Введение к работе
Диссертация состоит из двух органически связанных частей. Первая часть посвящена разработке нового асимптотического подхода к исследованию решений уравнения Шредингера
-S+ (^W + W(sx) )ф = E^, ЖЄМ. (1)
Здесь E - спектральный параметр, V- 1-пернодпческая функцпя из Lfoc(R), W - функция аналитическая в некоторой полосе вида S = {Z Є C : Yi < Im Z < Yf}, а є - малый адиабатический параметр. Уравнение (1) - периодическое уравнение Шредингера с адиабатическим возмущением W(є ).
Во второй части диссертации с помощью этого подхода исследуются спектральные свойства почти-периодических уравнений Шредингера, возникающих в случае, когда W - периодическая функция, W( + 2п) = W(), а є/2п - иррациональное число. В этом случае мы говорим об адиабатических почти-периодических уравнениях Шредингера.
Актуальность работы. Исследование спектральных свойств почти- периодических операторов - одно из наиболее актуальных направлений современной математической физики. Несмотря на очень большое количество работ, более или менее полный анализ удалось провести для нескольких одномерных разностных модельных задач (напр., уравнение Почти-Матье, Мэри- лендская модель, кусочно постоянные потенциалы с двумя значениями). Для одномерных дифференциальных операторов Шредингера с аналитическими потенциалами с помощью методов теории KAM (Колмогорова Арнольда Mo- зера) была доказана абсолютная непрерывность спектра в области больших значений спектрального параметра и в случае малых аналитических потенциалов. Была также доказана сингулярность нижнего края спектра для некоторых аналитических потенциалов в случае большой константы связи. Законченная спектральная теория почти-периодических операторов далека от завершения. Принципиальное значение имеет исследование трудных конкретных задач с тем, чтобы за счет их анализа выявить общие свойства почти- периодических операторов.
Хотя "адиабатические" почти-периодические операторы Шредингера возникали в разных областях физики (напр., в физике твердого тела и астрофизике), систематический анализ их спектральных свойств был начат лишь в работах автора диссертации и можно сказать, что это - новое направление математических исследований. Исследования, описанные в диссертации, позволили вскрыть новые математические механизмы формирования спектра и обнаружить новые спектральные эффекты. При этом полученные результаты являются первыми результатами для дифференциальных уравнений IIIpe- дингера с неаналитическими и даже негладкими потенциалами, и проведенную работу можно рассматривать как шаг в сторону изучения почти-периодических операторов с потенциалами общего вида.
При исследовании спектра автор использовал идеи метода монодроми- зации (оригинального перенормировочного подхода, предложенного в 90-х годах B.C. Буслаевым и автором для исследования геометрии спектров разностных почти-периодических уравнений). Для эффективного применения этих идей оказалось необходимым очень точное асимптотическое описание поведения решений адиабатически возмущенного периодического уравнения Шредингера на расстояниях порядка \/е. Для этого и потребовался новый асимптотический метод, описанный в первой части диссертации.
Отметим, что анализ адиабатически возмущенных систем - классическая тема математической физики. Одномерные периодические уравнения Шредингера с адиабатическим возмущением возникают в различных разделах физики. B.C. Буслаев предложил оригинальный подход к исследованию асимптотик решений этих уравнений. Этот подход можно рассматривать как глубокое обобщение классического "вещественного" метода В КБ (начальные идеи метода ВКБ сформулированы Вентцелем, Крамерсом и Бриллюэном), позволяющего изучать стандартные квазиклассические асимптотики решений одномерных уравнений, работая лишь на вещественной оси. Можно сказать, что классический метод ВКБ позволяет исследовать асимптотики решений уравнения, возникающего при адиабатических возмущениях оператора второй производной, а в методе B.C. Буслаева исследуются адиабатические возмущения периодического оператора Шредингера. Обладая мощностью классического метода ВКБ, метод B.C. Буслаева имеет и аналогичные ограничения. За границами возможностей методов оказывается описание многих экспоненциально малых эффектов, связанных с комплексным туннелиро- ванием. Подход, предложенный в диссертации, можно считать обобщением классического комплексного метода ВКБ, позволяющего контролировать такие квазиклассические эффекты за счет исследования решений на комплексной плоскости переменной уравнения. При этом в предлагаемом подходе аналитическим предполагается лишь адиабатическое возмущение; свойства гладкости потенциала возмущаемого периодического потенциала оказываются не столь важными, поскольку отражаются в конструкциях метода лишь через спектральные объекты периодического оператора Шредингера. Подход существенно развился в процессе работы над почти-периодической задачей и превратился в общий асимптотический метод, котрый уже начал применяться (другими авторами) для решения других типов задач.
Цель диссертационной работы состояла в асимптотическом исследовании спектральных свойств одномерных адиабатических почти-периодических операторов Шредингера. В основном, исследование было направлено на изучение природы спектра. Исследовалась область не слишком больших значений спектрального параметра. Обсуждался спектр, расположенный в областях четырех типов, естественно описываемых в терминах спектральных зон и лакун невозмущенного периодического оператора. Грубо говоря, это - окрестности относительно небольших спектральных зон, средние части относительно длинных спектральных зон, области, содержащие края таких зон, и, наконец, средние части не слишком длинных лакун, разделяющих относительно длинные спектральные зоны. Для каждой из этих областей описаны асимптотические свойства спектра и вскрыты асимптотические механизмы его формирования.
