Воспроизводящие ядра, преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах голоморфных функций Антоненкова Ольга Евгеньевна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторы в весовых пространствах голоморфных в шаре функций 19

1.1. Формулировка и доказательство вспомогательных утверждений 19

1.2. Ограниченные проекторы в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой 39

1.3. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q(o)) при 1 < p,q < +оо 54

1.4. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q(a>) при 0 < min 60

ГЛАВА II. Теплицевы операторы в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций 74

2.1. Теплицевы операторы в пространствах Ap'q(a) 74

2.2. О теплицевых операторах в пространствах Харди-Соболева 98

2.3. Приложение теплицевых операторов к решению проблемы Глисона в некоторых пространствах голоморфных в шаре функций 107

ГЛАВА III. Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых анизотропных пространствах голоморфных в поликруге функций 112

3.1. Об ограниченности некоторых интегральных операторов в весовых пространствах типа Бергмана 112

3.2. Линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой 124

Литература

• Ограниченные проекторы в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой
• Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q(a>) при 0 < min
• О теплицевых операторах в пространствах Харди-Соболева
• Линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой

Введение к работе

Актуальность темы. Хорошо известно, что пространства Харди и Бергмана занимают особое место в общей теории функциональных пространств. Методы, разработанные при исследовании этих пространств, нашли существенное применение в современной теории функций и функциональном анализе. Они оказались очень важными как при исследовании свойств рядов и интегралов Фурье, так и в других разделах гармонического и комплексного анализа. Поэтому представляется актуальным исследование свойств многомерных пространств типа Харди и Бергмана. Актуальность данной тематики подтверждается и тем, что в последние годы, как в нашей стране, так и за рубежом публикуется много научных статей в этом направлении. Кроме того, в последнее время было издано несколько монографий по теории пространств Бергмана, операторов Теплица и функциональным пространствам аналитических функций.

Цель работы. 1) Построить линейный ограниченный проектор из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств п-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций.

1. Описать преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.

2. Дать характеризацию тех символов, при которых оператор Теплица с соответствующим символом действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций.

3. Решить задачу Глисона в пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.

4. Построить линейный ограниченный проектор и получить описание сопряженных пространств к весовым анизотропным пространствам голоморфных в поликруге функций.

Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов. Важную роль играют интегральные представления исследуемых классов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты: - построен линейный ограниченный проектор из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств «-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций;

получено полное описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой;

описаны те символы, при которых теплицев оператор действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой;

решена проблема Глисона в исследуемых пространствах голоморфных в шаре функций.

построен линейный ограниченный проектор из весовых пространств измеримых в поликруге функций на соответствующее пространство голоморфных функций и на этой основе получено описание линейных непрерывных функционалов в изучаемых пространствах.

Теоретическая значимость. В диссертации исследуются весовые анизотропные пространства голоморфных в шаре и в поликруге функций со смешанной нормой, изучается поведения теплицевых операторов в анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций, решается проблема Глисона в рассматриваемых пространствах. Впервые охарактеризовано преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в классических весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой типа пространств Бергмана.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в многомерном гармоническом анализе, в теории операторов,

5 в теории функциональных пространств, в теории сингулярных интегральных операторов.

Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов. Также они могут быть использованы специалистами комплексного и функционального анализа при исследовании вопросов представления и описания двойственных пространств, вопросов аппроксимации, при изучении операторов сдвига в весовых пространствах аналитических функций.

Достоверность научных результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами и адекватным использованием основных, общеизвестных положений и методов комплексного и функционального анализа, теории интег-ро-дифференциальных операторов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

построение линейных ограниченных проекторов из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств и-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций;

описание преобразования Копти линейных непрерывных функционалов в

пространствах A^p,q{m) при всех наборах 0 < p,q < +00;

характеризация тех символов на единичной сфере, при которых соответствующий оператор Теплица действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой;

решение задачи Глисона в пространствах A^p,q{&) при всех 0<р,д<+со;

построение линейных ограниченных проекторов и описание сопряженных пространств к весовым пространствам голоморфных в поликруге функций.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского (2002 - 2005 гг.); на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2003 г.); на XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2004 г.); на 12-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2004 г.); на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2004, 2005 гг.); на международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [2] — [10].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 135 страниц. Библиография содержит 44 наименования.

Содержание диссертации.

Для изложения содержания диссертации вначале приведем обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы.

