Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Почти характеристические функции со спек тральным люком
Глава 2. Решение задачи Н.А.Сапогова 34
Глава 3. Носители зарядов со спектральным люком и теорема Бенедикса 40
Глава 4. Нелокальные почти дифференциальные опера торы и интерполяция функциями с редким спектром 53
Глава 5. Периодические в среднем функции, равные нулю (Ответ на вопрос Ю.И.Любича) 69
Литература
- Почти характеристические функции со спек тральным люком
- Решение задачи Н.А.Сапогова
- Носители зарядов со спектральным люком и теорема Бенедикса
- Нелокальные почти дифференциальные опера торы и интерполяция функциями с редким спектром
- Периодические в среднем функции, равные нулю (Ответ на вопрос Ю.И.Любича)
Введение к работе
Хорошо известно, что ненулевая функция и ее преобразование Фурье не могут быть одновременно "очень малыми" (например, обращаться в нуль на "больших" множествах). Этот эффект лежит в основе многих важных теорем единственности гармонического анализа и теории функций. В физике его называют "принципом неопределенности".
Диссертация посвящена исследованию некоторых конкретных про- явлений отого принципа. Она состоит из введения и пяти глав. Перейдем к обзору ее содержания.
Целью первых двух глав, в основном, является ответ на следующий вопрос, поставленный Н.А.Сапоговым (cm.JjKJ): существует ли такое множество & С $\. положительной и конечной меры Лебега, что функция А„ тождественно равна нулю на непустом интервале? (Здесь Ас обозначает характеристическую функцию множества Е, //Л Сі ъ- - преобразование Фурье функции Jl ). Ответ на этот вопрос оказался положительным.
Препятствием к построению искомого множества Е служат известные свойства (квази) аналитичности преобразования Фурье. Так, например, сраз^ясно, что если множество Ь ограничено сверху или снизу, то Ар может обратиться в нуль разве лишь на множестве нулевой меры Лебега (ведь в этом случае Лс есть граничное значение функции, ограниченной и аналитической в некоторой полуплоскости). Аналогичное заключение верно и тогда, когда ' to^m&i(En(t,i-oo))^^_r^, - ц - это следует из известной теоремы Берлинга о квазианалитичности преобразований Фурье. .;
Мы покажем (см.гл.2), что других препятствий к построению множества Сл , для которого 0 *" WW с/<+оо , а нули функции Art заполняют интервал, грубо говоря, не существует: будет построена система попарно дизгонктных интервалов [(СС^у aK+&JniI такая' что где *t - любая наперед заданная достаточно правильная положительная функция, подчиненная условиям fJhlteLdx->-o7 гсхАО (1x1/+*), причем AplJ^O , где tt ~ L/ (Ctbj&jb+rlfcJ, a J неко- торый интервал (наша конструкция позволяет выбрать в качестве любое число, меньшее // ).
Множество Е замечательно еще в одном отношении: существуют две различные вероятностные борелевские меры (в IK ), совпадающие на всех его сдвигах (см.ІГ5І, а также заключительные замечания в гл.2).
В первой главе диссертации указан способ построения множеств С^с и вещественных функций Yp , обладающих следующими свойствами: содержит интер- вал. Задача сводится к исследованию некоторых гильбертовых многообразий и, в конечном счете, решается с помощью бесконечномерного варианта теоремы о неявной функции.
Результаты первой главы можно связать с формулой суммирования Пуассона: где 0(x) обозначает дельта-функцию (в IK ). В главе Е речь идет, фактически, об отыскании последовательностей Л ~/^//z^Z» достаточно быстро стремящихся к нулю при //?/"* оо и таких,
Е $(х-к-м*о на некотором интервале (СС2 V )С (0}2/ц) (при /1=0 это верно на любом таком интервале).
Оказывается, что близкие к нулю решения последнего уравне ния (интервал ((Z? v ) фиксирован) заполняют вещественно-аналити ческую поверхность в пространстве С- (Ж, &/ > если &"неквазианалитический" и достаточно правильный вес.
