Содержание к диссертации
Введение
1 Схема Томаса доказательства абсолютной непрерывности спектра 15
1.1 Вспомогательные результаты 16
1.1.1 Секториальные операторы и формы 16
1.1.2 Голоморфные семейства операторов и форм 20
1.1.3 Прямой интеграл гильбертовых пространств 23
1.2 Схема Томаса для оператора Шрёдингера 26
1.2.1 Определение оператора Шрёдингера 27
1.2.2 Разложение в прямой интеграл 31
1.2.3 Критерий Томаса 34
2 Оценки сужений спектральных проекторов оператора Лапласа 39
2.1 Формулировка результата 39
2.2 Вспомогательные утверждения 40
2.2.1 Метод стационарной фазы 40
2.2.2 Интегральные операторы в Rm 41
2.3 Основная оценка 46
2.4 Доказательство теоремы 2.1.1 54
3 Случаи всего пространства, слоя и прямоугольного цилиндра 62
3.1 Формулировка результата 62
3.2 Оператор с периодическими краевыми условиями 64
3.3 Доказательство предложения
3.2.3 68
3.4 Доказательство теоремы 3.1.1 74
4 Случай электрического потенциала в цилиндрах с сечением общего вида 76
4.1 Введение 76
4.2 Доказательство теоремы 4.1.3 79
4.2.1 Вложение Dom \Н0(г)\1'2 С L-ы^ 79
d-2
4.2.2 Доказательство леммы 4.2.2 81
4.3 Доказательство теоремы 4.1.4 84
4.3.1 Оценки спектральных проекторов в Lq 84
4.3.2 Доказательство теоремы 4.1.4 88
5 Оператор Шрёдингера в круговом цилиндре 90
5.1 Дифференциальные формы на fc-мерном шаре 91
5.2 Оператор Лапласа в L2(AP([/)) 93
5.2.1 Примеры 94
5.3 Формулировка результата 97
5.4 Трехмерный случай 97
5.5 Нули функций Бесселя 99
5.6 Спектр операторов — Аа и —Аг 103
5.7 Оценки следов собственных р-форм 107
5.8 Леммы 112
5.9 Доказательство теоремы 5.3.2 118
Литература
- Прямой интеграл гильбертовых пространств
- Вспомогательные утверждения
- Оператор с периодическими краевыми условиями
- Вложение Dom \Н0(г)\1'2 С L-ы^
Введение к работе
Актуальность темы. Спектральный анализ периодических операторов математической физики имеет как общетеоретическое, так и прикладное значение. В очень широких предположениях известно (теория Флоке-Блоха, см. [5]), что спектр периодического оператора имеет зонную структуру. Общая теория не исключает, однако, ситуации, когда какая-то зона вырождается в точку. Тогда у оператора возникает собственное значение бесконечной кратности. Наличие или отсутствие таких зон существенно отражается на выводах о физических свойствах рассматриваемой периодической структуры. Общепринятая точка зрения состоит в том, что в достаточно "регулярных" случаях вырожденных зон быть не должно. Обоснование этой гипотезы в каждом конкретном случае представляет собой сложную математическую задачу. Известно также, что в "нерегулярных" случаях беско- нечнократные собственные значения могут возникнуть: в работе [10] построен пример оператора акустики с негладкими коэффициентами, имеющего в спектре вырожденную зону. Наличие определенных особенностей у коэффициентов вполне реалистично с точки зрения приложений. Поэтому важно уметь исключить наличие вырожденных зон при возможно более широких предположениях на коэффициенты.
Настоящая работа посвящена доказательству отсутствия собственных значений в спектре многомерного периодического оператора Шрёдингера в пространстве, в слое и в цилиндре. Электрический потенциал может содержать "сингулярную" составляющую в виде заряда, сосредоточенного на периодической системе гиперповерхностей. Такие потенциалы встречаются в теории фотонных кристаллов (см. [4, 9]). В случае оператора в слое и в цилиндре на границе ставится условие Дирихле, Неймана или краевое условие третьего типа. Коэффициенты в третьем краевом условии также предполагаются периодическими. Отсутствие собственных значений в спектре матричного несамосопряженного оператора Шрёдингера в слое или цилиндре с третьим краевым условием позволяет установить абсолютную непрерывность спектра периодического оператора Максвелла в соответствующих областях.
