы, например, в теории твердого тела при изучении изменений в структуре спектра кристалла, возникающих при введении примеси. Возмущения в виде ДО отвечают «потенциалам, зависящим от импульса».
Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседании кафедры высшей математики и математической физики физического факультета СІІ6ГУ; на семинаре по спектральной теории кафедры математики Технического университета Стокгольма, январь 2000.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статье [С2] и сообщениях [01], [СЗ], [С4].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырех глав, и списка литературы. Каждая глава разделена на два параграфа — «формулировки» и «доказательства». Параграфы, введение и список обозначений разбиты на пункты. При ссылках на пункты из других параграфов используется тройная нумерация. Объем диссертации — 75 страниц. Список литературы содержит 17 наименований.
Автор благодарит своего научного руководителя М. Ш. Бирмана за постановку задачи и помощь в работе.