Результаты первых двух глав имеют прямое отношение к "принципу неопределенности": ведь в них речь идет о совместимости весьма специальных свойств заряда (представимость в виде l_,o(Zr-n-L)или Х^'/П. , где № - мера Лебега в К ) с наличием "люка" в его спектре (т.е. с обращением в нуль преобразования Фурье на интервале).
В третьей главе мы рассматриваем заряды Н , сосредото ченные на замкнутом множестве (L С \. и занимаемся отыска нием условий, при которых такой заряд способен иметь спектраль ный люк, не будучи тождественным нулем.
Обозначим через М(Е) множество всех конечных зарядов, сосредоточенных на / , а через \^00 \Е) - множество всех функций, заданных и непрерывных на > и исчезающих в бесконечности. Существование ненулевого заряда Н (иными словами "разрешимость задачи I") означает, что множество - б - следов на Е всевозможных целых функций класса С^Ш/ экспоненциального типа <А не плотно в Cc^iEJ . Вопросам аппроксимации такими целыми функциями в различных весовых пространствах посвящены работы П.Кусиса [2} J25j,[26J . А.Бєрлинга (20j, НЛевинсона [28j и С.Мандельбройта [29j. Следует также отметить важные работы С.Н.Мергеляна /l3j и Н.И.Ахиезера [2J. В главе 3 мы устанавливаем связь между только что описанной "спектральной" задачей Г и одной задачей теории потенциала, которую мы будем называть "задачей П". Вот ее постановка.
Описание задачи П мы проведем для ҐІ -мерного случая (сравнение с задачей Г будет происходить при YL = I). Пусть E^ix. , - некоторое замкнутое множество. Положим -R \Е(мы отождествляем точки редполо- жим еще, что все точки множества Е регулярны для задачи Дирихле в Ju . Обозначим через Jр конус положительных гармонических функций в Ъи с нулевыми граничными значениями на Е Оказывается, что всегда конус !/ г-» порождается либо одним, либо двумя своими элементами и содержит ненулевые элементы, то есть всегда Г CW>tJ„^ 2. Этот результат был получен М.Бенедиксом (cm.JVJ, стр.53-72).
Вот теперь и возникает наша теоретико-потенциальная "задача П": описать множества Е , для которых OU/rn Jg - 2.
Основной результат главы 3 состоит в том, что задачи Г и П "почти" равносильны (см.также формулировку теоремы 3). Заметим, что решение задачи П было получено Бенедиксом. Чтобы сформулировать его результат, введем некоторые обозначения. Пусть /(д.- куб в л- с центром в точке (&? 0 ) и ребром cLJCCl , все ребра которого параллельны координатным осям; juJ^K.~\Е > fijxj- гармоническая мера оКт относительно Ьи<г в точке %> - 7 -Теорема (Бєнедикс [l9j). Следующие утверждения равносильны: а). (йтЩ-^. б). Существует функция ЩЩ. : U.(Z,tf)}llfl (xJR*ytlRl в).//1Л ^^. /Л/>/
Особенно интересным с точки зрения задачи П является пункт в) теоремы Бенедикса, в котором установлена прямая связь между равномерностью конуса Jр и некоторой мерой "густоты" множествам в бесконечности, которая записана в терминах гармонической меры.
Сформулируем теперь нашу теорему 3. Обозначим через и пространство Шварца быстро убывающих функций, а через J - пространство распределений медленного роста. Если ТёТ , то г пусть означает преобразование Фурье распределения / , а / обратное преобразование Фурье. Пусть где J2 (Х} Е) - расстояние от точки X, до множества Е
Теорема 3. а). Предположим, что все точки множества Е ре гулярны для задачи Дирихле в области JL-in- \Ь и существует из меримая функция . : Ц-С -+ (L такая, что:
1) 4>UpjO (L С о ( Abbbb (L - носитель распределения, зада ваемого функцией (L ) ;
2) Z \(~п?А) ~0 при некотором АуО ; 3) 1{(Х)1$С(1+М) ПРИ Я$Е и некотором С>0 Тогда размерность конуса У« равна двум. б). Обратно, пусть . Тогда для любого А>0 су- ществует заряд Нл^Ж(Е) такой, что /1дІ(~А?А)~0 в). Пусть существует /б J , для которого выполнены условия Г) и 2) пункта а). Тогда, если (на множество Е в этом пункте нет никаких ограничений кроме замкнутости).
