Введение к работе
Актуальность темы. Изучению спектральных свойств эллиптических операторов в неограниченных областях с различными возмущениями уделялось и уделяется достаточно много внимания как со стороны математиков, так и со стороны физиков. В немалой степени это связано с богатыми приложениями таких задач, например, в квантовой механике и акустике. Кроме того, эти задачи обладают разнообразными свойствами, интересными и с математической точки зрения. Как правило, упомянутые операторы рассматриваются как неограниченные операторы в гильбертовом пространстве, в качестве которого обычно выбирается пространство L2 на соответствующей области. Такой подход позволяет использовать всё богатство и разнообразие методов спектральной теории операторов в гильбертовых пространствах. Наличие в операторе возмущения даёт возможность привлекать и методы теории возмущений и асимптотического анализа. Подобная комбинация во многих случаях оказывается весьма продуктивной и приводит к интересным результатам.
В диссертации рассматриваются эллиптические дифференциальные операторы в неограниченных областях с четырьмя различными типами возмущений. Первым из них является возмущение окном системы двух квантовых волноводов. Волноводы описываются парой параллельных двумерных полос либо трёхмерных слоев с общей границей. На этой границе вырезается отверстие, которое и называется окном. В качестве оператора выбирается Лапласиан с краевым условием Дирихле.
Следующий тип возмущения, рассматриваемый в диссертации - разбегающиеся возмущения. Классическим примером является оператор Шрёдингера с двойной потенциальной ямой
-НА + Vi(x - ai) + V2(x - a2),
где ai, a,2 - некоторые точки, а потенциалы V\, V2 финитны либо быстро убывают на бесконечности. Если предположить, что расстояние между точками а\ и а2 растёт, то множества, где локализованы потенциалы V\ и V2, находятся на большом расстоянии друг от друга и фактически разбегаются при 1^1 — СІ21 —^ +оо. Подобные возмущения, локализованные на множествах, находящихся на большом расстоянии, будем называть разбегающимися, причём не предполагается, что возмущение обязательно описывается потенциалом. В диссертации рассматривается оператор Лапласа в многомерных областях с разбегающимися возмущениями, описываемыми абстрактными операторами. Основное требование на возмущающие операторы - локализованность на ограниченных областях, расположенных на большом расстоянии друг от друга; данные области аналогичны носителям потенциалов из приведённого выше примера.
Третий тип возмущений, изучаемый в диссертации - малые локализованные возмущения самосопряжённого дифференциального оператора второго
порядка. А именно, изучается возмущение периодического оператора достаточно произвольным линейным оператором вида єСє, где є - малый положительный параметр. Основным свойством оператора Се является его локализо-ванность в определённом смысле на конечной части пространства. Возмущающий оператор не предполагается симметричным.
Четвёртый тип возмущений заимствован из теории усреднения и описывается быстро осциллирующими коэффициентами. Более точно, рассматривается самосопряжённый многомерный матричный оператор с коэффициентами, зависящими от медленных и быстрых переменных. По быстрым переменным коэффициенты периодичны, по медленным - ограничены вместе с некоторыми своими производными.
Основная цель исследований - изучить структуру и асимптотическое поведение спектр операторов с возмущением каждого из четырёх типов.
Остановимся на истории вопроса для каждого из рассматриваемых типов возмущений. Математическая модель квантовых волноводов, соединённых окнами, была независимо предложена в работе В. Буллы, Ф. Джестези, В. Рен-джера, Б. Саймона (Proc. Amer. Math. Soc, 1997, V. 125, P. 1487-1495.), и в работе П. Экснера, П. Шебы, М. Татера, Д. Ванека (J. Math. Phys., 1996, V. 37, P. 4867-4887). Основным эффектом в данной системе является возникновение новых собственных значений из края существенного спектра при наличии окна. В двумерном и трёхмерном случаях данный эффект для окон малого размера на разном уровне строгости изучался П. Экснером, С. Вугалте-ром, И.Ю. Поповым, P.P. Гадылыниным. Было показано, что для окон малого размера система имеет единственное собственное значение и было описано его асимптотическое поведение. В упомянутой работе П. Экснера, П. Шебы, М. Татера и Д. Ванека в двумерном случае было также показано, что дальнейшее увеличение окна приводит к возникновению новых собственных значений из границы существенного спектра. Вопрос об подробном исследовании данного эффекта, а также об установлении аналогичных результатов в трёхмерном случае, остался открытым.
