Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Геометрия пространства допустимых полу метрик . 13
1.1. Основные определения и обозначения 13
1.2. Теорема об исправлении 16
1.3. Теоремы о борелевских сигма-алгебрах 19
1.4. Эпсилон-энтропия полуметрической тройки 22
1.4.1. Определение и некоторые оценки 22
1.4.2. Эквивалентные определения допустимости полуметрик 26
1.5. Пространство допустимых полуметрик. Определение и свойства m-нормы 29
1.6. Сходимость допустимых полу метрик, аппроксимация срезками 31
1.7. Критерий предкомпактности семейства допустимых полуметрик в m-норме 36
Глава 2. Динамика метрик на пространстве с мерой 45
2.1. Определение и свойства масштабирующей энтропийной после довательности 48
2.1.1. Порождающие полуметрики 48
2.1.2. Масштабирующая энтропийная последовательность как метрический инвариант динамической системы 50
2.1.3. Сравнение с колмогоровской энтропией 55
2.1.4. Масштабирующая энтропийная последовательность сдвига Бернулли 58
2.2. Чисто точечный спектр и последовательностная энтропия Куш-ниренко 60
2.2.1. Масштабирующая энтропийная последовательность динамической системы с чисто точечным спектром . 60
2.2.2. Сравнение с последовательностной энтропией Кушни-ренко 65
2.3. Масштабирующая энтропийная последовательность подстано вочной динамической системы 68
2.3.1. Подстановочные динамические системы 68
2.3.2. Вычисление масштабирующей энтропийной последовательности подстановочной динамической системы . 72
Заключение 82
Список публикаций диссертанта по теме 84
Список литературы
- Эпсилон-энтропия полуметрической тройки
- Сходимость допустимых полу метрик, аппроксимация срезками
- Масштабирующая энтропийная последовательность как метрический инвариант динамической системы
- Чисто точечный спектр и последовательностная энтропия Куш-ниренко
Эпсилон-энтропия полуметрической тройки
Динабург отмечал, что идея связи топологической энтропии, введенной Р. Адлером, А. Конхеймом и М. МакЭндрю, с е-энтропией метрических компактов принадлежит А. Н. Колмогорову.
Масштабирующая энтропийная последовательность. Хотя для случая сдвигов Вернул л и энтропия является полным инвариантом, для динамических систем общего вида вопрос о других инвариантах энтропийного типа открыт. Для метрической классификации динамических систем с нулевой энтропией Вершиком (см., например, [12], [13], [14],[15]) было предложено ввести иной инвариант, нежели энтропия Колмогорова, названный им масштабирующей энтропийной последовательностью. Это понятие основано на динамике полуметрик на фиксированном пространстве с мерой (X, р) и сочетает в себе идеи колмогоровской метрической и топологической энтропии. Стоит отметить, что схожие инварианты изучались в работах Ференци и Катка-Тувено (см., например, [16], [17]).
Пусть (X, /І, р) — полуметрическая тройка, то есть пространство X с согласованными структурами полуметрики р и меры р. Для положительного числа є назовем е-энтропией метрической тройки НЄ(Х, /І, р) величину log /с, где к — наименьшее возможное натуральное число, такое что найдутся точки x\,...,Xk Є X, шары радиуса є в метрики р с центрами в которых покрывают все множество X за исключением, возможно, множества /i-меры не более є. Это понятие схоже, с одной стороны, с понятием е-энтропии метрического компакта, обсуждаемого выше, с другой стороны, оно учитывает меру р. Определим теперь динамику метрик следующим образом. Для п 0 определим усредненную под действием Т полуметрику Tvp(x,y) = - YH=o P(Tl(%), Т1 (у)). Последовательность чисел hn называется масштабирующей для полуметрики р и динамической системы (X,/І,Т), если при достаточно малых є 0 найдутся две положительные константы С\(є), С є), такие что
Основная цель данной диссертации — изучить свойства масштабирующей энтропийной последовательности, показать, что она в некотором классе не зависит от полуметрики р, и, следовательно, является метрическим инвариантом динамической системы.