Из одного примера Бенедикса следует, что в пункте в) теоремы - 8 - 3 множество Е~ нельзя заменить на й - даже в том случае, ког да Т єсть конечный заряд, а Е объединение отрезков.
В заключительных замечаниях главы 3 мы рассматриваем также более общую задачу о весовой аппроксимации елементами пространст ва Кд=Н±ЄвН+ , ГДЄ Ні - класс Харди в, верхней полуплос кости, а У - внутренняя функция (при СОСТО ИТ из целых функций экспоненциального типа).
Изменим постановку "задачи Г", потребовав вместо наличия "спектрального люка" обращения в нуль преобразования Фурье на множестве положительной меры Лебега. Итак: пусть Е - замкнутое множество в / ; при каких условиях на Е «Ж$/содержит ненулевой заряд Н такой, что /72. (Н (0))>0 ? Здесь /72. - мера Лебега в R. .
Результаты главы h показывают, в частности, что ответ на этот вопрос носит принципиально иной характер, чем решение задачи Г (в которой речь шла о существовании невырожденных интервалов, содержащихся в К (ОJ ).
В главе Ч, кроме поставленного выше вопроса, мы занимаемся еще и задачей о локальности некоторых операторов свертки. Обе задачи решаются единым методом, представляющим, на наш взгляд, самостоятельный интерес. В его основе лежит простой способ построения тригонометрического многочлена с большим пробелом в спектре, близкого по мере к заданной функции. Сформулируем задачу о нелокальных операторах свертки с целыми символами. Оператор л :%J-*L0u где JJ - некоторое линейное подмножество пространства называется локальным, если функция /\ (Z) обращается в нуль почти во всех точках множества / b^utl Ц)~0т , какова бы ни была Z J] . Рассмотрим оператор ^Cr» , где Ь -гизцеримая по Лебегу функция вещественной переменной: 0Cr(fr/~(Е&/7 l$% = (lLZ(lfl):EfrL(R)}^o видеть, что оператор Xg кален, если его символ (функция Е ) есть алгебраический многочлен. В отом случае оОг» - дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Наша теорема 4 опровергает гипотезу Де Бран-жа (cM.[22j, стр. 248), согласно которой Т^с локален и тогда, когда его символ Е есть целая функция нулевой степени (т.е. первого порядка и минимального типа). Оказалось, что Tip нелокален даже для некоторых целых функций Е нулевого порядка. Чтобы сформулировать теорему 4, условимся обозначать буквой
ОІ неотрицательную целочисленную функцию, заданную на всей ком- плексной плоскости и подчиненную условию Z-J '\м (такая функция называется "дивизором"), а символом / Id - каноническое произведение П&І&АЇМ . % , /Д Я/ ^ " комплексная переменная), отвечаю- щее дивизору (X, .
Теорема 4. Пусть Y - положительная функция, заданная на промежутке [Оу + оэ) Предположим, что т(э&}\0 приХ/т-оо Существует такой дивизор U- , что а оператор п не локален; более того, найдутся функция (/)r-j и множество бС il такие, что ?. Л і!(к), тиЄ>0М ХПА)>0> iles- j Полагая УЇХІ-р*,, /ог^л) (&}0/, мы и получим целую функцию с, (- * 'гР 1 нулевого порядка, для которой оператор*^ нелокален.
Подчеркнем, в частности, что при таком выборе функции т J f+xr -ГО-Вернемся теперь к вопросу о зарядах из Л(Е) с преобразованием Фурье, исчезающем на множестве положительной меры Лебега. В главе Ч мы решаем более общую задачу - а именно, задачу интерполяции функциями с редким спектром. А.Берлингу принадлежит следующая теорема (cm.[20j): если конечный заряд Н , заданный на борелевском ^ - кольце вещественной прямой, таков, что а у ' / &п. **+kj _ , p
П.Кусис.поставил вопрос: можно ли в птой теореме интервал заменить множеством положительной меры Лебега?
