Содержание к диссертации
Введение
1 Линейные однородные дифференциальные уравнения, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка 22
1.1 Симметрические квазидифференциальные выражения 22
1.1.1 Симметрические дифференциальные выражения 23
1.1.2 Квазипроизводные и симметрические квазидифференциальные выражения 24
1.1.3 Основной класс симметрических квазидифференциальных выра жений п + 1 - го порядка 27
1.2 Теорема о связи квазидифференциалыюго уравнения п+ 1 - го порядка с дифференциальным уравнением второго порядка 29
1.2.1 Формулировка основной теоремы 29
1.2.2 Доказательство 1 30
1.2.3 Доказательство 2 34
1.2.4 Замечание 37
1.3 Частные случаи дифференциального уравнения высокого порядка . 38
1.3.1 Вид уравнения п + 1 - го порядка при малых значениях п . 38
1.3.2 Тождество Клаузена 41
1.3.3 Интеграл Никольсона для функции J^(x) + Y^(x) 45
2 Свойства решений дифференциальных уравнений, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка 49
2.1 О числе нулей решений дифференциального уравнения второго порядка 49
2.1.1 Функция Коши дифференциального уравнения второго порядка . 50
2.1.2 Итерационные ряды для функции Коши 51
2.1.3 Лемма 52
2.1.4 Нули решений дифференциального уравнения второго порядка . 55
2.2 О числе нулей решений квазидифференциалыюго уравнения п + 1 - го
порядка 58
2.2.1 Связь между числом нулей решений уравнений второго и п+1 - го порядков 58
2.2.2 Нули решений дифференциального уравнения высокого порядка 62
2.3 Асимптотика решений дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка 63
2.3.1 Асимптотика и оценки Лиувилля-Грина для решений дифференциального уравнения второго порядка 63
2.3.2 Асимптотика решений дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка 65
2.3.3 Оценки решений дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка бб
2.4 Квазирегулярность дифференциального выражения п + 1 - го порядка . 68
2.4.1 Минимальный и максимальный операторы. Индекс дефекта минимального оператора 68
2.4.2 Сингулярный дифференциальный оператор, порожденный выражением I 70
2.4.3 Критерий квазирегулярности выражения I 72
2.4.4 Признаки неквазирегулярности выражения I 73
2.4.5 Признак квазирегулярности выражения I 75
Асимптотика решений и оценки типа Лиувилля-Грина для одного клас са систем дифференциальных уравнений 77
3.1 Теорема М.В. Федорюка 77
3.2 Асимптотика решений одного класса систем дифференциальных уравнений 82
3.2.1 Основной класс матриц F 82
3.2.2 Преобразование системы дифференциальных уравнений 84
3.2.3 Теорема об асимптотике решений системы дифференциальных уравнений 84
3.3 Оценки типа Лиувилля-Грина для решений диффереиицальных уравне ний высокого порядка 96
3.4 Примеры 98
3.5 Признаки квазирегулярности выражения т 104
З.С Замечание 105
Литература
- Симметрические дифференциальные выражения
- Итерационные ряды для функции Коши
- Асимптотика и оценки Лиувилля-Грина для решений дифференциального уравнения второго порядка
- Теорема об асимптотике решений системы дифференциальных уравнений
Введение к работе
При решении различных задач математического анализа математики неоднократно обращались к дифференциальным уравнениям, фундаментальная система решений которых зависит от фундаментальной системы решений дифференциального уравнения второго порядка.
Дифференциальные уравнения третьего и четвертого порядков хорошо известны и приведены, например, в книге Э. Камке (см. [3], стр. 536, 554). В 60-х годах прошлого столетия в СФРЮ были получены дифференциальные уравнения пятого и шестого порядков. В работе [12] К.А. Мирзо-ев построил класс линейных однородных дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка (п > 1) с коэффициентами, зависящими от функций р и q, фундаментальной системой решений которого является множество функций un,un-1v,...uvn~1,vn, где и и v - линейно независимые решения дифференциального уравнения второго порядка (р(х)у'У = q(x)y, для случая р(х) = 1.
В настоящей диссертации найден такой класс дифференциальных уравнений высокого порядка уже для случая произвольной функции р(х).
Применение дифференциальных уравнений, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка, берет свое начало в теории специальных функций. При доказательстве знаменитого тождества Клаузена (Т. Clausen, 1828 г.) F(a,6;a + 6 + -;х)
2а, а + 6, 26; х а + Ъ+\\ 2а+ 26 где F и з^2 - гипергеометрическая и обобщенная гипергеометрическая функции, применяется случай дифференциального уравнения третьего порядка (см. [2], стр. 18G; [14], стр. 165).
Следуя Уилкинсу (1948), равенство интеграла НикольсонаЛГ^г) функции Jl(z) + Yf(z), где Ju(z), Yv{z) - функции Бесселя, также можно доказать, применяя это уравнение (см. [14], стр. 328).
Исследованию свойств решений дифференциальных уравнений второго порядка посвящены работы многих авторов. Например, теоремы о числе нулей вещественных решений содержатся в книге Ф. Хартмана [18], асимптотические формулы Лиувилля-Грина превосходно изложены в книге M.S.P. Eastham [19]. Еще одним применением теоремы о связи дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка (п > 1) с дифференциальным уравнением второго порядка может стать исследование свойств решений дифференциальных уравнений высокого порядка, в частности, обобщение асимптотических формул и оценок Лиувилля-Грина для решений дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка (п > 1).
