Содержание к диссертации
Введение
1. Определение оператора. Основной результат . 13
2. Разложение в прямой интеграл. Схема Томаса 26
3. Оценки для свободного оператора 36
4. Оценки для магнитного потенциала 46
5. Доказательство теоремы 2.7 при д ~ 1, т/ = 1 56
6. Случай переменной скалярной метрики 63
7. Доказательство теоремы 1.5 69
Публикации по теме диссертации 77
Список литературы
- Определение оператора. Основной результат
- Разложение в прямой интеграл. Схема Томаса
- Оценки для магнитного потенциала
- Случай переменной скалярной метрики
Введение к работе
1. Спектральный анализ периодических операторов математической
физики имеет как общетеоретическое, так и прикладное значение. В
основе этого анализа лежат разложения Флоке-Блоха, являющиеся
аналогом (хотя и не полным) разложений Фурье. В сравнительно ши
роких предположениях метод Флоке-Блоха показывает, что спектр пе
риодического оператора имеет зонную структуру. При этом из общих
соображений не следует, что не могут существовать "вырожденные"
зоны, сводящиеся к точке. Эта точка должна была бы представлять
собой собственное значение бесконечной кратности. Ясно, что нали
чие или отсутствие таких точек существенно отражается на выводах
о физических свойствах рассматриваемой периодической структуры.
Господствующая точка зрения состоит в том, что в достаточно "регу
лярных" случаях вырожденных зон быть не должно. Однако, строгое
обоснование этой гипотезы в каждом конкретном случае представляет
собой довольно сложную математическую задачу и требует использо
вания довольно продвинутой математической техники. Более того, само
представление о "регулярных11 случаях достаточно размыто и ограни
чивается наличием контрпримеров. Эти контрпримеры связаны либо с
недостаточной гладкостью коэффициентов, либо с другими особенностя
ми в постановке вопроса. Например, известен гладкий эллиптический
оператор четвертого порядка, имеющий вырожденную зону.
2. Операторы математической физики обычно имеют второй (или пер
вый) порядок, что несколько смягчает остроту ситуации. Однако, и
здесь известны контрпримеры, связанные с негладкостью коэффициен
тов (см., например, [1]). В то же время наличие определенных особенно
стей у коэффициентов вполне реалистично с точки зрения применений.
Поэтому важно уметь исключать наличие вырожденных зон при воз
можно более широких предположениях на коэффициенты. Поскольку
доказательство отсутствия сингулярного непрерывного спектра представляет собой сравнительно простую задачу, отсутствие вырожденных зон фактически устанавливает абсолютную непрерывность спектра соответствующего оператора.
Настоящая работа посвящена исследованию абсолютной непрерывности спектра периодического двумерного оператора Шредингера при наличии метрики и электрического и магнитного потенциалов. При этом электрический потенциал может содержать "сингулярную" составляющую в виде заряда (распределения), сосредоточенного на периодической системе кривых. Потенциалы такого рода возникают, например, в теории фотонных кристаллов (см. [2]). Надо отметить, что эксперимент в ряде случаев не дает здесь возможности отличить очень узкие зоны от вырожденных. В настоящей работе показано (см. теорему 1.8 ниже) математическими средствами, что вырожденных зон в задачах такого типа быть не может.
Перейдем к обзору предшествующих результатов относительно абсолютной непрерывности спектра оператора Шредингера, причем не будем ограничиваться двумерным случаем. Рассмотрим оператор
(D - A(x))*ff(x)(D - А(х))+ У(х), xeR(i, ri > 2. (B.l)
Здесь D = — iV; V{x) — скалярный электрический потенциал, А(х) — векторный магнитный потенциал, g(x) = {yJ'(x)}, 1 < j, I < d, — положительная матрица (метрика). Предполагается, что V, А и д вещественны и периодичны относительно некоторой решетки Г в Rd. Через Г2 обозначим элементарную ячейку решетки Г.