Цель работы. Целью диссертации является
-
доказательство отсутствия собственных значений в спектре оператора Шрёдингера с сингулярным электрическим потенциалом, сосредоточенным на периодической системе гиперповерхностей;
-
исследование случая цилиндра с сечением общего вида;
3. доказательство отсутствия собственных значений в спектре оператора Шрёдингера в прямоугольном и круговом цилиндрах с третьим краевым условием.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.
-
-
Впервые доказана абсолютная непрерывность спектра многомерного оператора Шрёдингера с электрическим потенциалом, сосредоточенным на периодической системе гиперповерхностей, на которую не налагается никаких геометрических условий.
-
Установлено отсутствие собственных значений у оператора Шрёдингера в цилиндре с сечением общего вида при широких предположениях об электрическом потенциале.
-
Впервые доказана абсолютная непрерывность спектра оператора Шрё- дингера в прямоугольном и круговом цилиндрах с третьим краевым условием.
Методика исследований. Мы следуем классической схеме Томаса, впервые использованной в [8]. Оператор Шрёдингера унитарно эквивалентен (разложение Флоке-Блоха-Гельфанда) прямому интегралу от некоторого семейства секториальных операторов H() с дискретным спектром. Если одно из собственных значений оператора H() постоянно по , то у исходного оператора H это собственное значение является собственным значением бесконечной кратности. Если же таких собственных значений нет, то спектр оператора H абсолютно непрерывен. Таким образом, достаточно доказать отсутствие собственных значений, постоянных по .
Идея Томаса состоит в аналитическом продолжении операторного семейства H() в комплексную область по одной из компонент . В силу аналитической альтернативы Фредгольма достаточно доказать, что при любом фиксированном Л оператор H() — XI обратим при достаточно большой мнимой части параметра . Оценка нормы соответствующей резольвенты представляет основную техническую трудность и в каждом конкретном случае производится различными методами. В случае оператора с обычным электрическим потенциалом в цилиндре с липшицевой границей мы оцениваем действие свободного оператора в некотором анизотропном пространстве Соболева, а затем применяем теоремы вложения. В случае цилиндра с гладкой границей мы используем оценки спектральных проекторов оператора
Лапласа, полученные в [6]. Для оператора с сингулярным потенциалом во всем пространстве, в слое и в прямоугольном цилиндре мы применяем аналогичную схему, но основанную на оценках следов спектральных проекторов на гиперповерхностях, впервые полученных в [1]. Наконец, в случае кругового цилиндра используется явное выражение для собственных функций свободного оператора в терминах специальных функций, и оценки символа оператора опираются на известные результаты о расположении нулей функций Бесселя.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейшем для исследования спектра периодического оператора Максвелла, а также в физике твердого тела и в теории фотонных кристаллов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры Высшей математики и Математической Физики СПбГУ (руководитель В. С. Буслаев), на Санкт-Петербургском семинаре им. В. И. Смирнова по математической физике (руководитель Н. Н. Уральцева), на семинаре по анализу Королевского колледжа Лондона (King's College, London), а также на конференциях: Дни дифракции (ПОМИ РАН, 2009 и 2010), Международная конференция по спектральной теории (ММИ им. Эйлера, 2009).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [KF1, KF2, K] в российских журналах из Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Объем диссертации - 127 страниц. Список литературы содержит 59 наименований.
Прямой интеграл гильбертовых пространств
В случае d = 1 оператор Н представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор второго порядка с периодическими коэффициентами. Изучение таких операторов началось значительно раньше, см. [58, 53, 24].
Зонная структура спектра имеет место не только для оператора (1), но и для любого периодического эллиптического оператора. Однако, общая теория не исключает ситуации, когда какая-то зона «схлопывается» в точку (соответствующая функция Е(п,) равна константе). Тогда у оператора кроме абсолютно непрерывного спектра возникает бесконеч-нократное собственное значение. Нашей целью является доказательство отсутствия таких собственных значений у различных операторов Шрё-дингера.
