Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Канонический вид инволютивных комплексных дифференциальных систем
1. Предварительные сведения 15
2. Полный ранг комплексных дифференциальных систем 21
3. Комплексный ранг дифференциальных систем 28
4. Канонический вид инволютивных комплексных дифференциальных систем.
Вполне интегрируемые системы 37
Глава 2. Локальные свойства функций и решений систем шшлексных дифференциальных уравнений
1. Предварительные сведения 45
2. Интегральное многообразие вполне интегрируемой системы и его локальная структура 54
3. Теорема о локальном расслоении 65
4. Локальные свойства функций и решений систем комплексных дифференциальных уравнений 69
Глава 3. Интегральное комплексных дифференциальных систем
I. Предварительные сведения 78
2. Условие Нагумо и его обобщение 85
3. Системы с вполне интегрируемыми подсистемами 91
Цитированная литература 97
- Полный ранг комплексных дифференциальных систем
- Интегральное многообразие вполне интегрируемой системы и его локальная структура
- Локальные свойства функций и решений систем комплексных дифференциальных уравнений
- Системы с вполне интегрируемыми подсистемами
Введение к работе
В современном многомерном комплексном анализе важное место занимает изучение следов голоморфных функций на вещественных подмногообразиях lit комплексных многообразий,или,общее, функций на М-,для которых производные по направлениям,сопряженных к комплексным касательным,равны нулю (функции Коши -Римана,или,короче, G@l-функции).Содержательная теория таких функций развивается на многообразиях,у которых размерность комплексной касательной плоскости постоянна,так называемых 6$ -многообразиях.Развитие этой,так называемой в Я-теории,в последние десятилетия связано с проникновением в комплексный анализ геометрических методов и методов теории дифференциальных уравнений.
Начало вл-теории,по-видимому,восходит к Г.Леви f1956 г). Большая заслуга в развитии этой теории принадлежит таким математикам,как С.Хилл,А.Андреотти,Л.Хант,Р.Уэллс,Г.М.Хенкин, Е.М.ЧиркаД.Ниренберг и т.д. Существенную роль в -теории сыграли теорема Гринфилда [24] о 6$.-расширениях и теорема Баоэнди - Трева [25] о 6Я. -аппроксимациях.
Было давно замечено ( например,Г. Леви [ 23] ,А.Андреотти -С.Хилл [29]) ,что некоторые комплексные дифференциальные системы после подходящего преобразования координат принимают вид, аналогичный тому,в котором можно локально записать касательную систему Коши-Римана (^-систему).Исследование связи произвольных комплексных дифференциальных систем с -системами оказывается полезным для развития как соответствующих разделов теории дифференциальных уравнений,так и ЄЯ -теории.
Отметим,что взаимосвязь произвольных гладких комплексных дифференциальных систем с 6 Л,-системами существенно зависит
от интегрируемости таких систем.Этот вопрос,как показал,например, Л. Ниренберг [7],нетривиален и,к настоящему моменту,открыт. Поэтому представляют интерес достаточно обширные классы интегрируемых комплексных дифференциальных систем.
Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении.В ней произведен локальный анализ произвольных гладких комплексных дифференциальных систем, выяснен канонический вид таких систем без условия вполне интегрируемости,установлено, когда эти системы являются,по крайней мере локально, Q% -системами на некотором порождающем -многообразии,исследована локальная структура порождающих -многообразий,выяснены некоторые вопросы единственности -функций и решений систем линейных дифференциальных уравнений с комплексными коэффициентами. Приведены новые достаточные условия локальной вполне интегрируемости таких систем.
Полный ранг комплексных дифференциальных систем
Известно (теорема Шробениуса),что всякая вещественная ин-волютивная дифференциальная система постоянного ранга на многообразии JlclR невырожденным преобразованием координат может быть приведена к виду,в котором она локально порождается базисными полями из касательного расслоения
Для комплексных дифференциальных систем этот факт,вообще говоря,перестает быть верным.Среди работ,посвященных локальному приведению комплексных инволютивных дифференциальных систем к каноническому виду наиболее значительной по своим результатам является,по-видимому,известная статья Андреотти -Хилла [29].В ней рассматривается R -аналитическая инволютивная система L на Ш. -аналитическом многообразии Л и показывается, что системуL можно привести к такому виду,в которомL локально порождается некоторыми базисными полями изТ(Ж) и с % -системой некоторого порождающего Ж. -аналитического многообразия М .