Первый результат получен в известной работе Л. Томаса [3] в 1973 г. для оператора Шредингера
-A + V(x) (В.2)
в Х-г(М3) с периодическим потенциалом V Є />^(^)- Томас предложил метод доказательства абсолютной непрерывности спектра, который использовался в большинстве дальнейших исследований. Этот метод опирается на разложение Флоке-Блоха и существенно использует аналитическое продолжение этого разложения на комплексные значения квазиимпульса. Подробно схема Томаса изложена в 2. Результат Томаса был обобщен в книге [4] на случай произвольной размерности d > 2. Предполагалось, что V" Є г(^) при d — 2,3, V Є ЬЛ(П), з > d— 1, при d > 4. В дальнейшем условия на V были значительно ослаблены в [5], [б] и в [7]-[Щ
Случай магнитного гамильтониана
(П-А(х))2 + К<х) (В.З)
заметно сложнее. В [11] был рассмотрен оператор (В.З) (в случае V — 0) при условии "малости" магнитного потенциала. Там же было отмечено, что если отказаться от условия малости, то магнитный оператор уже не удается исследовать как аддитивное возмущение "свободного" оператора -Д. Эта трудность была преодолена М. Ш. Бирманом и Т. А. Суслиной [12] в двумерном случае. Рассмотрения [12] основаны на изучении двумерного оператора Паули (D — А(х))2 + 9іЛг(х) - cfe-A^x), допускающего удобную факторизацию (см. (4.16) ниже). Это позволило учесть "магнитное" возмущение как мультипликативное. В [12] установлена абсолютная непрерывность спектра оператора (В.З) при d = 2, Аё C(R'2), V Є Х>г(П). В дальнейшем, в [5] условия на потенциалы были ослаблены:
А Є г(її), г > 2; V Le{9), q > 1. (В.4)
Отметим, что при условиях (В.4) оператор (В.З) задается в терминах соответствующей квадратичной формы.
Позднее, в работе [13) условие (В.4) на магнитный потенциал было заменено на более широкое условие
/|А|21пЛ(1 + |А])гіх < оо, а>1. п
Допускались также другие, более широкие классы магнитных потенциалов, связанные с повторными логарифмами. Отдельно отметим работу [10], в которой была доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (В,2) в Ха(К2) для потенциалов V из класса Като Кч (см. [14]). Это условие на V шире, чем (В.4), поскольку имеет место включение (J Lffip.) С К%- Однако, для работы [10] существенным является ограничение А — 0.
При d > 3 задача для оператора (В.З) оказалась значительно сложнее, чем при d = 2. Она была решена А. Соболевым [15]. В [15] установлена абсолютная непрерывность спектра оператора (В.З) при d > З, А є СМ+3(1Ї) и V є La{Sl), а > d- 1. Впоследствии, условие на магнитный потенциал было ослаблено. В [16] предполагалось, что А Є H'{ll), Is >Ы-2, и в [171, [18] — АеСЧИОПЯ'ф), 2q>d~2, d > 3.
В [5] была развита абстрактная схема теории возмущений для операторов, заданных через формы. На основе этой схемы результат из [15], [16] был обобщен в [С] на более широкий класс потенциалов V:
VeLt(t2), d = 3,4; V є Ld..2(fi), d > 5. (B.5)
При этом ограничения на А остались прежними.
При А = 0 (т. е. для оператора (В.2)) условие (В.5) было заменено в [7] условием V Є j(H) для любых d > 3.
Значительные трудности связаны с включением переменной метрики
5(х)=о>2(х)а, (В.6)
где а — постоянная положительная матрица, ш — положительная Г-периодическая функция. При некоторых, не слишком обременительных, условиях гладкости на ш, в [6] отмечено, что задача об абсолютной непрерывности спектра оператора (В.1) с метрикой вида (В.б) в Z/2(Krf), d > 2, сводится к аналогичному вопросу для оператора (В.З).
