Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 О решении систем нелинейных алгебраических уравнений 12
1 Формальное обобщение результатов Меллина - Антиповой 13
2 Представление решений системы с помощью степенных рядов гипергеометрического типа 29
3 Представление главного решения системы с помощью интеграла по кубу от элементарной функции . 39
4 Системы триномиальных уравнений . 43
Глава 2 О вычислении интегралов по К от рациональных дробей с эллиптическими и квазиэллиптическими знаменателями 47
1 Условия существования рациональной первообразной 47
2 Гомогенизация и интеграл по полусфере 51
3 Понижение размерности интеграла 53
Глава 3 Об одном комбинаторном тождестве, связанном с проблемой якобиана 57
1 Формулировка тождества 57
2 Доказательство тождества (3.1) 59
Глава 4 Описание рациональных дифференциальных форм на произведении проективных пространств 65
1 Рациональные дифференциальные формы на С от рациональных дробей . 66
2 Рациональные дифференциальные формы в произведении проективных пространств , 69
Глава 5 Вещественные торические многообразия - фундаментальные области дискретных групп 72
1 Понятие торического многообразия и экрана 72
2 Пространство Х как фундаментальная область группы G1 - 74
Литература 76
- Представление решений системы с помощью степенных рядов гипергеометрического типа
- Гомогенизация и интеграл по полусфере
- Рациональные дифференциальные формы в произведении проективных пространств
- Пространство Х как фундаментальная область группы G1
Введение к работе
Проблема решения алгебраических уравнений интересует математиков уже более двух тысячелетий и до сих пор является актуальной.
В 1921 году Н. Меллин [35] получил формулу для решения общего алгебраического уравнения, приведя его к виду
Ут + хіуті ++ ХрУ" - 1 = 0. (1)
Для решения у{х) = у{х\,..., Хр) Меллин привел две формулы: интегральное представление в виде интеграла Меллина-Барнса, и разложение в степенной ряд, который представляется гипергеометрическим по Горну.
Идеи Меллина получили дальнейшее развитие в работах Б. Штурмфель-са [38], А.Ю. Семушевой и А.К. Циха [12]. Достаточно исследовать основную ветвь у(х) вблизи х — 0 с условием у(0) — 1, все остальные решения получаются из основного по формуле %(х) = Ejy{efxXu ..., ЄРХр), где ^-первообразные корни из единицы степени т (то есть Sy1 = 1). В статье [12] изучены аналитические продолжения решения у(х) и области сходимости рядов Лорана-Пюизо для решений У}(х).
Существенно более сложной является задача нахождения решений системы алгебраических уравнений. И.А. Антипова [2], [3] получила основное решение для нижнетреугольной системы алгебраических уравнений, когда первое урао- -'-5 —
НЄНИЄ ЗаВИСИТ ТОЛЬКО ОТ ПерВОЙ ІіеИЗВеСТНОЙ І/!, ВТОрОе - ОТ ПерВЫХ ДВУХ У\,У2 и т.д., последнее n-ое зависит от всех п переменных уі, - - -, уп-
В настоящей диссертации результаты Меллина и Аптиповой обобщаются на случай общей системы п алгебраических уравнений от п неизвестных.
Интегралы от рациональных функций по R" встречаются во многих разделах математики и теоретической физики. Например, к ним приводятся фейма-новские интегралы и интегралы, выражающие топологические заряды инстан-тонных полей. Одна из трудностей вычисления таких интегралов заключается в том, что они не выра?каютсп через локальные вычеты подынтегрального рационального дифференциала (см., например, [17]). Впоследствии интегралы рациональных функций по Rn были исследованы А.К. Цихом, Т.О. Ермолаевой [8], которые использовали технику торических многообразий и доказанную ими многомерную формулу Сохоцкого о скачке интеграла.
Метод вычисления интегралов, предложенный диссертантом, основан на идее гомогенизации подынтегрального выра?кенил и понятии экрана, введенного автором.
Задача описания рациональных дифференциальных форм имеет приложения в теории вычетов, вариациях смешанных структур Ходжа и т.д. Классическая работа Ф. Гриффитса [30] посвящена построению внешних дифференциальных форм на проективном пространстве. Естественным обобщением является предложенное в диссертации описание рациональных форм на произведении проективных пространств. Заметим, что эта задача получила развитие в дальнейшем и полностью решена в случае гладких торических многообразий [20].
