Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Свойства спектра и собственных функций оператора Шредингера в магнитном поле 13
1. О невозможности сверхэкспоненциального убывания собственной функции оператора Н 13
2. Асимптотическое поведение собственной функции оператора Я 27
3. Отсутствие положительных собственных значений у оператора Н 44
4. Абсолютная непрерывность спектра оператора Н 52
Глава II. Свойства спектра и собственных функций эллиптического оператора 58
5. Самосопряженность оператора L 58
6. О невозможности сверхэкспоненциального убывания собственной функции оператора L 70
7. Асимптотическое поведение собственной функции оператора L 98
8. Отсутствие положительных собственных значений у оператора L 106
9. Абсолютная непрерывность спектра оператора L 117
Список литературы 122
- О невозможности сверхэкспоненциального убывания собственной функции оператора Н
- Отсутствие положительных собственных значений у оператора Н
- О невозможности сверхэкспоненциального убывания собственной функции оператора L
- Отсутствие положительных собственных значений у оператора L
Введение к работе
Спектральная теория эллиптических операторов является важным разделом общей спектральной теории операторов и активно развивается различными математическими школами. В этой области получены фундаментальные результаты, которые находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики и квантовой механики.
В настоящей диссертации изучаются операторы вида
H = it(Pk + ak)2 + Vt (0.1)
к=1 И
п п В ( В \
*--&*Ы+* (о-2)
где Рк,к = 1,п - операторы импульса (ограничения на параметры входящие в данные операторы см. ниже). Общим для операторов вида (0.1),(0.2) является то, что они в качестве исходного или, если угодно, модельного оператора имеют оператор Шредингера
-A + V,
где Д - оператор Лапласа. Данный оператор играет исключительно важную роль в квантовой механике. Изучению его собственных функций и спектра посвящено большое количество работ. В частности, эспоненциаль-ное убывание на бесконечности собственных функций многомерного оператора Шредингера с полуограниченным снизу потенциалом впервые доказал И. Э. Шноль [8], результаты которого затем уточнялись в работах Б. Саймона [18].
Далее, одной из основных задач квантовой теории рассеяния является задача доказательства отсутствия положительных собственных значений оператора Шредингера. Отсутствие положительных собственных значений уравнения
AU + \U = 0
в одном классе бесконечных звездных областей методом априорных оценок доказал Ф. Реллих [22]. В работе [15] Т. Като развил технику априорных оценок для доказательства отсутствия положительных собственных значений оператора Шредингера в L/2(Rn), потенциал которого подчинен условию lim |сс|К(ж) = 0. В дальнейшем, пользуясь своим методом "взве-
|х|—юо
шенных" оценок, С. Агмон в работах [9],[10] доказал отсутствие сингулярно непрерывного спектра оператора Шредингера в Li2(Rn) с неограниченным потенциалом вида V(x) = (1 + |a;|)~eW(x), где s > 1, а функция W Д-компактна в L2(Rn) (условие s > 1 лежит в основе метода Агмона). Аналогичный результат другим методом установил В. Энсс в классе потенциалов V(x) = /(|х|)И^(а:), где /(г) > 0 - суммируемая монотонная функция [11],[12]. Наконец, Мурр в своей работе [17] (см. также [7]) развил метод, применимый к большому классу операторов, и использующий коммутаторную оценку для доказательства отсутствия сингулярно непрерывного спектра.
Со спектральным анализом тесно связан вопрос о единственности продолжения решения уравнения Шредингера. Теоремы единственности в L2(R2) впервые были доказаны Т. Карлеманом [23]. Аналогичные теоремы L2(R") при п > 2 получены С. Мюллером [20]. В дальнейшем эта задача для неограниченных потенциалов изучалась Е. Хайнцем [21].