В работе А. Морама [19] при d = 2 доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (В.1) с метрикой более общего вида, а именно, в случае
g Є С, det g = 1, А Є С00, V Є Ьж, d = 2. (В.7)
Доказательство в [19] технически сложно и основано на оценках несколько иного типа, чем оценки Томаса. Впрочем, в двумерном случае существуют (см. [16], [20]) глобальные изотермические координаты, сохраняющие периодичность. Используя эти координаты, можно при d = 2 преобразовать оператор (В.1) с метрикой общего вида к оператору с конформной (скалярной) метрикой. При этом решетка периодов и потенциалы изменятся. Этот прием позволяет получить результаты из [19] прямым сведением к случаю скалярной метрики. Условия на у, А, V тогда оказываются заметно шире, чем (В.7).
При d > 3 вопрос об абсолютной непрерывности спектра оператора (В. 1) с метрикой общего вида остается открытым. В связи с этим укажем на недавнюю интересную работу [21], где была устанозлена абсолютная непрерывность спектра (гладкого) оператора (В.1) для Г — Zd, d>2, при условии инвариантности оператора относительно симметрии х± н-» — э^. Условие гладкости в данной работе является несущественным и может быть легко ослаблено; условие же инвариантности, напротив, является ключевым.
Отметим также недавний отрицательный результат Н. Д. Филонова [1]: при d > 3 построен пример периодического оператора (В.1) с метрикой g є Р| Са и А = 0, V — 0, имеющего собственное значение
бесконечной кратности.
Кроме оператора Шредингера исследовался периодический оператор Дирака, оператор Максвелла, оператор теории упругости (см., например, [13], [17], [18], [22]-[24]}. Изучались также задачи в периодических областях (волноводах). Отметим в этой связи работы [20], [25]-[29]. Более подробный обзор результатов по абсолютной непрерывности спектра периодических операторов математической физики приведен в [б], [27], [30].
5. Во всех предыдущих работах условия на коэффициенты ставились в терминах их принадлежности различным функциональным классам, что каждый раз требовало варьирования техники. В настоящей работе для изучения двумерного оператора Шредингера мы применяем несколько другой подход, позволяющий существенно ослабить условия на коэффициенты. С этой целью мы рассматриваем в L2(R1) оператор несколько более общего вида
(Ч(х))-' «D- A(x))V(x)(D- A(x)) + V(x))(»,(x))- Л хвШ\ (В.8)
Здесь V(x) — обобщенный электрический потенциал, задаваемый как распределение, rj(x) — положительная Г-периодическая весовая функция. Точное определение оператора (В.8) дается через квадратичную форму
/ /((Д - Ai)f}- 1и)Щ^А^Щ<ік + f W 'u\4v. (B.9)
E2J' R2
Здесь dv — Г-периодический вещественный борелевский заряд локально конечной вариации. Обобщенный электрический потенциал V порождается зарядом du. Формально V — dv/dx.
Точные условия на заряд dv описаны в 1 (см. условия (i)-(iii)). Существенно, что накладываются различные условия на положительную
difjf. и отрицательную du.. части заряда. При этом, область определения 4>ормы (В.9) определяется по замыканию с множества j/C^fR2). Сейчас отметим лишь, что для выполнения условий (i)-(iii) достаточно справедливости оценки
f \u\2\dv\ < є I |V«|2dx+C(e;n,rfi/) f \u\2dx, Ve Є (0,1), и Є Я'(їі).
іі і? п
(В.10)
В этом случае область определения формы (В.9) совпадает с rjH^(M2).
Определение обобщенного электрического потенциала через заряд оказывается очень удобным. В частности, это позволяет включить в рассмотрение сингулярные потенциалы, сосредоточенные на периодической системе кривых. Именно, пусть — Г-периодическая система кусочно-гладких кривых, ds-(x.) — элемент длины дуги на , "(х) — Г-периодическая вещественная функция на L. Тогда можно рассмотреть заряд вида dv = Vdx + (rds%(x), который порождает сингулярный электрический потенциал V+
До сих пор при изучении абсолютной непрерывности спектра оператора Шредингера рассматривался лишь случай "регулярного" электрического потенциала V, отвечающего абсолютно непрерывному заряду dv = Vdx.. И в этом частном случае условия (i)-(iii) (и даже условие (В.10)) оказываются заметно шире, нежели условия, накладывавшиеся на электрический потенциал в предыдущих работах. Отметим также, что условие (В.10) равносильно компактности вложения класса, Н1(1) в пространство э(П; \dv\).