Обзор известных результатов об абсолютной непрерывности спектра
Из анализа одномерного оператора (см., например, [45]) следует, что все его спектральные зоны невырождены, и спектр является чисто абсолютно непрерывным. В многомерном случае абсолютная непрерывность спектра также является естественной гипотезой. Оператор (1) определяется квадратичной формой h[u,u]= / VM(X) dx + / 1/(ж)м(ж) dx, (3) заданной на пространстве Соболева Hl(Rd). Ясно, что потенциал V определяется своими значениями на ячейке П. В шкале пространств Lp оптимальным условием на потенциал, при котором квадратичная форма (3) задает самосопряженный оператор, является V Є Ld iP) при d 3 и V Є LP(Q), р 1, при d = 2. Рассматриваются также и более широкие классы (в основном пространства Лоренца LP ), но мы для простоты будем формулировать все результаты в терминах пространств Lp. 1. Оператор во всем пространстве. Впервые в случае d = 3, V Є Ьг(П) абсолютная непрерывность спектра была установлена Томасом в 1973 году в работе [47]. В книге [29] результат обобщен на случай V Є L2(fl) при d = 2,3 и V Є Lp(Q), р d — 1, при d 4. В случае d = 2 абсолютная непрерывность была установлена для V Є Lp(Q), р 1, в работе [5]. В случае i 3 достигнуть оптимального показате-лья р = d/2 оказалось сложнее. В работе [6] условие было ослаблено до р = max{ i/2, d — 2} при d 3, а при оптимальном (в шкале Lp) условии абсолютная непрерывность была установлена только в 2001 году в работе [30]. Позднее более простое (и применимое также к оператору с магнитным потенциалом) доказательство было предложено в [11]. В разделе 3.2.3 мы приводим доказательство из [11].
Двумерный случай. Особенно полные результаты получены в дву мерном случае, см. [7, 59, 34, 35, 41]. В частности, в [59] рассмотрен оператор Н(і=2, отвечающий квадратичной форме hd=2[u,u]= / Vw(:r,y) dxdy + / м(ж,у) du(x,y). R2 R2 На периодический заряд dv накладывается условие подчиненности. Ему, например, удовлетворяют заряды dv, такие что для любого положительного є выполняется оценка м(ж,у) du(x,y) є Х?и(х,у) dx dy + С (є) м(ж,у) dx dy \/u Є H (Q); n в частности, этому условию удовлетворяют и «обычный» электрический потенциал, и сингулярный потенциал, обсуждаемый ниже. При таком условии спектр оператора На,=2 абсолютно непрерывен. Результат в [59] получен и для всей плоскости, и для периодического волновода на плоскости (и, более того, для оператора с магнитным потенциалом). Мы будем в дальнейшем предполагать d 3; наши методы работают и в двумерном случае, но соответствующие результаты уже покрыты в указанных работах.
Сингулярный потенциал. В ряде задач (например, в теории фотонных кристаллов — см. [50]) представляет интерес оператор Шрёдингера с -образным потенциалом На = —А + а(х)8 (х), где Е С №.d — периодическая система гиперповерхностей, ас — периодическая функция на Е. Данный оператор также определяется с помощью квадратичной формы h[u,u] = / VM(X) dx + / (т(ж)м(ж) dS(x); (4) VM(X) dx + оптимальным условием на с в этом случае будет о Є Ld_i(E П Q) при d 3. Двумерный случай полностью покрывается упомянутыми выше результатами. В случае d 3 данный оператор рассматривался в работе [40]. Абсолютная непрерывность спектра На установлена при d = 3, кусочно С3-гладкой Е и а Є Ьг(Е П Г2). В [40] рассматривались и более высокие размерности, однако на (кусочно С1-гладкую) поверхность Е накладывалось дополнительное геометрическое условие — существование направления, трансверсального к Е во всех её точках (такому условию удовлетворяют, например, многогранники, но не удовлетворяет сфера). В работе автора [15] рассмотрен случай d = 4, поверхность Е Є С4 подчинена другому геометрическому условию — гауссова кривизна Е нигде не обращается в нуль (наоборот, подходит сфера, но не подходит многогранник; поверхность цилиндра не удовлетворяет ни условиям [40], ни условиям [15]). В настоящей диссертации мы получим результат, более общий, чем [15].
