Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Абсолютно представляющие системы подпространств в проективных спектрах (в)-пространств 19
1.1. Определение проективного спектра 20
1.2. Коэффициентное пространство 22
1.3. Описание сопряженного к коэффициентному пространству 27
1.4. Оператор представления и сопряженный к нему 32
1.5. Критерий для абсолютно представляющих систем подпространств в терминах разрешимости интерполяционных задач 33
1.6. Описание сопряженного к пределу проективного спектра 37 ,
1.7. Необходимое условие для абсолютно представляющих систем подпространств в пределах (і^-Рб^-спектров 42
1.8. Достаточное условие для абсолютно представляющих систем подпространств в пределах ()^5)-спектров 45
1.9. Следствия основных результатов для (> Р5)-простраиств 51
1.10. Следствия основных результатов для приведенных проективных пределов 56
1.11. Необходимое условие для абсолютно представляющих систем подпространств в регулярных индуктивных пределах 59
1.12. Системы экспонент в пространстве целых функций [1,+со) 63
ГЛАВА 2. Системы экспонент в пространствах ультрадифференцируемых функций 67
2.1. Пространства ультрадифференцирусмых функций типа Румье 68
2.2. Пространства ультрадифференцируемых функций, задаваемые уточненным порядком 69
2.3. Критерий для абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах ультрадифференцируемых функций 73
2.4. Вспомогательные результаты 77
2.5. Построение примера абсолютно представляющей системы экспонент 83
ГЛАВА 3. Абсолютно представляющие системы подпространств в пространствах пробных удьтрадифференцируемых функций 91
3.1. Пространства T>Q(G) пробных Г2-ультрадифференцируемых функций 92
3.2. Критерий для абсолютно представляющих систем подпространств в пространствах U$i{G) 94
3.3. Построение абсолютно представляющих систем подпространств в пространствах V^(G) 96
3.4. Универсальные абсолютно представляющие системы подпространств 97
Литература 100
- Описание сопряженного к коэффициентному пространству
- Необходимое условие для абсолютно представляющих систем подпространств в пределах (і^-Рб^-спектров
- Пространства ультрадифференцируемых функций, задаваемые уточненным порядком
- Построение примера абсолютно представляющей системы экспонент
Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к функциональному анализу и теории функций. Изучаются абсолютно представляющие системы подпространств в спектрах локально выпуклых пространств.
Как известно, в исследованиях А. Ф. Леонтьева рассматривалась задача о представлении функций, аналитических в некоторой области комплексной плоскости, рядами экспонент. Эти результаты естественным образом привели к появлению теории абсолютно представляющих систем (АПС), которая развивалась, главным образом, в работах Ю. Ф. Коробейника и его учеников А. В. Абанина, Ле Хай Хоя, И. С. Шрайфеля, С. Н. Мелихова, А. Б. Михайлова, В. Б. Шерстюкова, а также В. В. Напалкова, А. Б. Секерина и др. Согласно работе Ю. Ф. Коробейника1 последовательность {xk}kLi ненулевых элементов полного отделимого локально выпуклого пространства F называется АПС в F, если любой элемент х Є F представим в виде суммы ряда
х = ^2 CkXki абсолютно сходящегося к ж по топологии F.
к=\
В цикле работ Ю. Ф. Коробейника были заложены основы теории АПС в локально выпуклых пространствах и разработан один из основополагающих методов их изучения, базирующийся на привлечении коэффициентных пространств и теории двойственности.
Впоследствии Ю. Ф. Коробейником2 было введено более общее понятие абсолютно представляющей системы подпространств (АПСП). Последовательность (іі/&)1і нетривиальных векторных подпространств полного отделимого локально выпуклого пространства F называется АПСП в F, если
любой элемент х Є F представим в виде суммы ряда х = ^ xSh\ х^к> Є Hk,
к Є N, абсолютно сходящегося к ж по топологии F. Отметим, что если все Н^ одномерны, то понятия АПС и АПСП совпадают.
Аналог метода коэффициентных пространств применительно к АПСП в пространствах Фреше и в (DFS')-npocTpaHCTBax был построен А. В. Абани-
ным.