Таким образом целью главы I и части главы 2 является обобщение и уточнение этого результата на произвольные достаточно гладкие инволютивные комплексные системы. В параграфе I приводятся необходимые сведения из теории вещественных дифференциальных систем на гладких многообразиях. В параграфе 2 для произвольной достаточно гладкой комп лексной дифференциальной системы L ранга р вводится следующее понятие полного ранга этой системы.Если Z± ,... , Zp - локаль ный базис системы L в окрестности точки хе- ,то можно рассмотреть инволютивную систему CL) ,полученную из полей Zju ,Zyuf j4 р) путем образования комплексных сопряжений,ско бок Пуассона и С-линейных (в каждой точке) комбинаций.Ранг этой системы ( называемой здесь системой Леви для системы 1L ) в точке ос обозначается черезQ и называется полным рангом системыЬ в этой точке.Далее предполагается,что эта величина постоянна в рассматриваемой окрестности и обозначается тогда через q = raakm JL .Полный ранг Q системы IL удовлетворяет сле дующему неравенству: Равенство Ц,-р достигается в том и только в том случае,когда системаL вещественна (т.е. порождается вещественными полями). Система L ,для которой Q = m называется далее вполне комплексной. Такая система обладает тем свойством ( предложение I.l), что любая аннулирующая ее вещественная функция У е является тождественной постоянной.Доказывается теорема I.I о том,что рассматриваемую инволютивную систему невырожденным преобразованием координат локально можно привести к виду,в котором переменные разделены на две группы:эе и ;переменные при этом переведены в параметры, так как дифференцирования по ним отсутствуют.При любых фиксированных переменных % в данной окрестности системаL является уже вполне комплексной (т.е. ее полный ранг максимален из возможных) по оставшимся переменными? , входящим эффективно. При этом число переменных л! минимально и равно полному рангу системы IL . В третьем параграфе вводится следующее понятие комплексно го ранга системы!. .Пусть Q.L а - локальный базис в пространстве дифференциальных -І -форм,аннулирующих L в окрестности U точки ос .Определяется число Г . ,как наибольшее из целых чисел г ,таких,что Такое число Г называется комплексным рангом системы JL в точке XeUciR .Далее считается,что величина г — Г постоянна в (J и обозначается тогда через Г = га а k JL .Комплексный ранг г системы 1L удовлетворяет следующему неравенству: Равенство Г=0 достигается тогда и только тогда,когда система L вещественна.Доказывается предложение 1.4 о тождественности этой величиныҐ с величиной Ґ ,введенной Л.Ниренбергом [ЗО] Си используемой Андреотти и Хиллом [29]) и определяемой как разность ранга системы и. ранга системы L .Доказы вается теорема 1.2,говорящая,что любую гладкую инволютивную комплексную дифференциальную систему 1L невырожденным преобразованием координат можно привести к виду,в котором из полей, порождающих 1L в данной окрестности,выделено максимальное число вещественных полей.Оставшиеся поля образуют подсистему,называемую здесь главной комплексной подсистемой С (L) системы 1L ;при этом ранг C(!L) равен комплексному рангу L .
В четвертом параграфе завершается приведение произвольной достаточно гладкой комплексной инволютивной системы L ,у которой полный и комплексный ранги постоянны в рассматриваемой окрестности каноническому виду ( теорема 1.3) .В каноническом виде у системы L все переменные разбиваются на четыре группы. К первой группе отнесено максимальное число "несущественных" переменных,переведенных в параметры (их ровно cj = r-ai7kRL). Затем выделено максимальное число вещественных линейно независимых полей,порождающих! ;в данной системе координат они приведены к своему каноническому виду - к базисным полям из касательного расслоения.Переменные,соответствующие этим полям,относятся ко второй группе,причем коэффициенты оставшихся полей (эти поля образуют главную комплексную подсистему (С (TL) ранга r=r-a/ikc 1Ь)не зависят от переменных второй группы.Наконец, остальные переменные разбиваются на две группы так,что по одним из них,относимым к третьей группе,можно ввести комплексную структуру и в данной точке подсистема (C(L) системы L является просто системой Коши-Рймана по переменным третьей группы.Точнее, если в окрестности переменные их , ej7 -ib, fcu -in. - принадлежат к первой, второй, третьей и четвертой группам соответственного в описываемом каноническом виде система IL ранга р порождается полями
Интегральное многообразие вполне интегрируемой системы и его локальная структура
Очевидно,что и в общем случае избыточная размерность e(otC) многообразияiiмаксимальна (т.е. равна k=cocfm Ul) в том и только в том случае,когда б л- -система её (/вполне комплексна.