В 40-х годах прошлого столетия М.М. Джрбашяном были введены весовые

классы А^р(а) (см. [15], [16]). В указанных работах были исследованы вопросы интегральных представлений, свойств корневых множеств и др. Существенную

п (г \ а + іІ~йІ_
роль при этом играли воспроизводящие ядра вида:D_a\C,z) = / _ ' ' ,

z,eU, а >-1. В случае же единичного шара пространства такого типа впервые были рассмотрены в 70-х годах У. Рудиным и Ф. Форелли [36]. В дальнейшем исследования в этих пространствах в случае шара были продолжены в работах Кехе-Жу (см. [41]), У. Рудина (см. [19]). В 1961 году в работе А. Бенедека и Р. Понцоне (см. [34]) впервые были введены в рассмотрение пространства

Лебега со смешанной нормой. Некоторые вопросы в пространствах такого типа были исследованы и в известной монографии О.В. Бесова, В.П. Ильина, СМ. Никольского (см. [12]). В работе Ф.А. Шамояна [24] были введены весовые

анизотропные пространства голоморфных в поликруге Uⁿ = jz = (zj,...,z„)eC" : Z; < 1,_/ = 1, и] функций и исследованы вопросы двойственности и интегральных представлений в указанных пространствах. Эти исследования были продолжены в работах Ф.А. Шамояна и О.В. Ярославцевой [25] и Ф,А. Шамояна и Н.А. Часовой [26].

Важную роль при исследовании вопросов, связанных с пространствами аналитических функций, играет построение линейных ограниченных проекторов из весовых пространств измеримых функций на соответствующие пространства голоморфных функций. Классическим примером ограниченного проектора служит интеграл типа Коши, отображающий пространство Лебега L^p на единичной окружности (1<р<-ко) на соответствующее пространство Харди в

круге. Дальнейшее развитие этой теории связано с теорией сингулярных интегралов. Указанные результаты позволяют описать линейные непрерывные функционалы в исследуемых пространствах. В весовых анизотропных пространствах голоморфных в поликруге функций эти задачи получили полное решение в работах Ф.А. Шамояна [24], [27], однако, в случае шара необходимы другие подходы к их решению. В конце 80-х годов прошлого столетия американский математик С. Гадбойз (см. [38]) установил существование ограниченного проектора в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой и нашел другое представление линейных непрерывных функционалов в этих пространствах при существенных ограничениях на вес и показатели р и q.

Важность рассматриваемых нами интегральных представлений для решения ряда задач комплексного анализа хорошо известна, для примера укажем на работы Рудина У., Форелли Ф. (см. [36]), Джрбашяна ММ (см. [15], [16]), Ша-

8 мояна Ф.А. (см. [24]), Джрбашяна М.М., Шамояна Ф.А. (см. [35]), Коренблюма Б.И., Хеденмалма X., Кехе-Жу (см. [39]), Никольского Н.К. (см. [43]).

В диссертации существенную роль играют методы, разработанные в [24].

В пространствах голоморфных в круге функций гладких вплоть до единичной окружности исследования ограниченности теплицевых операторов, связанные с вопросами деления, впервые независимо проведены В.П. Хавиным [22] и Ф.А. Шамояном [44] в 1971 году. В дальнейшем эти исследования были продолжены в одномерном случае — в работах Ж.Р. Кахана [42], Ф.А. Шамояна [27], [44], Н.А. Широкова [30], [45], СВ. Виноградова [13], Е.М. Дынькина [17], В.В. Пеллера, СВ. Хрущева [18], а в многомерном случае — в классах голоморфных в поликруге функций - в работах Ф.А. Шамояна, А.В. Арутюнян [28], Ф.А. Шамояна, Н.А. Часовой [29], - в пространствах голоморфных в шаре функций - в работах А.Б. Александрова [1] и П.Р. Ахерна, Р. Шнейдера [31]. В работе [1] приведено приложение этих результатов при решении известной проблемы Глисона в указанных классах функций.

Перейдем к обзору основных результатов диссертации по главам. Введем сначала необходимые для обзора результатов работы обозначения и определе-

ния. Пусть В_п = <

z = (zi,...,z„): l^jz/ ^<1f ^— открытый единичный шар в и-¹У=1

мерном комплексном пространстве С", S_n - граница шара В_п, Н\В_п) — множество всех голоморфных в В_п функций. Символом Q. обозначим множество измеримых неотрицательных на (ОД) функций й), для которых существуют положительные числа т^, М_ю, q_a, причем /w^,^ є(0,і), такие, что

(я \ <--7 ~_W при всех г є(0,і), Я є [^,,1] (см. [20]). Важным примером та-б)\г)

ких функций являются функции m{t)=t^a, где aeR, t є(0,l). Эти классы часто возникают в асимптотических оценках в теории вероятностей и математической статистике (см. [20]). Исходя из результатов работы [24] можно доказать, что каждая функция т є Q допускает представление

6j(x) = exp\fj(x)+ \~—du ^J и

(0.1)

где л: є (ОД), f](x), є(х) - измеримые ограниченные функции. При этом

(0.2)

І"". <(_и)< '"^M«> ,„_e(₀,l)

1п(1/?_ш) "'"' "ln(l/«»)

Не ограничивая общности, можно считать, что tj{x) ~ 0, х є (0,l). Обозначим

«й=-

(У

> Ра> =

о)

\пМ

_НУя*У

(0.3)

Из условий (0.1) - (0.3) следует, что

0)

У)

(x)Jy^

,0<ху<1.