Оператор в многомерном цилиндре. В приложениях также встречается оператор Шрёдингера в многомерном цилиндре = U х К"1 С №.d, где U С Шк — ограниченная область, d = к + т 3; при к = 1 область 5 — это плоско-параллельный слой. На границе 9S возможны различные варианты краевых условий. Впервые данный оператор встречается в книге [20], там установлена абсолютная непрерывность его спектра при V Є Loc(U хП). В неопубликованной работе [18] данное условие ослаблено до V Є L/2(d-2)(U х Q). В этих работах предполагалось, что дії Є С2, на границе ставилось условие Дирихле или условие Неймана. Мы рассмотрим также задачу с третьим краевым условием
Вспомогательные утверждения
Снова используя (1.2.25) и (1.2.26), получаем Выбирая достаточно малое є и достаточно большое т, мы можем сделать СДє, т) 1/2, так как Сз(т) —) 0 при г —) оо. I Доказательство теоремы 1.2.4. Перепишем интеграл (1.2.17) в виде Спектры операторов і/() дискретны, поскольку области определения квадратичных форм (1.2.14) компактно вкладываются в Ь2(и х f2;Cw). Следовательно, операторы H( ib\ + ) при фиксированном образуют голоморфное семейство типа (B) по параметру (іЄСс компактной резольвентой. Пусть Л Є С. Из леммы 1.2.5 следует, что множество не может совпадать со всем С. По теореме 1.1.17 оно дискретно в С, то есть не более чем счетно. Следовательно, по теореме Фубини множество { Є П: Л Є (Тр(Н())} имеет меру нуль при любом Л. По теореме 1.1.25 отсюда следует, что сгр(Н) = 0.
Если V и а самосопряжены, семейство H( \bi + ) является самосопряженным голоморфным семейством типа (B) с компактной резольвентой, удовлетворяющим условиям теоремы 1.1.19. Множество (1.2.27) дискретно в С при любом , поэтому среди функций fin из теоремы 1.1.19 не может быть постоянных. В этом случае в силу пункта 3 теоремы 1.1.23 спектры операторов НЮ чисто абсолютно непрерывны при всех , при которых /( ) имеет ненулевую длину. Множество всех остальных имеет меру нуль. В силу пункта 2 той же теоремы спектр оператора Н будет абсолютно непрерывным
Оценки сужений спектральных проекторов оператора Лапласа Формулировка результата Целью данной главы является замкнутое изложение доказательства следующей теоремы из [9] для случая d-мерного тора.
Теорема 2.1.1. Пусть М — гладкое компактное d-мерное риманово многообразие без края, d 3. Пусть Е С М — компактная Cd-гладкая гиперповерхность (то есть подмногообразие размерности d— 1). Пусть Е\ = Е_&[(\ — I)2; Л2) — спектральный проектор оператора Лапласа-Белътрами на М. Тогда
Для наших дальнейших целей случая М = Td достаточно. Мы им ограничиваемся также чтобы избежать дополнительных сложностей технического характера. Оригинальное доказательство было приведено для случая Е Є С, однако фактически там использовалась только гладкость порядка d, что будет также показано. В случае, если 9Е ф 0, мы также предполагаем, что 9Е Є Cd.
Хотя нам этот факт в дальнейшем не понадобится, отметим, что теорема 2.1.1 верна и при d = 2, причем при более слабом условии Е Є С1. Доказательство в этом случае только проще (см. ниже замечания 2.2.8 и 2.3.2). В разделах 2.2 и 2.3 мы получаем оценки различных интегральных операторов. В разделе 2.4 на основе этих оценок мы доказываем теорему 2.1.1.
Вспомогательные утверждения 2.2.1 Метод стационарной фазы Следующие две теоремы доказаны в [57, Теоремы 7.7.1, 7.7.5]. Мы будем применять их при оценках интегралов методом стационарной фазы. причем постоянную С можно выбрать одной для всех f, принадлежащих заданному ограниченному множеству в Ck+l(X).