Спектр оператор Шрёдингера с двумя потенциальными ямами в случае, когда ямы разделены большим расстоянием, исследовался разными авторами (Б. Дэвис, Е.М. Харрел, Р. Хёх-Крон, М. Мебкноут, М. Клаус, Б. Саймон). В ряде случаев было описано асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций таких операторов. М. Клаус и Е.М. Харрел рассмотрели также задачу для оператора Дирака с двойной потенциальной ямой. Недавно С. Кондей и И. Веселич исследовали пример для оператора Лапласа в случае, когда возмущение описывалось дельта-потенциал ом, сосредоточенным на кривых.
Известно, что спектр одномерного периодического оператора содержит только существенную компоненту и состоит из зон, разделённых лакунами. При возмущении такого оператора вещественным быстро убывающим потенциалом непрерывная часть спектра не меняется, а в её лакунах возникают изо-
лированные собственные значения. Вопросы существования и количества таких собственных значений изучались в работах Ф.С. Рофе-Бекетова, В. А. Же-лудева, Н.Е. Фирсовой, Б. Саймона и Ф. Джестези. Было показано, что в лакунах существенного спектра содержится конечно число собственных значений, в далёких по номеру лакунах - не более двух собственных значений. Б. Саймоном и Ф. Джестези также был рассмотрен случай, когда возмущающий потенциал умножается на малую константу связи. Было установлено, что при достаточно малых значениях константы связи в каждой лакуне (а не только в далёких) содержится не более двух собственных значений, и приведены необходимые и достаточные условия, точно определяющие количество собственных значений в заданной лакуне.
Вопросам усреднения дифференциальных операторов с быстро осциллирующими коэффициентами в ограниченных областях посвящена обширная литература (Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко, В.В. Жиков, СМ. Козлов, О.А. Олей-ник, Г.А. Иосифьян, А.С. Шамаев, Э. Санчес-Паленсия, А. Бенсусан, Г. Па-паниколау и многие другие). Немало внимания уделяется исследованию спектральных свойств таких операторов. В гораздо меньшей степени вопросы усреднения и спектральные свойства исследованы для операторов в неограниченных областях. Вместе с тем, последний случай весьма интересен, так как он возникает во многих приложениях. Недавно М.Ш. Бирман и Т.А. Сус-лина предложили новую оригинальную методику для получения первых поправок в асимптотике резольвенты определённого класса дифференциальных операторов в неограниченных областях с быстро осциллирующими коэффициентами. Следует подчеркнуть, что упомянутые результаты были получены в равномерной операторной норме, в то время как большинство результатов усреднения для ограниченных областей было сформулировано в смысле сильной и слабой сходимостей. Подход М.Ш. Бирмана и Т.А. Суслиной основан на методах спектральной теории и предлагает рассматривать усреднение как пороговый эффект. Он применим для дифференциальных операторов, допускающих факторизацию, причём коэффициенты должны зависеть только от быстрой переменной; зависимость от медленной переменной не допускается. В.В. Жиков предложил иную технику для получения неулучшаемых по порядку оценок скорости сходимости для резольвенты скалярного дифференциального оператора, а также для системы теории упругости. Здесь также предполагалось, что коэффициенты оператора периодичны и зависят только от быстрой переменной.
Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию описанных выше результатов. В диссертации эти результаты нередко обобщаются на возмущения гораздо более общего вида. Ряд результатов обобщен на случаи более высокой размерности. Кроме того, для каждого из четырёх типов возмущений описана структура спектра возмущённого оператора и получены асимптотические разложения для разнообразных спектральных характеристик. Предложены новые методики для изучения рассматриваемых задач.