1 Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сб.- 1975.- Т. 97.- 139:2.- С. 193-229
2Коробейник Ю. Ф. О представляющих системах подпространств // Мат. заметки.— 1985.— Т. 38.— №5.— С. 741-755.
Цели работы.
распространить метод коэффициентных пространств для случая АПСП в пределах проективных спектров (Х>)-пространств;
получить критерий для АПСП в пределе (DFS')-cneKTpa при дополнительных ограничениях на структуру системы подпространств;
установить необходимые и достаточные условия того, что данная система экспонент является АПС в пространстве ультрадифференцируемых функций, задаваемом уточненным порядком. На их основе построить конкретный пример АПС экспонент в пространствах данного вида;
дать описание АПСП, инвариантных относительно умножения на функцию, в пространствах пробных ^-ультрадифференцируемых функций.
Научная новизна. Все результаты работы являются новыми.
Методы исследований. В работе используются методы функционального и комплексного анализа, теории двойственности и теории целых функций. Также применяется техника коэффициентных пространств Ю. Ф. Коробейника и теория ^-ультрадифференцируемых функций.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретических характер. Полученные в диссертации результаты могут быть полезны в задачах представления бесконечно дифференцируемых и аналитических функций рядами экспонент и разрешимости уравнений типа свертки. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Южном федеральном университете, Сибирском федеральном университете, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте ВНЦ РАН и РСО-А, Московском, Башкирском, Новосибирском, Саратовском госуниверситетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Южного федерального университета, а также на Международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» в Волгодонске (2007 и 2009 гг.), на VI Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» во Владикавказе (2008 г.), на Международной школе-семинаре по геометрии и
анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2008 г.) и на Международной школе-конференции молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» в Уфе (2009 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, список которых приведён в конце автореферата. В совместных с А. В. Абаниным статьях [1] - [3] А. В. Абанину принадлежит постановка задач и указание метода исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объём диссертации составляет 105 страниц. Библиография — 46 наименований.
Описание сопряженного к коэффициентному пространству
В данном разделе приводится удобное для использования описание сопряженного к коэффициентному пространству А. Для га, п Є N поло Здесь при каждой фиксированной паре тип пространство Hk наделяется топологией, индуцированной из Ет п, a (Hk) mn обозначает сопряженное к нему пространство. Легко установить, что АтуП является банаховым с нормой для всех т, п Є N. Предложение 1.3.1. Пространство А тп можно отождествить с Ат п, wo есть А тп алгебраически изоморфно Ат,п. Доказательство. Очевидно, что форма является билинейной и устанавливает отделимую двойственность между Покажем, что топология пространства Ат п согласуется с заданной двойственностью. Пусть Ф = ( fk)kLi произвольный элемент из Лт)П. Тогда для любого X = (x )kLi справедливо неравенство Поэтому , Ф — линейный непрерывный функционал на Ат п. Пусть теперь F Є А тп. Тогда найдется константа С оо такая, что 1-FpQI C-X"mn при всех X Є Ат п. Подставляя в последнее неравенство вместо X элементы вида е ж, х Є Нь(к N), получим im%\\m,n Для всех x Є Нк. Рассмотрим последовательность (VidkU, где ірк(х) = F(ekx) (x Є Hk, к Є N). Тогда ipk Є (Нк) т п и Hfe)fcLillm n - С - Поэтому ( /?fc)Li Є Лп,п- Кроме того, в силу аб оо солютной сходимости в Ат п ряда ]Г е&а? к элементу X = (х )к =1 из -Am n, имеем Таким образом, A mn алгебраически изоморфно пространству Ат п и предложение доказано. Так Как Ат п с— АШіП+і, ТО -/1г7г,п+1 С— т,п ПРИ ВСЄХ 771, п Є N. Поло оо _ жим Ат := р) Ат п и наделим пространство Ат топологией проектив ні _ його предела последовательности пространств (АШ;П) =1. Для любого 7П Є N справедливо Предложение 1.3.2. Топологическое сопряаюепное к Ат можно отождествить с Ат. Доказательство. Как и выше билинейная форма X, Ф устанавливает отделимую двойственность между Ат и Ат. Покажем, что топология .Am согласуется с этой двойственностью.
