Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Некоторые интегральные неравенства для многочленов на кривых в комплексной плоскости 34
1.1. Классы кривых. Вспомогательные результаты 35
1.2. Неравенства типа В.К.Дзядыка 45
1.3. Неравенства типа С.Н.Мергеляна 63
1.4. Неравенства типа СМ.Никольского в классе алгебраических многочленов 67
1.5. Оценки между наилучшими приближениями функций в нормах различных пространств 78
Глава II. Полиномиальные весовые аппроксимации на замкнутых кривых класса Еисса 83
2.1. Модули непрерывности в метрике Классы кривых 84
2.2. О классах ограниченных аналитических функций 89
2.3. Весовая полиномиальная аппроксимации в среднем . 101
2.4. Полиномиальная наилучшая весовая аппроксимация в среднем на кривых класса Еисса 105
2.5. Конструктивная характеристика обобщенных классов Гельдера в интегральной метрике 122
Глава III. Полиномиальная аппроксимация на разомкнутых кривых и весовая рациональная аппроксимация на замкнутых кривых из класса Еисса. 132
З.1. О некоторых свойствах кривых класса Еисса 133
3.2. Весовая рациональная аппроксимация 138
3.3. Рациональная аппрокстіация функций в пространстве и,(Г) 147
3.4. Преобразование разомкнутой кривой Еисса в замкну тую кривую Еисса 153
3.5. Полиномиальная аппроксимация в среднем на дугах класса Еисса 158
3.6. Обратные задачи теории аппроксимации на дугах класса Еисса 166
Глава ІV. Локальные свойства особых интегралов 176
4.1. О множествах , на которых улучшено локальное поведение функции 178
4.2. Локальные свойства особого интеграла от гаункпии класса Н± (%, Ї) 184
4.3. Обратные локальные оценки для особого интеграла 197
4.4. О свойствах функций класса 207
4.5. Локальные свойства особого интеграла от функции класса 211
Глава V. О равномерной аппроксимации функции комплексного переменного на кривых 224
5.1. Прямая локально-глобальная теорема полиномиальной аппроксимации функций из класса 225
5.2. Конструктивная характеристика класса 233
5.3. Применение локальных свойств сингулярных интегралов в задачах рациональной аппроксимации 240
5.4. Теоремы типа Никольского-Тимаяа-Дзядыка в равномерной метрике на разомкнутых кривых 248
Литература 260
- Классы кривых. Вспомогательные результаты
- Модули непрерывности в метрике Классы кривых
- О некоторых свойствах кривых класса Еисса
- О множествах , на которых улучшено локальное поведение функции
- Прямая локально-глобальная теорема полиномиальной аппроксимации функций из класса
Классы кривых. Вспомогательные результаты
В этом параграфе доказываются интегральные неравенства типа В.К.Дзядыка на классах кривых п (см.определение 0.2) и $к (см.определение 0.4), содержащих, в частности, классы К -кривых и кусочно-гладких кривых. Мы докакем их опираясь на утверждения, приведенные в I.I и пользуясь, в основном, рассуждениями, аналогичным тем, которые были предложены Дд.Уолшем [67(1)] , В,Съюэллом [62(1)] , С.Н.Мергеляном [47(2)] , В.К.Дзядыком[22(2)3, Н.А.Лебедевым и П.М.Тамразовым [40(1)] и были использованы в работах [17(1)] и [5(1)] .
Основными утверждениями данного параграфа являются следующие.
Теорема I.2.I. Пусть есть произвольная спрямляемая N -квазиконформная кривая. Тогда каково-бы ни было натуральное число Л и числоъ е(-Я» ) для производной і -го порядка многочлена г _ степени )п. при р 1 справедливо неравенство
Теорема 1.2.2. Пусть I при некотором натуральном к принадлежит классу t\ . Тогда каково бы ни было натураль-ное число J ий $-[ / ,р ) для производной і -го порядка многочлена г степени.
Модули непрерывности в метрике Классы кривых
Отметим, что подобное определение класса кривых, введенное в работе [31(1 л (там требовалось выполнение условия (2.1.9) для функции J с Epffr) )» позволило нам решить задачи наилучшей полиномиальной аппроксимации в метрике Lp (Г) на произвольных кусочно-гладких кривых. Несколько позднее подобное определение кривых было использовано в работах /4(2)/ и [гва] .
