Введение к работе
Актуальность темы. Исследования по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов берут свое" начало ещё с классических работ Ж.Лиувнлля, Ш.Штурма, а такав более поздних работ Я.Д.Тамаркина(І], Дж.Биркгофа [2], В.А.Стекло-ва [з], в которых изучались вопросы асимптотики собствеюшх значений и сходимости спектральных разложений для различных классов краевых задач.
В последние десятилетия особое внимание привлекает к себе спектральная теория несамосопряжённнх дифференциальных операторов, что вызвано' появлением целого ряда новых, няклассичес-ких задач математической физика (таких, как известная задача Бицадзе-Самарсксто [4] о нелокальными краевыми условиями для уравнения теплопроводности), приводящих к изучении спектральных свойств несамосопрякёпных операторов.
В работах М.В.Келднша (5] и многих его последователей изучена полнота в классе Lt систеи корневых функцій обыкновенных дифференциальных операторов для широкого класса краевых задач. Достаточно хорошо на сегодкязшпй де„ь изучена так-ге асимптотика собствегашх значений а корневых функция.
Посла работ М.В,Келдыша о полноте на первый план выдвинулась проблема базисностн систем корневых функцпа кесамосо-пряжённнх дифференнуалышх операторов. Г.М.Кесельману Сб1 п В.П.Миха&лову [7] удалось выделить класс краевых условий (усиленно регулярные условия, по терминологии Дж.Бзркгофа), обес-печаващих базисность Рисса з Lt систем корневых функций операторов произвольного порядка « . При этом все собственные значения, начиная с некоторого, является простіша.
Наибольшие трудности возникают щш изучении операторов,
обладащих бесконечным подмножеством кратных собственных зна
чений (впервые такая ситуация была рассмотрена в работе
Н.И.Ионкина [8]). В этом случае система корневнх функций
строится неоднозначно, что приводит к следующей ситуации:
один и тот ае оператор с однини и теми же краевыми условиями
имеет различные системы корневых функций, одни из которых
могут образовывать базис (и даже базис Рисса) в [_ , а дру
гие могут не образовывать базиса (являясь в то ие вреда пол
ными и минимальными в Lx ). В связи с этим В.А.Ияьпнш была
предложена новая трактовка корневых функций, которые опреде
ляется si как регулярное решение соответствующего уравнения
безотносительно х виду краевых условий. Такой подход позво
ляет рассматривать произвольные краевые условия (как локаль
ные, так и нелокальные), а также системы функций, не связан
ных каккш-либо краевыми условиями (например, системы экспо
нент). При этом условия базисности формулируются в терминах
структуры спектра и в терминах соотншенин кевду нормами
корневнх функций (причём эти соотношения фактически гадают
ограничения на выбор корневых функций). -л
Разработав новый метод, основанный на применении формулы среднего значения Е.И.Моисеева [9], В.А.Илыш в работах flO.Il] установил необходимые и достаточные условия базисности систем корневых функций оператора произвольного порядка на любом компакте основного интервала, а также условия равномерной на лімбом компакте равносходимости спектральных разложений с тригонометрическим рядом.
В работе [іг] В.А.Ильиным впервые была изучена безусловная базисное» систем корневнх функций оператора второго по-
рядка на замхнутом интервале. Был рассмотрен оператор
L u = u" + f (v) u, (D
где р(^)б L, (&i> - произвольный конечный интервал
вещественной оси. Рассматривалась пара биортогональпо сопряжённых в Lx ( &) систем ^u„}, { v„ $ корневых функций"
оператора (I) и формально сопряжённого к нему оператора L* соответственно. Предполагалась полнота в L.z (&) хотя би одной из систем (ии J , / гл„ j , а такта предполагалось выполнение карлемановского условия
| Зм //„ / й ІЛІ , (2)
где М± - константа, а и„ - спектральный параметр (т.е.