В аналогичных абстрактных терминах ниже задается условие на магнитный потенциал. Предполагается, что выполнена оценка (ср.
(B.10))
11A|2|u]2dx < є I \Vu\2dK + C(e; l\ A) f , Ve Є (0,1), u Є Я1 (fi),
її a n
или, что то же, компактно вложение J/l(Q) в ^(її; |А|2).
Обсудим теперь условия на метрику. Представим матрицу 2(x).t/o(x), где det#o(x) = 1, w(x) := (det^x))1'4. Относительно Уо предполагается лишь, что
^1 < ffo(x) < сії, 0 < c.q < а < оо, х Є R2.
Условия на скалярный множитель ш несколько жестче. Именно, мы считаем выполненными следующие соотношения:
0 < ojq < w(x) < wi < оо, х Є Ra,
J \Vu\2\u\2dx < є І \Vu\2dx + С{є;і1,и) J \и\2(Ы, Ve Є (0,1), u Є Hl(il).
si о її
Предложенные нами условия на метрику и магнитный потенциал также
существенно шире, нежели в предшествующих работах.
Неотрицательная весовая функция г]{х) предполагается почти везде положительной и такой, что вложение Н1 (S7) в L
6. Основной результат работы — теорема 1.5 об абсолютной непрерывности спектра оператора (В.8). Отдельно, в теореме 1.8 формулируется
результат в важном для приложений случае, когда &v = Vdx. + o-dsyfa); условия на заряд тогда могут быть упрощены (см. п. 1.6; там же приведены некоторые примеры зарядов иного типа). Отметим, что паши условия на коэффициенты выражены в терминах компактности некоторых вложений. Именно отказ от рассмотрения конкретных функциональных классов позволяет существенно ослабить условия на коэффициенты и включить в рассмотрение широкий класс сингулярных возмущений. Предложенные "абстрактные" условия на di/, А, до и г/ фактически неулучшаемы.
Аналогичный результат при схожих условиях на коэффициенты был получен в задаче об абсолютной непрерывности спектра двумерного оператора Шредингера (В.8) в односвязном периодическом волноводе (см. [31], [32]).
7. В основе наших рассмотрений лежит подход Томаса. Этот метод
использует разложение периодического оператора в прямой интеграл.
Затем операторы, действующие в слоях прямого интеграла, продолжа
ются на комплексные значения параметра слоя (квазиимпульса). Даль
нейшее сводится к оценкам резольвенты этих операторов при больших
мнимых значениях квазиимпульса. Именно получение таких оценок
представляет конкретную трудность в каждой новой задаче. В нашем
случае соответствующие оценки составляют содержание теоремы 2.7,
из которой впоследствии вьшодится теорема 1.5. Часть нужных нам
фактов заимствована из работ [5], [12] в готовом виде.
Исходно теорема 2.7 об оценках доказывается для случая, когда матрица д — единичная. Затем оценки переносятся на случай скалярной метрики (В.б). Наконец, использование глобальных изотермических координат позволяет доказать теорему 1.5 в полном объеме.
8. В 1 приведены исходные определения и формулируются основ
ные результаты диссертации, В 2 собран необходимый материал
относительно схемы Томаса, и сформулирована опорная теорема 2.7 об оценках. В 3,4 устанавливаются оценки, нужные для доказательства теоремы 2.7 при # = 1, і} = 1. Доказательству теоремы 2.7 при д = 1, г) = 1 посвящен 5. В 6 мы включаем в рассмотрение скалярную метрику. В 7 мы завершаем доказательство теоремы 2.7 и выводим из нее теорему 1.5 в случае скалярной метрики; затем доказываем теорему 1.5 в полном объеме.
9. В заключение кратко сформулируем основные положения, которые выносятся на защиту.