С точки зрения спектральной теории дифференциальных операторов верхние оценки для решений дифференциальных уравнений интересны тем, что позволяют получить примеры сингулярных дифференциальных опера- торов с максимальными дефектными числами. В этом случае резольвента R\ любого самосопряженного расширения сингулярного оператора есть интегральный оператор, ядром К(х, s, А) которого служит ядро Гильберта-Шмидта. Поэтому резольвента R\ является вполне непрерывным оператором, и, следовательно, спектр всякого самосопряженного расширения сингулярного дифференциального оператора чисто дискретен, т.е. состоит из счетного множества собственных значений конечной кратности с единственной предельной точкой на бесконечности.
Отметим, что во многих работах оценки для решений дифференциальных уравнений получены на основе алгебраического метода Н.П. Купцова [26]. M.S.P. Eastham в [20], [21] и S.B. Hadid в [24] усовершенствовали этот метод для дифференциальных уравнений высокого порядка. В диссертации избран другой подход, позволяющий получить более точные оценки для решений дифференциальных уравнений высокого порядка. Он базируется на асимптотических методах, предложенных М.В. Федорюком [16] и M.S.P. Eastham [19].
В 1965 году М.В. Федорюк исследовал асимптотику решений системы дифференциальных уравнений
У = А{х)У при х —> +оо, где матрицы А имеет вид
1 А(х) = ф(х)Ф(х)В(х)Ф~1(х), комплекснозначная функция ф(х) ф 0 при х > 0, Ф(х) - диагональная матрица с элементами (Ф)ц — фа*, otj - комплексные числа;
2 матрица В(+оо) существует, конечна, невырождена и имеет различ- ные собственные значения.
В настоящей диссертации, модифицируя асимптотические методы М.В. Фе-дорюка и M.S.P. Eastham, мы найдем асимптотику решений одного класса систем дифференциальных уравнений в случае а^ = j — 1. Одно из отличий от случая М.В. Федорюка заключается в том, что в матрице Ф будут стоят степени функции, отличной от ф(х). Как следствие, в работе обобщены оценки Лиувилля-Грина для решений дифференциальных уравнений высокого порядка, которые не связаны с дифференциальными уравнениями второго порядка.
Целью работы является нахождение класса линейных однородных дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка (п > 1), фундаментальная система решений которого строится по фундаментальной системе решений дифференциального уравнения второго порядка, а также изучение асимптотики решений одного класса систем линейных дифференциальных уравнений при х —» +оо и обобщение оценок Лиувилля-Грина для решений дифференциальных уравнений высокого порядка.
Выносимые на защиту результаты диссертационной работы являются новыми. Из них выделим следующие.
Найден класс линейных однородных дифференциальных уравнений п+1 - го порядка (п > 1), с коэффициентами, зависящими от функций р и q, фундаментальная система решений которого строится по фундаментальной системе решений дифференциального уравнения второго порядка {р(х)у'У = q(x)y.
Получены теоремы о числе нулей вещественных решений линейных однородных дифференциальных уравнений 77.4-1 - го порядка (п > 1) на произвольном отрезке и их связи с числом нулей вещественных решений дифференциального уравнения второго порядка.
3. Исследована асимптотика решений систем линейных дифференциальных уравнений вида У = ф(х)Ф(х)В(х)Ф~1(х)У при х —» +оо. Как следствие, получены оценки типа Лиувилля-Грина для решений линейных однородных дифференциальных уравнений п +1 - го порядка (п > 1) и условия на коэффициенты дифференциальных уравнений, обеспечивающие реализацию случая максимальных дефектных чисел для соответствующих дифференциальных операторов.
В первой главе найден класс линейных однородных дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка (п > 1), фундаментальная система решений которого строится но фундаментальной системе решений дифференциального уравнения второго порядка.
В параграфе 1.1 мы приводим основные определения и факты, которые используются в дальнейшем, а именно, дано традиционное определение симметрического (формально самосопряженного) дифференциального выражения, введено понятие квазипроизводной и симметрического квазидиф-фереициалыюго выражения, дана формулировка теоремы существования и единственности для соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. В п. 1.1.3 рассмотрен следующий класс симметрических квазидифференциальных выражений п + 1 - го порядка.
Пусть комплекснозначные функции p,q измеримы на (а, Ь) С R (—оо < а < b < Н-оо), а функции p~l,q суммируемы на каждом ее замкнутом конечном подынтервале [а,0\ С (а, Ь) {p~l,q Є Ljoc(a,b)). Обозначим через F := (fij) матрицу с элементами /у (г J = 1,... ,п + 1), где fk,k+i '= Р_1> fk+i,k '— к(п + 1 — k)q (к = 1,2,... ,n) и /^ := 0 при остальных значениях і и j. Перечисленные условия позволяют определить квазипроизводные функции у посредством матрицы F, полагая у№ := у, ?/Ш := р(у^)г, у[к+1] ._ р((у[*])' - Д+1>Лу1Л_11) (к = 1, 2,..., п - 1), и скалярное квазидифференциал ыюе выражение /о порядка п + 1, полагая /о2/:=(і/[п]У-/п+і,пУ[п-1].
