Введение к работе
Актуальность темы. В приложениях теории операторов важную роль играет модель Леонтьева межотраслевого баланса. Пользуясь операторными обозначениями, эту модель можно записать в виде операторного уравнения
x=Ax+f, (1)
где А - неотрицательная пхп матрица, xe__R" - неизвестный элемент (валовый выпуск полезного продукта),/є_Я" - заданный элемент (вектор чистого выпуска полезного продукта). При этом экономический смысл имеют лишь такие решения модели (1) хе. R", которые являются векторами с неотрицательными координатами при заданном неотрицательном векторе/ Собственно теория модели Леонтьева в качестве важного составляющего элемента содержит условия, при выполнении которых модель (1) имеет и притом единственное неотрицательное решение. Понять, что в этой связи важную роль, играют методы, позволяющие найти это решение, либо получить сколь угодно точное приближение к искомому решению модели.
Модели Леонтьева посвящена обширная литература. Ясно, что модель Леонтьева укладывается в схему проблемы существования неотрицательного решения у операторного уравнения (1) с неотрицательным оператором Л и неотрицательным элементом/е_Е.
Теория Леонтьева получила дальнейшее развитие и обобщение, из которого мы в первую очередь упомянем о модели Леонтьева-Форда межотраслевого баланса, учитывающую экологический фактор, т.е. охватывающую проблему сохранения чистоты окружающей среды. Соответствующая модель, предложенная в работе Леонтьева и Форда, имела вид
х = А..х + b,)
\ (2)
y = A2lx-b2j
Здесьхє_/?" - валовый выпуск вектора полезного продуктах, ye_Rm - вектор вредных отходов, образующих в процессе производства векторах и подлежащих уничтожению. Система уравнений (2) - это система балансовых уравнений. Первое уравнение этой системы означает, что часть производимого вектора полезного продукта х затрачивается в самом производстве этого полезного продукта (соответствующие затраты равны вектору Atlx), А21х- это вектор вредных отходов, выделяемых в окружающую
среду при производстве полезного продукта в объеме вектора х, Ь2 - остаточный уровень вредных отходов в окружающей среде после удаления из нее вектора у.
. Понятно, что при указанной постановке экономический смысл представляют лишь неотрицательные решения xe_R",ye_Rm при заданных неотрицательных векторах ble_R", b2e_Rm. Именно такая задача была поставлена в работе Леонтьева-Форда.
Однако более подробный анализ описанной ситуации подсказывает целесообразность рассмотрения следующей, более общей модели, состоящей из системы: одного уравнения и одного неравенства следующего вида
(3)
x = Allx + Al2y + bl y>A2lx + A22y-b2
или более общей, по сравнению с ней, нелинейной модели x>F1(x,y) + bA 4 y>F2(x,y)-b2y(4)
при этом для каждой из систем уравнений - неравенств рассматривается вопрос о существовании неотрицательного решения (х,у) соответствующей модели. Здесь Ft(x,y), F2(x,y) - соответствующие операторы затрат,х, у имеют тот же смысл, что и у модели Леонтьева-Форда, bv b2 - заданные неотрицательные векторы.
Понятно, что переход от системы уравнений (2) к системе уравнений-неравенств (3) (соответственно к системе (4)) приводит к неединственности существования решения (х,у) этой системы. Следуя очевидным экономическим соображениям, для модели (3) (соответственно (4)) мы вводим следующее определение решения этой модели.
Решением модели (3) (соответственно (4)) мы назовем всякий век-тор.х'e_R",y'eRm, х*>9, y">Q, который определяется по формулам
(x,y)4nf{x,y},(5)
где (х,у)е_П, здесь П - множество всех неотрицательных векторов, удов-
летворяющнх системе уравнений-неравенств (3) (соответственно системе неравенств (4)), а операция ш/берется по конусу неотрицательных векторов в конечномерном пространстве R".
Соответствующее развитие модели Леонтьева-Форда назовем обобщенной моделью Леонтьева-Форда, а таким образом определенное решение назовем обобщенным решением этой модели Леонтьева-Форда. Понятно, что постановка этой задачи представляет интерес, т.к. она напрямую связана с конкретной экономико-математической моделью, учитывающей экологическое состояние среды. С другой стороны, эта постановка фактически является новым вариантом одной из задач теории операторных уравнений. При этом в этой задаче возникают следующие вопросы: 1) когда модель (3) (соответственно (4)) при условии, что решение модели определяется в соответствии с формулой (5), имеет и притом единственное неотрицательное решение; 2) каковы общие свойства этой модели и ее решения; 3) какие алгоритмы можно предложить для фактического (приближенного) отыскания решения модели (3) (соответственно (4)); 4) какие оценки погрешности можно получить для этого приближенного решения; 5) представляет также интерес построения бесконечномерных аналогов приведенной модели. Эти аналоги имеют вид систем линейных и нелинейных интегральных и операторных уравнений-неравенств в соответствующем банаховом пространстве.
Таким образом, в работе обсуждаются задачи, связанные с исследованием систем интегральных и операторных уравнений-неравенств.
Цель работы - доказательство теорем существования и единственности положительного обобщенного решения у системы интегральных и операторных уравнений-неравенств, отыскание эффективных методов решения таких систем, получение оценок решения, исследование бесконечномерных аналогов обобщенной модели Леонтьева-Форда.
Методические основы исследования. В работе наряду с использованием классических методов функционального анализа, предлагаются некоторые развития этих методов для операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах.
Научная новизна. Она определяется, во-первых, новизной постановки описанных задач теории линейных и нелинейных операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах. Во-вторых, наряду с теорией межотраслевого баланса, учитывающего экологический фактор, определенный интерес представляет задача межотраслевого баланса, предусматривающего переработку вредных отходов с целью выде-
ления из них полезных компонент, а также задача, касающаяся исследования систем нелинейных интегральных уравнений-неравенств, как бесконечномерный аналог описанной модели Леонтьева-Форда.
Теоретическая и практическая ценность. Заключается в постановке задач нового типа в теории операторных уравнений и неравенств, разработке методов их решения с указанием возможных конкретных приложений при исследовании задач межотраслевого баланса, учитывающих экологический фактор.
Достоверность исследований вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на весенних математических школах «Понтрягинские чтения - VIII» (г. Воронеж 1997), на научно-методических конференциях Ставропольского государственного университета (1997,1998), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, РГУ 1998), на III Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск 1999), на симпозиуме «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (г. Воронеж 2000) и неоднократно на семинаре кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета (руководитель - профессор В.Я. Стеценко).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ [1-7]. Часть результатов диссертации получена автором совместно с научным руководителем профессором В.Я. Стеценко. При этом в соответствующих результатах Стеценко В.Я. принадлежат постановка задач и общие рекомендации относительно метода их решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка цитированной литературы из 58 наименований и занимает 93 страницы машинописного текста.