(0.4)

В дальнейшем при еП всегда будем предполагать, что 0 <Р_т < 1. Пусть

йїєГ2, 0<р,#<+оо, обозначим через L^p'^q(a)) пространство измеримых в Z?„ функций^ для которых

ІИІіР'?(в)"

$п J

(0.5)

где d)-нормированная мера Лебега на сфере S„. Подпространство L^Pbq{&), состоящее из голоморфных в В_п функций, обозначим через A^p,q{\ а из п-гармонических в В_п функций - через h^p,q(a>). Если a>{t) = t^a, то подпространство A^p,q{a>) обозначим через А^р'⁹(а), где а>—\, если же e>(t) = \, то через A^p,q(B_n). При /> = А^р,р(В_п) и А^р,р(а) мы обозначим через

Л^(#_и) и Л^(ог) соответственно. Н^р(В_п), 0<р<+<х> -классХардив В_п.

В первой главе диссертации строится линейный ограниченный проектор из пространства L^p'^q{а?) на соответствующее пространство A^p'^q{a})npn #єП, lа также из пространства h^p'^q(to) на пространство A^p,q{ct)\ при

10 0 < p,q < +со. Кроме того, здесь дается полная характеризация линейных непрерывных функционалов в пространствах A^p,q(a>) при ф є Q и 0 < p,q < +со.

В 1.1 главы I введены основные обозначения и установлены вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем.

В 1.2 главы I строится линейный ограниченный проектор, отображающий пространство L^p'^q(a)) на A^p,q{a?) при \< p,q <+<х>, а также пространство

h^p,q(co) на A^p,q(a>), при 0 < p,q < -f-oo. Основные результаты этого параграфа

содержатся в теоремах 1.1 — 1.4.

Теорема 1.1. Пусть coed, 1а>а_ю. Тогда оператор

^Аа(f\^z) = ^C(^rt'^а) J / / \\а+п+]—'^{Z Є В}"' ^отобР^ажает пространство

Z/^(A^p>^q (<*>), причем ЦЛгМЦ^О») ^ ^cl|/|liP.

Здесь и в дальнейшем С(и,а)= —т-^—т—р—^Ц, а через С будем обозначать

Г(и + 1)Г(<2 +1)

положительную константу, не зависящую от / Под (г, 4") будем понимать

и _ обычное скалярное произведение, т.е. (z,С)- ^^zjCj Отметим, что в частном

7=1

случае, когда а>{х)-х^а_t а>-\, при \ аналогичный результат получен в работе [38].

Теорема 1.2. Пусть со є Q, 1 < p,q < +<х>, а > (. Тогда оператор

^Ta(fl^z)=C{n,o)) J ; ' _х1_+и+і »^zєB«> отображает пространство

L^p,q{co) в пространство Л^(й>_а), где <»_а(0 ^{= й,}(м —т-ва оценка: |Г„ (/1^(^) * ФИ^а,)*

, при этом справедли-

_'І-Г

^р ;

ГУ +1 (\ \

-1. Тогда

Теорема 1.3. Пусть taeQ, 0 — —,- ,+п

mm{p,q)

оператор A_a(u\z) = C(n,a) Г-^—І ' / __-_jZGn> отображает прострац
ія (і-{2,С)Г⁺"⁺

олво h^p'^q Іф) на пространство A^p*^q(a>), причем ЦА*(")||^(ю) ^ ^НаР»?^)-

Теорема 1.4. Пусть (У є Q. Предположим:

ск +1
1. если 1 а>— 1.

. , ос_т +1 f 1
2. если 0 < р < 1, 1 < # < +оо,то а> —^ 1-й 1

Р \Р

/

-1.

Тогда оператор Л^ДиДг^С(и,а] I / —: ;—,ZEfi„, отображает

л„ (1-{^^>Г^+,,+

пространство h^p,q{a>) на пространство Л^'⁹(я>), при этом справедлива оценка:

Хорошо известно, что если min{p,^r}L^p'^q\a>) нулевой, но Ф₂ {/)= /(zq) является линейным

непрерывным функционалом на A^p,q(a>), где г₀ - фиксированная точка из В_п, в этой связи возникает вопрос о полной характеризации таких функционалов на A^p,q{co) при всех 0< p,q<+co. В следующих двух параграфах устанавливаются теоремы, позволяющие нам дать полный ответ на указанный вопрос.

В 1.3 главы I получено полное описание линейных непрерывных функционалов в пространствах A^p,q (й)) при 1 < р, q < +со, <у є CI. Отметим, что в работе Гадбойза С. (см. [38]) было получено отличное от нашего представление линейных непрерывных функционалов в этих пространствах при значительных ограничениях на показатели р и q и на вес со. Сформулируем этот результат.

