Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертация посвящена исследованиям в области нелинейного анализа и теории окстремальных оадач и их приложениям в теории приближений. Речь идет прежде всего об изучении спектра некоторой системы нелинейных интегральных уравнений и его связи с задачей о нахождении точных значений поперечников для соответствующих классов гладких функций.
Пусть Л'(.,.) - непрерывное ядро на единичном квадрате I2 := [0,1]2 и символ (а)(5) для чисел а Є R и s Є (1>оо) означает \а\*~г$дпа . Объектом наших исследований является следующая нелинейная система управнений
x{t) = J K(t,r)u(r)dT, tel (1)
(u(r))(p) = Л"' J l<{t,r)[x(t))l4)dt, r/ (2)
которая можно переписать в виде одного уравнения
л9Нг){р) = /а"(«,г) (J K{l,s)u{s)ds) dt,r Є 1
(3)
где х(.) Lq(I), и(.) Є. Lq(I), ||u(.)||p < 1 . Если обозначить через К оператор, действующий из пространства Ьр{1) в ,(/) по правилу:
x{t) = Ku[t) := J K{t,T)u{r)dT, u(.) Є LP{I),
то уравнение (2) примет вид (u(r))^ — A_?/v'*(i)(,)(r), где К* - сопряженный к Л" оператор, а уравнение (3), в свою очередь, запишется в виде
A'«r))w = IC(Ku)(q){r), (4)
Лено, что при р = q = 2 , (4) переходит в кдасическое уравнение для s - чисел оператора К
Х2и{т) - К*Ки{т), - (5)
Таким образом (4) - одно из возможных нелинейных (р, q) -обобщений линейного уравнения (5). С другой стороны, уравнение (4) можно рассматривать как обобщение нелинейного уравнения Штурма - Лиувилля, если ааменить в (4) Л* на ядро Римана
Gr(t,r) := Ц }-±-~, ге2, г>1,
(г- 1)!
го нетрудно привести его к граничному нелинейному уравнению Штурм- Лиувиллевского типа:
(*(г,(0)| = *-(*(*))(,), *w(o) = (^)^)(1) = <6)
соторое в течение ряда лет исследовано В.М. Тихомировым и :го учениками: А.П. Буслаевым, СВ. Бабаджановым и By Куок Гханем, а также А. Пинкусом. Обзор этой тематики можно най-:и в статье А.П. Буслаева и В.М. Тихомирова l . Дискретный іариант уравнения (4) рассматривал А.Л. Буслаев2.
Система (1)-(2) - это формально выписанные необходимые словия экстремума в следующей изопериметрической задаче
||г(.)||, - sup, х(.) = #«(.), ||«(.)||„ < 1, (7)
, также в задаче на максимум отношения Релея:
R(x;h\p,q) :={Ш}г - *up, *(.) = A't»(.), u(.)eLp{I) (8)
Экстремальные задачи (7), (8) играют важную роль в различ-ых разделах анализа и механики. В частности они возникают
'Буслаев А.П., Тихомиров В.М. Мат. сб. 1990, т. 180, N. 12, С. 1587-1606. 2Буслаев А.П. Мат. оаметки, 1988, Т. 47. N. 1, С. 39-46.
при нахождении томных значений поперечников соответствующих классов функций, а именно, следующих классов Соболевского типа
WP(K) := {*(.) = Ки(.)\и(.) Є BLP(I))
(см. по этому поводу работы 3 4 5 6 и т.д.).
Принципиальным моментом одесь является вполне положительность ядра К. Это понятие было введенно в работах Крейна М.Г. в 30-х годах как аналог понятия вполне положительной матрицы. К ядрам подобного типа относятся многие ио иовестных в аналиое, механике и физике ядра, в том числе ядро Дирихле, Римана, Гаусса в непериодическом случае, ядро Валле-Пуссена в периодическом варианте и др. Свойствам вполне положительных ядер посвящена обширная литература (см. например, 7 8 9 10...).
Спектральные свойства вполне положительных матриц в линейном случае были обнаружены ранее в работах Перрона, Фро-бениуса, Келлога, Крейна. Систематическое их изложение, а также приложения к задачам механики можно найти в книге Гант-махера и Крейна п.
В линейном случае, (р = ц — 2) , для уравнения (5) была доказана замечательная теорема о том, что ядро К К" имеет бесконечную последовательность простых, положительных спектраль-
3Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближения Изд. МГУ, 1976. 304 с.
4Тихомиров В.М. Теория приближения. Итоги техники и науки. Т. 14, М.: ВИНИТИ 1987. С. 103-260
5см. 1
ePinkus А. и- widths in approximation theory, Springer-Verlar, N-Y, 1985, 297p.
Гактмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилпяционные матрицы, ядра и малые колебания механических систем. М.: Гостехиодат, 1950.
"Karlin S. Totally Posittvity, V. 1, Stanford, Ca. Stanford University Press. 1968.
9Карліііі С, Стадден В. Чербышеьские системы и их применение и аналиое и статистике. М: Наука, 1976, 567с.
10Хнршма.н И., Уиддер Д. Преобразование типа свертки М: ИЛ. 1958,312с. "см. 7 выше
ных чисел А0 > Лі > ... > 0 и соответствующая п - спектральному числу спектральная функция имеет в точности п простых нулей (первая - под номером "нуль" функция положительна на интервале / ).
Цель работы. Исследовать спектр системы нелинейных интегральных уравнений (1)-(2) в непериодическом случае. Получить точные решения для задачи о Колмогоровских и Бернштей-новских поперечниках класса WV(K) в Lq(I) при различных со--отношениях на р , q . Распространить полученные результаты на периодический случай.
Методы исследования. Для доказательства существования спектра использован метод итерации, разработанный Буслаевым А.П.
Для оценки поперечников применены метод аппроксимации интерполяционными сплайнами, предложенный Тихомировым В.М и методы теории экстремальных задач, развитые в работах 12 13
Научная новизна. Работа продолжает исследования, начатые Пинкусом А. (1975-1985) и дополняет некоторые результаты Буслаева А.Д. и Тихомирова В.М. (1985-1990).
В диссертации содержатся следующие новые результаты:
-
Описан спектр системы нелинейных интегральных уравнений с обобщенными вполне положительными ядрами в непериодическом и периодическом случаях.
-
Вычислены точные значения поперечников по Колмогорову и по Бернштейну функциональных классов Соболевского типа, WP(K)(WP(G)) в метрике Lq при различных соотношениях р,
-
Вычислены точные значения нечетных поперечников по Бернштейну Соболевских классов периодических функций в случае р < q.
Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теорический характер и может представляет интерес для специалистов в области теории приближений и диффе-
|2см. 1,2,3,6 нише
13Магарил-Ильяев Г.Г. Мат. сб. 1991, Т. 182, N. 11, С. 1635-1656.
ренциальных уравнений.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научном семинаре "Теория приближений" под рука-водством профессора В.М. Тихомирова в МГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликованы две статьи, одна из них в соавторстве. Их список приведен в конце автореферата.
Объем работы. Диссертация изложена на 68 машинописных страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 27 наименований.