Мы докажем, что ответ на отот вопрос отрицателен (как и предполагал П.Кусис). Этот факт получится как следствие одной теоремы об исправлении (в духе теоремы Лузина) - см. ниже теорему 5.
Условимся символом ЛЬвС & , где -еди, - ничная окружность), обозначать множество j/l sL .' Z(fb)rOr.Здесь %(П,)=^{(ёЬММ. f
Для формулировки теоремы 5 нам понадобится следующее.
Определение. Пусть X - некоторое-нормированное пространство, состоящее из функций класса ИСТ).
Множество А целых чисел назовем Д - обильным, если для любого положительного числа и для любой функции О Є д найдутся функция Qr$X и открытое множество GrC Ц , обладающие следующими свойствами: з). />/оесес А ; ц). /ті Ее <е. X - обильность множества А означает, попросту говоря, что любая функция класса X на некотором множестве "почти полной меры" совпадает с функцией класса д , спектр которой лежит в А. Обозначим через W " алгебру Винера": - и - W=l( d(V: Е lfM<+ 00}.
Хорошо известно, что W - банахова алгебра (относительно поточечного умножения) с нормой
w па. =Е 1}Ы Теорема 5. Пусть AcZ ,/1=-71 .дм У - обильности множества /Ч достаточно следующее условие: для любого натурального {, найдется натуральное Jv такое, что inkg[jfHr+t]cA.
Условие теоремы означает, грубо говоря, что А содержит группу "точек небольшими "окрестностями" длины її - при любом I и некотором Jf(=Jf(U). При этом "пробелы" между такими группами ничем не ограничены.
Пусть функция ty К>0 равномерно непрерывна на /?.
Рассмотрим еОи - область определения оператора свертки 7С^.
Известно (см.J2Г]и[2Ц]), что при условии J 1ч-xr /)и не содержит ненулевых функций, обращающихся в нуль на интервале. Теорема 5 дает возможность опровергнуть еще одну гипотезу Де Бранжа (cm.[22J, стр.248), который предполагал, что при тех же условиях на функцию /\ множество ф)и не может содержать ненулевых функций, равных нулю на множестве положительной меры.
Теоремы об "исправлении" до функции с редким спектром для других классов функций (отличных от VV ) можно вывести из результатов Ф.Г. Арутюняна (cm.[IJ) и А.Б.Александрова (см. [18р. В недавней работе J23J теоремы такого типа доказаны С.В.Кисляковым для случая локально компактных абелевых групп (в нашем случае та- кой группой является и ). Отметим, что во всех этих работах речь идет о функциях менее гладких, чем функции класса W
Исходным пунктом для главы 5 служит следующая известная теорема единственности (cm.[9j, стр.324): если функция г непрерывная в IK , W - периодична в среднем (т.е., если существует такой конечный заряд К ф 0 , что r*H~0. ^UbbfiC[0?lCfJ ) и обращается в нуль на промежутке длины УХ , то г= 0 .
И этот результат можно интерпретировать как одно из проявле ний "принципа неопределенности". В самом деле, пусть наша г- / имеет вид, где / 5^ Тогда условие W' - периодичности в среднем функции А превращается в условие, налагаемое на носитель распределения / : AuppTc{X:jiaho}, а сформулированный выше результат показывает, что распределение / , подчиненное -этому условию, где Н JI/ІГґ) jу?; Н^О не может иметь "спектральный люк" длины ЪТ . В главе 5 показано, однако, что в птом утверждении сегмент IPjltTj нельзя заменить парой сегментов, из которых сдвигами, кратными Ж , можно составить [07Ы1 (этот результат дает отрицательный ответ на вопрос, поставленный Ю.И.Любичем в /Щ). Точнее говоря, в главе 5 мы строим ненулевую почти периодическую непрерывную функцию г > равную нулю на сегментах \2М. 3lfJ и [-.?$Г;-25/J , и (#f/ периодическую в среднем при любом У О .В конце главы 5 обсуждаются некоторые связи с базисами Рисса и операторами Теплица. - D -
Почти характеристические функции со спек тральным люком
Обозначим символом Ар характеристическую функцию множества Е , ЕС Ц , конечной и положительной меры Лебега. Может ли преобразование Фурье L, этой функции обращаться в нуль на интервале? Вот вопрос, поставленный Н.А.Сапоговым [16 J в связи с одной задачей теории меры. В первых двух параграфах мы дадим утвердительный ответ на вопрос Н.А.Сапогова.
