Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Свойства ршении систем особых интегральных уравнений с ядром ком на конечном отрезке 14
1. Вспомогательные предложения 14
2. Асимптотика матричных сингулярных интегралов со степенно-логарифмическим весом 26
3. Поведение ограниченных решений систем особых интегральных уравнений 33
4. Исследование систем особых интегральных уравнений с постоянными коэффициентами методом эрмитовых форм^ 42
ГЛАВА 2. Решение систем интегральных уравнений с логарифмическими ядрами 49
5. Системы интегральных уравнений с логарифмическим ядром видачи и внешними коэффициентами 49
6. Системы интегральных уравнений слогарифмическим ядром вида и внешними коэффициентами 59
7. Системы интегральных уравнений с и внешними коэффициентами 65
8. Системы интегральных уравнений с логарифмическими ядрами и внутренними коэффициентами 71
ГЛАВА 3. Случай постоянных коэффициентов и матричные операторы со степенями логарифмических ядер 77
9. Системы интегральных уравнений с логарифмическим ядром и постоянными коэффициентами 77
10. Классификация систем интегральных уравнений с логарифмическим ядром и постоянными коэффициентами. Критерии их разрешимости . 87
11. Решение одной контактной задачи теории ползучести 95
12. Нетеровость матричных операторов со степенями логарифмических ядер.. 98
Литература 108
- Асимптотика матричных сингулярных интегралов со степенно-логарифмическим весом
- Системы интегральных уравнений слогарифмическим ядром вида и внешними коэффициентами
- Системы интегральных уравнений с логарифмическими ядрами и внутренними коэффициентами
- Классификация систем интегральных уравнений с логарифмическим ядром и постоянными коэффициентами. Критерии их разрешимости
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию систем особых интегральных уравнений с ядром Коши и систем интегральных уравнений с логарифмическими ядрами на конечном отрезке вещественной оси. Актуальность рассматриваемых вопросов обусловлена их обширными приложениями в теории упругости [1,12,26,33,41,791 ползучести[32,42, 45 3, в задачах термодинамики [4СГ], электродинамики 36], теории уравнений смешанного типа и т.д.
Интегральные уравнения вида (3) - (10) не являются нормально разрешимыми в обычной постановке, когда правая часть %. и решение (Р берутся в одном и том же классе. Впервые корректная постановка нетеровости для интегральных уравнений I рода, порождаемых операторами типа потенциала со степенным ядром, была предложена С.Г.Самко Г57Д, где была изучена нетеровость указанных операторов яа основе построения специальных пространств правых частей.
Необходимые и достаточные условия принадлежности функций этому классу даны Б.С.Рубиным 493; А.А.Килбас и С.Г.Самко 25 "\ выяснили характер гладкости функций из этого класса.
Отметим, что во всех перечисленных работах изучались особые интегральные уравнения с ядром Кош и интегральные уравнения с логарифмическими ядрами в случае одной неизвестной функции. Системы же интегральных уравнений с логарифмическими ядрами фактически не исследовались,
В настоящей работе проводится исследование асимптотического поведения решений системы особых интегральных уравнений вида (I). На основании полученных при этом результатов дается решение в замкнутой форме систем интегральных уравнений с логарифмическими ядрами, исследуется картина их разрешимости, а также изучается нетеровость операторов типа потенциала с матричными коэффициентами. При этом особо рассматривается важный для приложений случай постоянных коэффициентов, при исследовании которого используется метод эрмитовых форм [171.
Первая глава диссертации посвящена исследованию асимптотики матричных сингулярных интегралов со степенно-логарифмическим весом и поведения ограниченных решений системы особых интегральных уравнений с ядром Коши на концах промежутка интегрирования, § I носит вспомогательный характер. В нем содержатся основные сведения из теории матриц, выводятся формулы дифференцирования для матричных сингулярных интегралов со степенно-логарифмическими ядрами, излагаются основные результаты из теории систем особых интегральных уравнений с ядром Коши, а также исследуется простейшая система вида.
В § 2 получены асимптотические представления для матричных интегралов с простейшим и обобщенным степенно-логарифмическим весом, являющиеся обобщением аналогичных представлений, полученных С;Г» Самко С 58] в случае одной неизвестной функции. Здесь следует также указать работы И.М. Мельника ЦЗІІ и П.Г, Юрова С 3,74Д , в которых рассматривались вопросы о представлении интегралов типа Коши, Основные результаты этой главы содержатся в § 3, где получены представления для канонической матрицы краевой задачи Ри-мана, соответствующей системе особых интегральных уравнений (I) в случае, когда коэффициент этой задачи является функционально-коммутативной матрицей. В этом же параграфе проводится исследование поведения ограниченных решений системы особых интегральных уравнений. В § 4 рассматривается система интегральных уравнений вида (I) с постоянными коэффициентами. Здесь проводится качественное исследование этой системы методом эрмитовых форм. С по - 10 -мощью этого метода решения системы (I) удается построить в явном виде и получить ряд необходимых и достаточных признаков безусловной разрешимости, а также единственности ее решения в терминах знакоопределенности некоторых эрмитовых форм. Отметим, что ранее метод эрмитовых форм был применен И.Л.Васильевым Е4Д для исследования систем уравнений Абеля с постоянными коэффициентами в весовых пространствах. Много внимания в первой главе отводится теории функций от матриц, на важность которой в применении к задаче Риглана для системы Л пар функций указывал Ф.Д.Гахов Пб},, Используется также класс функционально-коммутативных матриц, подробно изученный В.В.Морозовым (библиографию см., напр., в L641 ) и Г.НЛеботаревым 64Д. В частности, Г.Н.Чеботарев установил некоторые свойства функционально-коммутативных матриц и доказал, что такие матрицы можно постоянным преобразованием привести к блочно-диагональной форме соответственно кратностям их собственных значений. Кроме того он доказал [65Д для случая, когда коэффициент бС« краевой задачи Римана (2) является функционально-коммутативной матрицей предположение Ф.Д.Гахова о том, что частные индексы этой задачи равны индексам характеристических функций матрицы &0).
