Содержание к диссертации
Введение
1 Уравнения Бесселя третьего порядка . 30
1. Собственные функции 37
2. Условия обрыва 42
3. Задача об общей собственной функции 48
2 Коммутативные кольца ранга 2. 51
1. Приведение операторов к каноническому виду 55
2. Коммутирующие дифференциальные операторы порядков 4 и 6 62
3 Приложения теории дробных степеней дифференциальных операторов . 72
1. Формулы Шура 73
2. Централизатор 79
3. Эволюционные дифференцирования 85
4. Симметрии 90
5. Уравнения типа Кдф 94
Литература
- Задача об общей собственной функции
- Приведение операторов к каноническому виду
- Коммутирующие дифференциальные операторы порядков 4 и 6
- Эволюционные дифференцирования
Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются приложения аналитической теории дифференциальных уравнений к задаче о коммутирующих дифференциальных операторов, а также взаимосвязь задачи о коммутативных кольцах с модельными уравнениями современной математической физики.
Задача о коммутативных кольцах дифференциальных операторов находится на стыке анализа и алгебры. В модельном случае1, когда коммутирующие операторы А и В порядков тип связаны операторным соотношением Ап = Вт, их общие собственные функции являются высшими аналогами функций Бесселя. Исследование свойств этих собственных функций в диссертации основано на функциональном уравнении2
a(z + n)b(z) = b(z + m)a(z), (1)
где a{z) и b{z) многочлены от z с постоянными коэффициентами степеней т и п, соответственно, заменяющим операторное соотношение Ап = >т, и теории преобразований Лапласа-Дарбу. В случае взаимно простых3 тип : gcd(m, п) = 1 собственные функции выражаются в элементарных функциях. Наибольший интерес представляет случай gcd(m,n) > 1, соответствующий коммутативным кольцам ранга 2 и выше . Полное решение функционального уравнения (1) при т = 4, п = б и решение на этой основе задачи об общей собственной функции коммутативных колец ранга 2 для операторов
т Я
А = х~т \{{xDx - «,) = D? + Y, ^k D*~k (2)
является центральным в диссертации.
^urchnall J.L., Chaundy Т.W. Commutative ordinary differential operators, II. The. identity Pn = Qm//Proc. Roy. Soc. London.-1932. -ser. A, №134. -P. 471-485.
2Шабат А.Б., Эльканова З.С. О коммутирующих дифференциальных операторах. // Теоретическая математическая физика.- 2010.-Т. 162. №3.- С.334-344.
3Burchnall J.L., Chaundy Т.W. Commutative ordinary differential operators, II. The. identity Pn = Qm//Proc. Roy. Soc. London.-1932. -ser. A, №134. -P. 471-485.,
Соколов В.В. Примеры коммутирующих колец дифференциальных операторов.// Функциональный анализ.- 1978.- Т. 12 №1. -С. 82-83.
4Мохов О.И. О коммутативных подалгебрах алгебр Вейля, связанных с коммутирующими операторами произвольного ранга и рода.//Математические заметки.-2013.-Т.94 №2.-С. 314-316,
Mironov А.Е. Periodic and rapid decay rank two self-adjoint commuting differential operators. // MathPPL-2013.- arXiv: 1302. 5735. [электронный ресурс]
Исследование аналитической природы собственных функций операторов Эйлера порядка три представляет собой развитие теории функций Бесселя и сводится к исследованию разрешимости дифференциального уравнения
гр Л гр + — гр + — гр = гр. (3)
гр rp гро
iAj iAj iAj
Одним из результатов диссертации является исследование вопроса о критериях разрешимости дифференциального уравнения (3) в элементарных функциях и его связи с коммутативными кольцами. В случае операторов Эйлера второго порядка соответствующий критерий эквивалентен известному критерию разрешимости уравнений Бесселя в элементарных функциях при полуцелых значениях индекса.
В качестве объединяющей, в рассматриваемой тематике, может служить идея известного алгебраиста И.Шура5 о расширении кольца дифференциальных операторов и заменой многочленов от D = d/dx бесконечными формальными степенными рядами по степеням D~l. Развитая им техника обращения с дробными степенями дифференциальных операторов широко используется в теории коммутативных колец дифференциальных операторов и имеет далеко идущие приложения в современной теории интегрируемых систем, включая т— функцию КП(Кадомцев-Петвиашвили)-иерархии6. Приложения формул И.Шура к задаче об общих свойствах коэффициентов производящей функции КП-иерархии излагаются в третьей главе диссертации. Во второй главе формулы Шура используются при решении функционального уравнения (1) с m = 4, п = 6.