Одной из главных целей работы стало также развитие нового асимптотического подхода к исследованию решений одномерных периодических уравнений с адиабатическим возмущением, подхода который позволил бы контролировать экспоненциально малые эффекты, порожденные комплексным туннелированием.
Наконец, интерес состоял также в развитии идей метода монодромиза- ции, которые являлись важным инструментом анализа.
Научная новизна. Результаты, выносимые на защиту. Все результаты, выносимые на защиту являются новыми. К основным результатам диссертационной работы можно отнести следующие:
Развит оригинальный асимптотический подход для исследования асимптотик решений уравнений Шредингера, возникающих при аналитических адиабатических возмущениях одномерных периодических уравнений Шредннге- ра. Этот подход позволяет контролировать экспоненциально малые эффекты, порожденные комплексным туннелированием. При этом в диссертации предполагается, что возмущаемый периодический потенциал локально суммируем с квадратом.
Развит подход к исследованию спектральных свойств (семейств) одномерных адиабатических двухчастотных почти-периодических операторов Шредингера. При этом для широкого класса адиабатических возмущений доказано, что
о сохраняется большая часть абсолютно непрерывного спектра, расположенного в средней части относительно длинных зон невозмущенного периодического оператора (для большинства частот); изучены свойства обобщенных собственных функций абсолютно непрерывного спектра; о
спектральных зон невозмущенного оператора и на них, оказывается сингулярным; описаны асимптотики для показателя Ляпунова (измеряющего типичную скорость экспоненциального убывания (роста) решений почти-периодического уравнения Шредингера).
Для адиабатических возмущений вида Л cos^x), где Л - константа связи, изучены свойства спектра, находящегося около краев относительно длинных спектральных зон невозмущенного периодического оператора. Доказано, что о
ра, расположен на последовательности экспоненциально малых интервалов; при этом рассматриваемая область спектральной оси асимптотически распадается па конечное число не зависящих от є отрезков, содержащих только интервалы с сингулярным спектром, и отрезков, где большая часть спектра абсолютно непрерывна (для большинства є); о
тральными зонами периодического оператора, разделенными относительно короткой спектральной лакуной, расположен на двух последовательностях экспоненциально малых интервалов, "порожденных" соседними краями этих зон; на каждом интервале, порожденным краем одной из соседних зон и расположенном достаточно далеко (на расстоянии порядка є^, где N Є N- фиксированное число) от интервалов, порожденных краем второй спектральной зоны, природа спектра определяется как на интервалах, расположенных у нижнего края спектра, т.е. так, как если бы не было второй последовательности интервалов; на экспоненциально близких интервалах, порожденных краями двух разных соседних зон, природа спектра может меняться: сингулярный спектр может стать абсолютно непрерывным; между интервалами, содержащими абсолютно непрерывный спектр имеется отталкивание, не позволяющее им слиться в один. Описаны типичные сценарии "взаимодействия" таких интервалов.
Идеи метода монодромизации перенесены па случай одномерных дифференциальных почти-периодических уравнений и получили дальнейшее развитие. Так, предложен метод для эффективного вычисления приращений плотности состояний на интервалах, содержащих спектр и разделенных лакунами, предложен метод исследования блоховских решений (типа решений Ди- нибурги Синая) дифференциальных почти-периодических уравнений и т.д.
Степень достоверности научных положений диссертационной работы. Все научные положения диссертационной работы являются достоверными научными фактами, получившими в работе строгие математические доказательства.
Практическая значимость. Новый асимптотический подход, развитый в диссертации позволяет исследовать экспоненциально малые эффекты, порождаемые аналитическими адиабатическими возмущениями одномерных периодических уравнений Шредингера с негладкими потенциалами. При этом он имеет такую же мощность и потенциал использования как комплексный метод ВКБ в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Подход к исследованию "адиабатических" почти-периодических операторов позволил решить ряд интересных задач, получить первые аналитические результаты по явлениям, предсказанным физиками, и вскрыть новые спектральные эффекты.
Новый асимптотический подход и его идеи могут быть использованы (и уже начали использоваться) для асимптотического исследования широкого круга задач, не связанных с почти-периодическими операторами; идеи, по- видимому, могут быть применены для асимптотического исследования других типов уравнений. Подход к исследованию "адиабатических" почти-периодических операторов, его идеи и полученные с его помощью результаты могут быть использованы для постановки и решения новых и решения уже известных задач в теории почти-периодических операторов.
Результаты диссертационного исследования, идеи и методы решения поставленных в нем задач могут быть интересны для специалистов, работающих в различных областях математической и теоретической физики, сталкивающихся с теорией почти-периодических операторов и/или занимающихся асимптотическим анализом дифференциальных и разностных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертационного исследования неоднократно рассказывались на научных семинарах ПОМИ РАН им. В.А. Стек- лова, на научных семинарах СПбГУ, были сделаны многочисленные доклады в ведущих зарубежных математических центрах (во Франции, Германии, Швеции, Канаде и т.д.), на международных конференциях по спектральной теории, математической физике и асимптотическому анализу.
Публикации. Результаты диссертации и их доказательства полностью опубликованы в 11 статьях автора в ведущих периодических изданиях, [1-3, 6, 7, 9, 10, 12-15]. Имеются еще 4 публикации в других изданиях [4, 5, 8, 11].
Личный вклад автора. Результаты работ, вошедшие в диссертацию, более чем на 90% принадлежат автору. Вклад автора был определяющим.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 11 глав и библиографии. Общий объем диссертации 366 страниц, включая содержание (3 страницы), библиографию (8 страниц) и 43 рисунка. Библиография включает 88 наименований.