Если Ф из Ат, то Ф Є Ат{п при любом п Є N. В соответствии с предложением 1.3.1 , Ф Є Атп при любом п Є N, а, значит, , Ф е А т. Обратно, если F принадлежит А т, то при каждом п его сужение на Ат,п будет элементом А тп. Снова использовав предложение 1.3.1, получим, что F(X) = Х,Фп при всех X Є Ат п, где Фп имеет один и тот же вид (F(ek-))k)=1 для любого п Є N. Поэтому F(X) = Х: Ф при всех X Є Ат, где Ф = (F(ek-))kLl Є Ат. Предложение доказано. В силу непрерывности г +1 : Ет+\ — Ет имеет место непрерывное вложение Ат м- Am+i. Обозначим A := \J Ат и будем рассматривать m=l это пространство с топологией внутреннего индуктивного предела последовательности ЛВП (лт) =1. Предложение 1.3.3. Билинейная форма X, Ф устанавливает отделимую двойственность меэюду А и А, а топология A = proj Ат corn гласуется с этой двойственностью. Доказательство. В доказательстве нуждается лишь последнее утверждение. Если Ф Є Л, то существует номер т такой, что Ф будет элементом Ат. Согласно предложению 1.3.2, -,Ф — линейный непрерывный функционал на Ат. Тогда его сужение на А будет элементом А!. Пусть теперь F из А . Тогда найдется такой номер т, что F является линейным непрерывным функционалом на л с индуцированной из Ат топологией. Так как л плотно в лш, то F может быть продолжен единственным образом на Ат до линейного непрерывного функционала і \; при этом F(X) = Fi(X), \/Х Є А. Используя предложение 1.3.2, получим, что Fi(X) = Х,Ф {X Є лт), где Ф = ( і(еА-))ь=і из Ат. Следовательно, Ф = (F (eje-)) j!L1 принадлежит А и F(X) = X, Ф для всех X Є А. Предложение доказано. Для доказательства следующего предложения введем некоторые обозначения. Символом (F,T) будем обозначать пространство F с топологией т. Далее, если (F, F1) - отделимая дуальная пара, то слабую топологию в F (в F ) будем обозначать через cr(F, F ) (cr(F , F)). Аналогично сильную топологию в F (в F ) будем обозначать через (3(F, F ) ((3(F , F)). Предложение 1.3.4.
Пространство А отделимо. Доказательство. Для любого га Є N пространство Ат отделимо как проективный предел последовательности отделимых пространств (An,n)n=l В А введем топологию г, определяемую набором преднорм последовательности Ф = ( &)&Li из А положим Пространство (-А, г) отделимо. Действительно, если Ф = (PkJkLi ненулевой элемент из (А,т), то найдутся номер ко и элемент XQ ф 0 из ії&0 такие, что &0(жо) т 0- Другими словами, существует преднорма рхк такая, что р (Ф) 0, а, значит, (А,т) отделимо. Далее зафиксируем га Є N. Нетрудно видеть, что для любой преднормы tff. и последовательности Ф = (tpk)kLi из Ат справедлива оценка ртгті1вирвир (.,). 1 : ( № )і Є А.Л = ІІ ІкіНФЩі fceN Ul ж llm,l ) Таким образом, для любой преднормы р\ (х Є Нк, к Є N) найдутся преднорма на Ат (например, т1) и константа Ст оо (например, Ст = гтжтод) такие, что рдІ(Ф) СтФтц Ф Є Ат. Это означает, что Ат H - (Л, г). По определению топология индуктивного предела последовательности (Лт) =1 в А — сильнейшая из локально выпуклых топологий, в которых отображения вложения Ат в А непрерывны (г одна из таких топологий). Следовательно, А -» (А, г), а, значит, из отделимости (А, г) следует отделимость пространства А. Предложение доказано.
