Содержание к диссертации
Введение 3
Глава I. Исследование особенностей резольвенты 13
1. Интегральное уравнение теории возмущений 13
2. Исследование множества i 20
3. Исследование множества 2 32
Глава П. Свойства решения уравнения Липпмана-Швингера
и разложения по собственным функциям 41
4. Отсутствие ненулевых вещественных особенностей ре
шения уравнения Липпмана-Швингера 41
5. Аналитическое продолжение функции (р(х, А, о;) 50
6. Свойства резольвенты и разложение по собственным
функциям 60
Список литературы 69
Введение к работе
Результаты, полученные в области спектральной теории дифференциальных операторов, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, в задачах квантовой механики часто рассматриваются операторы Шредингера, используемые в теории рассеяния. При этом одним из основных является вопрос о свойствах решения задачи теории рассеяния в зависимости от спектрального параметра, а также - задача разложения по спектру этого оператора.
Известно, что при а{х) = 0, т.е. отсутствии магнитного потенциала, уравнением Лигшмана-Швингера называется интегральное уравнение
ф,\,ы) + ±- [?—iV(V)
47Г J \Х — у\ Л3
где Л - вещественный параметр, ш Є S2. Первые результаты о разложениях по собственным функциям оператора Шредингера с электрическим потенциалом получил А.Я. Повзнер в работе [11], связь этих разложений с теорией рассеяния установлена им же в работе [12]. В дальнейшем этой теме было посвящено большое количество работ Т.Икэбе [23], Л.Д. Фад-деева [16], Д.М. Эйдуса [18], С.Куроды [24] и других авторов
(с достаточно полной библиографией можно ознакомиться в [2], [9],[13]-[15],[19]-[22]). Итоги этих исследований подведены в книге [14]. В частности, в этой книге изучается условие Роль-ника:
\х - y\~2V(x)V{y) Є L(R6), V Є L(R3). (0.2)
Введем однородное уравнение
/ + Я-(А)/ = 0, (0.3)
где К(Х) - интегральный оператор с ядром
егХ\х-у\
К(х, у, А) = — -V{x)
А,щх — у\
уравнения (0.1). Изучение особенностей по параметру Л решения ip(x,\,cj) уравнения (0.1) сводится к исследованию множества тех Л, при которых однородное уравнение (0.3) имеет нетривиальное решение, а также асимптотическое поведение самих решений f(x). В теореме XI.41 из работы [14] было доказано, что в классе вещественных потенциалов (0.2) множество ограничено, замкнуто и имеет лебегову меру нуль. Далее, в работе [10] (теорема 2.4, с.51) было доказано, что для потенциалов Рольника (0.2) множество , на самом деле, конечно и если Л Є \ {0}, то Л2 - собственное значение оператора Шре-дингера конечной кратности. Кроме того, в работе [10] (см. теорему 2.5, с.53) для данного класса потенциалов установлено,
что при каждом 8 > 0 для Л Є R имеет место неравенство
sup / \V(x)\\(p(x,\,us)\2dx < оо,
|Л|><5, А J R3
где о; Є S2.
В настоящей диссертации мы изучаем в L2(R3) спектр и
задачу рассеяния для оператора Шредингера
#(а,У) = ]Г(^ + а,)2 + Тф), k=i
где рк = і~гд/дхкі а{х) = (аі(ж),а2(а;),аз(ж)) и У (ж) - соответственно магнитный и электрический потенциалы, причем
ак(х) (к = 1,3) и V(x) - вещественные функции, удовлетворяющие следующим условиям:
(г) |Ф(х)| Є L(R3), \а(х)\ Є L(R3), ще Ф(ж) = а2(^) + У(.т) +
з idiv a(x), а2 (ж) = J^ аЦх)]
к=\ (іі) для всех 5 > 0 функции
Л(я)= / |Ф(2/)Цл- — 2/Г1^,
|ar-y|<
9б{х)= / |а(2/)||ж-у
^і/
k-vl<* ограничены в R3, причем
lim/Дж) = HnW:r) = 0
д \0 () \и
равномерно в R3;
{гіг) Ит sup / \х - у\~2(\а(у)\ + \Ф(у)\)(1у = 0.