12 Теорема (см. [38]). Пусть 1 <р<-ко, max{l,ff + \}+qo и а>-1. Тогда

если Ф - произвольный линейный непрерывный функционал на A^p,q{a\ то существует единственная функция g є А^{р ,q} (a(l-q')), р' = -- , q' _ , та-кая, что Ф представим в виде

_g(f)={f,g}= 1Лс)Жу(0- (0.6)

в„ Обратно: любая функция geA^p'^q (a(\-q')) по формуле (0.6) порождает линейный непрерывный функционал на A^p,q{a).

В остальных же случаях метод, разработанный им, не проходит, и естественно возник вопрос о том возможно ли решение поставленных задач. В своей работе мы, применяя другой подход, получаем полное описание линейных непрерывных функционалов на этих пространствах при всех 0 < р, q < +со, а > -1. Кроме того, рассматриваемые нами веса существенно более общего вида, чем

вес w(t) = t^a, а>-1.

Для формулировки полученных результатов введем понятие интегро-дифференциального оператора Римана-Лиувилля. Пусть / - голоморфная в В_п

+ 03

функция, f{z) - ^ /%- (z) - однородное разложение функции/ положим

к=0

_{а { )=} у Г(а + к + 1) _{)

Ы|Г(а + 1)г(ЫГ z = (z_l,...,z_n)^B_n, а>-\, Г -хорошо известная функция Эйлера. Пусть далее

= (\>->Сп)> z = (z_u..._tz„)eB„, положим е₂()= .

Теорема 1.6. Пусть Ф - линейный непрерывный функционал на A^p,q\co), l< p,q <+ю, оєО. и g{z)=$>{e_z), zeB_n. Тогда g - голоморфна в В_п и

4-со

D^a+]geA^p''^q'(u)_a) при a>a₆₎, где // = -^-, q' = -~, «>_a (0 = 4^-^

t є (0,l). Кроме того, Ф представим в виде

ф(/)= Km \/(р)Ш)*<т{С)

при этом существуют положительные константы С\, С₂ > 0, такие, что

(0.8)

D^e+I*

(0.9)

АР'ЦсОа)

Верно и обратное: любая функция g, такая, что D^a+ g є А^{р ,q} (со_а) по

формуле (1.8) порождает линейный непрерывный функционал на A^p,q(a)), для которого справедливы оценки (1.9).

В 1.4 главы I получено полное описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах А^р,д(й>) при 0<тт{р,д}<,\,

Пусть 0обозначим через X^^q класс аналитических в В_п функций g, для которых

\\8\\зР>4 = ^SUP
^а zsB„

ґ, л

--1 \Р J

_щ-

(О

_(-И)

D^a+Xg(z\<+<*>, (0.10)

где а>

"(У

а_т +1

+ и

\Р J

-1.

Если же 0\, то через Л^ обозначим множество всех голоморфных в В_п функций g, для которых

\\8 тр.?

(1-г)'

1 (\ лщ'-щ'

co^q(\-r)

2Є5_Я

)

^а+Щ

где - + — = 1, а > -У- + п\ 1

Ч Я Ч \Р )

Ч*

А если \<р<+<х>, 0<#<1, то обозначим через X^p,q множество голоморфных в В_п функций g, таких, что

\g\\fp,q = SUp ^-

> 0^]

(1-r)

\^Sn J

P'

1 1 , а_ю+1 ,
где — + — = 1, a > — 1

P P 4

Относительно указанных норм множества Л'^?, A,^,q и X^^q превращаются в банаховы пространства. Пусть пространство A^p^^q, где 0 < p,q < +<х>, совпада-ет с пространством Л^'^?, если 0<р<1, \<д<+<х>, с пространством Я'^д', если

1 < р < +со, 0 < # < 1, и с пространством Л'^?, если 0<р,

Теорема 1.7. Пусть 0 < р,# < +оо, (у є П. Тогда если Ф - линейный непрерывный функционал на A^p,q(co), и g(z) = <&(e_z), zGB_n> то geA%^q и Ф представим в виде

*(/)= Km И^Я^КЛ (0-13)

при этом существуют положительные константы С], С2 > 0, такие, что

Обратно: любая функция geA^^q по формуле (0.13) порождает линейный непрерывный функционал на A^p,q(u)), для которого справедливы оценки (0.14). Оператором Теплица с символом h называется следующий интегральный

оператор: T_h{f\z)= J /^^ІМС), где *S_n% ze5„.

s_n(l-\^z*0)

Во второй главе исследуется поведение теплицевых операторов в пространствах A^p'^q(a)) и пространствах Харди-Соболева Н^р(В_п).

В 2.1 главы II мы опишем те символы h, при которых операторы TAf\z) действуют в пространствах A^p,q(a), 0< p,q<\, 1< p,q <+<*>, а>-\.

В том случае, когда a)(t) = t^a, ґє(0,і) пространство A^p'^q обозначим X%'^q.

Теорема 2.1.Пусть 0¹(В_п).

