Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Адиабатические пределы для слоения Кронекера на торе 18
1.1. Основные определения и обозначения 19
1.2. Слоение Кронекера на двумерном торе 24
1.2.1 Первое доказательство Теоремы 1.2.1 26
1.2.2 Второе доказательство Теоремы 1.2.1
Глава 2. Адиабатические асимптотики собственных значений 34
2.1. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановом многообразии Гейзенберга 35
2.1.1 Фундаментальное решение уравнения теплопроводности 39
2.1.2 Доказательство Теоремы 2.1.1 44
2.2. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановом Sol-многообразии .48
2.2.1 Спектр оператора Лапласа и модифицированный оператор Матье 53
2.2.2 SL(2,Z), бинарные квадратичные формы и теория чисел 56
2.2.3 Доказательство теоремы 2.2.1 56
Глава 3. Спектр оператора Лапласа на формах и спектральная последовательность слоения 65
3.1. Спектр оператора Лапласа-Бельтрами 66
3.2 Спектр оператора Лапласа на один-формах 72
3.3. Спектральные последовательности 82
Заключение 97
Список литературы 98
- Слоение Кронекера на двумерном торе
- Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- Спектр оператора Лапласа и модифицированный оператор Матье
- Спектр оператора Лапласа на один-формах
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения спектра оператора Лапласа для некоторых компактных рима-новых многообразий со слоением в адиабатическом пределе. Под адиабатическими асимптотическими задачами в спектральной теории дифференциальных операторов понимаются задачи исследования асимптотического поведения спектра самосопряженного эллиптического дифференциального оператора в частных производных, зависящего от малого параметра, в случае, когда малый параметр входит только в коэффициенты, стоящие перед производными по отношению к выбранной группе переменных (см., например, [14]).
Асимптотические задачи такого рода впервые возникли в квантовой молекулярной физике в работе Борна и Оппенгсймера в 1927 г., в которой было предложено для описания квантовых уровней энергии молекулы использовать приближение, основанное на малости отношения массы электрона к массе ядра, что приводит к изучению асимптотического поведения спектра оператора Шредингера
описывающего квантовую теорию молекулы (квантового гамильтониана), в пределе т/М —> 0. Математическое обоснование приближения Борна-Оппенгеймера началось значительно позже, в начале 80-х годов прошлого века, и активно продолжается до настоящего времени (см.,например, [49, 54] и приведенные там ссылки). В дальнейшем, ана-
логичные задачи нашли свое применение и в других областях механики и квантовой физики, таких как теория оболочек (см., например, [2, 12]), физика анизотропных сред (см. [13]), квантовая механика кристаллов [8], и исследовались многими авторами (см., например, [14, 60, 1, 62, 32] и имеющиеся там ссылки).
В 1985 году Виттен применил метод адиабатических пределов при изучении глобальных гравитационных аномалий в теории струн [70]. Исследование Виттена было математически строго обосновано [35, 38] и обобщено на общий случай римановых расслоений в работах [34, 40, 41, 42, 63, 52, 53]. В этих работах изучалось асимптотическое поведение спектра и спектральных инвариантов оператора Дирака и оператора Лапласа на компактном римановом многообразии, являющимся тотальным пространством расслоения над компактным многообразием, в случае, когда риманова метрика неограничено возрастает в направлениях, нормальных к слоям расслоения. В 1988 году Маззео и Мельроуз [63] обнаружили новые свойства адиабатических пределов на римановых расслоениях, установив связь так называемых малых собственных значений оператора Лапласа в адиабатическом пределе с топологическими инвариантами расслоений, а именно, со спектральной последовательностью Лере-Серра [5, 64], что можно рассматривать как аналог теории Ходжа для римановых расслоений. Адиабатические пределы в такой постановке нашли многочисленные применения в геометрии, в теории индекса эллиптических операторов и т.д.
В данной диссертации мы рассматриваем адиабатические пределы в более общей постановке. Пусть М— замкнутое (т.е. компактное без края) гладкое многообразие со слоением Т, снабженное римановой метрикой д. Касательное расслоение ТМ многообразия М представляется в виде прямой суммы
ТМ = F ф Я,
где F = ТТ — касательное расслоение слоения Т и Н = FL — ортогональное дополнение к F. Пусть др и дн обозначают ограничения метрики д на F и Н соответственно. Тем самым, д = gF + дн- Определим однопараметрическое семейство римановых метрик на М по формуле
9e = 9F + e-2gHl є>0. (0.0.1)
Расстояние между локальными слоями слоения в любой расслоенной карте в метрике д стремятся к бесконечности при є —у 0.