В работах Р. Фрезе [13],[14] (см. также [7], теорема 4.18.), при довольно жестком условии, что почти всюду существует производная по радиальной переменной от функции V(x), а \х\ Ду А-ограничен.с Д-гранью меньшей 2 доказывается, что собственные функции оператора Шредингера не могут убывать быстрее, чем е5^ при любом 5 > 0. Более точные результаты получены в монографии [5] X. X. Муртазина и В. А. Садовничего. В теореме 2.1. данной монографии доказано, что если V(x) = (l-\-\x\)~1W(x), где W(x)A-ограничен и при размерности конфигурационного пространства п > 4 дополнительно удовлетворяет неким предельным соотношениям (см. ниже),
то собственная функция соответствующая положительному собственному значению не может убывать быстрее любой степени |а;|. Этот результат хорошо согласуется с известным примером потенциала V(x) Вигнера-фон Неймана (см. [б], стр. 246). Далее, в теореме 2.2. той же монографии, при условии, что ІУА-компактен и при п > 4 дополнительно удовлетворяет предельным соотношениям, доказано что оператор Шредингера не имеет положительных собственных значений. Последняя теорема с применением метода Мурра приводит к тому, что при условиях теоремы 2.2. положи-. тельный спектр оператора —А + V абсолютно непрерывен.-Значительная часть данной диссертации - обобщение результатов данной монографии на операторы вида (0.1),(0.2).
Основной целью работы является доказательство теорем о скорости убывания, асимптотическом поведении собственной функции и отсутствии положительных собственных значений, а также об абсолютной непрерывности спектров операторов (0.1),(0.2).
При этом будут использоваться метод априорных оценок, естественный в теории эллиптических уравнений и метод Мурра.
Результаты работы носят в основном теоретический характер. Они могут найти применение в области дифференциальных уравнений и квантовой механики.
Диссертация состоит из введения, двух глав (1—4 и 5—9 соответственно), списка литературы, изложенных на 125 страницах машинописного текста. Список литературы насчитывает 29 наименований, из которых 15 на иностранных языках. Нумерация теорем, лемм и замечаний единая и сплошная в каждой главе.
Перейдем к изложению результатов диссертации.
В главе I изучаются операторы вида (0.1).
H = J2(Pk + ak)2 + V,
к=1
где pk = —і^г, к — l,n - операторы импульса, V - оператор умножения на измеримую функцию V(x) из Ь2)гОС5 называемую электрическим потенциалом, а(х) = (ai(x),...,an(x)) - магнитный потенциал, при всех к = 1,п a,k(x) Є W2loc(Rn), причем все потенциалы считаются вещественными.
Для данного оператора доказывается ряд теорем. Причем они располагаются в порядке усиления ограничений на параметры и из выполнения условий каждой последующей теоремы вытекает выполнение условий предыдущей теоремы (и.тем самым всех предыдущих), а доказательство каждой последующей теоремы опирается на доказательство предыдущей (и тем самым всех предыдущих).
С помощью следующего преобразования
е-^Н(а,У)еІІЛ = Н{Ь,У),
где ц(х) - вещественная дифференцируемая функция, называемая калибровочной, а Ъ = a + V/J, - новый магнитный потенциал, мы переходим'к оператору Н(Ь, V). Полученное равенство выражает тот важный факт, что "физика" зависит лишь от компонент так называемого магнитного тензора (см. ниже), а магнитный потенциал определен с точностью до калибровочного преобразования. Далее, с помощью специального выбора функции ц(х)
мы добиваемся выполнения равенства Ъ х = Y, ЬтХт = 0, которое впо-
т=1 _
следствии неоднократно используется. Полагая
п х
т=1 \Х\
дак(х) дат(х) —
акт{х) = — , /c,m=l,n,
охт дхк
- компоненты магнитного тензора можем сформулировать следующую теорему , составляющую основное содержание 1.
Теорема 1.1. Пусть H{a,V)U = \ЇЇ, А Є R и e5^U{x) Є L2(Rn) для любого S > 0 и пусть выполнены условия:
(i) sup(l + |а;|)|6^(а:)| < со для всех к = 1,п;
(ii) sup |div6(a:)| < со;
при п < 2 оператор W = VJ(1 + \х\) - А-ограничен;
при п > 3 оператор W - А-ограничен и lim .гїЦИ^—Д + -z)_1|| = 0. Тогда U(x) = 0.