Нам потребуется важная теорема о (2$. -продолжениях б .-функ-ций с порождающих ( -многообразий,опирающаяся на теорему Грин-филда [24] и недавний результат об аппроксимациях &SL -функций (Баоэнди -Трев [25]).Эта теорема была сформулирована еще в [2б] (Хант - Уэллс),но полностью обоснована лишь после [25J.
Как обычно (см. [8], [9]) множество!)? мы называем голоморфным расширением множества УС % ,если всякая функция ,голоморфная на ,однозначно продолжается до голоморфной функции Т ъа.% , причем $ирХ Icf- / supgc /// Теорема Гринфилда (см. [24 J). Пусть i/tt Ю п есть порождающее -многообразие класса (Ж - конечное и достаточно большое,) .Если е =есМ) о ,то голоморфно расширяется до множества, содержащего порождающее -многообразие М., такое, что dirnR tU = cftm oU + е. Эта теорема доказывается индукцией по Є : если е(М) 0, то на можно натянуть порождающее $! -многообразие t c размерности dimRvU. +1 ,причем Є/ /J Є- и можно делать следующий шаг индукции. Хилл и ТайаниГ27] показали,что естЛ б (K fr) ,то dli S Лу ,где Ж± \р %)/3J.Отсюда,в частности,следует,что при Х 3 - (&?1), Жл З — d .Поэтому,если в теореме Гринфилда 3 ЗеЫ-1 ,то Л в2 . Если избыточная размерность efdC J максимальна в каждой точке (и,следовательно,равна /г=сос(«т«іД ) ,то из теоремы Гринфилда следует,чтоМ. голоморфно расширяется до открытой окрест-HOCTHUCC" ,примыкающей к dk (т.е. \МПVе и) В силу теоремы Баоэнди - Трева [25] об аппроксимации функций,всякая 6-функция f є Є на порождающем многообразии UC Cn является равномерным на Л пределом многочленов %-(). Теперь мы можем сформулировать требующуюся нам теорему о -продолжении. Теорема о -продолжении (Гринфилд,Баоэнди-Трев) .Пусть dL - порождающее .-многообразие класса & (V) (dt - достаточно большое,например, ЪС З -І ,где k- codimRJl ) Б окрестности У начала координат в(С и избыточная размерность еШ) максимальна в каждой точке Тогда существует такая окрестность ис С ,примыкающая кііс, что всякаябЯ-функция %.& (кМ,) продолжается единственным образом до функции tf ,голоморфной. Доказательство теоремы очевидно и мы лишь наметим его. Так как по теореме Баоэнди-Трева многочлены % (5Г) равномерно сходятся к шЛ ,то для любого 6 о начиная с некоторого номера Jfo справедливо неравенство .sup lfy (%)\ S"pM \ if \ 1- Є . По теореме Гринфилда существует гладко примыкающая к открытая окрестность Uc С ("размеры которой зависят только от їЛО такая-то supy;поэтому последовательность компактна в!/ .Тогда подпоследовательность {ух Ся)) равномерно вU сходится к некоторой голоморфной функции. Наконец,нам потребуется следующий факт,полученный независимо в [25J и в [Ю] . Локальная теорема единственности (Баоэнди - Трев,Айрапе-тян - Хенкин). Пусть Л есть -многообразие в окрестности г(Спи Iе JL - порождающее многообразие.Тогда Г - локальное множество единственности для б (Ц -функций шМ ,а именно: если е есть 6$_-функция на такая,что г 0 ,то для любой точки ер найдется ее окрестностьU C такая,что / = 0. 2. (С-интегральное многообразие вполне интегрируемой системы и его локальная структура Б этом параграфе мы рассмотрим С-интегральное многообразие іД(Х)для комплексной вполне интегрируемой дифференциальной системні/ ,опишем свойства этого многообразия и свойства функций, аннулирующих JL .В частности,мы свяжем здесь вполне интегрируемые системы с ей -системами на этом многообразии. Впервые многообразие )рассмотрели Хилл и Андреотти[29] при исследовании JR.-аналитической системы 1Ь .В [291было показано, чтоЪ локально вполне интегрируема,M(IL) есть порождающее R -аналитическое многообразие вещественной размерности m-p+ г в и ,а система оказалась -системой на MIL) .Таким образом,ниже обобщается и уточняется этот результат.
