Введение к работе
Актуальность темы. Классическим примером оператора с разбегающимися возмущениями является дифференциальный оператор второго порядка с двойной потенциальной ямой
m = --^ + v(- + e) + w(--e)
где V, W - вещественные финитные измеримые потенциалы, t - большой положительный параметр. При t носители потенциалов оператора He находятся на большом расстоянии друг от друга (см. рис.1). Именно этим объясняется термин "разбегающиеся возмущения".
Операторы с разбегающимися возмущениями давно являются объектом исследования многих учёных (Hunziker W., Klaus M., Simon B., Cornelis van der Mee, Morgan J.D.(III), Ahlrichs R., Harrell E.M., H0egh- Krohn R., Davies E.B., Mebkhout M., Graffi V., Silverstone H.J., Aktosun T., Aventini P., Seiler R., Tamura H., Pinchover Y., Kostrykin V., Schrader R., Wang X., Wang Y., Exner P., Reity O.K., Kondej S., VeseliC I., Борисов Д.И.). Это связано с тем, что операторы с разбегающимися возмущениями часто возникают как математические модели в различных приложениях, например, в квантовых волноводах при моделировании наноструктур, и обладают различными свойствами, интересными с математической точки зрения.
Большое количество работ посвящено изучению асимптотического поведения собственных значений и собственных функций операторов Дирака и Лапласа возмущённых потенциалами в случае простого и двукратного предельных собственных значений. Основными результатами этих работ являются: во-первых, первые члены асимптотических разложений собственных значений и собственных функций (Hunziker W., Klaus M., Simon B., Cornelis van der Mee, Morgan J.D.(III), Ahlrichs R., Harrell E.M., H0egh-Krohn R., Davies E.B., Mebkhout M., Silverstone H.J., Graffi V., Aktosun T., Tamura H., Pinchover Y., Reity O.K., Wang X., Wang Y.), во-вторых, представления для собственных значений и собственных функций в виде равномерно сходящихся рядов (Silverstone H.J., Graffi V., Harrell E.V). Для членов этих рядов были выведены оценки, однако формулы для коэффициентов получены не были.
Работ по изучению асимптотического поведения резольвент операторов подобного рода гораздо меньше. Все они посвящены изучению
Рис. 1: Пример разбегающихся возмущений
резольвент операторов Шрёдингера с возмущениями в виде потенциалов, на которые накладывались различного рода условия, обеспечивающие их убывание на бесконечности. Основной результат этих работ - описание поведения первых членов асимптотического разложения резольвенты (Kostrykin V., Schrader R., Aventini P., Seiler R., Davies E.B.).
В работах Борисова Д.И. исследовалось асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций оператора Лапласа с конечным числом разбегающихся возмущений в случае простого и двукратного предельных собственных значений. Возмущениями здесь были произвольные абстрактные локализованные в определённом смысле операторы. Были получены первые члены асимптотических разложений собственных значений и собственных функций.
В настоящей диссертации рассматривается эллиптический оператор с конечным числом разбегающихся возмущений. Невозмущённый оператор - это многомерный матричный периодический дифференциальный оператор произвольного чётного порядка достаточно общего вида. Возмущениями являются произвольные абстрактные локализованные операторы, в определение которых входят специальные весовые функции. Локализованность возмущений состоит в том, что на весовые функции накладываются условия убывания вместе с определенным числом первых производных, причем практически отсутствуют ограничения на скорость убывания. Если возмущающими операторами являются потенциалы, то наше условие локализованности превращается в условие убывания этих потенциалов. Возмущения всех предыдущих работ являются частным случаем возмущений, описанных в диссертации.
Цель работы. Основная цель работы - исследование асимптотического поведения резольвенты и спектра возмущённого оператора при стремлении к бесконечности расстояний между областями, в которых локализованы возмущения. Также целью является доказательство тео-
рем сходимости и построение полных асимптотических рядов для резольвенты, изолированных собственных значений возмущённого оператора и исследование вопросов сходимости асимптотических рядов.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.
Основной результат второй главы диссертации - явное представление для резольвенты, с помощью которого доказывается равномерная резольвентная сходимость возмущённого оператора к некоторому предельному и выписывается разложение резольвенты возмущённого оператора в полный асимптотический ряд, сходящийся в равномерной операторной норме. В предположении, что невозмущённый и возмущённый операторы самосопряжены, а возмущающие операторы симметричны, во второй главе диссертации доказывается устойчивость существенного спектра относительно возмущений и сходимость собственных значений возмущённого оператора к собственным значениям предельного оператора в случае произвольной кратности предельного собственного значения.
В третьей и четвёртой главах диссертации при аналогичных предположениях о самосопряжённости и симметричности строятся представления в виде равномерно сходящихся рядов для собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущённого оператора, когда предельное собственное значение является простым или двукратным. Выводятся явные формулы и степенные оценки для их членов. В четвёртой главе диссертации также рассматривается случай произвольной кратности предельного собственного значения двух разбегающихся возмущений. Вычислены первые поправки для собственных значений и показано, что они расположены симметрично относительно нуля.
Методика исследования. Представление для резольвенты возмущённого оператора было получено с помощью определённых алгебраических преобразований, позволяющих свести задачу о нахождении резольвенты возмущённого оператора к обращению почти единичного оператора.
Существование и сходимость собственных значений возмущённого оператора доказывается на основе результатов о равномерной резольвентной сходимости.
Разложения собственных значений и собственных функций возмущённого оператора в виде рядов построены с помощью новой довольно простой методики. Суть её состоит в том, что уравнение на собственные значения возмущённого оператора сводится к некоторому регулярно
возмущённому уравнению в специальном гильбертовом пространстве. При этом малость возмущения удаётся описать двумя характерными малыми параметрами. Применение затем адаптированной версии метода Бирмана-Швингера позволяет свести задачу к анализу операторного уравнения и поиску нулей некоторой голоморфной функции. Анализ данной функции позволяет получить представления для собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущённого оператора в виде равномерно сходящихся рядов. Для поиска членов построенных рядов предложен простой и изящный метод.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться при изучении задач математической физики. Методы исследования, применявшиеся в диссертации, могут использоваться при изучении других спектральных характеристик операторов с разбегающимися возмущениями.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики с ВЦ УНЦ РАН (Уфа), семинаре отдела уравнений математической физики Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург), семинаре отдела теоретической физики Института ядерной физики Чешской АН (Ржеж, Чехия), семинаре факультета математики Технического университета (Кемниц, Германия), семинаре кафедры математики и статистики БГПУ им. М. Акмуллы (Уфа). Отдельные результаты были доложены на международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2010" (Москва, 2010), международной конференции "Спектральная теория операторов и её приложения", посвящённой памяти профессора А.Г. Костюченко (Уфа, 2011), международной школы-конференции "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании" для студентов аспирантов и молодых учёных (Уфа, 2011), международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённой 110- ой годовщине со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, 2011), международной конференции "Крымская осенняя математическая школа (КР0МШ-2011)" (Симферополь, 2011), международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2012" (Москва, 2012), всероссийской конференции "Асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений" (Челябинск, 2011), международной конференции "Крымская осенняя математическая школа (КРОМШ-2012)" (Симферополь, 2012), международной конференции "Дни дифракции"
(Санкт-Петербург, 2012), международной конференции "Асимптотический анализ и спектральная теория нелинейных структур" (Майнц, 2012).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5]. Работа [1] выполнена совместно с Д. И. Борисовым. Из результатов этой работы в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых в совокупности на тринадцать параграфов, пяти иллюстраций, и списка литературы, содержащего 50 наименований. Общий объем диссертации - 116 страницы.