Заметим, что условия на V^ в данной теореме, как впрочем и-во всех последующих, взяты из соответствующей теоремы из монографии [5], а зависимость условий от размерности конфигурационного пространства п (условия (а),(Ь)) типична для всех последующих теорем. Это связано с тем, что для размерностей меньшей или равной 2 или 3 (в зависимости от теоремы) удается доказать автоматическое выполнение предельных условий, которые приходится налагать в случае пространств больших размерностей (см.
И).
Что касается смысла сформулированной выше теоремы, то он заключатся в том, что собственные функции оператора Н(а, V) (или, что то же Н(Ь, V)) не могут убывать слишком быстро (быстрее е6№ при любом 5 > 0).
Также в 1, в одной вспомогательной лемме, доказывается самосопряженность оператора Н(Ь, V) и выписывается формула для его резольвенты, которая неоднократно используется в дальнейшем.
В 2 доказывается следующая теорема об асимптотическом поведении собственной функции соответствующей положительному собственному значению.
Теорема 1.2. Пусть H(a,V)U = ЇЇ, А > 0 и \х\50(х) Є L2(Rn) для любого 5 > 0 и пусть выполнены условия:
(ii) sup |div&(a:)| < со; . xeRn
(iii) \bk(x)\ = 0(7) , \x\ -> 00, sup \bk(x)\ < 00, k = l~n;
41 " xGR"
при п < 3 оператор W = V(l + |sc|) - ^-ограничен;
при п>А оператор W - А-ограничен и
ton \\W(-A + г)_1|| = 0, ton **||(l + |a;|)-3W(-A + ^11 = О.
Тогда С/(ж) = 0.
В 3 доказывается теорема об отсутствии положительных собственных значений.
Теорема 1.3. Пусть выполнены условия: (ii) sup |div6(a;)| < со;
(Ні) \bk(x)\ = о (±) , \х\-+оо, sup \bk(x)\ < со, к = ї~п;
при п < 3 оператор W = V(l + |аг|) - А-компактен;
/гри п > 4 оператор W - А-компактен и
ton ^На + ЫНШ-Д + гГ1!! =0.
Тогда оператор H(a,V) не имеет положительных собственных значений.
По поводу содержания теорем 1.2. и 1.3. можно заметить следующее. Из физических соображений ясно, что положительные собственные значения гамильтонианов (т.е. операторов соответствующих энергии в квантовой механике) явление очень необычное и на первый взгляд невозможное. Однако, как уже упоминалось выше, существует пример такой функции V{x) Вигнера-фон Неймана , что оператор —Д + V имеет положительное собственное значение и собственная функция соответствующая данному собственному значению ведет себя на бесконечности степенным образом. Таким образом, значение теорем 1.2. и 1.3. заключается в том, что они обобщают теоремы об асимптотическом поведении собственной функции соответствующей положительному собственному значению и об отсутствии последних на оператор более общего вида, чем оператор Шредингера — Д + V.
Наконец, в 4 доказывается теорема об абсолютной непрерывности спектра оператора Я(а, V).
Теорема 1.4. Пусть выполнены следующие условия: (ii) sup jdivb(x)\ < со;
(Hi) \h(x)\ = о (±) , |ж| -> oo, sup |6fe(a;)| < со, k = ї~гї;
41 w xeRn
(iv) оператор \x\b2 А-компактен.
при n < 3 оператор W — V(l + |ж|) А-компактен;
rcpu n > 4 оператор W А-компактен и
lim ^ІКі + іжіНи^-Д + ^-Чі^О;
г—>+oo
Тогда оператор Н(а, V) обладает абсолютно непрерывным спектром на положительной полуоси.
Отметим, что данная теорема согласуется с результатами известными для одного интересного примера магнитного потенциала (n = 2), приведенного в [16] (см. также [7], стр. 150). В главе II изучается оператор
в пространстве L2(Rn). Матрица Л(х) = [o>ij(x)]itj=i вещественная, симметрическая и положительно определенная при всех х из R", каждый элемент матрицы дифференцируем. При |ж| —) со матрица поэлементно стремится к единичной, т.е. lim a,ij(x) = <%, i,j = l,n, где S{j - символ Кронеке-
|x|-»oo
pa. V - оператор умножения на вещественную измеримую функцию V(x) из L2,Zoc- Отметим, что при aij(x) = 5{j, i,j — 1,п, мы имеем в качестве оператора L оператор Шредингера.