Для любого є > 0 рассмотрим оператор Лапласа на дифференциальных формах, определенный метрикой де:
A = d*gd + ddl,
где d : С(М,АкТ*М) -> C(M,Afc+1T*M) - дифференциал де Рама, d*s — оператор, сопряженный к оператору d относительно гильбертовой структуры на С(М, АТ*М), индуцированной метрикой д. Оператор Ає является самосопряженным эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка с положительно определенным, скалярным главным символом в гильбертовом пространстве L2(M,AT*M,g). Для? любого є > 0 спектр оператора А состоит из собственных значений конечной кратности 0 < Ао(є) < Аі(є) < ...,Xj(e) —у -f-oo при j —у со. В диссертации изучаются адиабатические спектральные асимптотики для оператора Ае, то есть асимптотическое поведение его собственных значений при є -У 0.
Такие задачи изучались в случае римановых слоений на компактных многообразиях в работах [44], [55], [30], [56], [61] и др. Напомним, что слоение Т на компактном многообразии М называется римановым, если на М существует трансверсально проектируемая риманова метрика, то есть такая риманова метрика на М, что индуцированная метрика на нормальном расслоении г = TMJTT к слоению инвариантна при отображении линейной голономии, ассоциированным с Т. Эквивалентно,
можно сказать, что риманова метрика называется трансверсально проектируемой, если расстояние между слоями относительно этой метрики локально постоянно. Полученные в случае римаиовых слоений результаты во многом похожи на то, что известно для римановых расслоений, хотя есть несколько принципиально новых идей, в частности, использование языка некоммутативной геометрии и методов теории операторных алгебр. Данные результаты также нашли свои приложения.
Однако методы исследования адиабатических пределов на римановых слоениях не переносятся непосредственно на произвольные слоения на римановых многообразиях. К тому же исследования (в частности, проведенное в данной работе) простейших примеров показывают появление принципиально новых свойств, полностью отличных от того, что известно в случае римановых слоений. Поэтому изучение адиабатических пределов для произвольных, необязательно римановых слоений, является актуальной и очень интересной задачей.
Целью настоящей работы является изучение адиабатических спектральных асимптотик для оператора Лапласа на дифференциальных формах на некоторых конкретных замкнутых многообразиях со слоением.
Для решения поставленной задачи применяются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии, функционального анализа, теории чисел, теории операторов, некоммутативного гармонического анализа.
В первой главе основным объектом исследования является простейший пример римановых слоений, линейное слоение (слоение Кроне-кера) на двумерном торе Т2 = Ш2/1? с координатами (х,у) Є К2, рассматриваемыми по модулю целочисленных сдвигов, снабженном евкли-
довои метрикой
д = dx2 + dy2.
Слоями слоения являются образы параллельных прямых Ь(Ха,Уа) = {(#о+ t, уо + toe) : t Є Ж}, (хо, Уо) ЄШ2 с угловым коэффициентом а при проекции R2 —> Т2. В случае, когда а рационально, все слои слоения замкнуты и являются окружностями, а само слоение задается слоями расслоения Т2 над S1. В случае, когда а иррационально, все слои слоения всюду плотны в Т2.
Основной результат первой главы состоит в вычислении главного члена асимптотики функции распределения спектра N(X) оператора Лапласа-Бельтрами Дє, задаваемого метрикой де, при є —» 0,
L_fA adY g2 ( ad AV
1 +a2 \dx dy) 1 + a2 \ dx dy)
Теорема 1.2.1. Имеет место асимптотическая формула для функции распределения спектра оператора Ає при фиксированном t Є R:
1. При а < Q,
N{\) = -U^A + о^-1), є -> 0. (0.0.2)
2. Яри а Є Q вида a = J, где Н.О.Д.(р, q) = 1,
*.(*) = *-' E -7m(A-^fc2)1/2+o(^)> e^-
(0.0.3)
В данном случае слоение риманово и метрика трансверсально проектируемая. В диссертации приведены два доказательства этой теоремы. Первое доказательство, приведенное в параграфе 1.2.1, основывается на общем результате об асимптотическом поведении функции распределения спектра оператора Лапласа, задаваемого трансверсально проектируемой метрикой, на компактном многообразии, наделенном римановым
слоением, в адиабатическом пределе, полученном в работе [55], второе доказательство, приведенное в параграфе 1.2.2, значительно проще и использует только элементарные факты анализа.