Во второй главе изучаются системы интегральных уравнений с логарифмическими ядрами. В §§ 5-7 решаются в замкнутой форме системы интегральных уравнений с ядрами вида ftixl,ftb[ 5ГЙЛ 11(5 1 Ь & & & и изучается картина разрешимости этих систем в случаях вещественных и комплексяозначных коэффициентов .Исследования такого рода для уравнений с одной неизвестной функцией были проведены С.Г.Самко 59Д, который дал полную классификацию условий разрешимости уравнений (3), (4) и др. Оказывается, что эти условия распадаются на "обычные" интегральные условия,
- и условия ортогональности некоторым функциям и "точечные" условия разрешимости. Метод исследования систем интегральных уравнении с логарифмическими ядрами развивает методы С.Г. Самко С59Ц и основан на сведении этих систем к системам особых интегральных уравнений с ядром Коши. При изучении систем интегральных уравнений с логарифмическими ядрами существенно используются результаты первой главы. Отметим также, что полную картину разрешимости этих систем удается получить для случая, когда коэффициенты соответствующих им задач Римана являются функционально-коммутативными матрицами простой структуры І 5Д. В § 8 даются решения систем интегральных уравнений с логарифмическими ядрами и внутренними коэффициентами, а также находятся необходимые и достаточные условия их: разрешимости.
Глава 3 посвящена изучению системы интегральных уравнений (3) с постоянными коэффициентами, к которой сводятся многие контактные задачи теории упругости С32,33,40,42,441. В § 9 непосредственным дифференцированием система интегральных уравнений с логарифмическим ядром сводится к системе особых интегральных уравнений с ядром Коши и, как и в П 59Д, получаются две формы условий разрешимости. Кроме того, в этом параграфе дается исследование рассматриваемой системы методом эрмитовых форм, приведены примеры. В § 10 система интегральных уравнений с логарифмическим ядром и постоянными коэффициентами сводится в системе к, скалярных особых уравнений с ядром Коши. Это позволяет провести исследование рассматриваемой системы как в неосцилляционном, так и в осцилляцион-ном случае, что развивает результаты О.Г. Самко 591 для случая одной неизвестной функции. Рассматривая получаемую при этом систему при определенных предположениях относительно ее коэффициентов, удается выписать наиболее простой вид решения. В качестве лрило - 12 -жения в § II решается задача о давлении жестокого упругого штампа с прямолинейным основанием на упругую полуплоскость, находящуюся в условиях ползучести с учетом сил сцепления, при заданных силах, действующих на штамп, и постоянной ширине контакта, Подобная задача рассматривалась Прокоповичем И.Е. С45ІИ М.П. Ману-кяном [32Д. В данном параграфе предлагается новый метод решения этой задачи, заключающийся в сведении ее к системе двух уравнений вида (3) с постоянными коэффициентами. Показывается, что задача безусловно разрешима и выписывается ее единственное решение. § 12 посвящен исследованию на нетеровость матричных операторов типа потенциала с логарифмическими ядрами на конечном отрезке вещественной оси, находятся необходимые и достаточные условия нетеро-вости этих операторов и вычисляется их индекс. При исследовании используются некоторые теоремы вложения Б.С.Рубина [53Д и результаты И.Ц. Гохберга, Н.Я.Крупникаt9-ІІ]о нетеровости сингулярных интегральных операторов в пространстве ир с весом. На защиту выносятся следующие основные результаты:
1. Асимптотические представления для матричных интегралов со степенно-логарифмическим весом.
2. Асимптотические представления для канонической матрицы краевой задачи Римана.
3. Описание поведения ограниченных решений системы особых интегральных уравнений с ядром Коши на концах промежутка интегрирования.
4. Решение в замкнутой форме и исследование картины разрешимости некоторых классов систем интегральных уравнений I рода с логарифмическими ядрами.
5. Качественное исследование систем особых интегральных уравнений с ядром Коши и систем интегральных уравнений с логарифмическим ядром в случае постоянных коэффициентов методом эрмитовых форм.
6. Решение одной плоской задачи теории ползучести.
7. Исследование нетеровости матричных операторов типа потенциала с логарифмическими ядрами.