Необходимое условие для абсолютно представляющих систем подпространств в пределах (і^-Рб^-спектров
В данном разделе приводится необходимое условие для АПСП в пределах проективных спектров (.В)-простраііств. Следующий результат является аналогом и обобщением теоремы 3 из [14, с. 79], необходимой части теоремы 7 из [14, с. 84] и основных результатов работ [2] и [3]. Теорема 1.7.1. (Необходимое условие для АПСП) Пусть 8 — приведенный проективный спектр полных регулярных (LВ) -пространств Ет с Proj = 0. Пусть далее последовательность 1-і — {Цк) -\ нетривиальных векторных подпространств в Е удовлетворяет основным предположениям данной главы (то есть imHk С Emii, imHk замкнуты в Ет т п к Є Щ), условию (1.2.2) и либо 8 — (DFS)-cneKmp, либо все Hk конечномерны. Тогда, если последовательность Ті — АПСП в Е, то для касисдого т\ существует такое т і, что для любого пч найдется номер п\ и постоянная С = C(mi, 77 ni, 7) оо такие, что при всех (f Є Е1, для которых ( ряк)а Є Лщ, или ( ИяЛІті,Пі = -Другими словами, при всех ір Є Е , для которых ( p\iik)kLi Є Лті, или \\{ф\нк)\\тііПі = . Доказательство. Если система (Яд;) =1 — АПСП в Е, то по предложе нию 1.5.4 оператор является изоморфизмом из (Е1 , а(Е , Е)) на замкнутое подпространство в (А,а(А А)). Заметим, что из замкнутости множества D := 1(Е ) в (А, а (А, А)) следует его замкнутость в А. В силу предложения 1.2.4 A = (An,Jm+i) является приведенным (?Е5)-спектром. Тогда, согласно [40, теорема 3.5], А = (А,/3(А,А)). Обозначим через D множество D, наделенное топологией, индуцированной из А. Так как А отделимо, то D также отделимо. В разделе 1.6 было отмечено, что Е - (E ,f3(Ef, Е)). Тогда из сильной непрерывности оператора I следует, что I непрерывно действует из Е на D. Поэтому I имеет замкнутый график в Е х D. Отсюда и из инъективности /, используя утверждение 5 из [32, предложение 1.9.12], получим, что /-1 также замкнуто.
Другими словами, график 1 1 замкнут в D х Е . Далее для каждого т Є N положим Dm :— Ат Г) D, наделив Dm топологией, индуцированной из Ат. В этой топологии Dm является пространством Фреше. Действительно, так как D замкнуто в (Дсг(ДА)), то D замкнуто в А. Отсюда вытекает, что Dm замкнуто в Ат, а, значит, является пространством Фреше с топологией, индуцированной из Ат. Далее нетрудно видеть, что Dm Dm+\ и что D = (J Dm. Че 771 = 1 рез Dind обозначим множество D с топологией внутреннего индуктивного предела последовательности пространств Фреше (Dm) =1. При этом Dind "- D. Действительно, так как Ат непрерывно вложено в А для всех т Є N, то то есть, Dm - D при всех т Є N. Индуктивная топология в Dind — сильнейшая из локально выпуклых топологий, в которых подобные вложения непрерывны. Следовательно, топология Dind не слабее топологии пространства D, а, значит, Dind - D. Отсюда следует, во-первых, что Dind отделимо, а во-вторых, что D d х Е - D х Е . Поэтому график 1 1 замкнут в D{nd х Е . Таким образом, Dind — ультраборнологическое пространство, Е —-пространство класса ЫТ, а отображение l l : D{nd — Е обладает замкнутым графиком в Dind X Е . Тогда по теореме о замкнутом графике 1 г действует непрерывно из D d в Е . Поэтому для любого mj 6 N оператор 1 1 непрерывно действует из Dmi в Е . Зафиксируем произвольный помер т\. Для пространства Фреше оо Dmi и линейного непрерывного отображения 1 г : Dmi — Е — (J Е \ тп=1 выполнены все условия теоремы 6.5.1 из [32]. А именно, F = Dmx, Fm = Е — пространства Фреше. Отображения и = l x : Dmi - Е , um = idm : Е п — Е являются линейными непрерывными и непрерывно действует из Dmi в Е . Пространства Dmi и Е являются пространствами Фреше с топологиями, задаваемыми наборами преднорм { тіП}=і и { Д2іП}=і, соответственно. Поэтому для любого П2 Є N найдется номер п\ и постоянная Учитывая определение Dmi = Ami C\D, получим, что оценка (1.7.2) равносильна (1.7.1). Теорема доказана.