Заметим, что собственные значения оператора Ає на Т2 имеют вид:
А« = (2тг)2 f—Ц(Л + al)2 + -J—(-ak + I)2) , (А, О Є Z2,
\ 1 + а* 1 + or J
таким образом, функция распределения собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами задается формулой:
Ne(X) = # {(*, І) Є Ъ2 : ^^ ((к + of)2 + ^("^ + О2) < А
Мы приходим к следующей эквивалентной принципиально новой асимптотической задаче теории чисел:
Задача 1.2.3. Найти асимптотику при є —> 0 числа целых точек в эллипсе
|К,Ч) ЄК2 : (2тг)2 (_i_(e+ 0^ + 3^(-0^ + 4)2) < а} .
Несмотря на то, что эта задача формулируется в элементарных терминах, нам неизвестно ее элементарное решение в случае иррационального а. Тем самым, использование методов спектральной теории дифференциальных операторов при исследовании данной задачи является существенным.
В главе 2 мы исследуем поведение спектра оператора Лапласа-Бельтрами в адиабатическом пределе, ассоциированного с одномерным слоением на компактном римановом многообразии Гейзенберга и с одномерным слоением на компактном римановом Sol-многообразии.
В разделе 2.1 мы рассматриваем адиабатические пределы на ри-мановых многообразиях Гейзенберга.
Вещественной трехмерной группой Гейзенберга Н называется подгруппа Ли группы Ли GL(3,R), образованная всеми матрицами вида
4{x,y,z)
х,у, z Є R.
Соответствующая алгебра Ли I) — подалгебра Ли алгебры Ли pZ(3,R), состоящая из матриц вида
X(x,y,z) =
x,y,z Є
Римановым многообразием Гейзенберга (Т\Н, д) называется компактное многообразие Г\Н, снабженное римановой метрикой д, где Г = {у(х, у, z) : x,y,z Є Z} — дискретная подгруппа группы Ли Н и д — риманова метрика на Т\Н, чей подъем на Н инвариантен при левых сдвигах на элементы группы Н (такие метрики мы будем называть локально левоинвариантными).
Нетрудно видеть, что локально левоинвариантная метрика д единственным образом определяется своим значением в единице 7(0,0, 0) группы Н, и, тем самым, задается симметрической положительно определенной 3 х 3-матрицей.
Пусть а Є М. Рассмотрим левоинвариантное векторное поле на Н, ассоциированное с
Х(1,а,0)
єї>.
Орбиты соответствующего векторного поля на М = Т\Н определяют одномерное слоение Т на М. Слой It7(Xj2/)Z) , проходящий через точку
Г^(х,у, z) Є М, описывается следующим образом:
r7(w) = {г70 + t, у + at, z + atx + —) Є Г\# :fet}.
Рассмотрим адиабатический предел, ассоциированный с римано-вым многообразием Гейзенберга {Г\Н, д), в случае, когда локально лево-инвариантная метрика д соответствует единичной матрице, и слоением Т. Оператор Лапласа-Бельтрами Дє на М, соответствующий метрике де, определяемой по формуле (0.0.1), на М имеет вид:
д,= 1
1 + а2
дх \ду dzjJ
2f д д д\2
дх ду dz/
+ є2 -а— + — + х-
dz2'
Обозначим через Ne{t) преобразование Лапласа функции распределения спектра оператора Ає:
NS) = Y,e~tXj{)-
j=0
Основным результатом раздела 2.1 является следующая теорема.
Теорема 2.1.1. Для любого t > 0 справедлива следующая асимптотическая формула
Доказательство теоремы 2.1.1 использует некоммутативный гармонический анализ и формулу Мелера для фундаментального решения параболического уравнения, задаваемого оператором Шредингера с однородным магнитным потенциалом.