Результаты работы докладывались на конференциях молодых ученых Белгосунивероитета им. В.И.Ленина (1983, 1984), на семинаре профессора С.Г. Самко в Ростовском государственном университете (май 1984г.) и неоднократно на Минском городском научном семінаре по краевым задачам и сингулярным интегральным уравнениям им. Ф.Д.Гахова.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [90-931.
Асимптотика матричных сингулярных интегралов со степенно-логарифмическим весом
Ниже исследуется поведение канонической матрицы краевой задачи Римана и ограниченных решений системы О.И.У. в случае, когда коэффициент матричной задачи Римана удовлетворяет условию функциональной коммутативности. Рассмотрим систему О.И.У. (1.9), коэффициенты которой принадлежат пространству Гельдера. Будем искать дифференцируемые (а, следовательно, ограниченные) решения этой системы. Поставим ей в соответствие однородную матричную задачу Римана системы (1.9) находим по формуле (I.I3). Пусть Теорема I. Пусть G(x) функционально-коммутативная матрица. Для канонической матрицы % Съ) задачи Римана (3.1) вблизи концов OL ж в справедливы представления где Ла. У ЛхЛЬ Лег У ЛсУ; «Ль., Ц определяются формулами (3.2), Х-Сг)- матрица, предельные значения которой удовлетворяют условию Еельдера и определитель которой отличен от нуля в конечной части плоскости, 0 - произвольная точка плоскости, не лежащая на С а, Ы . Доказательство а) Сначала докажем, что вблизи концов а. и 6 Как известно 6], каноническая матрица краевой задачи Римана для системы w пар функций в общем случае в явном виде не выписывается. Представление о поведении канонической матрицы вблизи концов (К и В можно получить из формул С 6 Л где ХР - произвольная точка плоскости, не лежащая на Га, &д, %оС2) - невырожденная в конечной части плоскости матрица, предельные значения которой удовлетворяют условию Гельдера. Так как б-бс) - функционально-коммутативная матрица, то по свойству 2 ( I, л.2) ее можно записать в виде -Сэс)« У GOx-) У"" где л g-C c-) - квазидиагональная матрица.
Но тогда в силу (3.2) где AbJ jki&n&ca), Аь - 2 P LG (&) - квазидиагональяые матрицы. Формула (3,7) примет вид Произведя соответствующие перестановки диагональных матриц, получаем (3,5). Аналогично доказывается (3.6). б) Докажем, что имеет место формула (3,3). Предположим сна чала, что оС 0 имеет простую структзгру. Тогда канонические функ -ции однородных скалярных задач Римана, на которые распадается задача (3.1), определяются формулами [ где . Gfc) - собственные фушщии матрицы б-C-fc) С &СО У хс&ах Сф,..., f jtfc y" 1). Каноническую матрицу задачи (3.1) в этом случае можно взять в форме %Съ) У cUcu[ {t teX... , Т-Л )\-Очевидно, что в этом случае У" ХС )- диагональная матрица. Пусть теперь &У=) имеет кратные собственные значения, то есть Ун0Ь)Ч« cUcto ff CO, ..., &ffAC-fc)!r, 6-е Ct)- клетки, соответствующие jc различным собственным функциям матрицы ffOfc) . Согласно П.64І, каноническая матрица с клеткой, соответствующей собственной функции г. (Чг) , имеет вид где размерность единичной матрицы Є совпадает с размерностью соответствующей клетки б». . Тогда каноническая матрица задачи (3.1) будет иметь вид где Таким образом, в этом случае ЧГ щ является квазидиагональной матрицей. Следовательно, на основании формул Сохоцкого 3,8,28 - -матрица У ЗС () также квазидиагональная. Но тогда из формулы (3.5) получаем, что матрица У %\Ы=(& г) fe Ci-af fe) также квазидиагональная и, следовательно, справедливо представление (3.3). Аналогично из (3.6) с учетом того, что матрица У Хо &)- квазидиагональная, получается представление (3.4). Замечадае I. Представления для канонической матрицы задачи Римана с постоянным коэффициентом получены в С.4І. Теорема . Пусть о ) - функционально-коммутативная мат-рица из О , тогда /-eC«) . ц Доказательство Из теоремы I для Х- О) следует тождество где = cCtojise E , , КЕ1 \ - частные индексы задачи (3.]), Ек, - единичные матрицы размерноствй, равных размерностям соот-ветствующих клеток квазидиагональной матрицы Є Gfc) ((}= ЧьфУ ,
Преобразуя (3.9), получим (причем 25,Cajeb fgJ=0). дифференцируя полученное равенство по 2 , имеем л что и доказывает эту теорему. Для системы О.И.У. (1.9) справедливы следующие теоремы. Теорема 3. Пусть4с )/&ФєИ , 9&4$&}+с& Ґ№ )-1&з \ функционально-коммутативная матрица простой структуры,- ) JL решение(pG c) системы (1.9) определяется формулой (I.I3);/la-, Agr собственные значения матриц До., 36 соответственно, определяемых формулами (3,2). Тогда la) ffa.) = ЗоСоО $СоС), если /U. = o , j= Ї/YL f (3.10) 2а) если Не AQ.- O, Т/И , справедливо представление За) pc 0=: OCOL)CO)T Ccg Toicso-cL x Аналогично на правом конце : 1в) у(- JoWftQ, еслиЛ О, ]=;ГЯ, (3.13) 2в) срсО - JL(g)w 1- #Jg)Sf) eTu S-ltfj-f Гв\ (З.І4) если fie. Л . -?ь О. J t -fTTt зв) сао « JU ;.f (в г &o«)#W-a9 где J »,& „ ,Т определяются формулами (I.I4), Если при этом матрицы Jfct), &00 коммутативны приэс=а.,ос= в случаях 2а), 2в), а в формулах (3.12), (3.15) первое и последнее слагаемые сократятся. Доказательство 1а). Пусть AQ.-O, Л- ЇТУЬ , тогда Я. - нулевая мат-рица. В этом случае JC -fg-jc) Jto, )СЪс) = С =) &х ХС=); G-Ca.) = (см. (3.2)). Следовательно, 2 00.) О и срС х)« ДоСсдСо0 . 2а). (UAa-i О, j=T. В этом случае &0Ca-) о . Каноническую матрицу системы возьмем в виде2(х)=5сэс))Ссэс), где )СЬс) Учитывая, что У"" )Со&)- диагональная матрица (см. доказательство теоремы I), и, введя обозначение получаем при зс - CL Используя асимптотическое представление (2.3) для сингулярного интеграла Ь , получаем (З.П). Отметим, что это представление можно получить, взяв каноническую матрицу системы (1.9) в виде S=C: r)=TCpc)X- СХ,). За). ЯеЛо.-О f/U.f-o),\-4jL.