Теория торических многообразий возникла относительно недавно и в настоящее время активно развивается. Торические многообразия являются естественными компактификациями С" и обобщениями проективного пространства. В современных работах математиков появляются все новые конструкции торических многообразий. В диссертационной работе предлагается конструкция торичєского многообразия как фундамепталыюй области действия дискретной группы.
Цель диссертации
Получить разложение в ряд для решений системы нелинейных алгебраических уравнений с переменными коэффициентами.
Развить методы вычисления кратных интегралов по R" от рациональных функций с квазиэллиптическими знаменателями.
Описать рациональные дифференциальные формы на произведении проективных пространств.
Связать торическое многообразие с действием определяемой им дискретной группы.
Перейдем к изложению основных результатов.
В первой главе исследуется проблема решения систем алгебраических уравнений. Многомерным аналогом нормального вида (1) скалярного уравнения является следующая система:
УГ + Е4ї/ГІА-----У^"1-0, i=l,...,n, (2) где Pi - число слагаемых (кроме первого и последнего) в г-м уравнении, т\к < ті {к— 1,... ,pj), х\ - произвольные буквенные коэффициенты.
Главным решением системы (2) назовем ветвь алгебраической вектор-функции у{х) = (у\(х),... ,уп(а;)), удовлетворяющей системе (2) и отмеченной свойством у(0) = (1,... ,1); здесь — вектор из всех переменных коэффициентов системы (2), Основной результат первой главы составляет
Теорема 1.1. При условии ті > т^к в (1.2), для любого вектора ц Є К мономиалънап функция главного решения у(х) системы (1.2) представляется степенным рядом j=l \ i=l s=l r=l / где P(fc) - полиномиальная функция от переменного суммирования к (см. формулу (1.6)). Таким образом, у'^х) представляется рядом гипергеометрического типа.
Утверждение Теоремы 1,1 вытекает из более общей Теоремы 1.3, доказательство которой основано па формуле Лаграпжа-Южакова [1] для неявных вектор-функций. В 1 главы 1 также приводится идея доказательства Теоремы 1.1 с помощью вычисления преобразования Меллина для у**(х), с последующим применением метода разделяющих циклов А.К. Циха, позволяющим выразить интеграл Меллина в виде степенного ряда.
Замечание 1. При п — 1 утверждение Теоремы 1.1 составляет результат Меллина [35]. В случае нижнетреугольной системы (1.2), когда первое уравнение зависит только от у\, второе - от у\у уг и т.д., утвер?кдепие Теоремы 1.1 была доказано И.А. Антиповой [2].
Замечание 2. Б. Штурмфельс отмечал в [38], что уже для линейных систем уравнений (которые можно решать по правилу Крамера) решение не представляется А-гипергеометрическими рядами. Значение Теоремы 1.1 состоит в том, что решение общей системы (1-2) представляется суммой гипергеометрических рядов после разложения полинома Р(к) в виде суммы произведений соответствующих линейных функций /ij + Y^x-i 2s=i mjsks- Таким образом, y'l(x) представляется рядом гипергеометрического типа.
С помощью Теоремы 1.1 в 1.3 получено интегральное представление по кубу [0,1]" в котором подынтегральная функция является элементарной (формула (1.47)). В одномерном случае (п = 1) такой интеграл был выписан Е.Н. Михал-киным (см. [11] для случая триномиального уравнения; случай общего уравнения рассмотрен о статье, представленной в Сибирский математический журнал). Ценность указного интегрального представления состоит в более широкой области сходимости, чем у соответствующего интеграла Меллипа-Барпса. Тем самым, формула (1.47) может быть использована в исследованиях моно-дромии решения у(х). В заключительном параграфе первой главы приводятся любопытные тождества (1.53) и (1.54), связывающие рациональные выражения от гамма-функций с некоторыми специальными функциями. Такие тождества перекликаются с известными соотношениями ме?кду присоединенными функциями Лежапдра [4]. Они получаются сравнением результатов вычислений для решений у(х) на основе Теоремы 1.1 и формулы обращения голоморфного отображения Кэли - Сильвестра - Сакка (см. [24], [39], [37], [1]).