Аналогичный результат был получен для оператора Лапласа-Бельтрами трансверсально проектируемой метрики на замкнутом многообразии с произвольным римановым слоением в работе [55]. Напомним, что слоение Т на многообразии М называется римановым, если
существует такая риманова метрика (называемая трансверсально проектируемой римановой метрикой) на М, что индуцированная метрика на нормальном расслоении г = TM/TJ7 к слоению инвариантна при отображении линейной голономии, ассоциированным с Т. В рассматриваемом случае слоение не является римановым, поскольку, как это легко увидеть, например, в случае а = 0, отображение линейной голономии
Л Л ^ лч
задается матрицами вида с a f 0. Формула, приведенная в тео-
\0 1)
реме 2.1.1, отличается от формулы, полученной в [55], дополнительным множителем Л >, который связан с изменением трансверсальной составляющей метрики под действием потока.
Отметим, что слоение, порожденное элементом Х(0, 0, iu), является римановым расслоением над двумерном тором. Кроме того, при и ф 0 или v ф 0 слоение, порожденное элементом X(u,v,w), переводится посредством изометрии в слоение, порожденное элементом Х(и, г>,0). Поскольку в данной работе нас интересует, прежде всего, вид формулы в случае нериманова слоения, мы ограничились рассмотрением слоения, порожденного элементами вида Х{1, а, 0).
В разделе 2.2 мы рассматриваем адиабатические пределы на ри-мановых Sol-многообразиях.
Вещественная группа Sol есть разрешимая подгруппа Ли группы Ли GL(3, Ж), образованная всеми матрицами вида:
(и, v, w) Є Е3
few 0 и\ j(u,v,w) = 0 e~w v
[о 0 1/
Алгебра Ли sol группы Ли Sol — подалгебра Ли алгебры Ли #/(3, Ж),
состоящая из матриц вида
w 0 гЛ X{u,v,w) =
(и, v, w) Є R3
О — w v \0 О О/
Пусть А Є SL(2,Z) и |trA| > 2. Обозначим через Л и Л-1 собственные значения матрицы А и предположим, что Л > 1. Определим вектора (с{, с{), {с\, с^) уравнением
V /і і\ _1
an ai2 ча2і 022,
Римановым Sol-многообразием называется компактное многообразие М\ = Ga\SoI, снабженное римановой метрикой д, где Ga — равномерная дискретная подгруппа группы Ли Sol, состоящая из таких 7(w, v,w) Є Sol, что
(и, v) Е Г := {к(с{, с\) + 1{с^,с^), к,ІєЩ, w = mlnX, meZ,
и д — риманова метрика на М\ , чей подъем на Sol инвариантен при левых сдвигах на элементы группы Sol (локально левоинвариантная риманова метрика)
Как и в разделе 2.1 локально левоинвариантная метрика д единственным образом определяется своим значением в единице 7(0» 0, 0) группы Sol, и, тем самым, задается симметрической положительно определенной 3 х 3-матрицей.
Пусть а Є Ш. Рассмотрим левоинвариантное векторное поле на Sol, ассоциированное с Х(1,а, 0) sol. Орбиты соответствующего векторного поля на М\ определяют одномерное слоение Т. Слой Lqa1^uvw^ слоения J7, проходящий через точку Gaj(u, v, w) Є М\, имеет вид:
LGa1{u,v,w) = {GAl{u + ewt,v + ae~wt,w) ЄМ\:ІЄЩ.
Предположим, что локально левоинвариантная метрика д соответствует единичной матрице. Рассмотрим адиабатический предел, ассоциированный с римановым Sol-многообразием (Мд, д) и слоением Т.
Оператор Лапласа-Бельтрами па Мд, соответствующий метрике дє, которая задается формулой (0.0.1), в координатах (u, v, w) имеет вид: л _ l + s*a\2wd* 2а(1-є2) д2 ^2 + ^.е-2-—-.2 —
1 + а2 ди2 1 -f- a2 dudv 1 + a2 dv2 dw2
Основным результатом данного раздела 2.2 является вычисление асимптотики функции распределения спектра Ne{t) оператора Ає в адиабатическом пределе, то есть при фиксированном ібКи при є —> 0.
Теорема 2.2.1. Для любого t > 0 справедлива следующая асимптотическая формула для функции распределения спектра N(t) оператора Лапласа-Бельтрами:
1. При а ф 0
Ne{t) = ^2^-2 + о(є~2), є -> 0. (0.0.4)
2. При а = 0
N(t) = -^th-2 + o(e-2), -).0. (0.0.5)
При а ф 0 доказательство теоремы 2.2.1 использует вычисление спектра оператора Лапласа на римановом Sol-многообразии, приведенное в работе [36], являющейся продолжением исследований геодезических потоков на римановых Sol-многообразиях [37],[4], и квазиклассические спектральные асимптотики [50] для модифицированного оператора
Матье
d2 Нє = -є2~р2 +ach(2(ix), х Є R.