Представление (3.12) получает-ся так же, как и (З.П) с использованием асимптотической формулы (2.9). Доказательство утверждений 1в)-3в) аналогично. Если для матриц Л щ)($ дополнительно потребовать коммутативности при ос= ct, х= & , то на основании леммы I и доказанных представлений получаем последнее утверждение. Теорема доказана. Сдедствде.І. а) Пусть Ы /I » О С А « о), . Система (1.9) имеет в случае 2; :м(л» »0 неосциллирующие приос- а. ограниченные решения, получающиеся из (I.I3) при выборе л & рса.) - -М-а) 0 C r)F )Dth, (3.18) где 2 Gt) определяется из (3.16). В случае 3?.- о для существования такого решения необходимо и достаточно, чтобы где при Кг- о интеграл понимается в смысле ГЗ7.Р.). в) biAg: ОСЛ%.Фо) ь к..Система (1.9) имеет в случае3?- j Vt неосциллирующие при л-ъ& ограниченные решения, получающиеся из (I.I3) при выборе В случае ар« бо (1= Т О для существования такого решения необходимо и достаточно выполнения условий ЭРе 7,%,, - З ь. яя того 00 система (1.9) имела неосциллирующие при ос- OL ограниченные решения, необходимо и доста точно выполнения условий в a toft V o, rj«o,f,...,-se4-, «jB СИ, К.. (3.22) Решение срезе) получается из (I.I3) при выборе рс«-) по формуле (3.18) с учетом того, что PoO R - --, 0.),0,.. v о/, в) Если fU/1g.-0(/lgj o) j--f l, то имеет место аналогичное утверждение с заменой формулы (3.22) на № 1&) №&- ) ( О, {« ,-,-, TfTTL (3.23) и вектора Рса; на РГ&ЬСР fg), ..., Р с О, ..., О) . Теорема 4. Если б!С=с)«СЖ9с-Х«:3)Сх)Х ,ГЛ0с)-(:$сд:)1- функционально-коммутативная матрица, «fco, &Gcj є С " , f x-)e С + то и все неосциллирующие ограниченные решения (рСс) системы (1.9) также принадлежат С " .
Системы интегральных уравнений слогарифмическим ядром вида и внешними коэффициентами
Решение системы (6.1) в классе Н эквивалентно решению системы О.И.7. (6.2) в классе C+,VL функций, ограниченных на обоих концах, при дополнительном условии ФсаИфГв) г о . Полагая 0С= \ь , из (6.2) получим if Рассмотрим сначала случай dzL СС К) Ф О . Обозначая от системы (6.2) переходим к системе вида = а. где Решение системы (6.4) имеет вид (5.7) при замене в формулах Пусть GCrcp - функционально-коммутативная матрица простой структуры, а штрицы ДсхУ&Ос) и ССс) коммутируют прих=сц х= & . Имеют место формулы (5.II) и AQ_B У %У, Л6- У Л6 У . Сопоставляя условия разрешимости, найденные значения вектора Сзе. в случаях І-ІУ п.1 5 с имеющимся значением (6.3), получим следующие результаты. A). «J j к, . I). с&А. ССк) ФО. 1Т). Система (6.1) безусловно разрешима цри&./1о.+ 0 Я .Лв 0. 2L). ЕСЛИ Л -О, Л О , то для разрешимости системы необходимо и достаточно выполнения условий Если fe. /Ig f О, АагО, то должно выполняться первое из условий (6.5), Сэе. определяется из системы &Сь-)Сзе.т= 0Са). 4 ). Если ftsLAcj O, Ag-0, то должно выполняться второе из условий (6.5), Сзе. определяется из системы Здесь так же, как и в 5, следует различать случаи: которые мы опускаем. 1Т). Если fet/WО,iz/lgtO, то для разрешимости системы (6.1) необходимо и достаточно выполнения условия 2 ). При/І О, /IfcSO к (6.6) добавляется условие ах)$0Са-)« = Я Ы 0($) в случае, когда с& &Г«и с , rfrf Jl&J о ; СЛв&"Ь.) . Если № Ы о МШфоШШЩ ШУю) условия разрешимости будут иметь вид а Сл определится из системы &Ссц)Сзе. — -?Са,) (соответственно условия разрешимости -СС & Ь ІоС + А)" , Сэе находится из системы Если с& $(0 = 0, сЫ:МШ
О условиями разрешимости будут требования и (6.6). При «AftbibCajHtO к (6»6) добавляется условие оСа}= = f ()=-0 , а Сае. -произвольный. 3 ). ЕслиЛй.Л0 /1 0 С Да О, /Igeo) » условия разрешимости - (6.6) и o(ctj 0 при &fa)-.o (соответственно (6.6) и оСб)= О при JJfg)e О ). Если & Ж9 О, № Ъ0х) о (сЬА Ш)-0, tiU.&&)+o ) , то условия разрешимости - (6.6) и \хм fcCa.)« tct f SbCa.)j $сС&Л (соответственно (6.6) и юм% &Щ = catco { Л(6) 3 SL(d ) \ ). Если dxk .#/") » О, с&А $ Са.)« о условиями разрепшмости бу К условиям I из А) присоединяются равенства гдео,г , /% определяются формулами из (5.16) с заменой-) , на К условиям П из А) добавляются условия (6.7) и разрешимости систем линейных алгебраических уравнении (5.16). Таким образом, нами доказана следующая ,Т.