\х—у\<5
Заметим здесь, что условие на f$(x) означает, что функция Ф(х) принадлежит классу Като (см. [17], с. 16).
Результаты работы могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений и квантовой механике.
Диссертация состоит из введения, двух глав (1 — 3 и 4 — 6 соответственно) и списка литературы. Нумерация теорем и лемм единая и сплошная в каждом параграфе. Диссертация изложена на 74 страницах. Список литературы насчитывает 37 наименований, из которых 5 на иностранных языках.
Перейдем к изложению основных результатов диссертации.
В главе I (1 — 3) изучаются особенности резольвенты.
В 1 исследуется интегральное уравнение теории возмущений.
Если выполнено условие (г), то оператор Н = H(a,V) записывается в виде суммы Н = Н0 + W, где Н0 = —Л,
W = 2 ^2 Рк>к + Ф = 2 ^2 акРк + Ф. (0.4)
k=i k=i
Хорошо известно, что если ак{х) (fc = 1,3) її V(x) достаточно
гладкие ограниченные функции, то операторы Н0 и Н самосопряжены в L2(M3) с общей областью определения VJ/f 0&3), а для резольвент R0(z) = (Н0 — z)^1 и R(z) = (Н — z)^1 при Imz у 0 справедливо уравнение
R{z) + R0(z)WR(z) = R0{z), (0.5)
которое принято называть уравнением теории возмущений. Если выполнены условия (г) — (гг), то оператор Н определяется в смысле квадратичных форм (см. [17],с. 11).
Пусть h{x) пробегает множество Cg(R3). Положим
и(х, А) = (Я(А2) h)(x), и0(х, А) = (Яо(А2) h)(x), (0.6)
считая, что в (0.5) z = А2,1т\ > 0. Учитывая, что при всех к = 1,3 операторы р& перестановочны с R0(z) (во всяком случае при Im\ ^ 0) и пользуясь тем, что R0(X2) есть интегральный оператор с ядром
согласно (0.5)-(0.б), для и(\) = и(х,\) получим неоднородное уравнение
и(\) + К(\)и(\)=и0(\), (0.7)
где и0(Х) = и0(х,Х), К(Х) есть интегральный оператор с
ядром
п д К(х, 1/, Л) = G0(ж, у, \)Ф(у) + 2Г1 J2 faTG(x> yi АК(2/) =
(4тг|х - у\)~1 е^х-^[Ф{у) + 2(Х\х - у\'1 + ъ\х - у\~2)х
х(х-у,аШ, (0.8)
где (х — у, а(у)) - скалярное произведение в R3, Ф(.т) = а2(.г) +
V(x) 4- zdiv а(х), а2(х) = J2 iix)-
k=i Основным результатом этого параграфа является
Л е м м а 1.1. Если выполнены условия (г) — (гг), то оператор К(Х) компактен в С (К3) для всех Л, 1тX > 0. непрерывен по Л в равномерной операторной топологии и аналитичен по Л в полуплоскости ImX > 0 в той же топологии.
Лемма 1.1. позволяет к неоднородному уравнению (0.7) применить теорию Фредгольма, согласно которой уравнение (0.7) при ImX > 0 имеет единственное решение в С (К3), если в этом пространстве соответствующее однородное уравнение
/ + K(\)f = 0, (0.9)
имеет только нулевое решение. Поэтому возникает задача изучения множества тех точек А из полуплоскости ImX > 0, для которых однородное уравнение (0.9) имеет нетривиальное
решение в C(R3). Ниже будут изучены подмножества множества , определяемые условиями
i = П {A|imA > 0}, 2 = \Д{0}.