Во второй главе приводится алгоритм вычисления интегралов по пространству Шп от рациональных функций с квазиэллиптическими знаменателями. Квазиэллиптические полиномы были введены в статье Т.О. Ермолаевой и А.К. Циха [8] и характеризуются тем свойством, что они не обращаются в нуль на "бесконечности" в некоторых торических компактификациях пространства Мп. В отличии от статьи [8], в диссертации развит метод вычисления интегралов на основе гомогенизации (введении однородных координат в торических многообразиях) и понятия экрана, введенного автором диссертации.
В главе 3 доказывается одно тождество, возникшее при исследовании проблемы якобиана. А именно, используя классическую формулу Кэли - Сильвестра - Сакка применительно к попытке обращения полиномиального отображения / : С2 -ч С3 с единичным якобианом, была высказана гипотеза [45] о справед- ливости следующего комбинаторного тождества:
ВД it
Е((2га - 2к + ШЫ - 2)!(S{4 + 5<ц)- ft=l m=l -(2n - 2А: + 2)!(2Л - 3)1(5^ + s2))) = ^, n ^ 2, где eC1) _ о. Vі V (2fe-j)-2zfc-ai-i"'+1 j~2m~ 1 i=0 C-W _ * V- у- (2*-j-l)22*-2i-^+' j=2m-l i=0 c(2J _ . ^ v (2fc-j)3»-"-»m ^1 — * 2-і Zj (n-4Jfc+t+j+2)!(2fc-2t-j)!t!(2Jt+m-j-l)!(j'-2ffl)!(iw-l)!> j=2m—1 t=0 (?fc-j-3) o(2) _ 2^3 Л (2k-j-iYFk-3i-2M
2 ~ * 2j Zj („_4fc+i+j+3)!{2A:-2t-j-l)!t!(2fc+m-j-2)l(j-2m+l)!(m-l)!- J=2l7l—1 i=0
Здесь * перед знаком ^ означает суммирование по всем нечетным числам из указанного проме?кутка. Если факториалы с отрицательными аргументами возникают под знаком суммы, то полагаем эти слагаемые равными пулю.
Указанное тождество было доказано в совместной работе с Г.П. Егорычевым [47].
Представление решений системы с помощью степенных рядов гипергеометрического типа
Интегралы от рациональных функций по R" встречаются во многих разделах математики и теоретической физики. Например, к ним приводятся фейма-новские интегралы и интегралы, выражающие топологические заряды инстан-тонных полей. Одна из трудностей вычисления таких интегралов заключается в том, что они не выра?каютсп через локальные вычеты подынтегрального рационального дифференциала (см., например, [17]). Впоследствии интегралы рациональных функций по Rn были исследованы А.К. Цихом, Т.О. Ермолаевой [8], которые использовали технику торических многообразий и доказанную ими многомерную формулу Сохоцкого о скачке интеграла.
Метод вычисления интегралов, предложенный диссертантом, основан на идее гомогенизации подынтегрального выра?кенил и понятии экрана, введенного автором.
Задача описания рациональных дифференциальных форм имеет приложения в теории вычетов, вариациях смешанных структур Ходжа и т.д. Классическая работа Ф. Гриффитса [30] посвящена построению внешних дифференциальных форм на проективном пространстве. Естественным обобщением является предложенное в диссертации описание рациональных форм на произведении проективных пространств. Заметим, что эта задача получила развитие в дальнейшем и полностью решена в случае гладких торических многообразий [20].