В диссертации исследуется задача об абсолютной непрерывности спектра двумерного периодического оператора Шредингера с метрикой, магнитным (векторным) потенциалом, электрическим потенциалом и весовой функцией при минимальных ограничениях на данные задачи. Условия на коэффициенты ставятся в терминах компактности некоторых вложений. Это позволяет, в частности, рассмотреть важные для применений случаи разрывных коэффициентов. В качестве электрического потенциала впервые допускаются обобщенные функции (заряды). Оператор задается через замкнутую полуограниченную форму. Осуществляется разложение периодического оператора в прямой интеграл, в слоях которого действуют операторы с дискретным спектром, зависящие от параметра слоя [квазиимпульса). Эти операторы аналитически продолжаются на комплексные значения квазиимпульса. В случае скалярной метрики получены оценки на убывание нормы резольвенты этих операторов при больших мнимых значениях квазиимпульса. При помощи этих оценок с использованием глобальных изотермиче-скзіх координат, на основании абстрактной теории прямых интегралов устанавлена абсолютная непрерывность спектра оператора.
Все полученные результаты являются новыми.
Результаты работы опубликованы в статьях [БСШ], [Ш1]~[Ш4].
Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю М. Ш. Бирману за постановку задачи и большое внимание к работе. Автор благодарит также Т. А. Суслину за многочисленные полезные обсуждения.
Определение оператора. Основной результат
Обозначения. Пусть а1( а2 є К2 образуют базис решетки Г в R2 и пусть її := {хЄК2 : x = tia1+t2a2, 0 ,- 1, j = 1,2} — элементарная ячейка решетки Г. Фиксируем ортонормированный базис Єї, е-2 в R2 так, чтобы было е = аі/аі. Используем обозначения V = {д/дхі,д/дх2} = { 1,}. D = {Di,D-i} = — iV. Для вещественной функции / используем обозначения: 2/+(х) := ]/(х) ± /(х). Классы Соболева порядка g 0 с показателем суммируемости р обозначаются через %Я(К2), W};(Q); при /J 2 — через ЯЛ(К2), Я" (П). Через И (Л) обозначается подпространство тех функций из W(Q), для которых Г-периодическое продолжение принадлежит классу Wp 1ос(Е"); при р — 2 обозначаем #э(12) := РГЦП). Через С(П) (соотв. C(Q)) обозначается класс функций, являющихся сужением на її Г-периодических функций класса C(R2) (соотв. С(Е2)). Через Со(Ш?) обозначается класс непрерывных в Ж2 функций с компактным носителем.
Далее,— стандартные скалярное произведение и норма в С2; 1 — единичная (2 х 2)-матрица. Норма в Р(П), 1 р ее, обозначается через )р; при р = 2 индекс не пишется. Интегралы без указания области интегрирования считаются распространенными no R2. Через С, с обозначаются различные оценочные постоянные. Для матрицы h символ hl означает транспонированную матрицу. Если S — измеримое множество в IK2, то measS означает двумерную меру Лебега множества 3.
Если В — банахово пространство, то через в обозначается норма в В. Пусть В — еще одно банахово пространство. Для операторной нормы линейного ограниченного отображения Т : В — В используем обозначение ТВ .g- и пишем ЦТЦБ- В =: в- Часто пишем просто Т[, если это не ведет к смешениям.