Пусть = (Ет, г+і) — приведенный (DFS)-cneKTp, причем Proj1 8 = 0. Предположим, что последовательность подпространств % = (Hk) L1 удовлетворяет условию (1.2.2). Обращение теоремы 1.7.1 удается получить при дополнительном условии, что последовательность ТЇ состоит из двух частей — «проективной» (#2fc-l)ii И «ИНДУКТИВНОЙ» (.#2A;)jfeLl ОТНОСИТвЛЬНО КОТОрЫХ буДЄМ ІірЄД полагать выполненными условия: (j) существует такое s, что для любого п для каждого т s -\- 1 найдется постоянная СШ)П оо такая, что для всех к имеем гт- т_5)1 Ст,п\\ітх\\т,п (х Є Я24_і); (1.8.1) (jj) существует такое s, что для любого т для каждого п s + 1 найдется постоянная DmjJl оо такая, что для всех к имеем Не нарушая общности, будем считать, что номер s, фигурирующий в (1.8.1) и (1.8.2), один и тот же. Заметим, что из (1.2.2) следует Далее для каждого m, п Є N положим Легко установить, что А и А являются банаховыми при всех т,п Є N. Так как Е\іП компактно вложено в ііГІ+і и выполнено (1.8.3), то А компактно вложено в А +1 для любого п Є N (доказательство данного факта аналогично доказательству предложения 1.2.2). Положим и наделим пространство А1 топологией проективного, а пространство А2 топологией индуктивного предела последовательности пространств (Arn)m=i и (- n)n?=i соответственно. Так как А\ вполне непрерывно вложено в А +1, то А2 — (-DFS)-npocTpaHCTBO. Если (H2k-i)kLi удовлетворяет условию (1.8.1), a (#2A;)Li — условию (1.8.2), то справедливо Предложение 1.8.1. Коэффициентное пространство А представляет собой прямую сумму пространств А1 и А2, то есть А = А1 А2. Доказательство. Вначале покажем, что для любых га, п Є N найдется номер tn п такой, что Am+s,n Ат ф At Так как отображение +s : Em+S — Е\ (здесь и далее ijn+s = г\ о «з im+s l) является линейным непрерывным, то по теореме 6.5.1 из [32] для номера п существует такой номер tn и константа 1 Вт п оо, что Вт,п 1\х1m+s,n При ВСЄХ X Є Em+S n. Поэтому оо Следовательно, Ат+5)П A eA?. Отсюда Теперь покажем, что А т фЛ ч Am n+S для всех тип. Возьмем элементы У = (y{k))f=l из А и Z = (z )f=1 из Л вида Тогда X=Y+Z принадлежит пространству Лт)П+8. Действительно, в силу (1.1.1) и (1.8.2)
Пространства ультрадифференцируемых функций, задаваемые уточненным порядком
В данном разделе и далее в главе рассматриваются веса вида wp(r)(t) — \t\p(\t\) t ЄШ, определяемые уточненным порядком р(г). Пусть р Є (0,1). Напомним, что уточненным порядком называется функция р(г) (г 0), для которой Так как для любого /о(г) функция гр монотонно возрастает на [го, со), г0 = го(р(г)) 0 (см. [22, глава I, 12, с. 49]), то, изменяя р{г) на отрезке [0, го], если это необходимо, не нарушая общности, далее будем считать, что гр строго возрастающая при г 0. Тогда на [0, оо) определена обратная к ней функция ф : [0, оо) — - [0,оо), для которой Ф{шр(г)(ї)) — ир{т)(Ф{ї)) = t, t 0. Ясно также, что за счет той же процедуры изменения р(г) вблизи нуля можно добиться того, что р(0) = 0 и \imtp = 0. i- 0 Для произвольного уточненного порядка /о(г), удовлетворяющего оговоренным условиям, рассмотрим вес ujp {t) := р \ t Є К. Заметим, что в силу наших соглашений шр г) — непрерывная четная на Ж и возрастающая на [0, сю) функция. Очевидно, что она удовлетворяет (/?) и (7). Докажем, что для нее выполнено (а). Согласно [22, глава I, 12, лемма 5] функция гр р является медленно растущей. Значит, lim ( „м-р— = 1 г- оо г для всех К 0. Следовательно, для любого К Є (1, +оо) t- oo Wp(r)(r) t-Юо