Для данного оператора доказываются теоремы аналогичные теоремам главы I и также как и прежде теоремы расположены в порядке ужесточения условий на параметры и доказательство каждой последующей опирается на доказательство предыдущей. Но в отличие от главы I, которая состоит из четырех параграфов, данная глава насчитывает пять параграфов. Такая
чг-л dajj(x)
< со;
асимметрия связана с тем, что теперь доказательство самосопряженности оператора L и нужные во всех последующих параграфах оценки его резольвенты составляют содержание вспомогательного 5. Основным результатом данного параграфа является Теорема 2.1. Пусть выполнены условия: (і) при всех j = l,n sup (g) при п < 3 оператор V А-ограничен; (h) при п > 4 оператор V А-ограничен и
Urn ІШ-Д+ ^11 = 0.
z—>+оо
Тогда оператор L самосопряжен в H^KR") и при всех z > 0 достаточно больших выполняются неравенства
||(-А + z)(L + г)"1!! < С, ||(L + г)(-Д + г)"11| < С,
(здесь, и всюду далее С - любая подходящая положительная абсолютная постоянная, точное значение которой несущественно).
Заметим, что данную теорему (в отличие от всех последующих) мы доказываем при более слабом ограничении на поведение коэффициентов матрицы А(х) на бесконечности, а именно мы считаем, что lim а^{х) —
|а;|-*оо
dij, i,j — 1,п, где матрица D положительно определена.
По поводу всех последующих теорем можно заметить следующее: во-первых: они, как уже отмечалось, соответствуют теоремам из параграфов главы I по следующей схеме: 1«—>-6, 2<—»7, и т.д. Это обстоятельство отражено в названиях параграфов.
во-вторых: условия на функцию V{x) в соответствующих теоремах полностью совпадают, что и отражено в обозначениях этих условий. Отсюда следует, что все сказанное выше по поводу смысла теорем главы I (1-4) сохраняется и для теорем главы II (6-9), с той лишь поправкой что оператор Я(Ь, V) имеет физическую интерпретацию (гамильтониан в
магнитном поле), а оператор L, который изучается в главе II, таковой, по всей видимости, не обладает.
Будут использоваться следующие условия на коэффициенты матрицы А(х).
дщ.
< со;
(ii) при всех г, j, к = 1, п sup
(iii) lim ГГх^ = 0;
n n
n n
daji(x)
(iv) при всех і, j = l,n lim У^ У^№()—^ = 0;
(v) при всех г,і = 1,п \іт У2У2хіакі(х)—^- = 0.
Отметим, что из выполнения условия (ii) следует выполнение условия (І) теоремы 2.1. и, что предельные условия (iii) - (v), в частности, выполняются, если для всех
dciij(x) _ ( 1
i,j,k=l,n —^ zrzolprl при \х\ -> со.
Теперь, учитывая сказаное выше, просто сформулируем теоремы оставшихся параграфов, не комментируя их. В 6 доказывается следующая теорема.
Теорема 2.2. Пусть LU = XU, X Є R и e5^U(x) Є L2(Rn) для любого 5 > 0 и пусть выполнены условия (іі) - (у), а также:
при п < 2 оператор W = VJ(1 + \х\) А-ограничен;
при п > 3 оператор W А-ограничен и lim z* \\W(—Л + z)~l\\ = 0. Тогда U{x) = 0.
Основное содержание 7 составляет следущая теорема об асимптотическом поведении собственных функций, соответвующих положительным собственным значениям.
Теорема 2.3. Пусть LU = XU, X > 0 и \x\5U(x) Є L2(Rn) для любого 5 > 0 и пусть выполнены условия (ii) - (v), а также:
при п < 3 оператор W = V(l + \х\) А-ограничен;
при п> 4 оператор W А-ограничен и
lim НШ-Д + г)"1!!^, Нт-^ІКі + ІївіН^-Д+ ^)^11 = 0.