А) Если q < р, то следующие утверждения равносильны:

1) Tjif) действует в пространстве A^p,q(a);

2)heA.

Б) Пусть q>p, тогда если оператор 7^(/) действует в пространстве

A^p,q{a), то йє&a^,q- И для любой функции he А^^р оператор 7^(/) действует

в пространстве A^p,q(a).

В 2.2 главы II исследуется ограниченность теплицевых операторов в пространствах Харди-Соболева в шаре.

+ СО

Пусть f(z)= ^fkiz) - однородное разложение функции /єН(В_п), обо-к=0

+оо

значим через R^a следующий оператор: R^af(z)= ^\к + Ц^а fk(z)' В том слу-

чае, когда а = Ї, R^xf{z) = f{z) + z_y- ~-{z).

7=1 ^&У

Пусть Н^р {в„ ), О < а < +00 - пространство Харди-Соболева в В_п, т.е.

Н^р_а (В„) = {/ є //(В„ ): |й^а/|_я;,_(gn} < -н»}, (0.15)

О < /7 < +СО .

Теорема 2.3. Пусть ІгєН (#„), 1 <р<+<х>, тогда следующие утверждения равносильны: 1) Т^ действует в пространстве Н^Р(В_П);2) /гєЯ(Л„).

Утверждение о том, что если /гє#(В„), то Т^ действует в пространстве Н^(В_П) доказано ранее Александровым А.Б. [1].

Пусть 0< p,q<+со, пространством A^,q(B_n) назовем пространство анали
тических в шаре функций, для которых R^а f < +оо, где 0 < а < +<х>.

A^p>^q (а)

Теорема 2.4. Пусть НєН {В_п), 1,#<+со, тогда следующие утверждения равносильны: 1) 7^ действует в пространстве А^р'^д(В„); 2) кєН^со{В_п).

В 2.3 главы II решается проблема Глисона в пространствах A^p,q{ct) при всех 0,<7<+оо, а>~\.

Теорема 2.5. Пусть 0-1, feA^p,g(a) и аєВ_п. Тогда су-

« ществуют функции _А(а,г)є А^р'^д(а),что f{z)~ f(a)~^(z_k ~a_k)g_k(a,z).

Пусть Uⁿ = jz = (z],...,z_n): z . < 1,/ = \,n\ — единичный поликруг в и-мерном комплексном пространстве С", Т" = ^ = (^,...,^):^/ = 1,/ = 1,я) —его остов.

Через L^p^(e), Р = (р\,->Рп)> Ч = (яи->Яп)> l^Pj>qj<+^cc, <у(ґ) = (б)] (ґ]),..., 0),[і.)єО., j = \,n будем обозначать пространство измеримых на U" функций/; для которых \f\_LM^) НИІі^-,Ри,^,?«ц__Ши) =

//1

/

(

{

1 л \ (я /

О -я- О W

_^V%

\

.d_n

On Рп

dn,

\

\

17 Тогда пространство A^p'^q{a) со смешанной нормой определим как подпространство L^p'^q{3), состоящее из голоморфных в U" функций. В том случае, когда p.=qj, j = \,n, эти пространства были введены в рассмотрение Шамоя-ном Ф.А. и Ярославцевой О.В. в работе [25].

В третьей главе строится ограниченный проектор из пространства L^p,q(3) на соответствующее пространство голоморфных в Uⁿ функций А^(3), й5(?) = (<Уі(ґі),...,<у„(ґ„)) в том случае, когда со МЛ, j = \,n принадлежат классу функций Q, правильно изменяющихся на интервале (ОД), а р = (р\,...,р_п), q-(#i,...,q_n) такие, что \<р,-,д,- <+со, j = \,n. На этой основе дается полное

описание линейных непрерывных функционалов на пространствах A^p'^q(3) при всех наборах р = (р_х,...,р_п), q =(q_b...,q_n), \_j,q_j<+^_i j = l,n.

В 3.1 главы III введены основные обозначения и построен ограниченный проектор из пространства L^p,q{p) в пространство A^p,q(3_a), где

, а так же из пространства L^p,q (З) на

пространство A^p'^q{co).

В 3.2 главы III получено полное описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах A^p'^q(3) при р = {р\,—,р_п), q =(q\,...,q_n), 1< /?/»3 = (й)],...,со_п), СО: -положительные функции, суммируемые на интервале (ОД). Отметим, что при р: — qi, /==1, и

наш результат совпадает с ранее известным результатом Шамояна Ф.А., Яро-славцевой О.В. (см. [25]).

Пустьg- голоморфная в U" функция, g(z_u...,z„) = ^^ак\,...,k_n^z^-^z "'»

к\,...,к_п=0

r,a ( \ v? r(a + l + k) к і \ ( \

положим D g{z) = 2, w лНі A^ak^z ' z = \?\>~>z_nh a = (a_{,...,a_n),

a: >-l, Ї = \,n, \к\ = к\ +... + к„. Здесь —~—т—-.—^-г = ГТ—/——\ -/—-—*.
^J " Г(а + 1)Г(А + 1) }^Г(«_у+і)г(^.+і)

« і
Пусть ^ = (^,...,^), z = (z₁,...,z„)et/",положим е*(С)=Пї—?