Целью работы является исследование взаимосвязи задачи о коммутативных кольцах с модельными уравнениями современной математической физики, а также приложения аналитической теории дифференциальных уравнений к задаче о коммутирующих дифференциальных операторов.
Методы исследования. В диссертации применяются методы аналитической теории дифференциальных уравнений (теория Фукса) , теории преобразо-
5Schur I. Uber vertauschbare lineare Differentialausdrucke // Sitzungsber. Berliner Math. Gen.-1905. -Bd.4. -P. 2-8.
eОрлов А. Ю. Гипергеометрические функции как бесконечносолитонные may-функции // Теретическая и математическая физика.-2006.-Т. 146.- №2.- С. 220-250.
7Ince EX. Ordinary differential equations. Longman, Green and Co., London, 1926. P. 479-530.
ваний Дарбу-Лапласа, формулы И. Шура из теории дробных степеней дифференциальных операторов.
Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:
-
Исследован вопрос о критериях разрешимости дифференциального уравнения (3) в элементарных функциях и связи этого вопроса с коммутативными кольцами.
-
Показано, что, задача об общей собственной функции коммутативного кольца ранга 2 сводится к уравнению Бесселя с произвольным индексом. Установлены, в частности, условия существования логарифмической особенности у общей собственной функции операторов из кольца.
-
Указан алгоритм, позволяющий за конечное число шагов найти точную формулу для вычисления коэффициентов формального ряда A1{D) при любом п, где Ai = D + aD~l + fD~2 + gD~:i + hD~4 + ...
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут иметь применения в развитии теории высших аналогов функций Бесселя.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:
Международная школ а-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естество-знании"(Уфа, 2011г.);
XIII Международная научно-практическая конференция "Естественные и математические науки в современном мире"(г. Новосибирск, 2013г.);
XII Международная заочная научно-практическая конференция "Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии"(Москва, 2013
г.);
Научный семинар "Интегрируемые системы "отдела математической физи
ки Института математики с вычислительным центром Уфимского научного
центра РАН (Уфа, 2014 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 статей [1]-[6], (в том числе, 2 - в журналах из списка ВАК [1], [2]).
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 108 страниц. Список литературы состоит из 72 наименований.
Задача об общей собственной функции
Замечание 0.1. Общий ответ в задаче об операторах Эйлера (0.3) порядка п, собственные функции которых демонстрируют логарифмическое поведение формулируется, по-видимому, в терминах кратности корней сравнений типа (0.4) по модулю целого числа п. Соответствующие дифференциальные уравнения можно было бы назвать высшими аналогами уравнений Бесселя с целым показателем.
Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, с. 25 2. Преобразования Дарбу
Пусть wn) обозначает определитель матрицы Вронского (0.7). В основе излагаемой теории преобразований лежит следующая теорема Теорема 0.1. Пусть А - дифференциальный оператори— го порядка с единичным старшим коэффициентом и функции (р\, ...,(рп образуют базис в ker А. Тогда определяет действие на функцию ф некоторого линейного дифференциального оператора М порядка п с единичным старшим коэффициентом. Очевидно, что М{ф) = 0 при совпадении функции ф с одной из функций (/?i,..., (/?п, и, следовательно, эти функции образуют базис в kerM. Рассматривая оператор А = А — М, который имеет меньший порядок, мы приходим к выводу, что А = М. Далее нужно воспользоваться следующей леммой Дарбу:
Доказательство леммы. Разложив определители фт и ip2i по элементам последнего столбца и, учитывая, мы получаем два выражения в виде дифференциального оператора порядка т — 1, действующего на функцию фт:
Легко видеть, что нуль-пространства ker А и ker А содерж;ат функции и, следовательно, совпадают. Остается заметить, что необходимое нам равенство 2о = фі М) эквивалентно доказательству формулы (0.29): ф\,... ,фт-1 = 1 2, ,фт-і , но с заменой т на т — 1. Для завершения доказательства можно сослаться на индукцию по ш, т.к. при т = 2 мы имеем ф\)ф2