Z—>+00 2—>+00
Тогда Cf(z) = 0.
В 8 доказывается теорема об отсутствии положительных собственных значений. Теорема 2.4. Пусть выполнены условия (ii) - (v), а также :
при п < 3 оператор W = V(l + \х\) А-компактен;
при п > 4 оператор W А-компактен и
Jim^lKl + \x\)^W(-A + z)-x|| = 0.
Тогда оператор L не имеет положительных собственных значений.
Наконец в 9 доказывается теорема об абсолютной непрерывности спектра оператора L. Теорема 2.5. Пусть выполнены условия (ii) - (v), а также :
даг,
(vi) при всех j = 1,п операторы J2 -^- А-компактны;
m=l
при п < 3 оператор W = V(l + |а:|) А-компактен;
при п > 4 оператор W А-компактен и
lim z5||(l +ЫНШ-Д+ ^)-41 =0.
Тогда оператор L обладает абсолютно непрерывным спектром на положительной полуоси.
Основные результаты работы опубликованы в [24]-[29].
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук X. X. Муртазину за постановку задач и постоянное внимание к работе.
О невозможности сверхэкспоненциального убывания собственной функции оператора Н
Общим для операторов вида (0.1),(0.2) является то, что они в качестве исходного или, если угодно, модельного оператора имеют оператор Шредингера где Д - оператор Лапласа. Данный оператор играет исключительно важную роль в квантовой механике. Изучению его собственных функций и спектра посвящено большое количество работ. В частности, эспоненциаль-ное убывание на бесконечности собственных функций многомерного оператора Шредингера с полуограниченным снизу потенциалом впервые доказал И. Э. Шноль [8], результаты которого затем уточнялись в работах Б. Саймона [18].
Далее, одной из основных задач квантовой теории рассеяния является задача доказательства отсутствия положительных собственных значений оператора Шредингера. Отсутствие положительных собственных значений уравнения в одном классе бесконечных звездных областей методом априорных оценок доказал Ф. Реллих [22]. В работе [15] Т. Като развил технику априорных оценок для доказательства отсутствия положительных собственных значений оператора Шредингера в L/2(Rn), потенциал которого подчинен условию lim ссК(ж) = 0. В дальнейшем, пользуясь своим методом "взвешенных" оценок, С. Агмон в работах [9],[10] доказал отсутствие сингулярно непрерывного спектра оператора Шредингера в Li2(Rn) с неограниченным потенциалом вида V(x) = (1 + a;) eW(x), где s 1, а функция W Д-компактна в L2(Rn) (условие s 1 лежит в основе метода Агмона). Аналогичный результат другим методом установил В. Энсс в классе потенциалов V(x) = /(х)И (а:), где /(г) 0 - суммируемая монотонная функция [11],[12]. Наконец, Мурр в своей работе [17] (см. также [7]) развил метод, применимый к большому классу операторов, и использующий коммутаторную оценку для доказательства отсутствия сингулярно непрерывного спектра.
Со спектральным анализом тесно связан вопрос о единственности продолжения решения уравнения Шредингера. Теоремы единственности в L2(R2) впервые были доказаны Т. Карлеманом [23]. Аналогичные теоремы L2(R") при п 2 получены С. Мюллером [20]. В дальнейшем эта задача для неограниченных потенциалов изучалась Е. Хайнцем [21].
В работах Р. Фрезе [13],[14] (см. также [7], теорема 4.18.), при довольно жестком условии, что почти всюду существует производная по радиальной переменной от функции V(x), а \х\ Ду А-ограничен.с Д-гранью меньшей 2 доказывается, что собственные функции оператора Шредингера не могут убывать быстрее, чем е5 при любом 5 0. Более точные результаты получены в монографии [5] X. X. Муртазина и В. А. Садовничего. В теореме 2.1. данной монографии доказано, что если V(x) = (l-\-\x\) 1W(x), где W(x)A-ограничен и при размерности конфигурационного пространства п 4 дополнительно удовлетворяет неким предельным соотношениям (см. ниже), то собственная функция соответствующая положительному собственному значению не может убывать быстрее любой степени а;. Этот результат хорошо согласуется с известным примером потенциала V(x) Вигнера-фон Неймана (см. [б], стр. 246). Далее, в теореме 2.2. той же монографии, при условии, что ІУА-компактен и при п 4 дополнительно удовлетворяет предельным соотношениям, доказано что оператор Шредингера не имеет положительных собственных значений. Последняя теорема с применением метода Мурра приводит к тому, что при условиях теоремы 2.2. положи-. тельный спектр оператора —А + V абсолютно непрерывен.-Значительная часть данной диссертации - обобщение результатов данной монографии на операторы вида (0.1),(0.2).