Препятствием к построению искомого множества Ь служат известные свойства (квази-) аналитичности преобразования Фурье. Так, например, сразу ясно, что, если множество Ь ограничено сверху или снизу, то Ас может обратиться в нуль разве лишь на множестве нулевой меры Лебега (ведь в этом случае Ас есть граничное значение функции, ограниченной и аналитической в некоторой полуплоскости). Аналогичное заключение верно и тогда, когда это следует из известной теоремы Берлинга о квазианалитичности преобразований Фурье.
В этой главе мы рассмотрим некоторые естественно возникающие гильбертовы многообразия. Их введение является ключевым моментом для решения задачи Сапогова. Однако, они представляют и самостоятельный интерес.
Г. Редукция к теореме о неявной функции в гильбертовом пространстве.
В этом пункте мы рассмотрим несколько упрощенную задачу и построим измеримое по Лебегу множество Е , Е С К , и такую нетривиальную функцию fg , что /Ygl-Ag a( W (О) содержит интервал (хотя УУІЛЛЬУО )
Решение задачи Н.А.Сапогова
Нам потребуется следующее уточнение теоремы о неявной функции.
Лемма 2. Пусть S - гладкое отображение гильбертова пространства ПА В гильбертово пространство Ир , :удовлевторяющее следующим условиям: . Тогда образпг(у некоторого открытого шара с центром в начале есть окрестность начала пространства Но , причем существует гладкое отображение/1:: Ф(В)-+В такое, что F(0] 0,ЯР(Р(фг W тбоьі2 Р(В].
Напомним доказательство этого факта: отображение Г.Nxl 1 - /Vx // , где U - ядро оператора действующее по правилу Ч Ц х] ft 1г(ь+Х // , есть диффеоморфизм некоторого шара О/ на окрестность (у начала пространства Jfx/-/Z ; пусть / - обратный диффеоморфизм; в качестве г можно взять отображение .
Носители зарядов со спектральным люком и теорема Бенедикса
Рассмотрим некоторое замкнутое множество. Обозначим через ( (Е) класс непрерывных функций, заданных на множестве и стремящихся к нулю при jocj-ъоо, ос LL . Хорошо известно, что пространством, сопряженным к пространству С (EiJ С нор мой ///// — 4U&і/ Ъ-(Э)1 будет пространство М( Си J комплексных зарядов конечной вариации, носители которых содержатся в CJ . Пусть л У 0 - некоторое положительное число. Введем замкнутое подпространство , состоящее из таких Є Ссхэ ( ffw , Для которых ли/Орл с[-А? A J (мы счи таем, что функции из COO(EJJ продолжены нулем на всю веществен ную ось, так что преобразование Фурье Z определено в смысле теории обобщенных функций). Элементами WA будут, конечно, в точности те целые функции экспоненциального типа не выше А , для которых их сужение на вещественную ось попадает в класс С і IK ) Спрашивается, при каких условиях на множество ш сужения функций из класса им на множество tt будут образовывать линейное под пространство плотное в то есть когда любую непрерывную на множестве t-i функцию, исчезающую на бесконечности, можно рав номерно на LL приблизить элементами пространства ІЛм (и, значит, целыми функциями экспоненциального типа не выше А ) Этот вопрос допускает следующую двойственную переформулиров ку. Когда существует заряд для которого Рассматриваемая задача изучалась в работах многих авторов (см.,на пример, [2 г], I 20 J, [24 J) . Оказывается, что существует тесная связь между этой задачей, которую мы будем для краткости условно именовать "задачей I" и одной недавно решенной задачей теории потенци ала, которую мы опишем ниже и будем называть "задачей П".