ерремд, 35,. Пусть ,ООЄ С" , для матриц Jco, $Ot), COO , &СзО имеют место дреддоложения теоремы K.cfcfcS Caj o, Разрешимость системы (6.1) зависит как от величины частных индексов, так и от значений /la,/l«, ЛМГв), dU&CaJ, сМССк.). В зависимости от того, равны нулю или нет эти значения, появляются различные типы условий разрешимости (см. случаи А), В) я. Г). При выполнении условий разрешимости решение системы (6.1) дается формулой при выборе Ся» из системы CChJCg -=b-X4f .) и определении $Ь &) по формуле (5.9), в которой роль Сх) играет «?0, С ПрОИЗВОЛЬНЫе ПОСТОЯННые ПрИоС-а ,& , С а О , оЫ + , К . 2? Пусть теперь Clk) ss О . Тогда JfOcO не может иметь логарифмической особенности.при ее = pt- , поэтому fCacj) s (1 . Система (6.1) приводится к системе (6.4) с правой частью -f-Cx}-—/?teG»)Cgt t где/71 0 0 имеет логарифмическую особенность только призера, oz S ; а вектор Сл остается произвольным.- Учитывая условия разр ешимости, полученные в 5, и найденные значения для Сае , будем иметь следующие результаты. О. ое4- о cjs «fTwO. І).
Система (6.1) безусловно разрешима в случае Иг Ла+О, Re/l O С произвольный Ш. Если /Vа О, /lg «О и условие разрешимости - гсио? ч&Са.)- хюи я{_$)Ссс\\-Са$\ (соочъвъ определяется из систем (5.14), (5.15); произвольный. - условие разрешимости, СЕВ. находим из (5.14)). Зщ). $fa.) 5 ОС № го); Gi) в о - условие разрешимости ($(&)=о) Схв обоях случаях произвольный вектор. Д). 2 О, і ь\Уь. В этом случае необходимые и достаточные условия разрешимости имеют вид -Если cfotirtfr у . ФО хотя бы для одного П-]ГАО » то ».= =/11 -fpo и должны выполняться )дг—f условий (6.9). Если же с& Жїі,р- о для V ft "t &, " &l , - 7УЪ , то условия разрешимости имеют вид В этом случае к условиям С), сяраведлившл при =.(,...,6 добав ляются V условий вида (6.9) (здесь ""s-32tlM- Э»-ъ ). Различаем случаи: Из наших рассуждений следует Теорема 16. Пусть ОД Є Сі ", #x),2 C ),CGc.) е С/ " " и имеют место предположения теоремы 13 относительно матриц ЛСО- &Сл , Cf o , 6С ., СШ - О. Разрешимость системы (6,1) зависит от значений частных индексов ф и от значений /lcx.,/W, о№АСЄ \ ЫЗ С х.\ в зависимости от соотношений между которыми появляются "точечные" условия разрешимости, условия разрешимости систем линейных алгебраических уравнений и интегральные условия разрешимости. При выполнении условий разрешимости общее решение системы (6.1) ДаеТСЯ ФОРМУЛОЙ (6.8) ПРИ СООТВеТСТВуЮЩеМ Выборе С да.. Замечание J. Разрешило с ть уравнения (6.1) при ЯлН исследована в 593. Замечание 2. Полная картина разрешимости уравнения (6.1) прик,- 4, {г CL в случае вещественных и комплекснозначных коэффициентов получена в 131. u xz 0.6 ft & на конечном отрезкес бз вещественной оси с точки зрения ее разрешимости в замкнутой форме в предположении, что ее матричные коэффициенты
Перепишем систему М = в виде Поскольку Icxi) -Cc o"5C Є С " , то (7.2) - система вида (6.1). Предполагая, что постоянный вектор 2С известен, и, применяя результаты 5,6 к системе (7.2), найдем, что ее решение в общем случае (зе ъ 9ее?- оуЯецГ/- эе .) дается формулой +ч=2 3?- ,r )- определенные линейно независимые векторы с полиномиальными компонентами, С - произвольные постоянные. Подставляя решение (7.4) в (7.3), получим систему для нахождения Пусть $Oc), о&ґ. 0, СОО - комплекснозначные матрицы из класса С+ , матрицы JCx)-&)Сз&) и Со$ коммутативны при функционально-коммутативная матрица простой структуры. Рассмотрим случаи то определяется из системы %Т#= # , где 0 0 20 . при выполнении необходимого и достаточного условия ее разрешимости Если ЗС - нулевая матрица и Zjr&O хотя бы для одного о = 0 , то из системы Q- - CJL -JL- находим постоянную С0І0 . Если же ЗС - нулевая матрица и Z - О для о(- ,Х,..-,эе , то должно выполняться условие разрешиглости о= о . Постоянный вектор в обоих случаях остается произвольным. разрешимости, опредачяется, как и в I). Ш). Л ой-О, Если cfct3 = 0, то находится из системы (7,5) при выполнении необходимого и достаточного условия ее разрешиглости Если Ж-О и jj- О хотя бы для одного oL JL , то из системы определяется постоянная С 0. В случае ЗС о и 2 -0 для d- A, SL, ... , se должно выполняться условие разрешимости а бі будет произвольным. 