Основной целью работы является доказательство теорем о скорости убывания, асимптотическом поведении собственной функции и отсутствии положительных собственных значений, а также об абсолютной непрерывности спектров операторов (0.1),(0.2). При этом будут использоваться метод априорных оценок, естественный в теории эллиптических уравнений и метод Мурра. Результаты работы носят в основном теоретический характер. Они могут найти применение в области дифференциальных уравнений и квантовой механики.
Диссертация состоит из введения, двух глав (1—4 и 5—9 соответственно), списка литературы, изложенных на 125 страницах машинописного текста. Список литературы насчитывает 29 наименований, из которых 15 на иностранных языках. Нумерация теорем, лемм и замечаний единая и сплошная в каждой главе. Перейдем к изложению результатов диссертации.
В главе I изучаются операторы вида (0.1). - операторы импульса, V - оператор умножения на измеримую функцию V(x) из Ь2)гОС5 называемую электрическим потенциалом, а(х) = (ai(x),...,an(x)) - магнитный потенциал, при всех к = 1,п a,k(x) Є W2loc(Rn), причем все потенциалы считаются вещественными.
Для данного оператора доказывается ряд теорем. Причем они располагаются в порядке усиления ограничений на параметры и из выполнения условий каждой последующей теоремы вытекает выполнение условий предыдущей теоремы (и.тем самым всех предыдущих), а доказательство каждой последующей теоремы опирается на доказательство предыдущей (и тем самым всех предыдущих).
Отсутствие положительных собственных значений у оператора Н
По поводу содержания теорем 1.2. и 1.3. можно заметить следующее. Из физических соображений ясно, что положительные собственные значения гамильтонианов (т.е. операторов соответствующих энергии в квантовой механике) явление очень необычное и на первый взгляд невозможное. Однако, как уже упоминалось выше, существует пример такой функции V{x) Вигнера-фон Неймана , что оператор —Д + V имеет положительное собственное значение и собственная функция соответствующая данному собственному значению ведет себя на бесконечности степенным образом. Таким образом, значение теорем 1.2. и 1.3. заключается в том, что они обобщают теоремы об асимптотическом поведении собственной функции соответствующей положительному собственному значению и об отсутствии последних на оператор более общего вида, чем оператор Шредингера — Д + V.
Наконец, в 4 доказывается теорема об абсолютной непрерывности спектра оператора Я(а, V). Теорема 1.4. Пусть выполнены следующие условия: (ii) sup jdivb(x)\ со; Тогда оператор Н(а, V) обладает абсолютно непрерывным спектром на положительной полуоси. Отметим, что данная теорема согласуется с результатами известными для одного интересного примера магнитного потенциала (n = 2), приведенного в [16] (см. также [7], стр. 150). В главе II изучается оператор в пространстве L2(Rn). Матрица Л(х) = [o ij(x)]itj=i вещественная, симметрическая и положительно определенная при всех х из R", каждый элемент матрицы дифференцируем. При ж —) со матрица поэлементно стремится к единичной, т.е. lim a,ij(x) = %, i,j = l,n, где S{j - символ Кронеке x-»oo pa. V - оператор умножения на вещественную измеримую функцию V(x) из L2,Zoc- Отметим, что при aij(x) = 5{j, i,j — 1,п, мы имеем в качестве оператора L оператор Шредингера. Для данного оператора доказываются теоремы аналогичные теоремам главы I и также как и прежде теоремы расположены в порядке ужесточения условий на параметры и доказательство каждой последующей опирается на доказательство предыдущей. Но в отличие от главы I, которая состоит из четырех параграфов, данная глава насчитывает пять параграфов. Такая асимметрия связана с тем, что теперь доказательство самосопряженности оператора L и нужные во всех последующих параграфах оценки его резольвенты составляют содержание вспомогательного 5. Основным результатом данного параграфа является Теорема 2.1. Пусть выполнены условия: (і) при всех j = l,n sup (g) при п 3 оператор V А-ограничен; (h) при п 4 оператор V А-ограничен и Тогда оператор L самосопряжен в H KR") и при всех z 0 достаточно больших выполняются неравенства (здесь, и всюду далее С - любая подходящая положительная абсолютная постоянная, точное значение которой несущественно). Заметим, что данную теорему (в отличие от всех последующих) мы доказываем при более слабом ограничении на поведение коэффициентов матрицы А(х) на бесконечности, а именно мы считаем, что lim а {х) — dij, i,j — 1,п, где матрица D положительно определена.