tP(l l)-P Отсюда следует, что ьор[г) удовлетворяет условиям (а) и (2.1.1). Покажем, что существует другой уточненный порядок р(г), для которого справедливо (5) и для которого пространства ультрадифференци-русмых функций типа Румье, задаваемые шр[г) и шцг), совпадают. Рассмотрим функцию р(г) = р + Wll) где vfr\ ._ I Г sP(s)-Pds при г 1 (2.2.2) lnr Г Ji и р(г) := 0 при 0 г 1. Предложение 2.2.1. Функция р(г) является уточненным порядком, причем гр р — 1 при г —У оо. Доказательство. Так как sp — возрастающая функция, то при любом г 7" р. Предложение 2.2.2. Для уточненного порядка р{г), построенного по формуле (2.2.2), выполнено условие ( 5). Доказательство. Функция ш-р {ех) выпукла на Ж (то есть, функция Up(r)(t) выпукла относительно hit) тогда и только тогда, когда w2(r) W + twkr) W — ПРИ всех 0- Имеем для t (# )) = #»( ) [p (t)lnt + Й ) (?( ))" = tp Т) тш+Щ)\тш+щ.т t2 Так как справедливо (2.2.1) и (2.2.3), то при t - соnv(i) ҐІРМ-Ґ Поскольку (tp (t)\n.t + p(t)) f—Kx = \im2p (t)t = limtp (t)\nt — 0, то найдется такое положительное to, t— oo f-»oo ЧТО Полагая hp(r)(t) := t при t to и hp(r){t) := t при 0 t to, получим, что /ip(r) выпукла относительно In на [0,+oo).
Последнее означает, что для уточненного порядка р(г) выполнено условие (S). Предложение доказано. В силу того, что rP p(j i — 1 при г — со, пространства {w }(—1,1) и {и л(—1,1) совпадают [4, глава 4, предложение 4.1.3(iii)]. Поэтому, учитывая предложения 2.2.1 и 2.2.2, будем считать, что для любого уточненного порядка р(г) функция ojp {t) является строгим каноническим весом. Также заметим, что разным уточненным порядкам, вообще говоря, могут соответствовать различные пространства ультрадифферснцируе-мых функций. Действительно, для уточненных порядков р[г) = р + 1/г, q(r) = р + l/(ln(lnr)), г е имеем Отсюда {Wp(r)}(-l, 1) = {ЩР}{-1, 1) и %P}(-1, 1) С {W,{P)}(-1,1), причем данное вложение строгое [4, глава 4, предложение 4.1.3(і), (Ні)]. Основная цель данного раздела — на основе полученных в первой главе результатов для АПСП получить общий критерий для систем экспонент во введенных ранее пространствах {ш л(—1,1) при некоторых ограничениях на распределение их показателей. ПуСТЬ р Є (0, 1), р(г) — НеКОТОрЫЙ уТОЧНеННЫЙ ПОРЯДОК И Л = {Afc} (Ajt 7 0) — возрастающая по модулю последовательность в С с единственной предельной точкой на бесконечности. Так же, как в работе [6], для каждого т, п Є N и А Є С оценим Поэтому для системы Е(А) := {е гХх}\е\ выполнено условие (1.2.2). Отдельно рассмотрим случай, когда Л распадается на две подпоследовательности Л1 и Л2, относительно которых будем предполагать, что
Предложение 2.3.1. Для систем экспонент Е(А1) := {е гХкХ}\іє і и Е{А2) := {e lAfca;}A2eA2 выполнены условия распадения (1.8.1) и (1.8.2) тогда и только тогда, когда последовательности Л1 — {A .} _j иЛ2 = { 1}fc=i удовлетворяют (2.3.2) и (2.3.3)соответственно. Доказательство. Необходимость. Предположим, что при некотором s Є N для .(Л1) справедливо (1.8.1), но для Л1 не выполнено условие (2.3.2). Тогда существует подпоследовательность {АІ.} С Л1, для которой найдется такое К Є [1, со), что Im А. Ktup (\X\.\) при всех j Є N. Пусть постоянная hn 0 такова, что Тогда для любых т,п 2(К + 5 + 1) при j — со. Следовательно, условие (1.8.1) не выполнено, а, значит, Л1 обязана удовлетворять (2.3.2). Аналогично показывается, что если система Е(А2) удовлетворяет (1.8.2), то для последовательности Л2 выполнено условие (2.3.3).