При а — 0 метрика является трансверсально проектируемой, тем самым применима асимптотическая формула поведения спектра оператора Лапласа в адиабатическом пределе в случае римановых слоений на компактных многообразиях [55].
Отметим, что в главе 2 во всех рассмотренных примерах порядок асимптотики в адиабатическом пределе равен є~2, но коэффициенты при є-2, как и методы их вычисления, различны.
Слоение Кронекера на двумерном торе
Настоящая диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения спектра оператора Лапласа для некоторых компактных рима-новых многообразий со слоением в адиабатическом пределе. Под адиабатическими асимптотическими задачами в спектральной теории дифференциальных операторов понимаются задачи исследования асимптотического поведения спектра самосопряженного эллиптического дифференциального оператора в частных производных, зависящего от малого параметра, в случае, когда малый параметр входит только в коэффициенты, стоящие перед производными по отношению к выбранной группе переменных (см., например, [14]).
Асимптотические задачи такого рода впервые возникли в квантовой молекулярной физике в работе Борна и Оппенгсймера в 1927 г., в которой было предложено для описания квантовых уровней энергии молекулы использовать приближение, основанное на малости отношения массы электрона к массе ядра, что приводит к изучению асимптотического поведения спектра оператора Шредингера описывающего квантовую теорию молекулы (квантового гамильтониана), в пределе т/М — 0. Математическое обоснование приближения Борна-Оппенгеймера началось значительно позже, в начале 80-х годов прошлого века, и активно продолжается до настоящего времени (см.,например, [49, 54] и приведенные там ссылки). В дальнейшем, ана логичные задачи нашли свое применение и в других областях механики и квантовой физики, таких как теория оболочек (см., например, [2, 12]), физика анизотропных сред (см. [13]), квантовая механика кристаллов [8], и исследовались многими авторами (см., например, [14, 60, 1, 62, 32] и имеющиеся там ссылки).
В 1985 году Виттен применил метод адиабатических пределов при изучении глобальных гравитационных аномалий в теории струн [70]. Исследование Виттена было математически строго обосновано [35, 38] и обобщено на общий случай римановых расслоений в работах [34, 40, 41, 42, 63, 52, 53]. В этих работах изучалось асимптотическое поведение спектра и спектральных инвариантов оператора Дирака и оператора Лапласа на компактном римановом многообразии, являющимся тотальным пространством расслоения над компактным многообразием, в случае, когда риманова метрика неограничено возрастает в направлениях, нормальных к слоям расслоения. В 1988 году Маззео и Мельроуз [63] обнаружили новые свойства адиабатических пределов на римановых расслоениях, установив связь так называемых малых собственных значений оператора Лапласа в адиабатическом пределе с топологическими инвариантами расслоений, а именно, со спектральной последовательностью Лере-Серра [5, 64], что можно рассматривать как аналог теории Ходжа для римановых расслоений. Адиабатические пределы в такой постановке нашли многочисленные применения в геометрии, в теории индекса эллиптических операторов и т.д.
В данной диссертации мы рассматриваем адиабатические пределы в более общей постановке. Пусть М— замкнутое (т.е. компактное без края) гладкое многообразие со слоением Т, снабженное римановой метрикой д. Касательное расслоение ТМ многообразия М представляется в виде прямой суммы ТМ = F ф Я, где F = ТТ — касательное расслоение слоения Т и Н = FL — ортогональное дополнение к F. Пусть др и дн обозначают ограничения метрики д на F и Н соответственно. Тем самым, д = gF + дн- Определим однопараметрическое семейство римановых метрик на М по формуле 9e = 9F + e-2gHl є 0. (0.0.1) Расстояние между локальными слоями слоения в любой расслоенной карте в метрике д стремятся к бесконечности при є —у 0. Для любого є 0 рассмотрим оператор Лапласа на дифференциальных формах, определенный метрикой де: A = d gd + ddl, где d : С(М,АкТ М) - C(M,Afc+1T M) - дифференциал де Рама, d s — оператор, сопряженный к оператору d относительно гильбертовой структуры на С(М, АТ М), индуцированной метрикой д. Оператор Ає является самосопряженным эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка с положительно определенным, скалярным главным символом в гильбертовом пространстве L2(M,AT M,g). Для? любого є 0 спектр оператора А состоит из собственных значений конечной кратности 0 Ао(є) Аі(є) ...,Xj(e) —у -f-oo при j —у со. В диссертации изучаются адиабатические спектральные асимптотики для оператора Ае, то есть асимптотическое поведение его собственных значений при є -У 0.
Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
Такие задачи изучались в случае римановых слоений на компактных многообразиях в работах [44], [55], [30], [56], [61] и др. Напомним, что слоение Т на компактном многообразии М называется римановым, если на М существует трансверсально проектируемая риманова метрика, то есть такая риманова метрика на М, что индуцированная метрика на нормальном расслоении г = TMJTT к слоению инвариантна при отображении линейной голономии, ассоциированным с Т. Эквивалентно, можно сказать, что риманова метрика называется трансверсально проектируемой, если расстояние между слоями относительно этой метрики локально постоянно. Полученные в случае римаиовых слоений результаты во многом похожи на то, что известно для римановых расслоений, хотя есть несколько принципиально новых идей, в частности, использование языка некоммутативной геометрии и методов теории операторных алгебр. Данные результаты также нашли свои приложения.
Однако методы исследования адиабатических пределов на римановых слоениях не переносятся непосредственно на произвольные слоения на римановых многообразиях. К тому же исследования (в частности, проведенное в данной работе) простейших примеров показывают появление принципиально новых свойств, полностью отличных от того, что известно в случае римановых слоений. Поэтому изучение адиабатических пределов для произвольных, необязательно римановых слоений, является актуальной и очень интересной задачей. Целью настоящей работы является изучение адиабатических спектральных асимптотик для оператора Лапласа на дифференциальных формах на некоторых конкретных замкнутых многообразиях со слоением. Для решения поставленной задачи применяются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии, функционального анализа, теории чисел, теории операторов, некоммутативного гармонического анализа. В первой главе основным объектом исследования является простейший пример римановых слоений, линейное слоение (слоение Кроне-кера) на двумерном торе Т2 = Ш2/1? с координатами (х,у) Є К2, рассматриваемыми по модулю целочисленных сдвигов, снабженном евкли довои метрикой д = dx2 + dy2. Слоями слоения являются образы параллельных прямых Ь(Ха,Уа) = {(#о+ t, уо + toe) : t Є Ж}, (хо, Уо) ЄШ2 с угловым коэффициентом а при проекции R2 — Т2. В случае, когда а рационально, все слои слоения замкнуты и являются окружностями, а само слоение задается слоями расслоения Т2 над S1. В случае, когда а иррационально, все слои слоения всюду плотны в Т2.
В данном случае слоение риманово и метрика трансверсально проектируемая. В диссертации приведены два доказательства этой теоремы. Первое доказательство, приведенное в параграфе 1.2.1, основывается на общем результате об асимптотическом поведении функции распределения спектра оператора Лапласа, задаваемого трансверсально проектируемой метрикой, на компактном многообразии, наделенном римановым слоением, в адиабатическом пределе, полученном в работе [55], второе доказательство, приведенное в параграфе 1.2.2, значительно проще и использует только элементарные факты анализа. Несмотря на то, что эта задача формулируется в элементарных терминах, нам неизвестно ее элементарное решение в случае иррационального а. Тем самым, использование методов спектральной теории дифференциальных операторов при исследовании данной задачи является существенным. В главе 2 мы исследуем поведение спектра оператора Лапласа-Бельтрами в адиабатическом пределе, ассоциированного с одномерным слоением на компактном римановом многообразии Гейзенберга и с одномерным слоением на компактном римановом Sol-многообразии. В разделе 2.1 мы рассматриваем адиабатические пределы на ри-мановых многообразиях Гейзенберга. Вещественной трехмерной группой Гейзенберга Н называется подгруппа Ли группы Ли GL(3,R), образованная всеми матрицами вида 4{x,y,z) X z 0 1 У 0 0 х,у, z Є R. Соответствующая алгебра Ли I) — подалгебра Ли алгебры Ли pZ(3,R), состоящая из матриц вида X(x,y,z) = X z 0 0 У 0 0 x,y,z Є Римановым многообразием Гейзенберга (Т\Н, д) называется компактное многообразие Г\Н, снабженное римановой метрикой д, где Г = {у(х, у, z) : x,y,z Є Z} — дискретная подгруппа группы Ли Н и д — риманова метрика на Т\Н, чей подъем на Н инвариантен при левых сдвигах на элементы группы Н (такие метрики мы будем называть локально левоинвариантными).