Утверждение теоремы 2.2.1 имеет смысл только при V/ ф 0 на К, то есть при отсутствии точек стационарной фазы. Следующая теорема дает асимптотическое разложение интеграла в случае наличия таких точек. где постоянную С можно выбрать одной и той же для всех f, принадлежащих заданному ограниченному множеству в C3fc+1(X) и для которых отношение \х — xo\/\f (x)\ равномерно ограничено. Здесь Lj — дифференциальные операторы порядка lj с коэффициентами, зависящими от f и ее производных вплоть до порядка lj + 2. Замечание 2.2.3. Утверждения теорем 2.2.1 и 2.2.2 остаются верными, если заменить М.т на гладкое компактное m-мерное многообразие без края. Доказательство проводится стандартным образом с помощью разбиения единицы и применения теорем 2.2.1 и 2.2.2 к координатным окрестностям.
Интегральные операторы в М.т Следующая теорема доказана в [3]. Теорема 2.2.4 (Интерполяционная теорема Рисса-Торина). Пусть X и У — пространства с мерой. Пусть Т — линейный оператор на пространстве LP0(X) + LP1(X), такой что
Следующая лемма и следствие из нее являются аналогом [37, Theorem 2.1.1] и [38, Proposition IX.1.1] в случае, если ранг гессиана фазовой функции не является максимальным (см. условие (2.2.8)), а гладкость конечна. Доказательство, по сути, не отличается. Через -Вд(О) мы обозначаем открытый шар в Жк радиуса D с центром в нуле; иногда мы будем опускать размерность к, если ее значение ясно из контекста.
Оператор с периодическими краевыми условиями
Зафиксируем некоторое и построим операторное семейство Н0(т) из раздела 1.2.3. По теореме 1.2.4 достаточно проверить для этого семейства условия A(qi) и B(q2). Оператор Н0(т) действует на вектор-функции из CN, не перемешивая их компоненты, и является ортогональной суммой N скалярных операторов, отличающихся только краевыми условиями; на каждой паре противоположных граней заданы условия Дирихле или Неймана. Поэтому условия A(qi) и B(q2) достаточно проверять для N = 1.
Мы будем использовать прием с отражениями, впервые примененный к задаче абсолютной непрерывности в [34]. Пусть Т: L2{U х П) — L 2{U xQ) — оператор, продолжающий функцию по координатам х с U на U четным образом через границы с условием Неймана и нечетным — через границы с условием Дирихле. Собственные функции оператора Лапласа в U с краевыми условиями (3.1.2) переходят в собственные функции оператора Лапласа в U с периодическими краевыми условиями и теми же собственными значениями. Отсюда THQ(U хП) С Hpei(U х П). Кроме того, верны соотношения
Таким образом, мы проверили условия A(q\) и B(q2) для семейства HQ{T) при q\ = jz , 1 Q2 d_2 . По теореме 1.2.4 отсюда следует утверждение теоремы 3.1.1. I Замечание 3.4.1. В скалярном случае (то есть при N = 1) в качестве U вместо параллелепипеда можно рассматривать гладкое компактное риманово многообразие без края. Требования кЕии будут теми же, но условие на электрический потенциал будет иметь вид V Є Lp\oc(U х М.т), р d/2, так как вместо результатов [11] придется применять теорему 4.1.4 из Главы 4. Глава 4
Случай электрического потенциала в цилиндрах с сечением общего вида В данной главе будет установлено отсутствие собственных значений у периодического оператора Шрёдингера (в самосопряженном случае — абсолютная непрерывность спектра) с обычным электрическим потенциалом в случае, когда цилиндр 5 = U х М.т не является прямоугольным. Методы Главы 3, базирующиеся на явном виде собственных функций оператора Лапласа в ячейке, здесь неприменимы.