Цель работы. Основная цель работы - изучить влияние возмущения каждого из четырёх типов на спектр дифференциального оператора и описать структуру спектра. Ещё одной основной целью является доказательство теорем сходимости для спектра и построение асимптотических разложения для собственных значений и собственных функций.
Задачи о паре квантовых волноводов, связанных окном, изучаются в двух-и трёхмерном случае. Основное внимание здесь уделяется изучению эффекта возникновения новых собственных значений из края существенного спектра при увеличении размеров окна.
Оператор Лапласа с разбегающимися возмущениями рассматривается в многомерном цилиндре и многомерном пространстве. Число возмущений конечно, они локализованы в определённом смысле и сосредоточены на большом расстоянии друг от друга. Целью является описание асимптотического поведения дискретного спектра и собственных функций возмущённого оператора.
Периодический оператор с малым локализованным возмущением рассматривается в одномерном случае, при этом само возмущение описывается абстрактным оператором, который не предполагается симметричным. Возмущённый оператор при этом оказывается, вообще говоря, несамосопряжённым. Здесь цель - изучение качественных и асимптотических свойств спектра возмущённого оператора.
Для операторов с быстро осциллирующими коэффициентами во всем пространстве целью является построение первых членов асимптотических разложений для резольвенты, причём в равномерной операторной норме. Кроме того, целью является изучение асимптотического поведения дискретного спектра и собственных функций таких операторов.
Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми.
В задачах о паре квантовых волноводов, связанных окном, детально изучается эффект возникновения новых собственных значений из края существенного спектра при увеличении окна. В двумерном случае доказываются необходимые и достаточные условия критичности окна. Под критичным понимается такое окно, увеличение которого приводит к возникновению нового собственного значения. Для возникающих собственных значений строятся асимптотические разложения, а также описывается асимптотическое поведение соответствующих собственных функций. В трёхмерном случае показано, что ситуация в целом аналогична. А именно, увеличение окна приводит к возникновению новых собственных значений из края существенного спектра. Как и в двумерном случае, подробно исследуется эффект возникновения данных собственных значений и строятся асимптотики возникающих собственных значений и соответствующих собственных функций. Кроме того, для обоих случаев явно описана область определения рассматриваемого Лапласиана. Данный результат нетривиален, так как Лапласиан рассматривается в области с негладкой границей, имеющей коническую точку (ребро) на границе окна.
Для функций из области определения явно выделены возможные особенности в окрестности данной конической точки (ребра).
Задачи о Лапласиане с разбегающимися возмущениями рассматриваются в областях двух типов - многомерный бесконечный цилиндр и многомерное пространство. Разбегающиеся возмущения описываются произвольными абстрактными операторами, локализованными на ограниченных областях, которые расположены на большом расстоянии друг от друга. На возмущающие операторы накладываются минимальные ограничения, а именно, симметричность и ограниченность относительно Лапласиана. Структура самих операторов может быть произвольна. Такой подход позволяет в общем виде рассмотреть в качестве разбегающихся возмущений одновременно большое число различных операторов, например, потенциал, дифференциальный оператор второго порядка, интегральный оператор и т.д. Здесь основные результаты -теоремы сходимости и асимптотические разложения для изолированных собственных значений и соответствующих собственных функций возмущённых операторов. Данные результаты получены в общем случае при самых общих предположениях. Отдельно рассмотрены наиболее типичные частные случаи и получены более частные формулы для первых членов асимптотических разложений с учётом специфики случаев.