В параграфе 1.2 сформулирована теорема о связи квазидифференци-алыюго уравнения п + 1 - го порядка с дифференциальным уравнением второго порядка и приведено два различных способа доказательства теоремы. При первом способе доказательства возникают хотя и несложные, но довольно громоздкие вычисления, а второй способ позволяет их избежать. Однако именно первый способ дает возможность в дальнейшем получить асимптотику решений и их квазипроизводных дифференциального уравнения п + 1 - го порядка при х —> +оо. В силу этих причин целесообразно привести оба доказательства теоремы.
Основная теорема первой главы состоит в следующем. Обозначим через и и v линейно независимые решения дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля (р{х)у'У = q(x)y, (1) где функции р и q удовлетворяют условиям, приведенным выше. Теорема 1.2.1. Миооїссство функций un,un-lv,...,uvn-\vn образует фундаментальную систему решений квазидифференциального уравнения kv = 0. (2)
Отметим, что первый способ доказательства этой теоремы основан на доказательстве следующего равенства, которому удовлетворяют функции уі := un~lvl (I = 0,1,..., п) и их квазипроизводные. min{l;s} . _ "" f^ , 5 (n-/-s + m)!(/-m)! u ' u у m=ma:r{0;-n+Z+s} (3) (s = 0,1,..., п)
Пусть функции р и q бесконечно дифференцируемы. Тогда уравнение (2) ^ является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением п + 1 - го порядка.
В параграфе 1.3 найден вид дифференциального уравнения (2) при ма лых значениях п и рассмотрено применение теоремы 1.2.1 в теории сне- циальных функций. Следствием теоремы является знаменитое тождество Клаузена из теории гипергеометрических рядов (см. [2], стр. 186; [14], стр. 165), а также теорема о связи интеграла Никольсона с функциями Бесселя (см. [14], стр. 328). Ф Во второй главе рассмотрены свойства решений дифференциальных уравнений, связанных с дифференциальными уравнениями второго поряд- k ка.
Из теоремы 1.2.1, очевидно, следует, что свойства решений уравнений (1) и (2) тесно связаны. Поэтому параграф 2.1 посвящен изучению свойств решений дифференциального уравнения второго порядка с вещественными коэффициентами на конечном отрезке. Рассмотрены определение и свой- ства функции Коши дифференциального уравнения второго порядка и приведены итерационные ряды для этой функции. Важным промежуточным результатом является следующая лемма.
Лемма 2.1.1. Пусть (а,/3) С R, р(х) > 0 при х Є (сг,/3) и пусть при 0< v< 1 а \т / \а / а
Тогда при всех а < t < х < (3 выполняется неравенство
Последнее утверждение позволяет получить нижние оценки для функции Коши дифференциального уравнения второго порядка в случае, когда длина рассатриваемого интервала и коэффициенты дифференциального выражения связаны между собой определенными соотношениями, и доказать следующую теорему о количестве нулей дифференциального уравнения второго порядка на произвольном отрезке. Теорема 2.1.1. Пусть [а,Ь] С R и вещественные функции р > 0 и q таковы, что выполняется неравенство ь / х \ / ь \ ь m)q^X) \J W))dX~ I WY гдЄ 9-W = -min{9(x),0}
Тогда любое ненулевое вещественное решение уравнения (1) имеет не более одного пуля па [а, Ь].
Основными результатами параграфа 2.2 являются следующие теоремы о количестве нулей решений дифференциального уравнения п + 1 - го порядка.
Теорема 2.2.1. Пусть р и q - вещественные функции ир> 0 на (а,Ь). Любое ненулевое вещественное решение уравнения (2) имеет не более п ф нулей (с учетом их кратности) па интервале (а, Ъ) в том и только в том случае, когда любое ненулевое вещественное решение уравнения (1) имеет не более одного нуля на (а, 6).
Теорема 2.2.2. Пусть функции р и q удовлетворяют условиям теоремы 2.1.1. Тогда любое ненулевое вещественное решение уравнения (2) имеет не более п нулей на [а, Ь] с учетом их кратности.
В параграфе 2.3 теорема 1.2.1 и асимптотические формулы Лиувилля-Грина для решений дифференциального уравнения второго порядка применяются для исследования асимптотики решений и их квазипроизводных дифференциального уравнения (2).
Обозначим через Ср(Ш+) (=: Ср) банахово пространство всех комплекс-позначных измеримых функций /, для которых | / \р интегрируема в R+ := [0,+оо). Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3.2. Пусть вещественные функции р и q имеют локально абсолютно непрерывные производные первого порядка и р > 0 и q > О (q < О)1. Пусть далее (I Ч І /Р)1/2 І С, (4) &-і«і)-і/4І(^і'і)-1/4)є'- (5)
Тогда уравнение (2) имеет линейно независимые решения yi(= un~lvl) (I = 0,1,...,п), для которых при х —» +оо справедливы асимптотиче- 1 Здесь результаты, относящиеся к случаю q < 0, приведены в скобках. 13 скис формулы yf ~ Ms(pq)->-2^exp ( (n - 21) f(q/p)1/2dt ) {y\S] ~ Ma(-pq)"^n-^exp ( (n - 21) і J\-q/p)V2dt )}, min{l;s} , n (n-l)\ U_ ms= J2 c* (n — I — s + m)\(l — m)\ m=max{0;-n+l+s} ч / \ / (s = 0,1,..., n). Последнее утверждение позволяет получить естественное обобщение оценок Лиувилля-Грина для всех решений дифференциального уравнения п+ 1-го порядка, фундаментальная система решений которого строится по фундаментальной системе решений дифференциального уравнения второго порядка.