Построение примера абсолютно представляющей системы экспонент
Основным результатом данной главы является следующая теорема, при доказательстве которой используется и частично корректируется схема доказательства теоремы 2 из [7], предложенная А. В. Абаниным для случая обычного порядка. Теорема 2.5.1. Последовательность Е(А) = {е_гАа:}л =л; г е Л = {±І7гк}( _1 U {±7Г&} 1 является абсолютно представляющей системой в {Ш( л(—1,1) гуж любом уточненном порядке р(г)- /?Є(0,1). Доказательство. Рассмотрим произвольное р Є (0,1) и уточненный порядок р{г). Нетрудно видеть, что подпоследовательности Л1 = {±шк}=1 и Л2 = {±ттк} =1 удовлетворяют (2.3.2) и (2.3.3), соответственно. Поэтому Е(А) будет абсолютно представляющей в {w ir)}( 1 -О тогда и только тогда, когда выполнено (2.3.4). Фиксируем произвольные mi, Го2 Є N и 7 Є (0,1/пг). Найдем номер пі такой, что З/пі сг0, где сто = min{cr; actg }. Возьмем / Є 2{Шр(г)}(-1,1), для которой /т1)П1 оо. Положим 6 = 1/гсі. Для 2 / , АЄЛ,, keN и определения /m п и кружков /д, Л Є Aff для z : Us,cr, А; Є N имеем и Из известных оценок для s mz\ [24, главаI, 5, теорема 5.7] и специального произведения Ma(z) [24, с. 68-71] следует, что ЛеЛст Поскольку (,.) — строгий канонический вес, то найдется такое d Є (0, со), что р(г)( + 1) 2с р(г)( ) + с? при всех t 0. Положим Б0 := A3Aie2ro+d, где го = e Wp(r) — наибольший из радиусов кружков U\, А Є Л. Тогда на всех окружностях L Є С : \z - Л = е"" ы г (А)} , Л Є Ла Применив принцип максимума модуля аналитической функции, продолжим неравенство (2.5.4) внутрь каждого круга {z Є С : \z - Л e" w M(,A)} , Л Є К : I/WI liTlL e11111 " 0 0, где В := Я0е2+М. Учитывая (2.5.3), получим, что тогда 1/001 5Ji7flmi,„ieImz+ w ,(r)(,,) при всех z Є С. Отсюда, в частности, имеем При этом в силу выбора сг, щ, S постоянная В зависит только от гаї и п2. Покажем теперь, что т1+2 /- Предположим, что порядок функции / равен 1 и 7/ (в противном случае т\2 Є Г у автоматически). Для z І Us, шеС, Л Є Л, к Є N V (-l)fcsin(±i7Tfc)(z=F7rfc) ,.,, /(±z7rfc)ew (7rfc)2 (—l)ksm(±iirk)(z =p г7г&) Введем еще несколько обозначений. Пусть BQ := 2е27Г(е27Г — I)-1.
