Введение к работе
Актуальность темы. Одним из важных направлений теории аппроксимации являются линейные методы приближения, среди которых особое место занимают линейные положительные операторы (л.п.о.). Ведущим частным случаем л.п.о. являются многочлены Бернштейна
ВД;*) = t f (-)pnk(x),Pnk(x) = cknx\i - *)"-*. (і)
Однако, для функций, имеющих непрерывные производные выше второго порядка, л.п.о. не дают лучшего приближения, чем па классе дважды дифференцируемых функций. Развивая идею С.Н.Беряштейна [Собр.соч., т.2, статья .V57], В.С.Виденский и Т.П. Пенднна построили модификации многочленов (1), которые повышают порядок приближения гладких функций. В дальнейшем авторы распространили эти модификации на л.п.о. канонического порядка, к которым относятся многие классические операторы. Затем Т.В.Ершова применила эти модификации к линейным одераторам Ln, нормированным условием Ln(l;x) = 1. Г.Х.Киров изучил другие последовательности операторов по многочленам (1), которые также реагируют на повышение гладкости функции. Еще одним методом улучшения качества приближения является итерация. Таким образом, отказ от положительности операторов позволяет улучшить приближение дифференцируемых функций. Возникает задача исследовать обобщенные неположительные операторы канонического порядка, а также их модификации, и применяя методы теории л.п.о., обобщить некоторые из полученных ранее результатов. Кроме того, строятся сплайны по многочленам Бернштейна (1), что также приводит к ускорению сходимости л.п.о. Цель работы. В первой главе:
1. Построить неположительные операторы, обобщающие л.п.о. канонического порядка, и исследовать их аппроксимационные свойства, используя методы теории положительных операторов.
-
Исследовать обобщения дробно-рациональных операторов и многочленов Бернштейна и для них доказать теоремы, обобщающие результаты, известные для соответствующих л.п.о.
-
Для обобщенных многочленов Бернштейна построить модификации с лучшими аппроксимадионными свойствами для гладких функций.
-
Исследовать итерацию обобщенных многочленов Бернштейна как метод ускорения сходимости исходных операторов для гладких функций.
Во второй главе:
-
Построить интерполяционные сплайны по многочленам Бернштейна, ускоряющие сходимость операторов для непрерывных функций.
-
Рассмотреть итерацию сплайнов, а также их модификации, улучшающие приближение гладких функций по сравнению с такими же модификациями для многочленов Бернштейна.
Общая методика выполнения исследований. Используются классическиеметоды конструктивной теории функций, в частности, идеи, предложенные С.Н.Бернштейном, и получившие дальнейшее развитие в работах других математиков.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми, они приведены с полными доказательствами. Построены неположительные обобщения л.п.о. канонического порядка, для которых доказаны теоремы типа Поповичиу и теорема Вороновской - Бернштейна. Для обобщенных дробно-рациональных операторов и многочленов Бернштейна, являющихся частными случаями операторов канонического порядка, получен также результат о совместном приближении функции и ее первой производной. Исследованы бернштейновские модификации и последовательности Кирова по обобщенным многочленам Бернштейна, улучшающие качество приближения гладких функций. Для построенных модификаций доказаны асимптотические теоремы Вороновской. Кроме того, рассмотрена итерация неположительных операторов, также при-
водящая к ускорению сходимости этих операторов для гладких функций.
Исследованы интерполяционные сплайны по многочленам Берн-штейна, причем порядок приближения с их помощью выше, чем в случае классических многочленов Бернштейыа. Для построенных сплайнов получены основные аппроксимационные теоремы. Также исследованы некоторые модификации этих сплайнов, которые, во-первых, улучшают качество приближения гладких функций, а во-вторых, обладают более высокой скоростью сходимости, чем подобные модификации по классическим многочленам Бернштейна. Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные утверждения развивают классические результаты и могут быть использованы в исследованиях ап-проксимационных свойств линейных операторов, а также для непосредственного приближения конкретных функций в вычислительной математике.
Аппробадия работы. Результаты работы докладывались в 1997-1998 годах на семинарах профессоров В.С.Виденского и Г.И.Натансона по конструктивной теории функций при РГПУ имени А.И.Герцена и на Герценовских чтениях в г.Санкт-Петербурге. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-3].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Список литературы содержит 48 наименований. Общий объем работы 112 страниц.