Далее,опираясь на эти свойства,мы получим формулу общего решения вполне интегрируемой системы комплексных линейных однородных дифференциальных уравнений.
Пусть и - окрестность начала координат в Jit и система 11_у ранга р порождаемая ви полями (1.2.і),вполне интегрируема вU (обозначения в этом параграфе - те же,что и в главе I ) . Пусть полный и комплексный ранги системы L в U равны % и Г соответственно.Учитывая теорему 1.4 и предложение 1.6,мы можем считать,что 1L порождается в U полями:
Локальные свойства функций и решений систем комплексных дифференциальных уравнений
В этом параграфе будут рассмотрены вопросы единственности 6$-функций на ( -многообразиях и решений систем комплексных дифференциальных уравнений.Выше была показана локальная тождественность решений вполне интегрируемой системы комплексных дифференциальных уравнений с @& -функциями,поэтому мы будем доказывать лишь свойства -функций,а соответствующие результаты, относящиеся к комплексным дифференциальным системам, будем только формулировать.
Используя теорему 2.3 о локальном расслоении и теорему о @(И -продолжении мы усилим локальную теорему единственности для SЯ -функций СХенкин-Айрапетян,Баоэнди-Трев,см. і) ,а именно :уточним строение множества единственности для 6$. -функций на порождающих многообразиях.Как обычно ( см.,например, [8])ш называем множество Vе Л множеством единственности для (5 -функций на многообразии ,если из того,что $\р следует, что -91 -0 для любой 6$. -функции і па. Ul.
Пусть есть -многообразие в окрестности Vе Сп вещественной размерности т п. , постоянной избыточной размерности е ,класса 6 (V) Ы Ь -d k Qodim M =2к т) и V UC - порождающее многообразие.Тогда А.Если e =k (т.е.9 максимальна),то Г - множество единственности для -функций на Л1 . есть -отображение класса с независимыми компонентами локально существующее по теореме 2.3), причем с? есть отображение вложения.Тогда в некоторой окрестности Vа V многообразие Г есть множество единственности для, Замечание .По сравнению с локальной теоремой единственности (см. I) пункт А теоремы 2.4 говорит,что в принятых условиях Г - глобальное С в пределах окрестностиУ) множество единственности.Относительно пункта В заметим,что размер окрестности Vе к зависит только от невырожденности отображения з и связности многообразий и Л± = di Л Т (і), іе У(Г). Сформулируем далее теорему 2.5,имеющую по сравнению с теоремой 2.4 глобальный характер.Доказывать же будем лишь последнюю, так как из доказательства будет следовать и теорема 2.4 . Теорема 2.5.ПустьіД - связное -многообразие в Є вещественной размерности т п ,постоянной избыточной размерности е ,класса С3 (здесь # - конечное и достаточно большое,например ,? 3 -) иГсМ - порождающее многообразие. A. Еслие=/г-/я (т.е. Є - максимальна),то Г - множество единственности дляьЯ. -функций наЛ . B. Пусть =2я-/тг-е : 0 и на Л существуют (9# -отображение (У ,...У) іЛ—fi классаб96"? и индексы/ /; ... Jn-e Я- такие,что отображение является вложением: .Если для каж дого многообразие связно и то I - множество единственности для (ML -функций на ЧПо локальной теореме единственности Г - локальное множество единственности для б& -функций шЛ и для любой точки =Г найдется ее окрестность!/сС такая,что любая -функция J на ,равная нулю на тождественно равна нулю на ий. Пусть Є - максимальна (и равна V=%n-m ) .Пустые есть внутренность (в топологии Л) множества [%GUL (&)=б } .Тогда непусто (так как содержит (Л/) У") и открыто.Покажем,что Л замкнуто.Если точка % - предельная для ,то в любой ее ок-рестности/У найдется окрестность U такая,что V ПМ. cJt .Для некоторой окрестности U по теореме о S L -продолжении существуют окрестностьV CV CU такие,что «Д0VcdV, \M(\Ucov и ддд любой 6Я -функции S на Ж существует единственная голоморфная функция & на V такая,что Но 1Я)ахлтгс= »Т0ГДа G\y «По теореме единственности для голоморфных функций ( см.,например, [8JJ функция (r\vl =0 .Тогда UnU" s и»следовательно,UCJ/ .ПоэтомуSfejCmdl замкнуто. Так как связно,то В.Пусть теперь і-k- е. 0 .С помощью S # -отображения У представиміД в виде M.=(Jteyau) dll ,гдвіД = сД/?У $/- многообразие вещественной размерности т 1 избыточная размерность готорого максимальна в каждой точке ( это доказывается так же как и в теореме 2.3) и равна.