Теория торических многообразий возникла относительно недавно и в настоящее время активно развивается. Торические многообразия являются естественными компактификациями С" и обобщениями проективного пространства. В современных работах математиков появляются все новые конструкции торических многообразий. В диссертационной работе предлагается конструкция торичєского многообразия как фундамепталыюй области действия дискретной группы. Получить разложение в ряд для решений системы нелинейных алгебраических уравнений с переменными коэффициентами. Развить методы вычисления кратных интегралов по R" от рациональных функций с квазиэллиптическими знаменателями. Описать рациональные дифференциальные формы на произведении проективных пространств. Связать торическое многообразие с действием определяемой им дискретной группы. Перейдем к изложению основных результатов. В первой главе исследуется проблема решения систем алгебраических уравнений. Многомерным аналогом нормального вида (1) скалярного уравнения является следующая система: где Pi - число слагаемых (кроме первого и последнего) в г-м уравнении, т\к ті {к— 1,... ,pj), х\ - произвольные буквенные коэффициенты. Главным решением системы (2) назовем ветвь алгебраической вектор-функции у{х) = (у\(х),... ,уп(а;)), удовлетворяющей системе (2) и отмеченной свойством у(0) = (1,... ,1); здесь — вектор из всех переменных коэффициентов системы (2), Основной результат первой главы составляет Теорема 1.1. При условии ті т к в (1.2), для любого вектора ц Є К мономиалънап функция главного решения у(х) системы (1.2) представляется степенным рядом где P(fc) - полиномиальная функция от переменного суммирования к (см. формулу (1.6)). Таким образом, у х) представляется рядом гипергеометрического типа. Утверждение Теоремы 1,1 вытекает из более общей Теоремы 1.3, доказательство которой основано па формуле Лаграпжа-Южакова [1] для неявных вектор-функций. В 1 главы 1 также приводится идея доказательства Теоремы 1.1 с помощью вычисления преобразования Меллина для у (х), с последующим применением метода разделяющих циклов А.К. Циха, позволяющим выразить интеграл Меллина в виде степенного ряда. Замечание 1. При п — 1 утверждение Теоремы 1.1 составляет результат Меллина [35]. В случае нижнетреугольной системы (1.2), когда первое уравнение зависит только от у\, второе - от у\у уг и т.д., утвер?кдепие Теоремы 1.1 была доказано И.А. Антиповой [2]. Замечание 2. Б. Штурмфельс отмечал в [38], что уже для линейных систем уравнений (которые можно решать по правилу Крамера) решение не представляется А-гипергеометрическими рядами. Значение Теоремы 1.1 состоит в том, что решение общей системы (1-2) представляется суммой гипергеометрических рядов после разложения полинома Р(к) в виде суммы произведений соответствующих линейных функций /ij + Y x-i 2s=i mjsks- Таким образом, y l(x) представляется рядом гипергеометрического типа.
С помощью Теоремы 1.1 в 1.3 получено интегральное представление по кубу [0,1]" в котором подынтегральная функция является элементарной (формула (1.47)). В одномерном случае (п = 1) такой интеграл был выписан Е.Н. Михал-киным (см. [11] для случая триномиального уравнения; случай общего уравнения рассмотрен о статье, представленной в Сибирский математический журнал). Ценность указного интегрального представления состоит в более широкой области сходимости, чем у соответствующего интеграла Меллипа-Барпса. Тем самым, формула (1.47) может быть использована в исследованиях моно-дромии решения у(х). В заключительном параграфе первой главы приводятся любопытные тождества (1.53) и (1.54), связывающие рациональные выражения от гамма-функций с некоторыми специальными функциями. Такие тождества перекликаются с известными соотношениями ме?кду присоединенными функциями Лежапдра [4]. Они получаются сравнением результатов вычислений для решений у(х) на основе Теоремы 1.1 и формулы обращения голоморфного отображения Кэли - Сильвестра - Сакка (см. [24], [39], [37], [1]).
Во второй главе приводится алгоритм вычисления интегралов по пространству Шп от рациональных функций с квазиэллиптическими знаменателями. Квазиэллиптические полиномы были введены в статье Т.О. Ермолаевой и А.К. Циха [8] и характеризуются тем свойством, что они не обращаются в нуль на "бесконечности" в некоторых торических компактификациях пространства Мп. В отличии от статьи [8], в диссертации развит метод вычисления интегралов на основе гомогенизации (введении однородных координат в торических многообразиях) и понятия экрана, введенного автором диссертации.