Представление оператора А в виде называется его факторизацией. Грубо говоря интересующие нас преобразования заключаются в перестановке сомножителей в факторизационной формуле (0.30) Пример 0.3. Классический пример применения такого рода преоб разования связан с именем Дирака:
Замена искомой функции у = ір у приводит нас к оператору А с нулевым последним коэффициентом ап = 0. Делимость полученного многочлена на D эквивалентна делимости исходного оператора на Обобщением приведенного выше Примера 0.3 является Лемма 0.3. Пусть А = В о (D — f\) факторизованный оператор uA=(D-fi)oB. Тогда
Идея использовать перестановку сомножителей в формуле (0.28) при классификации дифференциальных операторов произвольного порядка приводит к следующему определению [6]:
Определение 0.2. Дифференциальный оператор В называется оператором преобразования если в кольце дифференциальных многочленов выполняется уравнение Определение 0.3. Будем говорить, что операторы А и AQ порядка т 1 связаны двусторонним преобразованием Дарбу (или ДПД), если существуют два дифференциальных оператора Т и R ненулевого порядка такие, что
Операторы Т и R называются соответственно, левым и правым операторами Дарбу по отношению к оператору А. Порядком ДПД называется сумма т! = ord R+ ord Тпорядков Т и R. Двустороннее преобразование Дарбу называется вырожденным, если его порядок m m = ord А. Bee 4 особых точки уравнения Аф = Хф являются регулярными. Коммутирующих операторов порядка 3 нет. Минимальный порядок в централизаторе этого оператора равен 5. Отметим, завершая этот раздел, что сопряжение с оператором умножения на функцию а(х) определяется похожей формулой: А -+ А = а 1 А о а = еаА о е а, а = а(х) = е а{х). (0.38) Легко видеть, что операция сопряжения обратима и коммутирует с преобразованиями Дарбу. 3. Коммутативные кольца
Умножение в W и умножения: Здесь обозначает вектор с месте, а многоточие- дифференциальный оператор, порядок которого не превосходит а + /3—2. Собирая старшие члены в коммутаторе, мы убеждаемся в справедливости следующего утверждения. Коммутатор дифференциальных операторов А и В порядков т и п является оператором порядка не выше п + т — 1 ив главной части соответствующего многочлена от D степени п + т — 1 мы имеем:
Приведение операторов к каноническому виду
Рассматривая классификацию дифференциальных операторов А, можно исходить из структуры их централизатора С (А). Из транзитивности отношения коммутативности (Следствие 1 леммы Шура) следует, что в случае одной независимой переменной дифференциальные операторы, входящие в централизатор С (Л), ordA 0 перестановочны и образуют, таким образом, коммутативное кольцо, которое нельзя пополнить. Более того, любое такое максимальное коммутативное кольцо совпадает с централизатором любого из, входящих в него, дифференциальных операторов ненулевого порядка и различные максимальные коммутативные кольца могут пересекаться только по операторам "нулевого"порядка, т.е. константам. Обозначим через т минимальный ненулевой порядок операторов, входящих в данное максимальное коммутативное кольцо 1Z и назовем соответствующий оператор Ат Є 1Z, ordAm = т 0 минимальным оператором этого кольца.
Если т = 1, то минимальный оператор Ат Є 1Z, ordAm = 1 эквивалентен D и максимальное кольцо 1Z = Со(Ат), где Со (А) обозначает множество многочленов с постоянными коэффициентами от А. Кольца Со (А) с одной образующей интереса не представляют и мы называем их тривиальными. В нетривиальном максимальном коммутативном кольце 1Z существует оператор Ami, ordAmi = т\ т, который является в свою очередь минимальным в множестве операторов В Є 7Z, ord В т, удовлетворяющих условию ord В j 0, mod т. Напомним, что старшие коэффициенты коммутирующих операторов одинакового порядка пропорциональны в силу формулы связывающей старшие коэффициенты 2о и bo коммутирующих дифференциальных операторов порядков тип. Поэтому, оператор В Є 1Z, ord В = km можно всегда заменить оператором (В — аА ) Є 1Z меньшего порядка.