Следствие 2.3.2. Пусть функции р и q имеют локально абсолютно непрерывные производные первого порядка up>Quq
Найденные оценки мы будем называть оценками типа Лиувилля-Грина, В параграфе 2.4, предполагая, что р и q - вещественные функции на полуоси R+, обсуждаются некоторые вопросы спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов, порожденных квазидифференциальным выражением / := /0, если п—нечетно, и / := Hq, если п—четно в гильбертовом пространстве 20^+)- Самосопряженные расширения сингулярного оператора, подобно самосопряженным расширениям регулярного оператора, можно характеризовать с помощью системы граничных условий. В случае индекса дефекта (n + l,n + 1) число граничных условий, определяющих самосопряженное расширение сингулярного оператора, равно п + 1, также как и в случае регулярного оператора. Кроме того, в этом случае резольвента Яд любого самосопряженного расширения минимального оператора Lq есть интегральный оператор, ядром К(х, s, А) которого служит ядро Гильберта-Шмидта. Поэтому резольвента R\ является вполне непрерывным оператором, и, следовательно, спектр всякого самосопряженного расширения оператора Lq чисто дискретен, т.е. состоит из счетного множества собственных значений конечной кратности с единственной предельной точкой на бесконечности. Говорят, что выражение I является квазирегулярным (для выражения / имеет место вполне неопределенный случай), если дефектные числа минимального оператора!^ максимальны и равны п + 1.
Непосредственным следствием теоремы 1.2.1 является следующий критерий квазирегулярности выражения /.
Теорема 2.4.3. Для выраэюеиия I имеет место вполне неопределе?тый случай тогда и только тогда, когда все решения уравнения (1) прииадле- оісат пространству С2п-
Важным промежуточным результатом является критерии принадлежности всех решений дифференциального уравнения второго порядка пространству Ср.
Теорема 2.4.4. Пусть u(x,t) - функция Коши уравнения (1), т.е. решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям и(х, t) \x=t= О и p(x)uf(x, t) \x=t— 1- Для шого, чтобы все решения уравнения (1) принад- лежали пространству Ср, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности непересекающихся интервалов (ат,Ьт) С R+ выполнялось условие
Ь х \ V2 Urn, >Ь х ]Г ( [dx f \u(x,t) \р dt
Применение теорем 2.4.3 и 2.4.4 позволяет получить разнообразные достаточные условия неквазирегулярности выражения I. Теорема 2.4.5. Вираоїсение І не является квазирегуляриым, если функции р и q удовлетворяют какому - либо из перечисленных ниоюе условий:
I. Пусть (ат,Ьт) С Ш+ - последовательность непересекающихся ин тервалов, таких, что р(х) > 0 почти всюду при х Є (ат, Ьт) и00 (Ъ -a )n+l \итп ~ ат) _ Mm = sup{p(x),x Є (ат,Ьт)}.
II. Пусть 0 < с < р(х) < С почти всюду при х Є R+ и М - полооїси-телъпая, неубывающая функция на Ш+, такая, что q- < М{х) при х Є Ш++ и f М-п12 = +оо. о
Пусть 0 < с < р{х) < С почти всюду при х Є Ш+ и q-(x) Є Lr(R+) для некоторого г > 1.
Пусть (ат,Ьт) С Ш+ - последовательность непересекающихся интервалов, 7ш - последовательность полооюительпых чисел, такие, что с < р(х) < С почти всюду при х Є (ат, Ьт) и і) іш = +00,
2) (Ьт - am)1+n7m > к,
Ьт 2 2
5; j ^_(г)с/т < K(bm - am)1+nj^.
С точки зрения спектральной теории дифференциальных операторов оценки типа Лиувиля-Грина для решений дифференциальных уравнений высокого порядка интересны тем, что позволяют получить примеры дифференциальных операторов с максимальными дефектными числами. Справедлив следующий признак квазирегулярности выражения /. Теорема 2.4.6. Пусть функции р и q имеют локально абсолютно непрерывные производные первого порядка up>0uq<0ua Ш+, и пусть выполнены условия (4) и (5). Тогда для вьіраоїсеиия I имеет место вполне неопределенный случай в том и только в том случае, когда /\-ряУп/2 < +00.
В третьей главе исследуется асимптотика решений системы дифференциальных уравнений
У = FY (6) при х -> +оо, где F := (Д,) - матрица с элементами Дл+1 := р~1, Д.+1>л := &k4 + ^к (к = 1,2,...,п) и fij := 0 при остальных значениях і и j.
Здесь вещественные функции р, q и г& (к = 1,2,..., п) измеримы на полуоси R+, функции p~l, q и г& суммируемы на каждом ее замкнутом конечном подынтервале [а, (3\ С Ш+ (p_1, , ги Є L}0C(R++)), оси (к = 1,2,..., п) -действительные числа, причем ctf. = an+\-k и гь = Гп+i-fc (к = 1, 2,..., п), и п - натуральное число.