2. Описание коэффициентов оператора. Магнитный потенциал задается измеримой вектор-функцией А(х) = .A xje, + Л2(х)еа с вещественными коэффициентами, причем А(х + а,) = А(х), j = 1,2, х К". (1.1) Будем также предполагать, что выполнена оценка /"A2tt2dx e/Vti[2dx+C7(e;aA) /"[и Лс, Ve Є (ОД), и є Я1 (її). п п п (1.2) Mempuica задается измеримой (2 х 2)-матрицей-функцией /(х) — (У(х)} с вещественными элементами, причем у(х + а,) - /(х), J = 1., 2, х Є R2, (1.3) f-4,1 э(х.) сії, 0 ( с, оо. (1.4) Представим метрику д в виде д(х) :=Ш2(х)?0(х), det?0(x) = 1, w := (detS(x))J/4. (1.5) Предполагается, что шЄ Я1 (12), (1.6) / Vw2u!2 x є /1V«2dx 4- С(є; SI,w) Muprfx, n n n I1-7) Vee (0,1), аде Я (П). Пусть rff — вещественный борелевский заряд в R2 с локально конечной вариацией. Тем самым, И(Е) := / \dv\ оо (1.8) для любого борелевского ограниченного в R2 множества 3. Будем считать, что заряд dv периодичен относительно решетки Г, то есть выполнено условие / dv(x) = / Мх), п={щ,п2}єЖ2. (1.9) S- -niaL+Ti2aj Представим заряд dv в виде dv = dv . — dv-, 2dv± := \dv\ ± dv. Наложим на заряд dv следующие условия, (і) Форма m.+ [м,и] := I Vwffix + I \u\\lvv, и Є C (U2), допускает замыкание в L-2(R2). (Это означает, что для любой последовательности {ип}, и,г Є Co(iR2), сходящейся в Z O 2) к нулю и фундаментальной относительно формы т+, вьшолнено т, .[и,,, ип] — (1 при г), + оо.) Область определения замыкания формы т+ обозначим через (I Множество d {С Я1 2)), вообще говоря, не совпадает с Я К2); оно зависит только от dv+.
Разложение в прямой интеграл. Схема Томаса
Предложение 2.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.5. Пусть спектр действующего в Я самосопряженного оператора %R(ki) абсолютно непрерывен при всяком к- Є [—L,X], Тогда спектр оператора М абсолютно непрерывен.
Доказательство. Интеграл в правой части (2,14) — интеграл с постоянными слоями. Поэтому в силу теоремы XIIL85 из [4] спектр определенного в (2.15) оператора ШЇ абсолютно непрерывен. Ясно также, что К, рассматриваемое как подпространство в Я, приводит оператор ЯК. Определенный в (2.13) оператор М. есть часть Ш в К. Следовательно, спектр оператора Лі абсолютно непрерывен, и то же верно для спектра оператора М. Прямым следствием теоремы VII.3.9 и замечания VII.4.22 из [36] является
Предложение 2.4. При любом fe Є К существуют последовательность скалярных функций {j(Ai)}, j Є N, и последовательность Ь2{И)-значных функций { (М)} J Є N, со следующими свойствами: 1. Функции j, tpj, j є N, вещественно аполитичны на [—,]. 2. Справедливы соотношения При каждом последовательность {і (М)}, j Є N, образует ортонормировапный базис
Предложение 2.5. Пусть nptt каком-либо кч є К среди функций {j{ki)} нет постоянных. Тогда спектр соответствующего оператора Ш(к2) абсолютно непрерывен.
Доказательство. Свойства 1—3 из предложения 2.4 вместе с предположением об отсутствии постоянных j совпадают с условиями теоремы XIIL86 из [4]. Б силу этой теоремы спектр оператора Ш(к2) абсолютно непрерывен.
Осталось найти способ проверки условия предложения 2.5. Пусть какая-либо из функций j постоянна: j{ki) = , fci Є [ L,L]. Тогда в силу аналитической альтернативы Фредгольма (см. [36, теоремы VILLI О, VII.4.2]} число должно быть собственным значением оператора М{к), к-2) при любом к\ Є С. Чтобы прийти здесь к противоречию, достаточно найти такое Ат1( при котором оператор М{к\, к2) 1 обратим. Суммируем все сказанное.
Предложение 2,6. Пусть выполнены условия теоремы 1.5. Пусть при всяком к-2 Є [-L, L] и всяком найдется значение fci = кг(, к2) Є С, для которого оператор АҐ ь&г) — 1 ограниченно обратим. Тогда спектр оператора M{g,A,dv,rj) абсолютно непрерывен.
6. Вначале мы установим абсолютную непрерывность спектра оператора М для случая скалярной метрики д. Именно, пусть в (1.5) до(х) = 1, то есть выполнено Уеловшися в этом случае писать М(у) вместо А/(к), зависимость от кг в обозначениях не отражается; аналогичное, соглашение принимается для обозначения других операторов и форм. Основной технический результат работы — следующая теорема, в которой метрика предполагается скалярной.