Теорема 4.1.1. Пусть U С Шк — ограниченная область с липшицевой границей, = U х М.т, т 1, d = к + т 3. Пусть а — замкнутая неотрицательная квадратичная форма в L2(U;CN), такая что Doma - замкнутое подпространство Hl(U; CN), Doma П Cl(U; CN) плотно в Doma. Пусть V Є L -iiU x Q;M/v(C)). Тогда в спектре оператора Н, отвечающего квадратичной форме (4.1.1), отсутствуют собственные значения. Если V самосопряжен, то спектр Н абсолютно непрерывен. получаем, что спектр обычного оператора Шрёдингера Н = — А + V с условиями Дирихле или Неймана абсолютно непрерывен. В теореме 4.1.1 допускается достаточно негладкая (липшицева) граница. В случае гладкой границы и скалярного оператора Н условия суммируемости на потенциал V можно немного ослабить.
Теорема 4.1.2. Пусть U С Шк — ограниченная область с С-гладкой границей, 5 = U х М.т, т 1, d = k -\- т 3. Пусть N = 1, V — скалярная вещественная функция, V Є LP(U х Q), где р d/2 при d = 3,4, р d—2 при d 5. Тогда спектр оператора Н = — A-\-V с краевыми условиями Дирихле или Неймана абсолютно непрерывен.
В случае сечения общего вида вопрос об абсолютной непрерывности спектра оператора с сингулярным потенциалом или с краевым условием третьего типа остается открытым.
Согласно результатам Главы 1, обе теоремы сводятся к проверке условий A(д) для соответствующих свободных операторов. Теорема 4.1.3. В условиях теоремы 4.1.1 оператор До(), построенный в Главе 1, удовлетворяет условию A( d 2 ).
Мы докажем теорему 4.1.3 в разделе 4.2. Доказательство основано на теоремах вложения для анизотропных пространств Соболева. В силу произвольности формы а, теорема 4.1.3 включает в себя случай векторного оператора с краевыми условиями, нетривиально зависящими от точки границы. Мы будем использовать ее в следующей главе.
Теорема 4.1.4. Пусть N = 1, к 2, U — С -гладкое компактное к-мерное риманово многообразие с краем или без края. Пусть а — квадратичная форма неотрицательного эллиптического дифференциального оператора второго порядка с гладкими коэффициентами и краевыми условиями Дирихле или Неймана. Тогда оператор Н0( ), построенный в Главе 1, удовлетворяет условию A(а) при а тЧ, в случае, если U — чч а2 2ri-4 многообразие без края (при любом d), и в случае, если U — многообразие с краем при d = 3 или d = 4. Если d 5 и U — многообразие с краем, то условие A(д) выполняется с q Мы докажем теорему 4.1.4 в разделе 4.3. Доказательство опирается на оценки спектральных проекторов [31], известные, по-видимому, только для скалярных операторов.
Вложение Dom \Н0(г)p'2 С L-ы^
Допустимые значения А равны Xе, где с Є {1, 2,..., 6} х {а, г}, и они являются собственными значениями операторов — Да и — Дг соответственно. Наконец, оператор — Аа при р = 0 дополнительно имеет нулевое собственное значение кратности 1 с собственной 0-формой (функцией) ір = const, а — Аг — прир = к с собственной к-формой объема rk ldr A jk-i Пример к = 2. В случае, когда U — двумерный диск, 0-формы являются функциями /(г, в), 1-формы имеют вид /(г, в) dr + g(r, в) оів, а 2-формы — /(г,. Приведем явные выражения для операций над ними.
Случай р = 0. Собственными 0-формами будут обычные собственные функции оператора Лапласа в диске с краевыми условиями Дирихле и Неймана. В обозначениях теоремы 5.6.1 это формы типа 1 (при / Є N) и 5 (при / = 0). Они имеют вид
Кроме того, в случае условия Неймана (абсолютного краевого условия) собственной функцией будет ip = const. Л(3 а) = ЗЇ,х, Л(3 Г) = U,x)2 1 Є + Соглашение о нумерации. Мы будем обозначать нормированные в L2(U;Ck(p ) собственные р-формы из теоремы 5.6.1 через Рр\ія. Индекс / будет принадлежать Z+. При / Є N индекс с {1,2,3,4} х {а,г} будет нумеровать тип формы 1-4 и краевые условия. Удобно для форм типа 5 и 6 предполагать / = 0. Таким образом, при / = 0 предполагается с Є {0,5,6} х {а, г}; тип 0 будет соответствовать упомянутым формам ip = const и ip = Crk ldr /\duo с нулевыми собственными значениями. Для всех форм, кроме типа 0, пусть я Є N (а для форм типа 0 предполагаем, что я принимает только одно значение). Наконец, индекс г соответствует индексу г в формах 7Р,г.