При этом предполагается выполнение следующих условий. 1 Матрица С имеет (n + 1) простое собственное значение; 2 р(х) ф О, q{x) ф 0 при х Є Е+; 3 р/, ql Є ACioc{R+)-
4(M/M)1/2^i(K+);
5 I p^7 r1/4 i^d p I I pg ґ1/4) e /:^^+)5
6 rk | pq |-V26 Ci{R+).
Основной результат третьей главы состоит в следующем. Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия 1 - 6. Тогда система (6) имеет решения Уи{х) (к = 1, 2,... п + 1) такие, что при х —> +оо справедливы асимптотические формулы Yk(x) = (р/4ОДК + о(1)}е:гр I Л, J (q/p)l/2dt J . (7)
Теорема 3.2.1 позволяет получить оценки типа Лиувилля-Грина для дифференциальных уравнений высокого порядка, которые не связаны с дифференциальными уравнениями второго порядка.
В параграфе 3.3 рассмотрены линейные однородные дифференциальные уравнения п + 1 - го порядка vy = 0, (8) равносильные системе (6), и доказаны следующие утверждения.
Следствие 3.2.1. Пусть выполнены условия 1 - 6, pq > 0 на Ш+ и все собственные значения матрицы С чисто мнимые. Тогда для решений уравнения (8) верны оценки типа Лиувилля-Грина \у\ < {const.)\pq\-nlA.
Следствие 3.2.2. Пусть выполнены условия 1 - 6, pq < О на Ш+ и все собственные значения матрицы С действительные. Тогда для решений уравнения (8) верны оценки типа Лиувилля-Грипа \у\ < (const.)\pq\-nl\
В параграфе 3.4 приведены различные примеры системы (6). Пример 3.4.1. Пусть аь = 1 {к = 1, 2,..., п). Тогда собственными значениями матрицы С являются различные действительные числа
Хк = 2 cos —— (к = 1,2,..., п + 1).
Система (G) имеет решения Yk{x) {к = 1,2,... п+1) такие, что при х —> +оо справедливы асимптотические формулы Yk(x) = {pqYnlAQ{x){vk + о(1)}ехр | 2 cos -^ J {q/p)l'2dt
Согласно следствию 3.2.2, для решений уравнения (8) верны оценки типа Лиувилля-Грина при условии, чторд < 0.
Пример 3.4.2. Пусть ак = — 1 (к = 1, 2,..., п). Тогда собственными значениями матрицы С являются различные чисто мнимые числа Afc = 2z'cos (A; = 1,2,..., п +1). п + 1
Система (6) имеет решения УЦх) (к = 1,2,... п+1) такие, что при х —» +оо справедливы асимптотические формулы
Ук(х) = (pq)-n/4Q(x){vk + о(1)}ехр 2г cos -^ J {q/p)l'2dt
Согласно следствию 3.2.1, для решений уравнения (8) верны оценки типа Лиувилля-Грина при условии, что pq > 0.
Пример 3.4.3. Пусть сек — к(п + 1 — к) (к = 1,2,..., п). Тогда собственными значениями матрицы С являются различные действительные числа
Хк = п-2к (& = 0,1,...,п).
Система (G) имеет решения Yf.(x) (к = 0,1,.. .п) такие, что при х —> +оо справедливы асимптотические формулы Yk(x) = (pq)-n/4Q(x){vk + о(1)}ехр | (п - 2к) J (q/p)1/2dt j .
Согласно следствию 3.2.2, для решений уравнения (8) верны оценки типа Лиувилля-Грина при условии, что pq < 0.
Особо стоит отметить пример 3.4.3, поскольку асимптотика решений для этого класса дифференциальных уравнений высокого порядка была получена ранее во второй главе с использованием теоремы 1.2.1.
В параграфе 3.5 с помощью оценок типа Лиувилля-Грина получены признаки квазирегулярности симметрического квазидифференциалыюе выражения г := г/, если п - нечетно, и г := г и, если п - четно. Теорема 3.5.1. Пусть выполнены условия 1 - 6, pq > 0 на Ш+ и все собственные значения С чисто мнимые. Тогда для выраэ/сения т имеет место вполне неопределенный случай в том и только в том случае, когда /\pq)-n/2 < +00. О
Теорема 3.5.2. Пусть выполнены условия 1 - 6, pq < 0 на Ж+ и все собственные значения С действительные. Тогда для вьіраоїсения г имеет место вполне неопределенный случай в том и только в том случае, когда /\-ряГп/2 < +00.