По поводу всех последующих теорем можно заметить следующее: во-первых: они, как уже отмечалось, соответствуют теоремам из параграфов главы I по следующей схеме: 1«— -6, 2 —»7, и т.д. Это обстоятельство отражено в названиях параграфов.
во-вторых: условия на функцию V{x) в соответствующих теоремах полностью совпадают, что и отражено в обозначениях этих условий. Отсюда следует, что все сказанное выше по поводу смысла теорем главы I (1-4) сохраняется и для теорем главы II (6-9), с той лишь поправкой что оператор Я(Ь, V) имеет физическую интерпретацию (гамильтониан в магнитном поле), а оператор L, который изучается в главе II, таковой, по всей видимости, не обладает.
Будут использоваться следующие условия на коэффициенты матрицы А(х). Отметим, что из выполнения условия (ii) следует выполнение условия (І) теоремы 2.1. и, что предельные условия (iii) - (v), в частности, выполняются, если для всех
О невозможности сверхэкспоненциального убывания собственной функции оператора L
Тогда оператор H(a,V) не имеет положительных собственных значений. Замечание 1.7. Из выполнения условий данной теоремы следует выполнение условий теоремы 1.2.
По поводу достаточных условий, обеспечивающих выполнение условий (ii),(iii) этой теоремы было уже сказано в предыдущем параграфе (условия (іі),(ііі) у данной теоремы и у теоремы 1.2. совпадают). Что касается электрического потенциала то допускаются потенциалы вида V(x) = (1 + ж) 1И/Г(а:), где W(x) - произвольная (необязательно гладкая) функ- j - При этих условиях W Д-компактен и кроме того НИ —А + z) l\\ Cz-1, так что и предельное условие (f) теоремы выполнено. Если функция W[x) неограниченна, то при п 3 критерий А - компактности W хорошо извес ;: тен и заключается в том, что При этом, для таких потенциалов, предельное условие (f) теоремы выполняется автоматически (см. [5]). В случае, когда п 4 то (f) выполнено, если При этом первое условие обеспечивает А - компактность W, а второе It -- выполнение предельного условия (f). . Доказательство теоремы будет проведено в терминах пространства L2(R+,G), которое было введено в предыдущем параграфе, при этом бу дет использоваться функция от переменной г и параметра s ф3(г) = -arctg(sr), S из [13] (см. также [7] с. 102). Однако предлагаемое ниже доказательство представляется более простым, поскольку использует характерную для эл липтических уравнений априорную оценку (в оригинале рассматривается случай без магнитного потенциала). Следует заметить, что при доказатель стве теоремы 1.3. будут часто использоваться результаты предыдущего jj; параграфа. где S и s положительные числа, а функция Q была введена в предыдущем параграфе (см. формулу (1.22)). Очевидно, что Qs принадлежит L2(R+,G).
Доказательство теоремы разобьем на две леммы. Лемма 1.14. Для всех s, 5 достаточно малых u R достаточно больших где hs = е5Ф д - финитная функция {см. (1.22)). Доказательство. Найдем уравнение для Qs. Так то используя вид H(b, V) (1.14) и уравнение для Q (1!22) получим отсюда уравнение для Qs.