Если т = 2, то нетривиальное максимальное коммутативное кольцо 1Z = Со(Ат, Ат1), т.е. является кольцом с двумя образующими Ат, т = 2 и Аті, ті 2. Действительно, число т\ нечетно по определению и при п mi, 1Z Э В, ord В = п = В Є Со(Ат), а при п ті порядок соответствующего оператора В можно понизить вычитанием А или А А , в зависимости от четности или нечетности порядка п. Полное описание максимальных коммутативных колец 1Z = Со(Ат, Ат1) сводится в определенном смысле к, записанным в виде нелинейных дифференциальных уравнений, условиям коммутирования образующих [ЛТО,ЛТО1] = 0. Структура этих уравнений полностью определяется парой целых чисел (m,mi).
При взаимно простых порядках (т,п) операторное соотношение, связывающее коммутирующие операторы Эйлера A, ord А = т и , ord В = п, записывается в виде уравнения плоской алгебраической кривой, совпадающей, при отсутствии младших членов, с уравнением Вт = Ап. При т = 3 число образующих максимального коммутативного кольца 1Z, как правило, равно трем и так далее (см. Примеры в главе 2 [6]).
Задача об условиях коммутирования данной пары дифференциальных операторов [А, В] = 0 порядков тип приводит3, вообще говоря, к п + т уравнениям для п + т + 2 коэффициентов этих операторов. Эти уравнения соответствуют занулению коэффициентов при D3, j = 0, 1,... , п + m + 1 в коммутаторе [А, ]. Для того, чтобы уравнять число уравнений с числом неизвестных в этой задаче можно использовать два "элементарных" преобразования. Первое из этих преобразований есть сопряжение с оператором умножения на функцию р = р(х) :
Легко видеть, что замена (0.53) с b = /0 и последующее сопряж;ение (0.52) приводит дифференциальный оператор и уменьшает, соответственно, число неизвестных в рассматриваемой задаче о коммутирующей паре дифференциальных операторов. 3 коэффициент при Dn+m сокращается автоматически Пример 0.6. Условие коммутирования дифференциальных операторов A = emta(Dt), B = entb(Dt), А = , (0-55) где a{Dt) и b(Df) многочлены от Df с постоянными коэффициентами степени тип соответственно, записывается в виде следующего функционального уравнения на эти многочлены
Функциональное уравнение (0.56) существенно упрощает задачу о классификации коммутирующих пар операторов вида (0.55). С другой стороны, нетрудно проверить, что замена независимой переменной: приводит эти операторы к виду с единичным старшим коэффициентом. В частности, мы находим, что
Заметим, что замена (0.57) переводит операторы (0.55), полуинвариантные относительно группы сдвигов — + const в операторы инвариантные относительно группы растяжений х —хХ и, что задача о собственных функциях оператора (0.58) сводится к функциям Бесселя. Нулевое собственное значение приводит нас здесь к простейшему решению a = —2x 2 уравнения
Более сложным является случай gcd(m,n) j 1, интерес к которому в последнее время заметно усилился. В основном речь идет о коммутирующих дифференциальных операторах с полиномиальными коэффициентами, обобщающими известный пример Диксмье [10] (обзор соответствующей литературы можно найти в [11]). В дополнение к интересным обобщениям примера Диксмье [10], построенным в работах [12], [11], рассмотрим кратко вопрос о роли свободного параметра, входящего во все эти примеры. Имея в виду общую формулу
Коммутирующие дифференциальные операторы порядков 4 и 6
При классификации дифференциальных операторов Эйлера мы будем сравнивать не сами эти операторы, а их централизаторы С (А), состоящие из всех операторов, коммутирующих с А. Из транзитивности отношения коммутативности в случае одной независимой переменной (см. Введение) следует, что дифференциальные операторы, входящие в централизатор С (A), ord А 0 перестановочны и образуют коммутативное кольцо. На примере операторов Эйлера мы продемонстрируем существенные различия в структуре коммутативных колец ранга 1 и ранга 2. Напомним, что ранг кольца совпадает с минимальным наибольшим делителем порядков (т,п) операторов из рассматриваемого кольца. Мы покажем, в частности, что даже при взаимно простых порядках (ш, п) операторные соотношения, связывающее коммутирующие операторы A, ord А = т и В, ord В = п, не сводятся к одному уравнению Вт = Ап, а включают в себя другие соотношения между образующими кольца. В мало изученном случае gcd(m, п) = 2, вместо конечного числа образующих кольца появляется, как мы увидим, свободный параметр, от которого зависят элементы кольца. 1. Приведение операторов к каноническому виду
Сначала нам нужно уточнить некоторые факты, связанные с преобразованиями Дарбу, действующими в рассматриваемом классе операторов (2.1). Эти преобразования сводятся к сопряжению с оператором умножения (2.6) на экспоненту и перестановке одного из сомножителей, указанной ниже:
Определение 2.1. Будем называть системой корней дифференциального оператора А} ord А = т неупорядоченный набор чисел («1,. .. ,ат) (см. формулу (2.10)) и говорить, что два оператора А и А порядка т имеют одинаковые системы корней, если выполнено условие то преобразование Дарбу (2.10) не изменяет систему корней, при сравнении (2.11) по модулю целого числа ш, и мы получаем следующую теорему. Теорема 2.1. Два дифференциальных оператора А и А вида (2.1) и порядка т связаны цепочкой преобразований Дарбу в том и только в том случае, если они имеют одинаковые системы корней, с точностью до сдвига (2.6).