Симметрические дифференциальные выражения
Рассмотрим дифференциальное выражение ту = РпУ{п) + Vn-iV{n l) + ...+Р0У на (а, Ъ) С R, где —со а b +00, комплекснозначные функции Ро, Pi, Рп принадлежат пространству С к\а, Ь), т.е. пространству непрерывно дифференцируемых функций до к - го порядка включительно на интервале (а, Ь) вещественной оси, и рп(х) ф 0 при х Є (а, Ь). Дифференциальное выражение где z обозначает число, комплексно сопряженное к z, называется сопряженным к дифференциальному выражению т. Дифференциальное выражение г называется симметрическим, или формально самосопряженным, если для любого у Є С п\а,Ь) выполнено равенство т у = ту. Хорошо известно, что для п 1 всякое симметрическое дифференциальное выражение можно представить в дивергентной форме [п/2] [(п-1)/2] ту = x (j))(j)+І Е {(bjy{j))ij+l) + (Ь0и+І))и)), (l.i) j=0 j=0 где функции cij (j = 0,1,..., [п/2]) и bj {j = 0,1,..., [(n—1)/2]) вещественны , a [x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее х.
Если коэффициентами симметрического дифференциального выражения служат вещественные функции, то оно обязательно должно быть четного порядка и иметь вид тп ту = $ )Ю , j=0 где функции a,j (j = 0,1,..., m) вещественны.
Подробности определения сопряженных и симметрических (формально самосопряженных) дифференциальных выражений содержатся в книгах М.А. Наймарка (см. [13], стр. 17), Э.А. Коддипгтопа и Н. Левинсона (см. [4], стр. 205), В.В. Степанова (см. [15], стр. 205), Ф. Хартмана (см. [18], стр. 86, 450).
В дальнейшем мы откажемся от условий дифференцируемое коэффициентов рк (к = 0,1,..., п), называя при этом выражение т квазидифференциальным. 1.1.2 Квазипроизводные и симметрические квазидифференциальные выражения Пусть F = (fij) - матрица порядка п х п, элементами которой являются комплекснозначные функции на интервале (а, Ь), удовлетворяющие условиям: а) f — 0 почти всюду в (а, Ь), если 2 i + l j n; б) fij локально интегрируема на интервале (а,Ь), т.е. Д,- Є С(а,(3) для любых а,@ Є (a,b) и 1 г, j п (fij Є Cjoc(a,b)); в) /г,г+і Ф 0 почти всюду на (а, Ь) при 1 г п — 1. Квазипроизводные функции у и скалярное квазидифференциалыюе выражение, порожденное матрицей F, определяется следующим образом.
Пусть у№ := у и предположим, что квазипроизводные /ffc-i] уже определены и яляются абсолютно нерерывными функциями на каждом компакте [a, /3} С (a, b) (к = 1,2,... і). Функция г ,г +1 ущ ftt называется квазипроизводной функции у г -го порядка, а выражение »У:={У{П-1)) -І2їп -1] - квазидифференциальным выражение, порожденным матрицей F. Отметим, что условия а) и в) нужны для того, чтобы можно было определить скалярное квазидифференциалыюе выражение и, порожденное матрицей F, а условие б) - для обеспечение справедливости теоремы существования и единственности решений соответствующих систем дифференциальных уравнений первого порядка. Формулировка соответствующей теоремы приведена в конце этого пункта.
В дальнейшем мы будем рассматривать только квазидифференциальные выражения, порожденные матрицей F, удовлетворяющей условиям а), б), в) и условию симметричности F = -J lF J, где F - матрица, сопряженная к матрице F, т.е. F — (/,-г-), J - постоянная матрица J=((-l)\ itn+w) (1 г,і п) (здесь Sij - символ Кронекера, т.е. 6ij = 0 при і ф j и Ьц = 1 при і = j). Введем следующее обозначение тг-1 {u,v} := (-l)"+1-%byn-i-j] и положим [u,v] := {и, v}, если п - четно, и [u,v] := i{u, v} или [u,v] := —i{u, v}, если n - нечетно.
Определим выражение т, положив г := и, если п - четно иг:= iv или г := — гі/, если п - нечетно. Область определения D{r) выражения г - это множество всех функций у, для которых существуют локально абсолютно непрерывные квазипроизводные у№ до (п — 1) - го порядка включительно. Отметим также, что билинейная форма [и, v] является кососимметрической и справедлива формула Р а,(Зе(а,Ъ), (1.2) а Р Р а \Р / VTU — \ UTV = [и, v] где [u,v]\a = [u,v](P) - [u,v](aj.
Из формулы (1.2), в частности, следует, что выражение г является симметрическим. В дальнейшем выражение т будем называть симметрическим квазидифференциальным выражением, порожденным матрицей F.
Итерационные ряды для функции Коши
П. 2.1.1 посвящен определению и основным свойствам функции Коши дифференциального уравнения второго порядка. В п. 2.1.2 приведены итерационные ряды для этой функции. Лемма п. 2.1.3 позволяет получить нижние оценки для функции Коши в случае, когда длина рассатриваемого интервала и коэффициенты дифференциального выражения связаны между собой определенными соотношениями. С помощью леммы п. 2.1.3 в н. 2.1.4 доказана теорема о количестве нулей решений дифференциального уравнения второго порядка на произвольном отрезке.
Функция Коши дифференциального уравнения второго порядка Пусть р и q - вещественные функции на (а, Ь) Сій р г,Я Є }0С(а,Ь). Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка (1.4). Согласно теореме 1.1.1 п. 1.1.2, если XQ (а,Ь) и г/о,уі - произвольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения (1.4)
УЫ) = т/о, р{х0)у {х0) = у1 имеет единственное решение, существующее при всех я; Є (а, Ъ).