Спектр оператора Лапласа и модифицированный оператор Матье
Нетрудно видеть, что локально левоинвариантная метрика д единственным образом определяется своим значением в единице 7(0,0, 0) группы Н, и, тем самым, задается симметрической положительно определенной 3 х 3-матрицей. Пусть а Є М. Рассмотрим левоинвариантное векторное поле на Н, ассоциированное с Х(1,а,0) "о 1 о" 0 0 а 0 0 єї . Орбиты соответствующего векторного поля на М = Т\Н определяют одномерное слоение Т на М. Слой IT7(XJ2/)Z) , проходящий через точку Г (х,у, z) Є М, описывается следующим образом: at2 r7(w) = {г70 + t, у + at, z + atx + —) Є Г\# :fet}. Рассмотрим адиабатический предел, ассоциированный с римано-вым многообразием Гейзенберга {Г\Н, д), в случае, когда локально лево-инвариантная метрика д соответствует единичной матрице, и слоением Т. Оператор Лапласа-Бельтрами Дє на М, соответствующий метрике де, определяемой по формуле (0.0.1), на М имеет вид: д,= 1 1 + а2 дх \ду dzjJ 2f д д д\2 дх ду dz/ + є2 -а— + — + х В2 dz2 Обозначим через Ne{t) преобразование Лапласа функции распределения спектра оператора Ає: NS) = Y,e tXj{) j=0 Основным результатом раздела 2.1 является следующая теорема. Теорема 2.1.1. Для любого t 0 справедлива следующая асимптотическая формула Доказательство теоремы 2.1.1 использует некоммутативный гармонический анализ и формулу Мелера для фундаментального решения параболического уравнения, задаваемого оператором Шредингера с однородным магнитным потенциалом.
Аналогичный результат был получен для оператора Лапласа-Бельтрами трансверсально проектируемой метрики на замкнутом многообразии с произвольным римановым слоением в работе [55]. Напомним, что слоение Т на многообразии М называется римановым, если существует такая риманова метрика (называемая трансверсально проектируемой римановой метрикой) на М, что индуцированная метрика на нормальном расслоении г = TM/TJ7 к слоению инвариантна при отображении линейной голономии, ассоциированным с Т. В рассматриваемом случае слоение не является римановым, поскольку, как это легко увидеть, например, в случае а = 0, отображение линейной голономии Л Л лч задается матрицами вида с a f 0. Формула, приведенная в тео \0 1) реме 2.1.1, отличается от формулы, полученной в [55], дополнительным множителем Л , который связан с изменением трансверсальной составляющей метрики под действием потока. Отметим, что слоение, порожденное элементом Х(0, 0, iu), является римановым расслоением над двумерном тором. Кроме того, при и ф 0 или v ф 0 слоение, порожденное элементом X(u,v,w), переводится посредством изометрии в слоение, порожденное элементом Х(и, г ,0). Поскольку в данной работе нас интересует, прежде всего, вид формулы в случае нериманова слоения, мы ограничились рассмотрением слоения, порожденного элементами вида Х{1, а, 0). В разделе 2.2 мы рассматриваем адиабатические пределы на ри-мановых Sol-многообразиях. Вещественная группа Sol есть разрешимая подгруппа Ли группы Ли GL(3, Ж), образованная всеми матрицами вида: (и, v, w) Є Е3 few 0 и\ j(u,v,w) = 0 e w v [о 0 1/ Алгебра Ли sol группы Ли Sol — подалгебра Ли алгебры Ли #/(3, Ж), состоящая из матриц вида w 0 гЛ X{u,v,w) = (и, v, w) Є R3 О — w v \0 О О/ Пусть А Є SL(2,Z) и trA 2. Обозначим через Л и Л-1 собственные значения матрицы А и предположим, что Л 1. Определим вектора (с{, с{), {с\, с ) уравнением V /і і\ _1 an ai2 ча2і 022, Римановым Sol-многообразием называется компактное многообразие М\ = GA\SOI, снабженное римановой метрикой д, где GA — равномерная дискретная подгруппа группы Ли Sol, состоящая из таких 7(w, v,w) Є Sol, что (и, v) Е Г := {к(с{, с\) + 1{с ,с ), к,ІєЩ, w = mlnX, meZ, и д — риманова метрика на М\ , чей подъем на Sol инвариантен при левых сдвигах на элементы группы Sol (локально левоинвариантная риманова метрика) Как и в разделе 2.1 локально левоинвариантная метрика д единственным образом определяется своим значением в единице 7(0» 0, 0) группы Sol, и, тем самым, задается симметрической положительно определенной 3 х 3-матрицей.