Гомогенизация и интеграл по полусфере
Средняя сумма берется по всем неотрицательным целочисленным разложениям число слагаемых внутренней суммы равно т.е. числу перестановок с повторегшпми. Сама внутренняя сумма берется по всевозможным перестановкам j\ "единиц", J2 "двадцаток", jz "трехсоток", ... , ок" в предыдущем разло?кении числа к — г. Если при этом js в одном из раскладов равно нулю, то соответствующее внутреннее произведение о заменяется единицей, если ке к — j 0, то соответствующее слагаемое отсутствует (заменяется нулем),
Гомогенизируя форму в (2,1), переходя при этом в Нп+1, сводим искомый интеграл (2,1) к интегралу по верхней или нижней полусфере единичного радиуса (хотя в однородных координатах радиус может быть произвольным): соответственно, верхняя и нижняя полусферы, ориентированные согласованно с Rn+1, интегралы в правых частях (2.5) берутся по внешней стороне б1" и 5!.
Заметим, что верхнюю и ни?кнюю полусферы можно заменить на любой "колпак", т.к. правые интегралы в (2.5) измеряют поток векторного поля из начала координат в верхнее и, соответственно, нилшес полупространство. Часть aq и Ар могут равняться пулю, только А2т ф 0, AQ = 1. При такой гомогенизации происходит компактификащш, при которой вся бесконечная часть Rn переходит в dS+ = Sn l (соответственно, в dSt ,= Sn l), сохраняя (не склеивая) все направления.
Докажем первую формулу из (2,5) для S". Пусть (xi,X2,... ,xn+i) — точка на 5, a (Jfi, ,..., ХП11) — точка па плоскости. Тогда
По первой части формулы (2.5) выразим исходный интеграл (2.1) через интеграл по S+. Последний интеграл по формуле Стокса превращается в интеграл по S" l = dS+ от первообразной гомогенизированной формы. Интеграл же по S""1 равен сумме интегралов с учетом ориентации по S "1 и ST"1, которые по (2.5) сводятся к интегралам по Я""1. Так, интеграл по HP свелся к интегралу по ЛЛ-1. Если условие рациональности первообразной выполнено для последнего подынтегрального выражения, то процедуру мо?кпо продоллсать, понижая размерность до п — 2, и т.д.
Эту процедуру можно оформить в следующую спектральную последователькость с понижением числа переменных и степеней форм:где и/" -— форма максимальной степени п от п переменных (хь г,%п)\ /о — нахождение первообразной по Пуанкаре — формы ip n степени 71 — 1 от п переменных; /iIn+i=o — гомогенизация формы с/э 1 переменной хп+х с последующим заиулением этой переменной (интегрирование при этом с верхней полусферы стягивается на "экватор" 5"-1 = 35"), получается форма -фп 1\3л-\ степени п — 1 от п переменных; г+, J"_ — операторы су?кения последней формы на S+-1 и 52-1, соответственно, при этом получаются формы +-1 и V --1! s+ s_ — обращения формулы (2.5), превращающие формы г "-1 и ф -1 в формы максимальной степени п - 1 от п - 1 переменных и Г1 и w"_1 в Я"-1; разность этих форм возвращает нас в исходное положение — дает форму wn_1 степени п — 1 от п — 1 переменных. Далее снова действует оператор /о, и т.д. До сих пор мы заботились о том, чтобы первообразные (и само исходное выражение) были рациональны. Это не обязательно,
Данная проективная компактификацил есть частный случай торической компактификации, которая, с другими идеями, использовалась для вычисления интегралов от рациональных форм по Пп в работах ([8], [15]). Обобщение идеи, изложенной здесь, приводит к интегралам по поверхностям уровня моментиого отображения гамильтоновых структур на торическом многообразии.
Умение вычислять интегралы по Яп позволяет эффективно находить преобразование Радона, что мо?кет быть использовано для исследования систем дифференциальных уравнений.
Рациональные дифференциальные формы в произведении проективных пространств
Впервые понятие торического многообразия ввел М. Демазюр [2G] в 1970 г., описывая алгебраические подгруппы максимального ранга группы Кремоны. Группы автоморфизмов этих многообразий изоморфны описываемым подгруппам.
С тех пор торические многообразия нашли многочисленные применения в математике и теоретической физике [22], и были предложены несколько подходов к их изучению, включая работу М. Капранова [33] в 1999г., перенесшего понятия и методику торических многообразий на произвольные алгебраические редуктивные группы.
Мы предлагаем подход, опирающийся на трактовку Д. Кокса [25], рассматривающий вещественные торические многообразия как фундаментальные области действия дискретной группы, построенной по вееру S.