Пусть XQ Є (а,Ь) - фиксированное число, р и ф - решения уравнения (1.4), удовлетворяющие начальным условиям (р(хо) = (р-ф )(хо) — 1, (р(р )(хо) = ф(хо) = 0. Функции ір и ф образуют линейно независимую систему решений уравнения (1.4), так как определитель Вронского для этих функций не обращается в нуль в точке XQ.
Обозначим через и(х, t) функцию Коши уравнения (1.4), т.е. решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям u{x,t) \x=t= 0 и p(x)u/(x,t) \x=t= 1. Тогда справедливо равенство и(х, t) = ф(х)(р(і) - ф(ї)ір(х). (2.1) Действительно, представим функцию Копій в виде и(х, t) = ci(t)(p(x) + с2(Ь)ф{х). Продиф()еренцировав обе части равенства под; и подставив х = t, получим систему относительно Сі(t) И C2(t)l сг(1)ф{і) + c2(t) p{t) = О, Ci(t)P(tW(t)+02(t)p(tW(t) = l. Определитель системы равен единице, и поэтому, применяя правило Крамера, находим, что c\(t) = —ф{і) и C2(t) = ip(t). 2.1.2 Итерационные ряды для функции Коши Пусть q-(x) = —min{q(x),0} и q+(x) = q(x) + q (x). Обозначим через U-(x,t) функцию Коши дифференциального уравнения {p(x)yf)f = -q-y, т.е.решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и-(х, t) \x=t= 0 и p(x)u _(x,t) \x=t= 1. Функция u-(x, t) удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра второго рода X X / X \ Так как функции p ,q Є Ljoc(a,b), то, применив метод последовательных приближений к данному интегральному уравнению, получим представление функции U-(x,t) в виде ряда, равномерно сходящегося при х Є (a,b),
В правой части последнего неравенства находится функция, обращающаяся в нуль при х = хо и возрастающая при х Є (XQ, b]. Значит, при х Є (хо, Ь] выполняется неравенство (2.6). Поэтому и(х) ф 0 при х Є (xo,b]. С другой стороны, из равенства (2.1) следует, что и(х, XQ) — —U(XQ,X). Значит, и(х) ф 0 и в случае х Є [а,хо). Таким образом, и(х) ф 0 при х Є [а, b] \ {XQ}. Теорема 2.1.1 доказана.
Замечание. В случае, когда р = — 1, эта теорема приведена в книге Ф. Хартмана (см. [18], стр. 407). Более общая теорема, в которой теорема 2.1.1 содержится как частный случай, доказана в работе К.А. Мирзоева [10]. Теорема 2.1.1 приведена без доказательства в работе К.А. Мирзоева и Н.Н. Конечной [25].
Из теоремы 1.2.1, очевидно, следует, что свойства решений уравнений (1.3) и (1.4) тесно связаны. В п. 2.2.1, предполагая, что р и q вещественные функции и р 0 на (а, Ь), доказана теорема о связи между числом нулей решений дифференциальных уравнений второго и п + 1 - го порядков. В п. 2.2.2 приведена теорема о количестве нулей решений дифферециалыюго уравнения п + 1 - го порядка.
Асимптотика и оценки Лиувилля-Грина для решений дифференциального уравнения второго порядка
Используя известные асимптотические формулы Лиувилля-Грина для решений уравнения (1.4) и применяя теорему 1.2.1, можно получить асимптотические формулы для всех решений уравнения (1.3) и их квазипризвод-ных. В п. 2.3.1 изложены асимптотические формулы и оценки Лиувилля-Грина для решений уравнения второго порядка. В п. 2.3.2 получены асимптотические формулы для решений уравнения п + 1-го порядка. В п. 2.3.3 приведены оценки типа Лиувилля-Грина для решений уравненияп+1 - го порядка.
Асимптотика и оценки Лиувилля-Грина для решений дифференциального уравнения второго порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1.4), предполагая, чтор и q -вещественные функции на полуоси Ш+ := [0,+со).
Обозначим через СР(Ш+) (—: Ср) банахово пространство всех комплексно-значных измеримых функций /, для которых / \р интегрируема в Ш+. Асимптотические формулы Лиувилля-Грина для решений уравнения (1.4) хорошо известны и превосходно изложены в книге M.S.P. Eastham (см. [19], стр. 55). В частности, справедливо следующее утверждение.
Тогда уравнение (1.4) имеет линейно независимые решения и и v, для которых при х — +оо справедливы асимптотические формулы Непосредственным следствием теоремы 2.3.1 является следующее утверждение.
Следствие 2.3.1 Пусть функциир и q имеют локально абсолютно непрерывные производные первого порядка и р 0 и q 0 на Ш+, и пусть выполнены условия (2.10) и (2.11). Тогда для решений уравнения (1.4) Gep7ibi оценки Лиувилля-Грина
Теорема 2.3.2 Пусть функции р и q имеют локально абсолютно непрерывные производные первого порядка up 0uq 0(q 0). Пусть далее выполнены условия (2.10) и (2.11). Тогда уравнение (1.3) имеет линейно независимые решения yi(= un lvl) (I — О,1,...,п), для которых при х — +оо справедливы асимптотические формулы
Доказательство. При выполнении условий теоремы уравнение (1.4) имеет линейно независимые решения и и v, для которых при х —» +оо справедливы асимптотические формулы (2.12) и (2.13).