2jj-). сШ= SCa-j O, в этом случае С\е определяется из системы «& -)С . = JfaJ) ПРИ выполнении необходимого и достаточного условия ее разрешимости: Ю№&& (ь ) tccn ?{$Сь), $(GL)\ . определяется, как и в Іщ-), а условие (7.17) заменяется на условие или на условие определяется из системы &0-)Сэе.= "л.), JVC-ас- а , ЗдР. к&(сс)-=0 . Условие разрешимости имеет вид J[(o-)= о. Если оЬМ$1 0, то о находится по формуле (7.14), С »- произвольный. Если (?ШЩ.-0, то при выполнении необходимого и достаточного условия (7#15), определяется из (7.5), С по-прежнему - произвольный вектор. Если Я- О , то я Сл - произвольные При JV-0, г?л 0 ДЛЯ об- - ; .--, ЗЄ-Ч, 9Є . При JV O, "2 О хотя бы для одного и ь , Си0 определяется из (7.16), ?л= ИГмQ? + 3EJ . . Если ckkj/- о , то для оп ределения С & потребуется выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости системы (7#16)
Системы интегральных уравнений с логарифмическими ядрами и внутренними коэффициентами
Рассмотрим систему И.У. вида на конечном отрезке Са,бз вещественной оси. Здесь А Ос ),Ъ (х),Ы-матрицы, полученные транспонированием матриц ДС І\ЗэСъ), СС о соответственно. Такую систему мы будем называть союзной системе (5.1). Будем искать решение у(х$ в классе Д , предполагая, что свободный член &0с) є С , а матрицы Л Ы); & Съ), С о с элементами из гельдеровых пространств таковы, что М -5 о О, СЙ Т С ОФО для /ос є Laji (здесьЗ-Л -.& +сС Т = «f -j c ). С помощью дифференцирования сведем систему (8.1) к системе с дополнительным условием бо где Пусть индексы системы (8.2) таковы, что 92 --- 3?е 0 ЭВ ,,/5-.-- ъэе » Возникающие в этом случае необходимые и доста точные интегральные условия разрешимости системы (8.2) можно записать в виде С3,28} где - = 3f4f ..-» "ЗЄЄ tp f-fc) - полная система линейно независимых решений однородной системы 0#И.У. с внешними коэффициентами, соответствующей системе (8.2). При выполнении условий разрешимости (8.3) и (8.4) решение системы (8.1) можно представить в виде!28Д произвольные постоянные, 6k,G - полная система линейно незави-симых решений однородной системы,соответствующей (8.2) = -2 : Подставляя решение (8.5) в (8.3), преобразуем условие равносильности систем (8.1) и (8.2) к виду где обозначено система линейных алгебраических уравнений относительно С«с , то получаем следующую теорему. Теорема 18. ПУСТЬ Х - -- ЪЯ? ГУОУ Р -7,ЗР -= /?9Є- "--.& ЗЄ\ . Для разрешимости (8.1) в классе 1-1 необ-ходимо и достаточно выполнения z условий (8.4) и условия где матрица Q имеет своими столбцами векторы Q& , а постоян-ный вектор CL определяется равенством
При выполнении условий (8.4) и (8.8) общее решение системы (8.1) дается формулой (8.5) при выборе постоянных С из (8.6). Замечание I. Из теоремы 18 следует, что разрешимость системы (8.1) зависит, вообще говоря, от разрешимости системы линейных алгебраических уравнений (8.6). В частном случае одной неизвестной функции (п.- \) эти условия (8.6) превращаются в условия Путем дифференцирования сводим систему (8.9) к системе О.И.У. реобразуя условие равносильности (8.II) так же, как и в nil получаем дС4) - векторы с полиномиальными компонентами, 27бО - каноническая матрица системы (8.10). Таким образом, для системы (8.9) тлеет место теорема 18 с заменой ( на Qp и Nf ) на М бЬ). При выполнении условий (8.4) и (8.8) общее решение этой системы дается формулой (8.5) с заменой Z&) на Z/-0 ,) на QpLb) , где 5 06) - полная система линейно независимых решений однородной система, соответствующей (8.10). 3, Рассмотрим систему И.У. Все решения системы (8.16) должны удовлетворять дополнительному условию Таким образом, для системы (8.13) справедлива теорема аналогичная теореме 18 п.1 при замене в ней 60 на W , M6fc) на M Gfc) . При выполнении условий разрешимости общее решение системы (8.13) дается формулой вида (8.5). Подставляя решение (8.5) в (8.15) и произведя некоторые преобразования,получим систему для нахождения постоянного вектора v : В настоящей главе изучаются системы интегральных уравнений с логарифмическим ядром и постоянными коэффициентами с точки зрения ихразрешимости в замкнутой форме, проводится качественное исследование таких систем методом эрмитовых форм.