В частности, в работе [4:(2)1 было показано, что при таком определении кривых, в отличие от кривых класса И.а ( р d ) (см. определение 0.5), возможно рассматривать задачу наилучшей аппроксимации и в метрике Li
Изучению свойств кривых класса & (очевидно, R.6 /Л ), посвящены многочисленные исследования (см., например, обзор в работе (70(1)/ ). Наиболее общие, достаточные условия принадлежности кривой Г классу & получены в работе (35(1)/ .
О некоторых свойствах кривых класса Еисса
Отметим, что подобное определение класса кривых, введенное в работе [31(1 л (там требовалось выполнение условия (2.1.9) для функции J с Epffr) )» позволило нам решить задачи наилучшей полиномиальной аппроксимации в метрике Lp (Г) на произвольных кусочно-гладких кривых. Несколько позднее подобное определение кривых было использовано в работах /4(2)/ и [гва] .
В частности, в работе [4:(2)1 было показано, что при таком определении кривых, в отличие от кривых класса И.а ( р d ) (см. определение 0.5), возможно рассматривать задачу наилучшей аппроксимации и в метрике Li
Изучению свойств кривых класса & (очевидно, R.6 /Л ), посвящены многочисленные исследования (см., например, обзор в работе (70(1)/ ). Наиболее общие, достаточные условия принадлежности кривой Г классу & получены в работе (35(1)/ .
О множествах , на которых улучшено локальное поведение функции
Напомним, что в работе Г.Фройда / 69(1)/ черезс/Уу обозначено множество Л -периодических непрерывных функций, удовлетворяющих условию \К +К)-{с )\ сМ)-М, ( Р А ), (4ЛЛ) где С (?-j - постоянная, не зависящая от X и А , у/Л J -неубывающая положительная функция такая, что у f+o) = О , fUA)t Л1/ҐА) и существует число Ь ± такое, что
Кроме того, через гПу,[4) обозначено множество точек X , для которых выполняется равенство3 \4(x+4)- Cx)l=0(Yft)), 4- О. (4.1.3)
Очевидно, в точках множества rnyfrj локальное поведение функции J(x) лучше глобального поведения.
Г. Фройдом доказано, что my(4)-fflf(4) » где (х) сингулярный интеграл с ядром Гильберта (4.0.3).
В этом параграфе мы доказываем, что утверждение Г.Фройда остается в силе на кривых класса в .0 этой целью, для функцій из класса. В (69(1)/ имеется дополнительное некорректное условие равномерности по X вводам в рассмотрение множество rn(4;d) , определяемое равенством.
Прямая локально-глобальная теорема полиномиальной аппроксимации функций из класса
В этом параграфе решается прямая локально-глобальная задача полиномиальной аппроксимации функций из класса Э ( / на кривых из класса р и Д Введем в рассмотрение класс О кривых Г , принадлежащих классу Р (см.замечание 0.1) и, для которых справедливо соотношение.
" Условию (b.I.I) удовлетворяют К -квазиконформные кривые (см. на пример, [15 (2)] ).
В дальнейшем множество (г , у которого граница G- — принадлежит классу В , называется множеством типа О
Несколько модифицировав и упростив доказательство теоремы В.К.Дзядыка (см. [22(2)] , стр. 440), мы докажем следующее утверждение :
Теорема 5.1,1. Пусть с , р С 1 ] и при некотором натуральном К на множестве (г типа Рк , задана функция
Тогда, при каждом натуральном п_ можно найти многочлен Г ( ) степени : п- такой, что выполняется неравенство.
Доказательство. Пусть G- - множество типа Рк и функция 1Д — Ч 0) - конформно и однолистно отображает С G- на 1лН 1 так, что uW,-l 4 № o ( - = ФГ-и -) аТУолх) ).
Обозначим через П С - стандартные обобщенные многочлены Фабера вида где Fc (і=і7 )есть многочлены Фа бера (см., например, jj59(I)J ), а \ (L = 1 "v коэффициенты разложения функции (гд)-—А—г— в ряд Лорана (см., например, [59(1)] ).