Теорема 3.2. Пусть = (pi,...,/>„), q^{q\,...,q_n), где 1 y,^-<+co, = (flq,...,йї_я), ffljeQ, j = \,n, gfy^t&fez), zєС/^я. Тогда, если Ф -линейный непрерывный функционал на A^p,q{a>), то функция g голоморфна в С/", причем

>^й+1 є ^ >^д (<5_а) при о,- > о^., 5_а = (о>_а] ,-, j, fi»_ay (/) = йїДп -^

*>

р' = (р\,...,р'_п), q' = (qU-,q'nh Р) =— ,> j = hn и Ф представим

pj-l qj~\

в виде:

ф(/)= lim -±- lf{pC)gW}im_n(Cl (0.16)

при этом существуют положительные константы С], С₂, такие, что

D^a+]g

< Ф < С

^Da+is\\.n'S'^ ч- (0.17)

Верно и обратное: любая функция g, такая, что D^a+ g є А^{р ,q} {(5_а) по формуле

(0.16) порождает линейный непрерывный функционал на A^p,q{p), для которого справедливы оценки (0.17).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ф.А. Шамояну за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Ограниченные проекторы в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой

Актуальность темы. Хорошо известно, что пространства Харди и Бергмана занимают особое место в общей теории функциональных пространств. Методы, разработанные при исследовании этих пространств, нашли существенное применение в современной теории функций и функциональном анализе. Они оказались очень важными как при исследовании свойств рядов и интегралов Фурье, так и в других разделах гармонического и комплексного анализа. Поэтому представляется актуальным исследование свойств многомерных пространств типа Харди и Бергмана. Актуальность данной тематики подтверждается и тем, что в последние годы, как в нашей стране, так и за рубежом публикуется много научных статей в этом направлении. Кроме того, в последнее время было издано несколько монографий по теории пространств Бергмана, операторов Теплица и функциональным пространствам аналитических функций.

Цель работы. 1) Построить линейный ограниченный проектор из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств п-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций.

2) Описать преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.

3) Дать характеризацию тех символов, при которых оператор Теплица с соответствующим символом действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций.

4) Решить задачу Глисона в пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.

5) Построить линейный ограниченный проектор и получить описание сопряженных пространств к весовым анизотропным пространствам голоморфных в поликруге функций. Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов. Важную роль играют интегральные представления исследуемых классов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты: - построен линейный ограниченный проектор из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств «-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций; - получено полное описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой; - описаны те символы, при которых теплицев оператор действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой; - решена проблема Глисона в исследуемых пространствах голоморфных в шаре функций. - построен линейный ограниченный проектор из весовых пространств измеримых в поликруге функций на соответствующее пространство голоморфных функций и на этой основе получено описание линейных непрерывных функционалов в изучаемых пространствах.

Теоретическая значимость. В диссертации исследуются весовые анизотропные пространства голоморфных в шаре и в поликруге функций со смешанной нормой, изучается поведения теплицевых операторов в анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций, решается проблема Глисона в рассматриваемых пространствах. Впервые охарактеризовано преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в классических весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой типа пространств Бергмана.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в многомерном гармоническом анализе, в теории операторов, в теории функциональных пространств, в теории сингулярных интегральных операторов.

Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q(a>) при 0 < min

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в многомерном гармоническом анализе, в теории операторов, в теории функциональных пространств, в теории сингулярных интегральных операторов.

Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов. Также они могут быть использованы специалистами комплексного и функционального анализа при исследовании вопросов представления и описания двойственных пространств, вопросов аппроксимации, при изучении операторов сдвига в весовых пространствах аналитических функций.

Достоверность научных результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами и адекватным использованием основных, общеизвестных положений и методов комплексного и функционального анализа, теории интег-ро-дифференциальных операторов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. — построение линейных ограниченных проекторов из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств и-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций; — описание преобразования Копти линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q{m) при всех наборах 0 p,q +00; — характеризация тех символов на единичной сфере, при которых соответствующий оператор Теплица действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой; — решение задачи Глисона в пространствах Ap,q{&) при всех 0 р,д +со; — построение линейных ограниченных проекторов и описание сопряженных пространств к весовым пространствам голоморфных в поликруге функций.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского (2002 - 2005 гг.); на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2003 г.); на XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2004 г.); на 12-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2004 г.); на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2004, 2005 гг.); на международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2004 г.). Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [2] — [10]. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 135 страниц. Библиография содержит 44 наименования.

