Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация потягнена исследованию полных [ минимальных систем экспонент в лебеговых пространствах н<і ден-твнтельной оси.
Система экспонент
1) {exp(iA„<)}, An Є Л
:ак аппарат аппроксимации в лебеговых пространствах на конечном ин-ервале действительной осп впервые была рассмотрена Р.Пэлн п Н.Вн-:ером. В дальнейшем теория аппроксимативных свойств систем (1) d /(а, Ь)(—оо < а < b < ос) получила существенное развитие в трудах І.Левннсона, Л.Шварца, С.Верблюнского, Б.Я.Левина, В.Д.Головина, І.И.Кадеца, А.Ф.Леонтьева, В.Э.Кацнельсона, А.П.Хромова, В.А.Мо-:оденкова, С.А.Авдонина, Н.К.Никольского, Б.С.Павлова, СВ.Хруще-а, А.М.Седлецкого, А.М.Мппкнна и др. К]>уг изучаемых там вопросов есьма широк. К наиболее распространенным из них относятся:
а) полнота п минимальность системы (1) в пространствах Lp( — (i,a).
< -эс, 1 < р < х.;
б) базисы Рнсса вида (1) в L2(-a,a);
в) поведение негармонических рядов Фурье по системе (]);
г) устойчивость свойств а) и б) при возмущениях множества А.
В целом, на все эти вопросы ответы получены, причем, большинство езультатов являются окончательными.
Такпм образом, на конечных интервалах действительной осп теория нстем экспонент разработана достаточно полно. Что касается анализа нстем экспонент в пространствах Lp на всей вещественной прямой, то цесь можно сказать, что теория находится на начальном этане своего тановлення.
Понятно, что функции системы (1) не принадлежат пространству ,''(R) ни при каких А„. Чтобы добиться такой принадлежности, ка-їдую из этих функций домножают на одну и ту же, разумно подобранную функцию /(/), называемую весом. Т.е. рассматривают взвешенные нстемы экспонент
(2) {«Ф(іА„*)/(*)}, Ап Є Л.
Наиболее часто в литературе встречается случай быстро убывающего веса
/(0 = exp(-«|f|), а>0, а>1.
В зі ом случае система (2) конкретизируется как
(3) {exp(iA„f-«|f|0)}, я>0, о>1, АПЄЛ.
С другой стороны к тому же вопросу по изучению поведения систе* (2) на всей действительной оси приводит проблема плотности семейсті сдвигов функций в -(R). Напомним, что аппрокспмашюнная теорем. Н.Винера утверждает: линейная оболочка сдвигов
Ы-г -/<>}. /<6M = R, gGL2(R) плотна в I2(R) тогда и только тогда, когда д(х) ф 0 почти всюду, гд(
д(х) = l.i.m. ( e-iug(()dt -
А.-ж J-А
преобразование Фурье функции д{1). Предположим, что это условие вы полнено. Возникает вопрос, как наиболее экономно выбрать множеств* М? Если за М взять М = 0<>ЛГ=і С R последовательность действа тельных чисел, то из элементарных свойств преобразования Фурье еле дует, что плотность линейной оболочки сдвигов
в L2(R) будет равносильна полноте взвешенной системы экспонент
в L2(R).
Таким образом, вопросы плотности семейств сдвигов функций и полноты взвешенных систем экспонент в 2(R) эквивалентны.
С обеих этих точек зрения проблемой полноты занимались Р.Е.Эд- ----" вардс, Т.Ганелпус, Б.Факсен, Р.Залик,_А.М.Седлепкпй п др. Ьлаюларя чему, существует достаточное число работ, посвященных полно і с <и _ стем (2) в 2(R), но ни одна из рассмотренных в них систем но обладает свойством минимальности в L2(R).
Таким образом, исследование как полноты, так и минимальности систем (3) в пространствах Lp на прямой представляется вполне актуальной задачей.
Цель работы. Описать достаточно широкие кл»<>гт,т ии.шых гг минимальных взвешенных снст«м -.т.^ііоні'ят т» про*.іряягтаах L'r{tl), т.е. в - про/-троЛі,іаа>с 1Р{ЇІ} со «тепиишм весом |х| .
Методика исследования. Доказательства основаны на применении методов комплексного анализа п анализа Фурье.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая значимость. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейших исследованиях по аппроксимации посредством экспонент и сдвигов функций.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на Воронежской зимней школе "Теория функция. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании" (г. Воронеж, 1993 г.), на Всероссийском семинаре "Теория функций" (г. Сыктывкар, 1993 г.), на семинаре цроф- А.М.Седлецкого в МЭИ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] - (4].
Объем работы. Диссертация изложена на 76 страницах и состоит и» введения, двух глав н списка литературы, содержащего 23 наименования.