Отметим, что не все комбинации индексов реализуются; при суммировании будем предполагать, что оно ведется только по тем комбинациям, при которых существуют соответствующие собственные формы.
Оценки следов собственных р-форм Нас будут интересовать Ь2-нормы сужений нормированных собственных форм на границу дії = Введем оператор следа
Напомним, что в (5.1.6) мы отождествили Ар(д17) ф Ар 1(д17) с множеством функций на дії со значениями в С р . В этих обозначениях Т — оператор взятия следа вектор-функции на границе.
Основным результатом данного раздела является вычисление Ьг-следов нормированных собственных форм на границе дії. Мы не смогли найти подобного результата в литературе, поэтому приводим доказательство. откуда сразу же следует утверждение теоремы. Относительные краевые условия. Формы типа (5.6.1) равны нулю на границе. Для форм типа (5.6.2), используя (5.5.10), можно провести вычисление, аналогичное случаю абсолютного краевого условия:
Вычислим T(/?p , используя (5.7.2). Заметим, что в силу краевого условия L PP = 0. Пусть N — векторное поле на U, являющееся в окрестности 8U единичным векторным полем, нормальным к границе. Ясно, что аналогично случаю форм типа 2; форма типа 6 имеет вид второго слагаемого в формуле (5.7.2). Далее, Л = j% н 1 (см. п. 1 предложения 5.5.4, а также формулы (5.5.5), (5.5.3)) и, следовательно, л/т л/2.
Ортогональность следов форм следует из ортогональности соответствующих собственных форм на сфере и разложения L 2 ( 9f/; Ск р ) = Ьг(Лр(дії)) L2(Ap 1(dU)). Ш
Действительно, она напрямую вытекает из (5.7.7), (5.7.6) при достаточно больших / или достаточно больших х. Множество всех остальных (/,х) конечно и зависит только от k, q и от типа формы. Поскольку левая и правая части положительны, для этих /, х также справедлива указанная оценка с некоторой константой С.
Пусть теперь / 26. Интеграл по промежутку [26 — /; +оо) оценивается аналогично. Рассмотрим интеграл по промежутку [0; 26 — /]. Данный промежуток непуст только в случае /2 + a2 4т2, так что достаточно оценить левую часть (5.8.5) через {тК) 1 А. По лемме 5.8.1 можно заменить / + s в числителе на /. Итого, задача свелась к оценке интеграла
Доказательство. С помощью замены переменной и сдвига задача сводится к ао = 0, b = 1. Разобьем вещественную ось на отрезки [щ п + 1), гг Є Z, и рассмотрим только те а , для которых / монотонна на отрезке, содержащем йі. Сумма всех остальных f{a,i) оценивается через М(К — 1), поэтому это не умаляет общности. Далее, для ОІ Є [щ п + 1) заменим ОІ на п, если /(/г) /( г), и на и + 1 в противном случае; сумма в левой части от этого может только увеличиться. Ясно, что после этой процедуры каждая целая точка может встретиться среди а не более двух раз. Поэтому далее можно предполагать щ Є Z.
Заменим интеграл на нижнюю сумму Дарбу для отрезков [щ п + 1], п Є Z__. Заметим, что если функция / монотонна на отрезке [п — 1; п + 1] для п Є Z__, то в сумму Дарбу войдет f(n). Количество точек, не удовлетворяющих этому свойству, не превосходит 2К — 1, так что сумма Дарбу отличается от суммы в левой части не более, чем на (2К — 1)
Похожие диссертации на Отсутствие собственных значений в спектре некоторых операторов Шрёдингера с периодическими коэффициентами
-