В задаче о малом локализованном возмущении периодического оператора одним из главных отличий от предшественников является тот факт, что не предполагается симметричность для возмущающего оператора. Множество возможных возмущений помимо потенциалов включает в себя широкий класс примеров разнообразной природы, таких как дифференциальный оператор, интегральный оператор, линейный функционал, дельта-потенциал с малой комплексной константой связи, быстро осциллирующий потенциал. В диссертации показано, что существенный спектр возмущённого оператора не зависит от возмущения, остаточный спектр пуст, а точечный спектр состоит из не более, чем счётного числа собственных значений конечной кратности, которые не имеют конечных точек накоплений. Приведён пример возмущения, которое порождает собственное значение, вложенное в существенный спектр. Отметим, что подобный эффект не мог возникнуть в задачах, рассмотренных в работах Ф.С. Рофе-Бекетова, В.А. Желудева, Н.Е. Фирсовой, Б. Саймона и Ф. Джестези. Также приводятся достаточные условия, гарантирующие отсутствие вложенных собственных значений. Установлено, что собственные значения возмущённого оператора стремятся к бесконечности либо сходятся к краям лакун в существенном спектре. Доказано, что в окрестности края заданной лакуны существует не более одного такого собственного значения, приведён критерий существования, и в случае существования построено его асимптотическое разложение. Также построено асимптотическое разложение соответствующей собственной функции.
Возмущение, описываемое быстро осциллирующими коэффициентами, изучается для матричного самосопряжённого дифференциального оператора вто-
рого порядка достаточно общего вида во всем пространстве. Первым отличием нашего оператора от операторов, рассмотренных в работах М.Ш. Бирмана, Т.А. Суслиной, В.В. Жикова, является наличие младших членов. Главная часть оператора записывается в дивергентном виде. Младшие члены задаются достаточно произвольно; единственным ограничением является самосопряжённость оператора, а также полуограниченность снизу, равномерная по малому параметру. Кроме того, предполагается определённая гладкость коэффициентов. Ещё одним отличием является то, что в нашем случае коэффициенты системы зависят от медленных и быстрых переменных. Зависимость от быстрых переменных носит периодический характер. По медленным переменным коэффициенты предполагаются ограниченными; аналогичное предположение делается и для некоторых производных коэффициентов. В диссертации строится усреднённый оператор и получена первая поправка в асимптотическом разложении для резольвенты возмущённого оператора. Эта асимптотика построена для всех значений спектрального параметра, лежащих вне спектра усреднённого оператора. Асимптотика получена для резольвенты как для оператора в L2, а также как для оператора из L2 в W\. Помимо асимптотики резольвенты строятся полные асимптотические разложения собственных значений возмущённого оператора, сходящихся к изолированным собственным значениям усреднённого оператора, а также полные асимптотические разложения соответствующих собственных функций. Помимо упомянутых собственных значений возмущённый оператор может иметь и собственные значения, сходящиеся к краям существенного спектра. Данный эффект демонстрируется на примере одномерного оператора дивергентного типа в предположении, что быстрые осцилляции коэффициентов сосредоточены на конечной части пространства. Доказывается критерий существования собственного значения, сходящегося к краю существенного спектра. В случае существования для него и для соответствующей собственной функции строятся полные асимптотические разложения.
Методика исследования. В задачах о паре квантовых волноводов основные результаты получены на основе анализа поведения резольвенты в окрестности края существенного спектра. Данный анализ проводился путем аналитического продолжения по спектральному параметру. Также была использована методика, предложенная недавно Гадылыниным P.P., которую уместно считать модификацией метода Бирмана-Швингера. Кроме того, были использованы принцип минимакса, метод вилки Дирихле-Неймана, и ряд методик теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Для исследования задач с разбегающимися возмущениями была разработана новая оригинальная схема. Основная ценность этой методики в том, что она позволяет свести задачу с несколькими разбегающимися возмущениями к малому 'регулярному возмущению прямой суммы резольвент операторов с одним возмущением, другими словами, расщепить разбегающиеся возмущения. Подобное расщепление было основной трудностью при изучении данного
класса задач и данная методика успешно решает этот ключевой момент. В диссертации она была использована для изучения асимптотического поведения спектра, при этом она комбинировалась с вышеупомянутом модифицированным методом Бирмана-Швингера. Отметим также, что общность подхода позволяет использовать его и при изучении других вопросов, связанных с разбегающимися возмущениями.