Для каждого к Є N и h С положим G(z, ги, ±і-кк) - JK K J ЗЛь ( := (TrfcjV " . Для любого z : Us, w Е С, А; Є N, используя (2.5.1) и (2.5.2), запишем G( ,«,,=br ) 2(wfc)»p2__[/iiii e(H-iKrt)+ ,)( ) И 27гАг Так как е2?гА; (e27rfc — і) е2п (е27Г — і) для любого &, то при всех z U5, w eCnkeN а также \G(z,w,±i7rk)\ ВоШт Уь (и - ) (2-5.7) Пусть 0 є l/(2mi). Найдем такой номер к\, что (0) = е р{г){пк) еЄ7тк для всех к къ Тогда из (2.5.6) следует, что для любых z Є Us, \w\ 1 — 2є и к к\ \G(z,W,±7rk)\ B0\\f\\muni nk Аналогично из (2.5.7) для любых z . Us, \w\ —— 2є и к к\ \G(Z)w,±iKk)\ BM\\rnun k В силу произвольности выбора є 0 для всех z . Us ряд ]Р G(z,w,X) сходится равномерно (также абсолютно) внутри круга ЛєЛ К\ := w Є С : ги - . Следовательно, для всех z $. Us в круге К\ определена аналитическая функция Sz(w) — G(z,w,\). ЛєЛ По лемме 2.4.2 для всех z . Us и w Є С : \w\ 7/ справедливо представление /Me = ад J2 G(z w Л)- (2-5-8) АєЛ Так как по предположению Jf при любом z Є С функция elUJZ целая, то по теореме единственности равенство (2.5.8) имеет место для всех z . Us и w Є К\. Положим К і := w Є С : \w\ - - . Из неравенств (2.5.6) и (2.5.7) для любого z . Us и w Є -? 2 получим IS.WI D » )i 4ВоЖц,П1 (-mi(J1 + i)) Далее найдем номер / такой, что / 1 \ Ь 2/А 7 г е 2rai(mi+1) для всех к к2. \ mi{mi + l)J Это возможно в силу определения функции yk и асимптотики шр{т)\Ч = {ч ПРИ t -+ ос. Очевидно, что ряд 2J е 2mi(mi+1) сходит к=к2+1 ся, а поэтому оо B/:=4B0/L„„ig?/ --RTIyj oo. Значит, для z . Us 1 ( )1 В/ при всех w Є К і. Снова, используя [24, глава I, теорема 5.7], для каждого z Є С получим оценку sill2siniz e\lmz\+\RezK Тогда для z . Us U {z Є С : z го} и гу Є К і имеем \f(z)eiwz\ Bfru2e\ImzWRezl Пусть С/ := BfrQ2e3r.
Так как кружки из Us U {z Є С : \z\ 7} не пересекаются, то, как и выше, с помощью принципа максимума модуля аналитической функции можно показать, что для всех z Є С и w Є К \f(z)eiwz\ с/ЄІтгі+шЧ Отсюда, в частности, следует, что при z = іх, з; ЄІиш = m\i sSna; выполняется неравенство \f(ix)\ C/e(1- )W. (2.5.9) Обозначим через hf( p) индикатор роста функции f(z) (определение и свойства hf(cp) см., например, [23, глава I, 2, пункт 4]). Ясно, что hf ( ) (1-7/)1 sin c l для всех р Є [0, 27г). Так как тип функции / при порядке 1 равен оу = 1 — 7/, то по теореме 5.6 из [24, глава I, 5] max hf( p) = 1 — 7f у Є[0,2тг) yVir/ J причем максимум будет достигаться при {р\$ = ±7г/2. С другой стороны, из (2.5.9) следует, что hf(±ir/2) 1 - . Следовательно, 7/, а, значит, є Г/ Таким образом, учитывая (2.5.5), на основании леммы 2.4.3, получим при Ш2 := гп\ + 2 и любом z Є С І/ Так как номер П2 выбирался произвольно, то (2.5.10) означает, что где постоянная BD\ зависит лишь от ті, П2 и уточненного порядка р(г). Итак, условие (2.3.4) теоремы 2.3.1 выполнено. Поэтому Е(А) является абсолютно представляющей системой в Е л(—1,1). Теорема доказана. В заключение отметим, что результаты этой главы нетрудно распространить на системы экспонент Е(А) в пространствах ультрадифферен-цируемых функций SWp{r) (а, Ь), где (а, Ь) — произвольный фиксированный интервал вещественной прямой.