Согласно теореме 1.2.1, функции т//(= un lvl) (I = 0,1,..., п) образуют фундаментальную систему решений уравнения (1.3). Применяя теперь формулы (2.12) и (2.13), находим, что если выполнены условия (2.10) и (2.11), то для функций yi (I = 0,1,... ,п) справедливы при х — +со асимитоти С5 ческие формулы
Используя формулы (2.12) и (2.13) и тождество (1.6), получим, что для квазипроизводных y\s ( 5 = 1,2,..., щ I — 0,1,... п ) решений yi уравнения (1.3) справедливы при х — +оо асимптотические формулы (2.14), где постоянная Ms определена равенством (2.15) . Теорема 2.3.2 доказана.
Оценки решений дифференциальных уравнений п + 1 — го порядка Теорема 2.3.2 позволяет получить естественное обобщение оценок Лиувилля-Грина для всех решений дифференциального уравнения п+1 - го порядка, фундаментальная система решений которого строится по фундаментальной системе дифференциального уравнения второго порядка.
Следствие 2.3.2 Пусть функциир и q имеют локально абсолютно непрерывные производные первого порядка up 0uq 0iia Ш+, и пусть выполнены условия (2.10) и (2.11). Тогда для решений уравнения (1.3) верпы оценки
Найденные оценки мы будем называть оценками типа Лиувилля-Грина. Доказательство. В силу теоремы 2.3.2 при выполнении вышеперечисленных условий уравнение (1.3) имеет фундаментальную систему решений, 6G для которой справедливы асимптотические формулы (2.17). Так как в показателе экспоненциальной функции стоит чисто мнимое выражение, то для решений уравнения (1.3) будут справедливы оценки (2.18). Следствие 2.3.2 доказано.
Теорема об асимптотике решений системы дифференциальных уравнений
Пусть выполнены условия 1 - 6 п. 3.2.1, pq 0 на Ш+ и все собственные значения С чисто мнимые. Тогда для выраоюения т имеет место вполне неопределенный случай в том и только в том случае, когда
Доказательство. Известно, что для выражения г имеет место вполне неопределенный случай тогда и только тогда, когда все решения уравнения (3.3) принадлежат пространству / - В силу следствия 3.3.1 при выполнении вышеперечисленных условий для решений уравнения (3.3) справедливы оценки (3.43). Возведя обе части неравенства (3.43) во вторую степень и проинтегрировав по промежутку [0,+оо), получим, что все решения уравнения (3.3) принадлежат пространству / тогда и только тогда, когда справедливо неравенство (3.48). Теорема 3.5.1 доказана.
Теорема 3.5.2 Пусть выполнены условия 1 - 6 п. 3.2.1, pq 0 на Ж+ и все собственные значения С действительные. Тогда для выраэ/сеиия т имеет место вполне неопределенный случай в том и только в том случае, когда
Доказательство. Известно, что для выражения т имеет место вполне неопределенный случай тогда и только тогда, когда все решения уравнения (3.3) принадлежат пространству г- В силу следствия 3.3.2 при выполнении вышеперечисленных условий для решений уравнения (3.3) справедливы оцен ки (3.44). Возведя обе части неравенства (3.43) во вторую степень и проинтегрировав по промежутку [0,+оо), получим, что все решения уравнения (3.3) принадлежат пространству / тогда и только тогда, когда справедливо неравенство (3.49). Теорема 3.5.2 доказана.
Отметим, что во многих работах оценки для решений дифференциальных уравнений высокого порядка были получены на основе алгебраического метода Н.П.Купцова [26]. В [20] M.S.P. Eastham показал, что для решений дифференциального уравнения четвертого порядка
Далее M.S.P. Eastham в работе [21] и S.B. Hadid в работе [24] усовершенствовали метод Н.П. Купцова для дифференциальных уравнений высокого порядка. Асимптотических методы, предложенные М.В. Федорюком [16] и M.S.P. Eastham [19], позволяют получить более точные оценки для решений дифференциальных уравнений высокого порядка. Например, в случае дифференциального уравнения четвертого порядка при условии, что можно показать, что все решения удовлетворяют неравенству
Выносимые на защиту результаты диссертационной работы являются новыми. Из них выделим следующие.
1. Найден класс линейных однородных дифференциальных уравнений п+1 - го порядка (п 1), с коэффициентами, зависящими от функций р и q, фундаментальная система решений которого строится по фундаментальной системе решений дифференциального уравнения второго порядка {р(х)у У = q(x)y.
2. Получены теоремы о числе нулей вещественных решений линейных однородных дифференциальных уравнений 77.4-1 - го порядка (п 1) на произвольном отрезке и их связи с числом нулей вещественных решений дифференциального уравнения второго порядка.
3. Исследована асимптотика решений систем линейных дифференциальных уравнений вида У = ф(х)Ф(х)В(х)Ф 1(х)У при х —» +оо. Как следствие, получены оценки типа Лиувилля-Грина для решений линейных однородных дифференциальных уравнений п +1 - го порядка (п 1) и условия на коэффициенты дифференциальных уравнений, обеспечивающие реализацию случая максимальных дефектных чисел для соответствующих дифференциальных операторов.