В 2 исследуются множества i. Основные результатами 2 являются следующее утверждения:
Л е м м а 2.3. Пусть выполнены условия (і) — (И). Тогда если А Є і, то А = гт, т > 0, а решение f(x) уравнения (0.9) принадлежит W-^R3) и допускает оценку
sup(l + |x|)er|a;||/(x-)| <оо.
.тЄМ3
При этом А2 = —г2 есть собственное значение оператора Н конечной кратности.
Л е м м а 2.4. Пусть выполнены условия (г) — (іг) и дополнительно известно, что
f а2 (У) ,
lim sup / -. r ay = 0.
S\0 х J \x-y\ ' \x—y\<5
Тогда множество i ограничено.
Теорема2.1. Пусть выполнены условия (г) — (?г). Тогда множество і не имеет конечных предельных точек. Если же дополнительно выполнены условия леммы 2.4, ТО i состоит из конечного числа точек.
В 3 изучаются множества г- Основным результатом 3 является следующее утверждение:
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (г) — (гг). Тогда множество &2 не имеет конечных предельных точек. При этом, если Л Є So, то А2 есть собственное значение оператора Н конечной кратности, а соответствующая собственная функция f(x) удовлетворяет оценке
sup(1 + |.т|)2|/(ж)| < 00.
жєЖ3
Следуя (1) и (7), обозначим
ф, А, ш) + j К(х, у, \)ip(y, A, cj)dy = eiX^\ (0.10)
где и) Є S*2, А Є К, а ядро К(х, у. А) задано равенством (0.8).
В главе II изучаются свойства решения уравнения Липпмана - Швингера (0.10) и разложения по собственным функциям.
В 4 доказывается отсутствие ненулевых вещественных особенностей решения уравнения Липпмана - Швингера (0.10).
Основной результат 4 сформулирован в следующей теореме:
Те орем а 4.1. Пусть выполнены условия (г) - (гг) и
дополнительно известно, что при некотором 8 > О
a2(x)(l+\x\)s+6dx
и Л0 т^ О? А0 Є 82- Тогда существует предел
ір(х,\0,ш) = lim (р(х,\,ш),
равномерный по х ЄШ3 и си Є S2.
В 5 изучается вопрос об аналитическом продолжении функции ср(х, А, и) по параметру Л в верхнюю полуплоскость ТтХ > 0.
Основной результат 5 состоит в следующем:
Теорема5.1. Пусть потенциалы удовлетворяют условиям (г) — (гіг). Тогда решение задачи теории рассеяния у?(ж, Л, со) представляется в виде <р(ж, Л, а;) = elX^XjW^(x, A,6j), где функция ф(х, А, со) для всех А 0 {0} U Е\ и для всех со Є S2 принадлежит классу C^(R3), непрерывна по со по норме пространства C^(R3), аналитична по всем \,1т\ > 0, А ^ {0} U j и непрерывна вплоть до вещественной прямой по норме пространства С^(М3). Кроме того, в точках А Є і ф(х, А, а;) имеет простые полюсы.
В 6 изучены свойства резольвенты, и разложение по собственным функциям для оператора Шредингера в магнитном поле.
Основным результатом этого параграфа является следующая теорема:
Теоремаб.1. Пусть h(x) Є CJ(M3), тогда справедливо следующее разложение
т оо
h(X) = J2 ъкх)+Е Wr)+
k=i k=i
+-^з f X2(fh(X,uj)(p(x,X,uj)dfi(uj))dX, (0.12)
где h(X,w) = J 1ъ(у)(р(у,Х,ш)(1у, (p(x,X,cj) - решение уравне-
ния Липпмана-Швингера (0.10), причем правая часть (0.12) сходится в L2(R3).
Основные результаты опубликованы в |25]-[37j.
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф. - м.н., профессору Х.Х. Муртазпну за постановку задач и постоянное внимание к работе.