Проиллюстрируем теорему, используя операторы третьего порядка из Примера 2.1. Системы корней многочленов (2.9) и (2.8) удовлетворяют условию (2.11) и, применив к (2.8) преобразование (2.10) с х,- = 0 мы находим требуемую цепочку преобразований системы корней многочлена
Отметим, что вообще говоря преобразование Дарбу необратимо (см. Введение ). Так что обратимое преобразование (2.10) напоминает преобразование Лапласа, а система корней оператора Эйлера (см. Определение 2.1.) аналогична в определенном смысле инвариантам Лапласа в теории преобразований Дарбу-Лапласа [14] .
Для того, чтобы построить общий алгоритм построения цепочки преобразований Дарбу, связывающей операторы с одинаковыми системами корней, используется следующее свойство:
Пусть многочлены а{\) и Ъ{\) степеней тип удовлетворяют уравнению (2.2). Тогда эти многочлены, в силу условия коммутирования операторов, которым они соответствуют имеют общий корень.
Выше отмечено, что сдвиг не меняет условия коммутирования. За счет такого сдвига можно считать, что все корни многочлена а(А) лежат в полуплоскости 9ft(A) 0, и что а(0) = 0:
Если длина интервала занятого числами 01,02,03 больше 2, то транспозиция (2.17) уменьшает эту длину. Если длина уже равна 2, то транспозиция переводит рассматриваемый набор чисел в себя по модулю 3. В этом случае, в силу Леммы 2 ([6]), множество корней Oi, 02, 03 совпадает с множеством из трех чисел 0,1,2, с точностью до общего сдвига. Остается, таким образом, подключить к оператору Т сопряжение (2.6). Для построения правого оператора Дарбу R нужно примененить тот же алгоритм к сопряженному оператору
Эволюционные дифференцирования
Первое приложение рассматриваемых формул для dj(n) связано с исчерпывающим решением задачи о паре коммутирующих псевдо- дифференциальных рядов А и В общего вида (3.15). Следуя [17], заметим сначала, что при А = a D71 + ... и В = boDm + ... их коммутатор С = АВ — В А имеет порядок не выше п + т — 1 т.к. из формулы Лейбница следует, что [А, В] = cQDn+m l + ClDn+m ..., = со = па0Ъо,х - тЪ0а0,х. (3.18) Таким образом, при п = т отсюда следует, что старшие коэффициенты коммутирующих рядов должны быть пропорциональны:
Теорема 3.1. Для заданного формального ряда А = aoDm + a\Dm ljr... порядка т 0 с гладкими коэффициентами ау (х) существует единственный1 псевдо-дифференциальный ряд Лі порядка ord{A\) = 1 такой, что А = А. При этом, любой формальный ряд В, удовлетворяющий коммутационному соотношению [-В, Л] = В А — АВ = 0, представим в виде ряда по степеням А\ с постоянными коэффициентами.