Для исследования спектра одномерного оператора с малым локализованным возмущением применяются различные методы спектральной теории неограниченных операторов, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также модифицированный метод Бирмана-Швингера, упомянутый выше. Также активно использовалось аналитическое продолжение резольвенты по спектральному параметру. Методы спектральной теории неограниченных операторов использовались в основном для установления общих качественных свойств спектра. Модифицированный метод Бирмана-Швингера и аналитическое продолжение резольвенты применялись для описания асимптотического поведения спектра.
Для получения асимптотик резольвенты матричных операторов с быстро меняющимися коэффициентами использовалась техника, предложенная недавно В.В. Жиковым. Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций формально строились на основе метода многих масштабов. Обоснование этих асимптотик проводилось достаточно стандартным образом, на основе анализа полюсов резольвенты возмущённого оператора в окрестности предельного собственного значения. Для исследования собственных значений в окрестности края существенного спектра в одномерном случае дополнительно использовалось аналитическое продолжение резольвенты усреднённого оператора в комбинации с модифицированным методом Бирмана-Швингера.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы при изучении задач математической физики и, в частности, спектров неограниченных дифференциальных операторов. Методика исследования, применявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении других операторов со схожими возмущениями.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, семинаре лаборатории математической физики Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова Российской Академии Наук, семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской Академии Наук, на семинаре лаборатории механики природных катастроф Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии Наук, семинаре кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государ-
ственного университета, семинаре отдела теоретической физики Института ядерной физики Чешской Академии Наук (Прага, Чехия), семинаре кафедры анализа, динамики и моделирования физико-математического факультета Университета г. Штуттгарт (Штуттгарт, Германия), семинаре математического факультета Университета Гериот-Ватта (Эдинбург, Шотландия), семинаре факультета математических наук Университета г. Бата (Бат, Англия), семинаре математического факультета Королевского института технологий (Стокгольм, Швеция), семинаре Лаборатории математики Университета г. Сэнт-Этьен (Сэнт-Этьен, Франция), семинаре Центра теоретической физики Национального Центра Научных Исследований (Марсель, Франция), семинаре кафедры анализа математического факультета Университета г. Кем-ниц (Кемниц, Германия). Отдельные результаты были доложены на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, 2004), международной конференции "Дни дифракции" (Санкт-Петербург, 2002), международной конференции "Guided Quantum Particles" (Прага, Чехия, 2002), международной конференции "Spectra, Algorithms, and Data Analysis" (Градец Кралове, Чехия, 2006), международной конференции "Operator Theory, Analysis and Mathematical Physics" (Лунд, Швеция, 2006), 21-ом симпозиуме им. Макса Борна "Mathematical Problems in Nonrelativistic Quantum Dynamics" (Вроцлав, Польша, 2006), международной конференции "Spectral Theory and its Applications" (Кэмбридж, Англия, 2006), международной конференции "Operator Theory in Quantum Physics" (Прага, Чехия, 2006), международной конференции "Perturbed periodic PDE, problems with singular boundaries, and their numerical aspects" (Кардифф, Уэльс, 2007).
Результаты диссертации были удостоены Премии Европейской Академии для молодых ученых России (2003), Государственной республиканской молодежной премии в области науки и техники Республики Башкортостан (2003), Стипендии Пьера Делиня, из средств премии Бальзана, присуждённой П. Де-линю (2007), Медали Российской Академии Наук с премией для молодых ученых в области математики (2007).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[16]. Работы [2], [6], [8], [10], [11], [12], [13] выполнены совместно с Р. Р. Га-дыльшиным, П. Экснером, Д. Крейчиржиком, X. Коваржиком, Т. Экхольмом. Из результатов этих работ в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых в совокупности на тридцать два параграфа, двух иллюстраций, и списка литературы, содержащего 91 наименование. Общий объем диссертации - 268 страниц.
