Введение к работе
Актуальность темы. Вопросы разложимости функций в ряды по собственным функциям линейных дифференциальных операторов восходят к работам Фурье, Пуассона, Копій, Лиу-вилля, Пуанкаре, В. Стеклова, Д. Гильберта и др. Их решение в более общей постановке, в случае обыкновенных дифференциальных операторов, было дано в фундаментальных работах Г. Биркгофа.
Основательные исследования условий разложимости в ряды по собственным функциям эллиптических операторов, а также обыкновенных дифференциальных операторов имеются в работах ВА Ильина и его учеников. В работах В.Б. Лидского рассмотрены вопросы суммируемости по Абелю рядов Фурье по корневым векторам несамосопряжённых операторов определённых классов. Позже они рассматривались в работах АП. Хромова, АГ. Костюченко, АС. Маркуса, В.Э. Кацнельсона, АД Шкаликова.
Пучки обыкновенных дифференциальных операторов впервые рассмотрены в книге Я.Д. Тамаркина, где автор не затрагивал вопрос об n-кратных разложениях в ряды Фурье по системам корневых функций пучка. Это упущение было восполнено в фундаментальных работах М.В. Келдыша, посвященных n-кратной полноте корневых векторов пучков линейных операторов и имевших большое влияние на последующее развитие спектральной теории. Оно отражено в работах И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна, Дж.Э. Алахвердиева, С. Аг-мона, МЛ. Расулова, М.Г. Гасымоваи AM. Магеррамова, В.И. Мацаева, В. Эбегарда, АИ. Вагабова, Г. Фрейлингаидр. Большое место принадлежит труду американских математиков Н. Данфорда и Дж. Шварца.
Данная диссертация посвящена изучению пучков обыкновенных дифференциальных операторов. Основное внимание уделено критериям n-кратной полноты корневых функций пучков, а также вопросу суммируемости рядов Фурье произвольных фуНКЦИЙ ПО *прттрЩ)^т фуякиистм тт^ткл.
t^OC, НАЦИОНАЛЬНА*!
Збнблмотека {
Цель работы. Целью данной диссертационной работы является:
Нахождение простых алгебраических критериев п-крат-ной полноты корневых функций пучка дифференциальных операторов;
Перенос известной теоремы Лебега о суммируемости по Фейеру тригонометрического ряда Фурье любой интегрируемой функции на случай обобщённого ряда Фурье по корневым функциям регулярного пучка.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты:
1. Найдено решение, имеющее экспоненциальный асимпто
тический вид, для системы линейных уравнений и удалось по
низить на единицу классические требования гладкости мат
риц этой системы.
Указаны простые алгебраические критерии п-кратной полноты корневых функций общего пучка обыкновенных дифференциальных операторов.
Построена теория общего регулярного пучка обыкновенных дифференциальных операторов, включающая в себя предыдущую теорию.
Установлена теорема С-суммируемости ряда Фурье любой интегрируемой функции по корневым функциям регулярного пучка дифференциальных операторов.
Практическая ценность результатов определяется приложениями полученной теории к задачам математической физики, квантовомеханической теории рассеивания, к изучению процессов в атомных реакторах, к задачам аэронавтики.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Воронежской весенней математической школе (май 2001 года); на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование.» (Ростов-на-Дону, апрель 2002 года); на Международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, май 2003 года); на годичной конференции профессорско-преподавательского со-
4;
става Д1У (апрель 2001 года); на семинарах Отдела математики и информатики ДНЦ РАН; на семинарах кафедр математического факультета ДТУ, на городском семинаре по математике в г.Махачкале.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приведён в конце автореферата.
Объём и структура работы. Диссертационная работа изложена на 82 страницах компьютерного текста; состоит из введения, трёх глав, которые разделены на 13 параграфов, и списка литературы. Библиография содержит 57 наименований, в том числе 12 на иностранном языке.