Нашей целью в третьей главе будет исследование этой связи между двумя задачами.
Г. Описание задачи П. Описание задачи П мы проведем для УЬ -мерного случая (сравнение с задачей I будет происходить при / = [).
Пусть jCІК р Е Иах. - некоторое замкнутое множество.
Положим (мы отождествляем чъчш(Х.70) R. и Х/с ). Предположим еще, что все точки множества Е регулярны для задачи Дирихле в ии - Спрашивается, как определить по множеству Е размерность конуса %; положительных гармонических функций в ии с нулевыми граничными значениями на Ь .
Оказывается, что всегда конус У порождается либо одним, либо двумя своими элементами и содержит ненулевые элементы, то есть всегда 1(м/тУг% 2. Этот результат был получен М.Бенедиксом (CM.JI9J, стр. 53-72). Кроме того, Бенедиксу удалось дать ряд необходимых и достаточных условий, при которых Для формулировки этого результата введем некоторые обозначения.
Пусть 0 .cL l ; Лд, - куб в [гС с центром в точке ( ОС , 0 ) и ребром оС /XJ , все ребра которого параллельны координатным прямым ; ии — К Ь?JD (X/- гармоническая мераи%. относительно UUy в точке X
Теорема (Бенедикс (l9j). Следующие утверждения равносильны. а) . (ШП Л? 2 .
б). Существует функция Uy:U(X?u}}l]fX$R,U/l. в). J іуоin. doc -fсо
Нелокальные почти дифференциальные опера торы и интерполяция функциями с редким спектром
Две задачи гармонического анализа, которым посвящена эта глава, описаны ниже в пунктах Г и 2, Они решены единым методом,представляющим, на наш взгляд, самостоятельный интерес. В его основе лежит простой способ построения тригонометрического многочлена с большим пробелом в спектре, близкого по мере к заданной функции (см. ниже леммы 4 и 5).
I. Нелокальные операторы свертки с целыми символами.
Оператор - некоторое линейное под множество пространства [_, () , называется локальным, если функция A(ZJ обращается в нуль почти во всех точках множества ji R ftCil Oj, какова бы ни была Z 7) . Рассмотрим оператор оСп , где Е -измеримая по Лебегу функция вещественной переменной: прямое и обратное преобразование Фурье (нормировка такая же, как в первой главе)
Легко видеть, что оператор еС/р локален, если его символ (функция Ь ) есть алгебраический многочлен. В этом случае [?-дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Наша теорема 4 опровергает гипотезу Де Бранжа (CM./22J, стр. 248), согласно которой Ср локален и тогда, когда его символ LL есть целая функция нулевой степени (т.е. первого порядка и минимального типа). Оказалось, что dCrp нелокален даже для некоторых целых функций нулевого порядка.
Чтобы сформулировать теорему Ч, условимся обозначать буквой ці неотрицательную целочисленную функцию, заданную на всей комплексной плоскости и подчиненную условию
L ж + (36)
(такая функция ниже называется "дивизором"), а символом / /J} каноническое произведение.
Для формулировки теоремы 5 нам понадобится следующее.
Определение. Пусть X некоторое нормированное пространство, состоящее из функций класса Множество /Л целых чисел назовем /( -обильным, если для любого положительного .
Периодические в среднем функции, равные нулю (Ответ на вопрос Ю.И.Любича)
Непрерывная на вещественной оси функция г называется ЬГ периодической в среднем (короче ЬГ - персфункцией), если существует заряд Н , удовлетворяющий следующим условиям:
(a) fi40 ; (б) 4UftpfiC[0? Ьсг] ; (в) О, ЬГЄ 4U/ojbf ;
(г) F f = 0 ( % обозначает свертку). Всякая непрерывная периодическая функция ( ЬГ -периодическая функция), очевидно, есть ЬГ -персфункция. Легко видеть, что, опустив условие (в), мы получим равносильное определение.
