Введение к работе
Актуальность работы. Наряду с методами классического гармонического анализа в последние десятилетия большое внимание стало уделяться негармоническому анализу, в котором информация (сигналы) представляются в виде рядов по неортогональным или линейно зависимым (избыточным) системам. Такие представления имеют ряд преимуществ: неограниченный объем, возможности выбора оптимальных представлений по разным критериям и т.д. Например, широко используются фреймовые представления для удаления шумов, использующие нетривиальность ядра оператора синтеза.
Понятие фрейма впервые было введено в 1952 году Даффином и Шеффе- ром, в связи с изучением негармонических рядов Фурье. Следует отметить, что ранее в работах Бари, Наймарка была развита теория фреймов. В последние годы фреймы получили широкое распространение в различных научных направлениях. В квантовой механике фреймы помогают представлять когерентные состояния. Цифровая обработка сигналов использует фреймы для борьбы с шумами. В общем, фреймы — это "избыточное"множество векторов в гильбертовом пространстве, для которого сохраняется ослабленное равенство Парсеваля-Стеклова. Именно свойство избыточности обеспечивает в цифровой обработке сигналов устойчивость к потерям информации. Базисы Рисса являются фреймами, но образуют лишь малую часть во множестве фреймов. Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости, что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Общая теория фреймов подробно описывается в работах О. Christensen, И. Добеши, К. Блаттера. Ряд прикладных задач потребовал изучения фреймов специального вида, таких как фреймы, полученные сдвигами одного элемента гильбертова пространства, а также фреймы комплексных экспонент. Естественной является задача сравнения критериев базисности Рисса и фреймовости различных систем, таких как системы сдвигов, системы комплексных экспонент, весовых экспонент. Для того, чтобы применять фреймы, скажем, в цифровой обработке сигналов, желательно, чтобы элементы фрейма обладали похожей структурой, иными словами, являлись когерентными. В этом смысле, целесообразно строить и изучать фреймы, которые получаются из одного элемента некоторого гильбертова пространства при помощи оператора сдвига. Данной задаче посвящены работы О. Christensen, Olevski A., Терехина П.А. Базисные свойства систем экспонент {e'lXnX}nez изучались на протяжении многих десятилетий и являлись объектами исследований таких выдающихся математиков, как Н. Винер и Р. Пэли, Даффин, Шеффер, А.Ф. Леонтьев, А.М Сед- лецкий и др. В диссертации получены некоторые аналоги этих результатов при замене свойств базисности Рисса на свойства бесселевости и фреймовости соответствующих систем.
Цель работы. Построение фреймов из сдвигов вектора в конечномерном пространстве над полем вещественных чисел; нахождение критерия бесселе- вости системы векторов, построенной из сдвигов вектора в конечномерном пространстве; исследование систем весовых экспонент в конечномерном пространстве над полем комплексных чисел; нахождение необходимых и достаточных условий на вес, для того, чтобы система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву систему; определение фрейма для конечномерного пространства над полем p- адических чисел и доказательство основных теорем о фреймовом представление, построение фреймов в пространстве над полем p- адических чисел; исследование систем, образованных с помощью целых и произвольных сдвигов функции в пространстве L2 (R) , построение фреймовой последовательности; нахождение критериев фреймовости систем экспонент {etXnx}nez, весовых экспонент {g (x) elXnX}n^z в пространстве L2 (—п,п); исследование устойчивости фреймов.
Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, элементы комплексного анализа и преобразования Фурье.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.
1. Найдены необходимые и достаточные условия фреймовости и бесселе- вости системы весовых экспонент в конечномерном пространстве.
-
Введено определение фрейма в Ж-мерном пространстве над полем p- адических чисел, построены фреймы Парсеваля-Стеклова и исследованы свойства соответствующих фреймам операторов.
-
Найдены критерии фреймовости и бесселевости системы сдвигов функции в пространстве L2 (R).
-
Найдены необходимые условия на последовательность вещественных чисел {Xn}neZ, чтобы соответствующая система экспонент образовывала фрейм, являлась бесселевой.
-
Получены условия на весовую функцию, для того, чтобы соответствующая система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву последовательность.
-
Введены радиусы притяжения вещественной числовой последовательности {\n\nez, которые характеризуют устойчивость комплексных экспонент {elXnX}nez, как базисов Рисса (фреймов) по отношению к сдвигам чисел Xn. Доказано, что переход от базисов Рисса к фреймам не увеличивает радиус притяжения, что является обобщением классической теоремы Кадеца об 4.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для дальнейшего изучения фреймов сдвигов и экспонент, а также найти применение в частотно-временном анализе.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на семинарах кафедры Математических моделей и информационных технологий Самарской академии государственного и муниципального управления; на международной конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы"в г. Воронеж (2009, 2011); на международной Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"( 2010, 2012); на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"в г. Самара (2010); на 2-ой всероссийской научно- практической конференции "Математическое моделирование, численные методы и информационные системы"в г. Самара (2010); на десятой международной Казанской летней научной школе-конференции в г. Казань (2011);
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работах автора [1]—[13]. Из совместной работы [13] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично автором. Работы [6], [10] и [11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Объем диссертации 120 страниц. Библиографический список содержит 57 наименований.