Пусть в Еп задан полный симплициальиый примитивный веер Е, Vi,... , UJV-его одпомерные образующие, находящиеся в следующих г = N—n соотношениях где коэффициенты т\ {к — 1,... , г; г = 1,... ,Лг)-целые числа, составляющие матрицу М выписанной решетки соотношений. Тогда в пространстве W\Z (где Z определяется в [25]) действует коммутативная r-параметричеекал группа Ли моиомиальных преобразований:
Обозначим эту группу через G. Орбиту, проходящую через точку х = (rcf,... ,др), являющуюся r-мерным многообразием; обозначим Orb(x), все RN \ Z при этом расслаиваются на орбиты. Фактор (RN - Z)(G называется торическим многообразием, ассоциированным с веером и обозначается Х . Определим (N — г)-мерный "экран" полирадиуса Я = (Яь... , Яг), расположенный ортогонально всем орбитам: обозначим его Scr(R), Полирадиус (.... ,Rr) выбирается так, чтобы экран имел с Z пустое пересечение. Каждая орбита Orb(xa), для х Є RN \ Z пресекает экран Scr{R), в конечном числе точек, определяемом матрицей М.
Действительно, касательные к орбитам действия (5.2) есть векторы ((a;i)ij».-.,( jv)(()(=i = {771 4,...,771 ),1 = 1,...,г, пропорциональные градиентам системы уравнений (5.3).
Кроме того, уравнения, задающие пересечение ОгЬ(х) и Scr(R) полиномиальны по 11,..., tr и следовательно число точек их пересечений конечно. Этот конечный набор из к точек Orb(x) f)Scr(R) считаем орбитой действия на Scr(R) некоторой дискретной группы Gx, действующей на точках экрана ортогонально действию G. Нз этой договоренности следует справедливость утверждения:
Предложение 5.2. GL является дискретной подгруппой группы Ли Q, оставляющей инвариантным набор квадратичных форм, задающих экран (5.3). Замечание 1. "Радиальные" параметры t\,... , tr, уводящие точки Шы \ Z на периферию, вместе с "угловыми" параметрами 0\ &N группы Q являются обобщением полярных или сферических координат. 2 Пространство Х% как фундаментальная область группы G± При действии Gx на Scr(R) естественно возникает фундаментальная область, т.е. подмножество точек экрана, содержащее элементы всех орбит группы G1, причем из орбит общего положения - ровно по одному элементу. Обозначим ее Д(С 1-). При параметризации Scr(R) так?ке возникает внутренняя метрика &_,-, относительно которой, в частности при ЛГ - г — 2, стороны фундаментального многоугольника AfG1) являются геодезическими, а сам Д(01)-выпуклый. Весь Scr(R) покрывается конечным "паркетом" таких многоугольников (в общем случае многогранников). Соответствующие стороны (грани) Д(СХ) при этом склеиваются. Предложение 5.3. Торическое многообразие, определяемое полным симплек-тинеским примитивным веером Е, гомеоморфію фундаментальной области Aft?1) дискретной группы GL, индуцированной исходной монолшальной группой ЛиО: (RN\Z)/G A(GL), весь экран Scr(R) есть конечное накрытие над торическим многообразием. Справедливость предложения вытекает из того, что ка?кдой точке тори чесного многообразия - орбите действия G на RN \ Z взаимнооднозначно соответствует ровно одна точка фундаментальной области &(GL) после отождествления всех точек пересечения орбиты с экраном. А так как точек пересечения каждой орбиты с экраном в силу (5.2) и (5.3) одно и то же и равно к, то получаем конечное А листное накрытие над торическим многообразием. Указанный гомеоморфизм следует из взаимнонепрерывиой зависимости параметров х,...,х% и ti,.,., tr, вытекающей также из (5.2) и (5.3). Замечание 2. Известно, что дискретная группа, фундаментальная область которой гомеоморфна римаиовой поверхности F, изоморфна первой гомотопической группе Tli(F). Интересно выявить связь IIifE \Z)/G) и G1. Замечание 3. Если ха в (5.2) лежит па Scr(R), а х в RN \ Z, то набор мономов tm выступает как своеобразное векторнозначное обобщение функционала Замечание 4. Фундаментальная область Д -1) задается конечными значениями внутренних параметров 9i,... , 0jv-r тогда несобственные интегралы по К , берущиеся по теории А.К. Циха [15] с помощью торической компактифика-ции могут быть сведены к собственным интегралам по A(G±).