Спектр оператора Лапласа на один-формах
Основным результатом данного раздела 2.2 является вычисление асимптотики функции распределения спектра Ne{t) оператора Ає в адиабатическом пределе, то есть при фиксированном ібКи при є — 0. Теорема 2.2.1. Для любого t 0 справедлива следующая асимптотическая формула для функции распределения спектра N(t) оператора Лапласа-Бельтрами: 1. При а ф 0 Ne{t) = 2 -2 + о(є 2), є - 0. (0.0.4) 2. При а = 0 N(t) = - th-2 + o(e-2), -).0. (0.0.5) При а ф 0 доказательство теоремы 2.2.1 использует вычисление спектра оператора Лапласа на римановом Sol-многообразии, приведенное в работе [36], являющейся продолжением исследований геодезических потоков на римановых Sol-многообразиях [37],[4], и квазиклассические спектральные асимптотики [50] для модифицированного оператора Матье d2 Нє = -є2 р2 +ach(2(ix), х Є R. При а — 0 метрика является трансверсально проектируемой, тем самым применима асимптотическая формула поведения спектра оператора Лапласа в адиабатическом пределе в случае римановых слоений на компактных многообразиях [55]. Отметим, что в главе 2 во всех рассмотренных примерах порядок асимптотики в адиабатическом пределе равен є 2, но коэффициенты при є-2, как и методы их вычисления, различны. Лапласа на дифференциальных формах на римановом многообразии Гейзенберга в адиабатическом пределе, задаваемом одномерным инвариантным слоением, введенным в разделе 2.1. В разделе 3.1 вычислен спектр оператора Лапласа на дифференциальных один формах на римановых многообразиях Гейзенберга (см. теорема 3.1.8). Спектр оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии Гейзенберга был явно вычислен в работе [47]. Ввиду того, что оператор Ходжа , задаваемый метрикой д, определяет для любого к = 0,1,2, 3 унитарный изоморфизм : L2(M,AkT M) -+ L2(M, Л3-&Т М), причем А = А , спектр оператора Лапласа на 2-формах и 3-формах совпадает соответственно с его спектром на 1-формах и 0-формах, то есть на функциях. Таким образом, в данном разделе завершено вычисление спектра оператора Лапласа на дифференциальных формах на римановых многообразиях Гейзенберга. Отметим также работу [31], в которой были вычислены собственные значения оператора Дирака на римановых многообразиях Гейзенберга.
Вычисление спектра оператора Лапласа основано на идеях рабо ты [47] и использует некоммутативный гармонический анализ, а именно, теорию представлений нильпотентных групп Ли, развитую Кирилловым [9]. Однако, в отличие от работы [47], использование этих методов позво ляет свести вычисление спектра оператора Лапласа на один формах не к задаче вычисления спектра квантового гармонического осциллятора, а к более сложной задаче вычисления спектра матричного дифференци ального оператора. В разделе 3.3 исследованы «малые» собственные значения опера і тора Лапласа и установлена их связь с дифференциальной спектральной последовательностью слоения. Для произвольного компактного многообразия М со слоением Т обозначим, как и выше, через Ае оператор Лапласа на дифференциальных формах, определяемый метрикой дє. Пусть 0 Ад (є) Х[(є) А є) обозначает его спектр на С(М,АГТ М) с учетом кратности. Хорошо известно, что собственные значения оператора Лапласа на дифференциальных формах изменяются непрерывно при непрерывных возмущениях метрики, и, тем самым, «ветви» собственных значений А[(є) зависят непрерывно от параметра є 0. Мы будем рассматривать только те «ветви» А[(є), которые стремятся к нулю при є — 0, назовем их «малыми» собственными значениями.
Похожие диссертации на Адиабатические спектральные асимптотики для дифференциальных операторов на многообразиях со слоением