Теорема 2,7. Пусть заряд du удовлетворяет условиям (i )f (1.11), (2.4); и для магнитного потенциала А выполнены условия (1.2), (1.41). Пусть метрика у удовлетворяет условиям (1.6), (1.7), (2.16)-(2.18); а весовая функция г) — условиям (1.13), (1.14). Пусть М(у) = M(k; у, A, du, г/), где к определено в (2.19). Тогда существует такая постоянная I/O = уо[Ы, ti,w, A, du. k-j), что оператор М{у) обратим при \у\ уо, и (2.20) с(у) — с(у; Гї, a, w, А, п, к2) —» 0 при \у\ — со. Если /е2 пробегает ограниченное поджможестео в Ш, то у0 и с(у) можно выбрать не зависящими от к2. Замечание 2.8. В теореме 2.7 условие (1.41) на магнитный потенциал А может быть опущено. В этом случае утверждение теоремы, очевидно, сохранит свою силу, если в (2.19) заменить у на // + (кА){. 7, Вывод теоремы 1.5 в случае скалярной метрики вида (2.16) из теоремы 2.7 совсем прост. Действительно, в соответствии с предложением 2.6 достаточно установить обратимость оператора
Оценки для магнитного потенциала
Из соотношения (4.5) и неравенства (7.3) непосредственно вытекает оценка (2.20), что завершает доказательство теоремы.
Преобразование оператора (1.40) к случаю скалярной метрики. Как уже отмечалось в п. 2.7, из теоремы 2.7 стандартными рассуждениями (см. [6, 2}) выводится утверждение теоремы 1.5 в случае скалярной метрики вида (2.16). Мы опишем теперь преобразование координат в R , которое приведет оператор М, определенный в (1.40), к оператору со скалярной метрикой, но для другой решетки периодов и при измененных A, dv и ту. Хорошо известно (см., например, [41, теоремы 2.2-2.5] и [42, теорема 5]), что существуют локальные преобразования координат, приводящие подынтегральное выражение в (1.31) к случаю скалярной метрики вида (2.16). Функции, определяющие новые координаты, являются решениями уравнений Бельтрами. В периодическом случае локальные преобразования координат могут быть "склеены" в глобальное преобразование, сохраняющее периодичность, но меняющее решетку Г. Соображения, позволяющие провести такую "склейку", имеют топологический характер. Они изложены в [16]. Другой (чисто аналитический) путь доказательства существования глобального преобразования координат указан в работе [20], где в основу положена теорема 6 из [42]. Мы сейчас опишем результат в нужном нам виде.
По условию (і) выполнено тл[ип,ип], ті — сю. Тогда из (1.4), (7.21J следует, что m +[w„,uft] — 0, п -+ оо. Это показывает, что орліа rt+4_ допускает замыкание в Ь2{Ш2). Через dt обозначим область определения замыкания формы т ±. Легко понять, что н\и2)пс0{ж2) Cd,. Из (7.4) и из леммы 7.3 вытекает, что при замене переменных I, — Ф(х) множество Я1(К2) п С«(Е2) взаимно-однозначно отображается на H R nCbfR2). Отсюда и из (7.15), (7.16), (7.21) следует, что преобразо-eawwe инцоФ осуществляет взаимно-однозначное отображение d па d . Соотношение (7.21), очевидно, переносится на все функции из d .