О теплицевых операторах в пространствах Харди-Соболева

Для изложения содержания диссертации вначале приведем обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы. В 40-х годах прошлого столетия М.М. Джрбашяном были введены весовые классы Ар(а) (см. [15], [16]). В указанных работах были исследованы вопросы интегральных представлений, свойств корневых множеств и др. Существенную п (г \ а + іІ йІ_ роль при этом играли воспроизводящие ядра вида:Da\C,z) = / _ , z,eU, а -1. В случае же единичного шара пространства такого типа впервые были рассмотрены в 70-х годах У. Рудиным и Ф. Форелли [36]. В дальнейшем исследования в этих пространствах в случае шара были продолжены в работах Кехе-Жу (см. [41]), У. Рудина (см. [19]). В 1961 году в работе А. Бенедека и Р. Понцоне (см. [34]) впервые были введены в рассмотрение пространства Лебега со смешанной нормой. Некоторые вопросы в пространствах такого типа были исследованы и в известной монографии О.В. Бесова, В.П. Ильина, СМ. Никольского (см. [12]). В работе Ф.А. Шамояна [24] были введены весовые анизотропные пространства голоморфных в поликруге Un = jz = (zj,...,z„)eC" : Z; 1,_/ = 1, и] функций и исследованы вопросы двойственности и интегральных представлений в указанных пространствах. Эти исследования были продолжены в работах Ф.А. Шамояна и О.В. Ярославцевой [25] и Ф,А. Шамояна и Н.А. Часовой [26].

Важную роль при исследовании вопросов, связанных с пространствами аналитических функций, играет построение линейных ограниченных проекторов из весовых пространств измеримых функций на соответствующие пространства голоморфных функций. Классическим примером ограниченного проектора служит интеграл типа Коши, отображающий пространство Лебега Lp на единичной окружности (1 р -ко) на соответствующее пространство Харди в круге. Дальнейшее развитие этой теории связано с теорией сингулярных интегралов. Указанные результаты позволяют описать линейные непрерывные функционалы в исследуемых пространствах. В весовых анизотропных пространствах голоморфных в поликруге функций эти задачи получили полное решение в работах Ф.А. Шамояна [24], [27], однако, в случае шара необходимы другие подходы к их решению. В конце 80-х годов прошлого столетия американский математик С. Гадбойз (см. [38]) установил существование ограниченного проектора в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой и нашел другое представление линейных непрерывных функционалов в этих пространствах при существенных ограничениях на вес и показатели р и q.

Важность рассматриваемых нами интегральных представлений для решения ряда задач комплексного анализа хорошо известна, для примера укажем на работы Рудина У., Форелли Ф. (см. [36]), Джрбашяна ММ (см. [15], [16]), Ша 8 мояна Ф.А. (см. [24]), Джрбашяна М.М., Шамояна Ф.А. (см. [35]), Коренблюма Б.И., Хеденмалма X., Кехе-Жу (см. [39]), Никольского Н.К. (см. [43]).

В пространствах голоморфных в круге функций гладких вплоть до единичной окружности исследования ограниченности теплицевых операторов, связанные с вопросами деления, впервые независимо проведены В.П. Хавиным [22] и Ф.А. Шамояном [44] в 1971 году. В дальнейшем эти исследования были продолжены в одномерном случае — в работах Ж.Р. Кахана [42], Ф.А. Шамояна [27], [44], Н.А. Широкова [30], [45], СВ. Виноградова [13], Е.М. Дынькина [17], В.В. Пеллера, СВ. Хрущева [18], а в многомерном случае — в классах голоморфных в поликруге функций - в работах Ф.А. Шамояна, А.В. Арутюнян [28], Ф.А. Шамояна, Н.А. Часовой [29], - в пространствах голоморфных в шаре функций - в работах А.Б. Александрова [1] и П.Р. Ахерна, Р. Шнейдера [31]. В работе [1] приведено приложение этих результатов при решении известной проблемы Глисона в указанных классах функций.

Перейдем к обзору основных результатов диссертации по главам. Введем сначала необходимые для обзора результатов работы обозначения и определе ния. Пусть Вп = z = (zi,...,z„): l jz/ 1f — открытый единичный шар в и-1У=1 мерном комплексном пространстве С", Sn - граница шара Вп, Н\Вп) — множество всех голоморфных в Вп функций. Символом Q. обозначим множество измеримых неотрицательных на (ОД) функций й), для которых существуют положительные числа т , Мю, qa, причем /w , є(0,і), такие, что Мы (я \ --7 MW при всех г є(0,і), Я є [ ,,1] (см. [20]). Важным примером та-б)\г) ких функций являются функции m{t)=ta, где aeR, t є(0,l). Эти классы часто возникают в асимптотических оценках в теории вероятностей и математической статистике (см. [20]). Исходя из результатов работы [24] можно доказать, что каждая функция т є Q допускает представление

Линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой

Относительно указанных норм множества Л , A,,q и X q превращаются в банаховы пространства. Пусть пространство Ap q, где 0 p,q + х , совпада-ет с пространством Л , если 0 р 1, \ д + х , с пространством Я д , если 1 р +со, 0 # 1, и с пространством Л , если 0 р, ? 1.