В качестве примера приводится решение одной плоской контактной задачи теории ползучести. Исследуется нетеровость матричных операторов типа потенциала (О.Т.П.) с логарифмическими ядрами. Ниже изучаются условия разрешимости систем И.У. с логарифмическим ядром и постоянными коэффициентами, а также дается качественное исследование этих систем методом эрмитовых форм. Приводится пример. Рассмотрим систему И.У» C4-ib-C)=f О .Решение срс-с) ищем в классе НА. I? Решение системы (9.1) и исследование условий разрешимости. Поступая, как в 8, дифференцированием переходим от системы (9.1) к системе О.И.У. вида -решения которой должны удовлетворять дополнительному условию Рассматривая систему (9.2) как систему О.И.У. с внутренними коэффициентами, поставим ей в соответствие матричную задачу Римана где .«ST" , SsJl I tLC,TeJ-5bc . Преобразуя, как и в п»2 8, условие равносильности (9.3) систем (9.1) и (9.2), приходим к системе типа (8.6). Пусть матрица (?= STM имеет простую структуру. Т0гда полученное условие равносильности вида (8.6) систем (9.1) и Ф.2) можно выразить в другой форме: в терминах свободного члена С й за счет того, что удается вычислить асимптотические значения матрицы МСь) определяемой формулой (8.7), на концах а и 6 . Введем в рассмотрение следующие сингулярные интегралы где диагональные матрицы Aa.,Ag удовлетворяют условиям: О Леи вытекает следующая Яемма 14. Для матричных сингулярных интегралов (9.5), (9.6) справедливы следующие асиптотические формулы при -L -т си \
Классификация систем интегральных уравнений с логарифмическим ядром и постоянными коэффициентами. Критерии их разрешимости
Устанавливаются необходимые и достаточные условия разрешимости систем (9.1) в случае, когда (М:(.$-$)Щ а матрицаЩ-ЬГС имеет простую структуру. Выделяются принципиально различные типы этих систем: осцилляционный и неосцилляционный случаи. В качестве примера приводится подбробное решение системы двух уравнений. Рассмотрим систему И.У. с логарифмическим ядром (9.1). Предлагаемый ниже метод исследования этой системы состоит в сведении (9.1) к системе yv особых интегральных уравнений, к которым затем применяется методика работы С59Д. При сделанных предположениях решение системы (9.1) имеет наиболее простой вид. Будем искать решение системы (9,1) в классе К » считая, что I? Решение системы (9Д). Так же, как и в 5, введем новую неизвестную функцию &с) по формуле (5.2) и с помощью тождеств приведем систему (9.1) к системе О.И.У. (5.3) с постоянными коэффициентами. Задача решения системы (9.1) в классе Jf# равносильна задаче решения системы (5.3) с постоянными коэффициентами при условии,что решения Фсх) яосдедней разыскиваются в классе CJ " и удовлетворяют дополнительному условию «Фсо-) - &(в) Будем далее предполагать, что фі ҐМ -J6 + СС)Ф О, dtk. (Я -А -сс) о и матрица Л-$ невырожденная. Тогда систему (5.3) можно записать в виде где обозначено Я)-@-У1С, Ос (J-Sbfuf с )- м(ъ)с&1 .
Пусть матрица Я) имеет простую структуру, Д: - ее собственные значения, t\ - соответствующие транспонированные левые собственные векторы. Система (10.1) таким образом сводится к системе д. скалярных уравнений где Tj О) « Є; $00 , Щ С - Ц qt . Решение системы (9.1) получаем по формуле решения особых уравнений (10.2), определяемые формулами [81 2 Исследование системцО.І). Будем считать, что среди собственных значений матрицы Я) нет нулевых. Выделим в исследовании системы (9.1) два случая. I. Цеосшлляпиояный случай. Исследуем разрешимость системы (9.1) в случае, когда -- гФ Сц. и . _ je Ъ или if- -л . Положим fU-- (foi±i L- . При этом индексы уравнений (10.2) эе- = -1, і = -fTTE- » а канонические функции в решениях (10.4) будут иметь вид Так как индексы 9г.. особых уравнений (10.2) отрицательны, то для разрешимости этих уравнений необходимо и достаточно выполне-шяуолошй . р С учетом введенных обозначений эти условия можно записать в виде Таким образом, разрешимость системы (9.1) связана с разрешимостью системы гь линейных скалярных уравнений (10.5), для совместности которой необходимо и достаточно выполнения условия компоненты вектора т,. Преобразуем правую часть (10.5), учитывая, что где . , Xp - соответственно бетта-функция и дси-функция Эйлера, то систему (10.5) можно переписать в виде Вычислим Теорема 22. При выполнении условия (10.6) система (9.1) безусловно разрешима и имеет единственное решение, определяемое формулой (10.3), в которой компоненты вектора д $Ы) вычисляются по формулам (10.8). П. Оошлляшюнный случай. Пусть- ;т !/. , 1[. ? А или K -f, f-?Tu Тогда в : ТГ &./// - О .В этом случае индексы скалярных уравнений (10.2) равны нулю, а канонические ФУНКЦИИ ИМеЮТ ВИД Z: Сх)- (т " ) , = {, Д- . Следуя L593, введем обозначения: L где ju обозначает диагональную матрицу с элементами ft/: . Тогда для матрицы лгС) получаем Согласно результатам п.2 5, система (9.1) разрешима и ее общее решение дается формулой (10.3), в которой компоненты вектора тогда и только тогда, когда удовлетворяется (за счет выбора СЛ) система равенств o.(-f)- Cm.)Cx, 6Cf)= ф Сж) С эг.. I). Пусть с ОІ.Г ж-)ФО, с1еи&я)Ф0 . Для разрешимости системы (9.1) необходимо и достаточно выполнения условия 2) Если СЫ и)л( »0= О, dblvO m) о[МоОлС ) 0, №ц)&Ъ)=0) то необходимое и достаточное условие разрешимости системы (9.1) имеет вид 3). Если сЖ LO Cп) О, c&Acdg[r )-o, то необходимо и достаточно, Система имеет единственное решение в случае, когда Wvu gW- уь. 4 Если гоокоЦ х, f С К.) , то при выполнении (10.13) система (9.1) имеет R линейно независимых решений. Во всех случаях Cat определяется из системы Вычислим $fcj\. 0 в формуле (10.10), используя соответстст-вующие асимптотические представления из 21
Проведя в последнем выражении некоторые преобразования и подставляя значение ё; .Л/ ог-} в (10.10), получаем следующую теорему. Теорема 23. Для того чтобы система (9.1) имела единственное решение, необходимо и достаточно выполнения хотя бы одного из условий (10.II) - (10.13),; Тогда решение определяется формулой (10.3), в которой компоненты вектора $ 1 вычисляются по формулам Замечание I. Если среди собственных значений матрицы Я) =(«Й-$)МС есть нулевые ( .Я»,- О, / 2«=?7 0 » то в решении (10.3) а остальные вычисляться согласно теоремам 22,23. Замечание 2. Результаты о разрешимости уравнения (9.1) с одной неизвестной функцией (п 4) в)т С имеет одно собственное значение Я кратности 2, Ґ-соответствующий этому значению левый транспонированный собственный вектор. Следуя п.1, от системы двух уравнений (9.1) перей Э - индекс уравнения (10.16). Обозначая решение С 0 «" jjc 0, получаем Сзс) из формулы считая " сэо известной функцией, , А - координаты вектора . Полагая = О (для простоты можно считать ,- ( ), имеем Подставляя (10.18) во второе уравнение системы (10.I), получим Здесь (10.20) - уравнение для нахождения 4 . Найдя решение этого уравнения по формуле индекс уравнения (10.20), можно выписать решение первого уравнения системы (10.I) - (І0.Я2)
Получена следующая теорема. Теорема 24. Пусть (9.1) - система двух уравнений, матрица С имеет простую структуру, -Л. - ее собственное значение кратности 2, - ,) соответствующий собственный вектор. Тогда решение этой системы где компоненты вектора фос} определяются, формулами (10.22) и (10.21), в которых Z OO, Я. $- канонические функции уравнений (10.16) и (10.20) соответственно. Замечание 3. Можно выписать в замкнутой форме решение системы трех уравнений (9.1) в случае существования у матрицы $3«Й-$) {С кратных собственных значений, так как в этом случае матрицу с помощью некоторого невырожденного преобразования можно привести к одному из следующих двух видов В настоящем параграфе рассматривается приложение систем интегральных уравнений с логарифмическими ядрами к решению некоторых контактных задач. Рассмотрим задачу о давлении жесткого, упругого штампа с прямолинейным основанием на упругую полуплоскость, находящуюся в условиях ползучести с учетом сил сцепления. Задачи такого типа рассматривались в 32.,42,451, Пусть жесткий штамп прижимается к полуплоскости силой РС-0 , которая находится в условиях ползучести под действием силы ф). Ширина контакта задана и равна 2. Учитывая результаты работ Ц3,451, сведем данную задачу к решению системы двух уравнений вида