Системы с вполне интегрируемыми подсистемами
Следствие I.Пусть инволютивная система!/ порождается вU полями(3.1.1) класса @ (V /и имеет постоянный в U комплексный ранг Г ,причем -= m-p .ТогдаL вполне интегрируема в L/ . ЧЕсли г=т-р ,то система И/ порожденная полями Zj , 0й Р) имеет рангm .ТогдаL- инволютивна (так как совпадает с системой Левиа(Ъ))и г=т .По предложению 3.2 (или по теореме Ниренберга ) системаI/ вполне интегрируема в I/ .
Из теоремы 2.2 (о формуле общего решения") вытекает Следствие 2.В условиях предложения 3.2 существуют вещественные решения У (У гп Я) и комплексные решения г Г (j" r) классаб м системы уравнений (3.1.2) такие,что
В этом случае общее решение (3.1.2) имеет вид где &(T, ) есть произвольная гладкая функция от \)т при любом фиксированном и с и произвольная голоморфная от dteU г при любом фиксированном для некоторой точки (aZfteU" ,которую можно считать началом координат.
Легко видеть,что в случае А формаQ вещественна и по теореме Фробениуса IL вполне интегрируема.Общее решение С3.1.17) имеет вид: ЬГС У) &(Ук,%)) ,где«г - произвольная гладкая функция одного вещественного переменного,а У - нетривиальное вещественное решение.В этом случае г-=-0, Я5 р ю_ и = P+f1: В случае В комплексный ранг Г максимален и равен і .Как было выяснено в примере 1.3 (стр.31) системаL вполне комплексна и . =п+4 .Тогда =Р+г- и по следствию I существует такое решение W системы (3.1.17\что afcJ" ФО .Общее решение системы (3.I.I7) в этом случае имеет вид: OTC J= (ГСкУ С У)), где «г - уже произвольная голоморфная функция от д, Є (D.
В этом параграфе мы рассмотрим дифференциальные системы, у которых гапксИ тлкд1-1 -rankL .Мы выделим класс вполне интегрируемых комплексных систем.Он будет содержать,с одной стороны, системы, приводящиеся к системам Бельтрами,с другой - системы, удовлетворяющие так называемому условию Нагумо.
В примере неинтегрируемости,обсуждавшемся в предыдущем параграфе,было существенно то,что Ілі G.(a0)=o ,но 1тв-С.аОф0в ок рестности точки хе1Г .Однако,если о.(х.) естьЩ -аналитическая функция в окрестности этой точки,то решение (3.1.9) по теореме Коши-Ковалевской существует всегда.
Мы будем называть систему L порождаемую в окрестности I/ полями (3.1. i), К-аналитической по переменным 0 ,..., « Vk в начале координат,если все коэффициенты О уО ) полей (3.1.і) являются К, -аналитическими функциями переменных ,..., Х при любых фиксированных остальных переменных в рассматриваемой окрестности.Это условие зависит от системы координат,но, как хорошо известно (см.,например,[15]/,если ви комплексная инволютивная системаL является JR. -аналитической по всем переменным, то она вполне интегрируема.В этом случае применима теорема Коши-Ковалевской [іб] и вполне интегрируемость следует из решения соответствующей задачи с начальными условиями. В работе [25] выделен класс вполне интегрируемых систем, удовлетворяющих более слабому условию,чем К -аналитичность по всем переменным.Для удобства его формулировки будем записывать систему полей (3.1.і) Б виде- порождаемая в и полями (3.2.3),удовлетворяет Л -условию (или, t -условию Нагумо) в начале координат,если!/ будет 1п_ аналитической ио єіі и невырожденной по -і є и в начале координат; т.е. Очевидно, что Л о -условие (т.е. jYjT-условие при совпадает с условием Нагумо.С другой стороны,при k =m p мы получаем ситуацию теоремы Ниренберга,к которой относятся интегрируемые комплексные системы Бельтрами. Пусть инволютивная система IL порождаемая в I/ полями (3.2.3),удовлетворяет J\ -условию в начале координат. Тогда она вполне интегрируема в этой точке.