Пространство Х как фундаментальная область группы G1
Теорема 4.2 обобщает результат Ф. Гриффитса [30] для проективного пространства, соответствующего случаю п = 1. Отметим, что после опубликования автором диссертации результата Теоремы 4.2, он был распространен на произвольные торические многообразия [20].
В заключительной пятой главе по исходной мономиальной группе Ли G, определенной веером , строится дискретная группа G1, действующая на экране Scr(R), ортогональном орбитам группы G. При этом действии естественно возникает фундаментальная область A(G±)i и торическое многообразие Х , определенное веером , гомеоморфно A(GX), а экран Scr(R) есть конечное накрытие над Xs. Основные результаты 1. Получено разложение в ряд гипергеометрического типа для решений системы нелинейных алгебраических уравнений с переменными коэффициентами. 2. Разработан новый метод вычисления кратных интегралов по Rn от рациональных функций с квазиэллиптическими знаменателями. 3. Описаны рациональные дифференциальные формы на произведении проективных пространств и доказано новое комбинаторное тождество. 4. Введено понятие экрана для -параметрических, которые интерпретируются как фундаментальные области дискретных групп. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного содержания и заключения. Список литературы содержит 47 наименований. Работа изложена на 81 странице. По материалам диссертации делались доклады: - на международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 2001 г.); - на международной конференции "Алгебра и приложения" (Красноярск, 2002 г. ); - на международной конференции "Многомерный комплексный анализ" (Красноярск, 2002 г.); - на городском семинаре по многомерному комплексному анализу в Красноярском государственном университете (1980-2005 гг.). - на семинаре в лаборатории теории функций Института физики СО АН СССР им Л.В. Киреиского (1980-1990 гг.); - на городском алгебраическом семинаре в Красноярском государственном университете (1980-2005 гг.) Автор выражет глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху. В 1921 году Н. Меллин [35] получил формулу для решения общего алгебраического уравнения, приведя его к виду
Для решения у(х) — y(xi,... ,хр) Меллин привел две формулы: интегральное представление в виде интеграла Меллипа-Барнса [9], и разложение в степенной ряд, являющийся гипергеометрическим по Горну [32]: отношения соседних коэффициентов ряда являются рациональными функциями от переменных суммирования ряда.
Достаточно исследовать основную ветвь у(х) вблизи х — 0 с условием у(0) = 1, все остальные решения получаются из основного по формуле где е -первообразные корни из единицы степени m (то есть ef = 1) ( смотри также работы Б. Штурмфельса [38], АЛО Семушевой и А. К. Циха [12] ). В статье [12] изучены аналитические продолжения решения у{х) и области сходимости рядов Лорапа-Пюизо для решений yj(x).
Затем И.А. Аптипова [2], исследуя задачу о представлении общих алгебраических функций в виде суперпозиции алгебраических функций меньшего числа переменных, получила основное решение для нижнетреуголыюй системы алгебраических уравнений, когда первое уравнение зависит только от первой неизвестной уи второе- от первых двух Уі,у2 и т.д., последнее n-ое зависит от всех п переменных ух,...,уп.
В настоящей главе мы стартуем с формального обобщения результатов Мел-лииа и Антиповой па случай общей системы п алгебраических уравнений от п неизвестных. Формальность указанного обобщения означает, что вид решения у(х) предсказан в Теореме 1.1 формальными действиями с преобразованием Меллина (без обоснований сходимости и справедливости замены переменных) для мономиальной функции у 1{х) — у1" {х) .. уп(х) решения у(х) (1); затем непосредственной подстановкой "формальных" выражений для мономов у 1 в исходную систему доказывается, что полученная формула является се" решением в классе формальных степенных рядов (Теорема 1.2).
Фактическое обоснование утверждения Теоремы 1.1 дается в 2 (Теорема 1.3). Затем в 3 приводится еще одно интегральное представление для у"(х), вообще говоря, с более широкой областью сходимости. Завершается глава рассмотрением примера системы триномиальных уравнений.