Л Уравнение А = А приводит к треугольной системе уравнений для коэффициентов ряда После выбора одного из решений уравнения Ь$ = 2о оставшиеся уравнения дают явные формулы, связывающие коэффициенты рядов А\ и А: lc точностью до умножения на корень m—ой степени из единицы Здесь Pj и Qj дифференциальные многочлены по своим аргументам. Пусть [-В,Л] = 0, где В произвольный ряд порядка ord(B) = п. Докажем, что [Ai, ] = 0. Предположим противное и обозначим С = [А\, В]. Тогда 0= [А7?, В] = А-В-В-А = А х -С Старший коэффицент каждого из этих т слагаемых равен gob = 0 и, следовательно, должен быть равен нулю старший коэффициент до = 0 ряда С т 0. Полученное противоречие доказывает, что
Переходя к разности В\ = В — (ЗоА, мы можем, в силу формулы (3.19), подобрать постоянную (Зо так, чтобы ord(B\) = щ п. Так как [.Ві, 1] = 0, процесс можно продолжить и мы получаем в результате формулу, которая описывает все множество формальных рядов, коммутирующих с А: В = J2 РкАГ\ , & є С, А? = А. (3.20)
Более тонкие и интересные вопросы связаны с классической задачей о структуре множества дифференциальных операторов В, коммутирующих с заданным дифференциальным оператором А положительного порядка т . Это множество является кольцом и называется централизатором данного дифференциального оператора А. Рассматривая дифференциальные многочлены В и В из С (А) как элементы алгебры псевдодифференциальных рядов и применяя Теорему 3.1, мы получаем, что формальный ряд С = В В = В В не зависит от порядка сомножителей. Так как умножение псевдодифференциальных рядов согласовано с умножением дифференциальных многочленов, то недифференциальная часть формального ряда С равна нулю и, следовательно, централизатор С (А) является коммутативным кольцом, В силу сказанного выше где п 1 обозначает порядок диффернциального оператора Вп и А = А. Так как коэффициенты формального ряда А\ однозначно определяются коэффициентами диффернциального оператора А порядка ш, то формула (3.22) полностью определяет коэффициенты дифференциальных операторов из централизатора С (А), но не гарантирует равенство нулю коммутатора [ П,А]. Полезным является следующее замечание, восходящее по существу (см. [4]), к работе И.Шура [18] 1905 года.
В нашем случае максимальный порядок т — 2 имеет в правой части слагаемое [Ат,В п], т.к. равна нулю недифференциальная часть А т = О ряда А? = А.
Замечание. В современной математической физике одним из приложений Леммы Шура являются уравнения Лакса (см. Опр.3.1, ниже), требующие специальной нормировки исходного оператора А = a0Dm + агПт-1 + a2Dm 2 + + ат, а0 = 1, аг = 0. (3.26) В этом случае, корень А\, который является не многочленом, а формальным бесконечным рядом по степеням D l: Ах = r.xD + го + ПІТ1 + r2D 2 + ..., А? = А (3.27) удовлетворяет дополнительным условиям Г-\ = 1,. . .Го = 0. При этом, число т — 1 коэффициентов Kj в формуле (3.25) равно числу неизвестных коэффициентов оператора (3.26). Существенно также, что эти коэффициенты Kj в силу формулы Вп = (аоА + ахАпх 1 Л Ь an_iAi)+ + const, аг Є С (3.28) полиномиально выражаются через производные коэффициентов оператора (3.26). Таким образом, задача о существовании оператора В, коммутирующего с А сводится к задаче о разрешимости т — 1 полиномиальных дифференциальных уравнений относительно т — 1 неизвестных функций а2, аз,...,ат. В отличие от алгебры псевдодифференциальных рядов кольцо С (А) может в исключительных случаях содержать дифференциальные операторы, отличные от многочленов по степеням А с постоянными коэффициентами. Задача об отыскании и свойствах дифференциальных операторов А такого рода с нетривиальным централизатором интересна с различных точек зрения и мы формулируем два очевидных следствия доказанного выше утверждения.
Следствие 1 леммы Шура. Пусть С (А) централизатор дифференциального оператора А порядка п 0. Тогда любые два дифференциальных оператора і, 2 Є С{А) перестановочны: [В\, BQ\ = 0.
Следствие 2 леммы Шура. Для того, чтобы дифференциальный оператор (3.28), при заданных (3j, коммутировал с А = Ат необходимо и достаточно выполнение т — 1 дифференциалных уравнений на коэффициенты a,j формального ряда А = А:
