Введение к работе
Актуальность темы. Асимптотика дискретного спектра дифференциальных операторов является однпи из объектов сис-теиотического исследования в анализе, и в математической физике. Результаты, относящиеся к этой области, представляют значительный интерес как с общей точки зрения, так и для применений it конкретным физически содержательным случали. В последнее время существенные успехи б этой области связаны с развитием техники псевдодпфференциальных операторов (ПД0). В частности, появилась возможность изучать задачи со связями в виде эллиптических уравнений. С помощьв техники ПДО в . работах М.Ш.Бирмана' и М.З.Соломяка получен главный член . асимптотики спектра вариационных задач на решениях однородного эллиптического уравнения. При этом все данные задачи предполагались бесконечно гладкими. С другой стороны, теми ке авторами бил значительно усовершенствован вариационный метод исследования спектра, чїо позволило рассматривать , "пегладкие" задачи (без связей), например, задач;: в негладкой области или с негладкими коэффициентами. Мзуоние асимптотики спектра вариационных задач с эллиптическими сьязя- ми в негладкой ситуации (задачи в областях с особенностями границы; задачи в области с гладкой границей , по при наличии дополнительных связей на части границы, и т. п.) является весьма актуальним и отвечает потребностям приложений. Эти прилоіения лежат, в основном, в области гидромеханики. К указанному типу задач относятся поставленные Н.Д.Яопачев-ским задачи о собственных частотах малых колебаний различных физических моделей жидкости.
Педь таботы - исследовать асимптотику спектра вариационных задач с вллиптическши связями в негладкой ситуации, применить обще результаты к исследовании спектра малых колебаний .жидкости.
- Ц -
Метод исслздования. В работе используются вариационный метод и псевдодифференциальная техника.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
-
Установлен главный член асимптотики спектра псеэдодиффе-ренциалышх вариационных задач на гладком многообразии без края со связями, иалокенныии на части многообразия. Результат применен к исследовании асимптотики спектра вариационных задач в области с гладкой границей на решениях однородного эллиптического уравнения при наличии дополнительных связей на части границы.
-
Получек главный член асимптотики спектра вариационных задач ла реаенилх однородного сильно эллиптического уравнения в області: с кусочно-гладкой границей.
-
Установлен главный член асимптотики спектра "нелокальной" задачи типа Стехлова в области с ребром. Результат применен к задачам о спектре малых колебаний капиллярной идеальной и капиллярной стратифицированной жидкости, а такке к одной задаче теории гидроупругости.
-
Обоснованы формулы для главного члена асимптотики в двух задачах теорий надкх колебаний тяжелой вязкой и капиллярной вязкой жидкости.
'Перечисленные результати ЯВЛЯЮТСЯ НОВЫМИ.
Практическая ценность. Результаты и техника диссертации ногу? быть использованы в спектральной теории операторов, в теории краевых задач, в теории малых колебаний жидкостей.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по спектральной теории оиератотюв при Ленинградском государственном университете им, А.А.Пданова и Ленинградской отделении Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР в 1965 г,, а также на семинаре кафедры математического анализа математического факультета Симферопольского государственного университета з Ї9В5 г.
Публикации. Основные результати диссертации изложены з работах [I - 3].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глаз и содержит І45 страниц машинописного текста и I страницу иллюстраций. Список литература вклочает 34 наименования.
Похожие диссертации на Асимптотика спектра вариационных задач с эллиптическими связями и псевдодифференциальные операторы