надлежащим образом выбранный квадратный корень из собственных значений). Было показано, что для безусловной базисностп в L, (&) каждой из систем (f„] , {^п) необходимо и достаточно выполнение условий
II Un!lt » II vn j|a < мг , (я)
. Z_ і 4. Мъ 'для любого Х*0} (3)
где Мх , Мь - константы, a jj \\ t означает норму в
В работе [l3j Н.Б.Кериьхлым бшіа изучена безусловная ба-зисность в La ( } систем корневых функций оператора чет-
W у її)
вартого порядка Lu - U С- pv-if1/" с хоэфТз-
t-O
виентаыи pv_. (зс) & ш" ( (г) ( « = О, 4.,0. ). Кроме предположений, сделанных В.А.Ильиным, дополнительно предполагались выполненными условие "суша единиц" (3) и антиацриорные оценки
II в, «.-*Иг й/И, ||ииИд , <*>
II ^і ^Н* *^ ||l\)|a , (4а)
т.е. оценки L г -нормы предыдущей корневой функции через L -норму последущей корневой функции (где At ^ , Ms -
константы). Было докапано, что для безусловной базисности в L^ (G-) систем { и„) , [ і}ц\ необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись условие (зі) и условия
(5)
(5а)
2- г /Ч?^
где уч, > с , Му константы.
Вопрос о необходимости для безусловной оазксности анти-апрпоршх оценок (4), (4а) и условия "сумма единиц" после работы Н.Б.Керишдаа -оставался открнтшл. Безусловная базисность систем корневых функций операторов выше четвёртого порядка также не была изучена,
Цель работы. Основной делвго диссертационной работы явля-
ется установление критериев безусловной базисными (а такзе критериев бесселевости а базпсноста Рисса) систем корневнх функций обыкновенных линейных кеса'лосопрягзЕНых дифференциальных операторов.
Научная ковчзна. Все доказанные з работе теоре:ли а лсмлы являются новая.
В работе предложено разбиение системы корневых фушсций на 3 класса в соответствии с поведением главного члена асимптотики, осуществлённое в терглинах неравенств, связывагпшх нор;/н корневых функций в различных метриках. На осново предложенного разбиения, установлены критерии бесселевости, безусловной баэясностн и базпсности Рисса в Ьг (&) систем корневых функций операторов высокого порядка. Показана необходимость условия "сумма единиц" для бзссолевоста п необходимость ограниченности ранга собственных фуіпшпй для безусловной базпсности систем корневых функций. Показано, что требование о выполнении аятлаприорноЯ оценка (4) является естественным и задаёт огранлченле ледь на выбор ксрнеЕнх функций, отвечащих данной собственной функции. Получен ряд вспомогательных результатов, в том числе односторонние аналога формул среднего значения. Показано, что все основные результаты работа переносятся на сястекы корневых вектор-функцйй операторов с иат-ричншя козЗфпдзеитгет, а такте разрывных операторов.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Её результаты ксгут быть использована в спектральной теории де|>-ф<зренцяальных операторов; при пзучении базисноста неортогональных сзстем функций (в частности, систем экспонент); при изучения интегрируемости яекоторнх классов нелинейных эвата-ционякх уравнение и систеи, ассоциированных представление!!
Лакса; при обосновании метода Фурье решения задач математической физики; при исследовании некоторых задач теории упругости в квантовой механики, приводящих к изучении несамосо-прязЕённых дифференциальных операторов.
Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинаре академика В.А.Ильина, чл.-корр. РАН А.В.Бицадзе и проф. Е.И.Моисеева (ВМиК МГУ), на семинаре проф. Е.И.Моисеева (ШиК МГУ), на семинаре проф. В.И.Бурея-кова и проф. М.Л.Гольдшна (РУДН и КМРЭА), а такае послужили основой доклада на конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" (Алма-Ата, 1991 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в II работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура 1 объём двосетугздяи. Диссертация состоит из введения, четырёх глав (разбитых на параграфы) и списка литература. Объём работы 242 страницы, включая 12 страниц списка литературы, содержааего 96 наименований.
ч.