Рассуждения, аналогичные использованным ранее, показывают, что преобразование MHf not"1 взаимно-однозначно отображает множество Г-периодических функций класса .Н/ ДМ2) OC(R2) на множество Г,-периодических функций класса iT c(]R2)nC(R2). Кроме того, из (1-4), (1.11) и (7.6), для любой Г-периодической функции и G .Н ДВХ2) П СІМ2) имеем
Это показывает, что оператор Л/ = М( /, A, rff, т;) унитарно эквивалентен оператору Для случая скалярной метрики вида (2.16) утверждение теоремы 1.5 уже установлено. Следовательно, спектр оператора М, абсолютно непрерывен. Вьтесте с ним абсолютно непрерывен и спектр оператора М, Этим доказательство теоремы 1.5 полностью завершено
Случай переменной скалярной метрики
Спектральный анализ периодических операторов математической физики имеет как общетеоретическое, так и прикладное значение. В основе этого анализа лежат разложения Флоке-Блоха, являющиеся аналогом (хотя и не полным) разложений Фурье. В сравнительно ши роких предположениях метод Флоке-Блоха показывает, что спектр пе риодического оператора имеет зонную структуру. При этом из общих соображений не следует, что не могут существовать "вырожденные" зоны, сводящиеся к точке. Эта точка должна была бы представлять собой собственное значение бесконечной кратности. Ясно, что нали чие или отсутствие таких точек существенно отражается на выводах о физических свойствах рассматриваемой периодической структуры.
Господствующая точка зрения состоит в том, что в достаточно "регу лярных" случаях вырожденных зон быть не должно. Однако, строгое обоснование этой гипотезы в каждом конкретном случае представляет собой довольно сложную математическую задачу и требует использо вания довольно продвинутой математической техники. Более того, само представление о "регулярных случаях достаточно размыто и ограни чивается наличием контрпримеров. Эти контрпримеры связаны либо с недостаточной гладкостью коэффициентов, либо с другими особенностя ми в постановке вопроса. Например, известен гладкий эллиптический оператор четвертого порядка, имеющий вырожденную зону.
2. Операторы математической физики обычно имеют второй (или пер вый) порядок, что несколько смягчает остроту ситуации. Однако, и здесь известны контрпримеры, связанные с негладкостью коэффициен тов (см., например, [1]). В то же время наличие определенных особенно стей у коэффициентов вполне реалистично с точки зрения применений.
Поэтому важно уметь исключать наличие вырожденных зон при воз можно более широких предположениях на коэффициенты. Поскольку доказательство отсутствия сингулярного непрерывного спектра представляет собой сравнительно простую задачу, отсутствие вырожденных зон фактически устанавливает абсолютную непрерывность спектра соответствующего оператора.
3. Настоящая работа посвящена исследованию абсолютной непрерывности спектра периодического двумерного оператора Шредингера при наличии метрики и электрического и магнитного потенциалов. При этом электрический потенциал может содержать "сингулярную" составляющую в виде заряда (распределения), сосредоточенного на периодической системе кривых. Потенциалы такого рода возникают, например, в теории фотонных кристаллов (см. [2]). Надо отметить, что эксперимент в ряде случаев не дает здесь возможности отличить очень узкие зоны от вырожденных. В настоящей работе показано (см. теорему 1.8 ниже) математическими средствами, что вырожденных зон в задачах такого типа быть не может.
4. Перейдем к обзору предшествующих результатов относительно абсолютной непрерывности спектра оператора Шредингера, причем не будем ограничиваться двумерным случаем. Рассмотрим оператор (D - A(x)) ff(x)(D - А(х))+ У(х), xeR(i, ri 2. (B.l)
Здесь D = — iV; V{x) — скалярный электрический потенциал, А(х) — векторный магнитный потенциал, g(x) = {yJ (x)}, 1 j, I d, — положительная матрица (метрика). Предполагается, что V, А и д вещественны и периодичны относительно некоторой решетки Г в Rd. Через Г2 обозначим элементарную ячейку решетки Г.
Первый результат получен в известной работе Л. Томаса [3] в 1973 г. для оператора Шредингера -A + V(x) (В.2) в Х-г(М3) с периодическим потенциалом V Є / ( )- Томас предложил метод доказательства абсолютной непрерывности спектра, который использовался в большинстве дальнейших исследований. Этот метод опирается на разложение Флоке-Блоха и существенно использует аналитическое продолжение этого разложения на комплексные значения квазиимпульса. Подробно схема Томаса изложена в 2. Результат Томаса был обобщен в книге [4] на случай произвольной размерности d 2. Предполагалось, что V" Є г( ) при d — 2,3, V Є ЬЛ(П), з d— 1, при d 4.