Теорема 1.7. Пусть 0 р,# +оо, (у є П. Тогда если Ф - линейный непрерывный функционал на Ap,q(co), и g(z) = &(ez), zGBn то geA%q и Ф представим в виде (/)= Km И Я КЛ (0-13) при этом существуют положительные константы С], С2 0, такие, что Обратно: любая функция geA q по формуле (0.13) порождает линейный непрерывный функционал на Ap,q(u)), для которого справедливы оценки (0.14). Оператором Теплица с символом h называется следующий интегральный оператор: Th{f\z)= J / ІМС), где Sn% ze5„. sn(l-\z 0) Во второй главе исследуется поведение теплицевых операторов в пространствах Ap q(a)) и пространствах Харди-Соболева Нр(Вп).

В 2.1 главы II мы опишем те символы h, при которых операторы TAf\z) действуют в пространствах Ap,q(a), 0 p,q \, 1 p,q + , а -\. В том случае, когда a)(t) = ta, ґє(0,і) пространство Ap q обозначим X% q. Теорема 2.1.Пусть 0 p,qu\, ИеН1(Вп). А) Если q р, то следующие утверждения равносильны: 1) Tjif) действует в пространстве Ap,q(a); 2)heA. Б) Пусть q p, тогда если оператор 7 (/) действует в пространстве Ap,q{a), то йє&a,q- И для любой функции he А р оператор 7 (/) действует в пространстве Ap,q(a). В 2.2 главы II исследуется ограниченность теплицевых операторов в пространствах Харди-Соболева в шаре. + СО Пусть f(z)= fkiz) - однородное разложение функции /єН(Вп), обо-к=0 +оо значим через Ra следующий оператор: Raf(z)= \к + Ца fk(z) В том слу чае, когда а = Ї, Rxf{z) = f{z) + zy- -{z). 7=1 &У Пусть Нр {в„ ), О а +00 - пространство Харди-Соболева в Вп, т.е. Нра (В„) = {/ є //(В„ ): йа/я;,(gn} -н»}, (0.15) О /7 +СО . Теорема 2.3. Пусть ІгєН (#„), 1 р + х , тогда следующие утверждения равносильны: 1) Т действует в пространстве НР(ВП);2) /гєЯ(Л„). Утверждение о том, что если /гє#(В„), то Т действует в пространстве Н (ВП) доказано ранее Александровым А.Б. [1]. Пусть 0 p,q +со, пространством A,q(Bn) назовем пространство анали тических в шаре функций, для которых Rа f +оо, где 0 а + х . Ap q (а) Теорема 2.4. Пусть НєН {Вп), 1 / ,# +со, тогда следующие утверждения равносильны: 1) 7 действует в пространстве Ар д(В„); 2) кєНсо{Вп). В 2.3 главы II решается проблема Глисона в пространствах Ap,q{ct) при всех 0 / , 7 +оо, а \. Теорема 2.5. Пусть 0 /?,# +со, а -1, feAp,g(a) и аєВп. Тогда су « ществуют функции А(а,г)є Ар д(а),что f{z) f(a) (zk ak)gk(a,z). Пусть Un = jz = (z],...,zn): z . 1,/ = \,n\ — единичный поликруг в и-мерном комплексном пространстве С", Т" = = ( ,..., ): / = 1,/ = 1,я) —его остов. Через Lp (e), Р = (р\,- Рп) Ч = (яи- Яп) l Pj qj +cc, у(ґ) = (б)] (ґ]),..., y„(f„ )), 0),[і.)єО., j = \,n будем обозначать пространство измеримых на U" функций/; для которых \f\LM ) НИІІ -,РИ, ,?«Ц_ШИ) =

Похожие диссертации на Воспроизводящие ядра, преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах голоморфных функций

Нелинейные непрерывные функционалы на топологических пространствах функцийЛазарев, Вадим Ремирович

Трансляционно непрерывные функционалы на пространстве непрерывных ограниченных функций на локально компактной группеСинайский Евгений Евгеньевич

Классификация пространств бэровских функций, пространств непрерывных конечнозначных функций и свободных периодических топологических группГензе, Леонид Владимирович

Характеристические свойства некоторых операторов гармонического анализа в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции и пространствах ХардиФам Тиен Зунг

Вложение пространств функцийАльперин, Михаил Исаакович

Интегральные операторы в пространствах функций на однородных группах и на областях RnГулиев, Вариф Сабирович

Теоремы об интерполяции функциональных пространств функций, определенных в многомерной областиЯхья Халиль Хассан

Весовые пространства функций с весами полиномиального ростаАхтямов Наиль Тагирович

Структурные вопросы мультинормированных весовых пространств функцийКаплицкий, Виталий Маркович

Базисы в банаховых пространствах функций одной переменной, удовлетворяющих обобщенному усиленному условию ГельдераБычков, Андрей Борисович