Умножим теперь это уравнение на 2rQ s справа скалярно в L2(R+, G) и извлечем вещественную часть. Мы сделаем выкладки только для двух слагаемых из равенства (1.33), а именно: для содержащих производные функции фа. Для остальных слагаемых это уже было фактически сделано при доказательстве леммы 1.8. предыдущего параграфа, поскольку там уравнение для Фт, сходное с уравнением для Qs (1.33), скалярно умножалось на 2гФ в том же пространстве L2(R+, G) и затем также извлекалась вещественная часть, и так как при этом нигде не использовался конкретный вид Фш, то пункты а) - з) доказательства леммы 1.8. могут быть просто переписаны с заменой Фт на Qs. Имеем равенства ограничены. Точнее говоря, ф а - положительна и не превосходит единицы, а \Фз Cs, и s у нас подразумевается положительным, произвольно малым числом. Таким образом справедливо равенство
Оценим теперь сверху каждое слагаемое в правой части этого равенства. Имеем для всех R достаточно больших. Второе и третье слагаемые оценим точно также как и при доказательстве леммы 1.9., то есть просто перепишем соответствующие оценки с заменой Фт на Qs. Это можно сделать так как при этих оценках использовались только условия (іі) , (Ш) теоремы 1.2. (которые, как уже упоминалось, одновременно являются условиями (іі), (Ні) доказываемой теоремы) и не использовался конкретный вид Фт.
Отсутствие положительных собственных значений у оператора L
Итак, мы показали , что условия 1),2),3) выполняются и следовательно для функции Щ () из соотношения (2.49) может быть получена оценка (2.43).Далее, беря точку х достаточно близко к границе шара SRQ(0) (в переменных х) и получив оценку (2.43) для функции /0 () а затем производя обратные преобразования убедимся в том, что собственная функция Щ(х) = 0 в некотором односвязном множестве ненулевого объема внутри шара SR0(0). Повторяя проделаное, т.е. выбирая х достаточно близко к границе того множества где может находиться носитель функции UQ(X) И получая оценки (2.43) убедимся в том, что UQ(X) = 0 при х Є 5д0(0), а следовательно UQ{X) Ё 0 В Rn. Можно было бы подумать, что этому может помешать зависимость г от х (а она, вообще говоря, существует), но ниже будет показано , что можно выбрать такое TQ 0 которое годится сразу для всех х из SRo+o{0), где е0 0, так что такая возможность исключается.
Для того чтобы убедиться в том, что такой выбор т0 действительно возможен достаточно показать , что для любого є О существует такое 5(e), что как только \х — х Ц 5(e), то сразу для всех ж ) из SRo+0(0), (это следует из техники получения оценки (2.42) в доказательстве леммы 2.12.) Докажем, что при \х — х()\ 5(e), где ж() Є 5д0+о(0). Для этого используем (ііі)о и следущее неравенство вытекающее из равенства (2.57) где Сі из неравенств (2.51), а также заметим, что константу С(х ) из неравенств (2.56) можно заменить на абсолютную константу С когда х пробегает шар SRO+Q(0), что в свою очередь следует из равенств (2.55), оценок (2.51), условия (ii) теоремы и из того, что элементы матрицы Y(x ) можно выбрать непрерывными по переменным х(К Для следующих двух выражений из (2.59) подобное доказывается аналогично, применяя написанное выше неравенство, (iv)o и (V)Q соответственно, и дополнительно используя то, что константу С(х ) из неравенств (2.53) можно заменить на абсолютную, когда ж( Є 5Ло+єо(0). Наконец то, что ajf(f) - 6 \ є, i,j = ї п, как только \х — х \ 5(e), при всех х из 5д0+о(0) следует из того, что функции a\j (f), г, j = 1, п рассматриваемые, согласно формулам (2.52), как функции двух n-мерных переменных х и х в замкнутом кубе с ребром 2(.R + 0) и центром в точке 0, лежащим в пространстве в R2n, непрерывны в нем (по совокупности переменных) и следовательно равномерно непрерывны в нем. И кроме того при х = х т.е. при f = О