Структура диссертации. В первой главе настоящей диссертации изучаются свойства допустимых полуметрик на фиксированном стандартном вероятностном пространстве (X, р). В разделе 1.1 определены базовые понятия — полуметрическая тройка, допустимая полуметрика, почти метрика и т. д. Полуметрика на вероятностном пространстве (X, р) называется допустимой, если она сепарабельна на некотором подмножестве полной меры. Почти метрикой называется функция, которая удовлетворяет свойствам полу метрики лишь почти всюду. Такие функции возникают естественным образом при предельном переходе. В разделе 1.2 доказывается теорема об исправлении, которая утверждает, что почти метрика на стандартном вероятностном пространстве всегда может быть исправлена до полуметрики. В разделе 1.3 доказываются теоремы о борелевских сигма-алгебрах, порожденных допустимыми полу метриками. В разделе 1.4 приводятся определение е-энтропии полуметрической тройки, некоторые оценки е-энтропии, критерии допустимости полуметрики. В разделе 1.5 на подпространстве пространства L (X , /І ) вводится специальная норма, названная m-нормой, которая позволяет контролировать е-энтропии полуметрик. Там же изучаются простые свойства этой нормы, пространства М функций с конечной m-нормой, конуса суммируемых допустимых полуметрик. В разделе 1.6 обсуждается связь сходимости последовательности допустимых полуметрик в пространствах (М, то) и L (X ,/І ). Кроме того, там же доказывается, что допустимая полуметрика может быть аппроксимирована своими срезками в m-норме. В разделе 1.7 приводятся критерии предкомпактности семейства допустимых полуметрик в пространствах (М, то) и Ll(X2}fi2).
Во второй главе изучается динамика допустимых полуметрик в пространстве (М, то), заданная автоморфизмом Т пространства (X,/І). В разделе 2.1 вводится понятие масштабирующей последовательности полуметрики и, основываясь на результатах главы 1, доказывается основная теорема, утверждающая, что масштабирующая последовательность не зависит от выбора полуметрики в классе суммируемых допустимых полуметрик, что позволяет рассматривать масштабирующую энтропийную последовательность в качестве метрического инварианта динамической системы. В разделе 2.2 приводится критерий, дающий характеризацию динамических систем с чисто точечным спектром в терминах масштабирующей энтропийной последовательности, приводится оценка масштабирующей энтропийной последовательности через последовательностную энтропию Кушниренко. В разделе 2.3 приводится пример вычисления масштабирующей энтропийной последовательности для подстановочных динамических систем, отвечающих подстановкам постоянной длины. В качестве элементарного следствия доказанных в разделах 2.2 и 2.3 теорем получен критерий, описывающий подстановочные динамические системы с чисто точечными спектрами, доказанный ранее в работах [18, 19], однако сформулированный несколько иначе.
Основные результаты, представленные в работе, изложены в работах [1], [2], [3] и докладывались на Санкт-Петербургском семинаре по теории представлений и динамическим системам, на коллоквиуме лаборатории Чебышева СПбГУ.
Сходимость допустимых полу метрик, аппроксимация срезками
В дальнейшем мы будем работать в основном с суммируемыми допустимыми полуметриками на фиксированном стандартном вероятностном пространстве (X,/І). Из следствия 1 очевидно, что суммируемые допустимые полуметрики образуют выпуклый конус в пространстве L (X , р ). Обозначим его Adm(X, р).
Для работы с допустимыми полуметриками удобно ввести специальную норму, которую мы назовем m-нормой. Она определена и конечна на конусе Adm(X p) и на некотором более широком подпространстве пространства Ll(X2,p2).
Легко проверить, что m-норма действительно является нормой в том смысле, что она однородна и удовлетворяет неравенству треугольника. При этом, если / — измеримая полуметрика на (X,/І), ТО II ЛТО = /rw2 2) Кроме того, прямо из определения видно, что для любой / Є Ll(X2}p2) выполнено неравенство /т / 1 ( 2 2 ) поэтому сходимость в т-норме влечет сходимость в пространстве L (X , р ). В теории банаховых пространств с конусом подобная сходимость называется сходимостью с регулятором.
Доказательство. Пусть последовательность fn фундаментальна в т-норме. Покажем, что она имеет предел в m-норме. Так как т-норма мажорирует норму пространства Ll(X2}fi2), эта последовательность фундаментальна в пространстве Ll(X2}fi2), поэтому она имеет некоторый предел / Є Ll(X2}fi2). Проредив последовательность, мы можем считать, что последовательность fn сходится /І -почти всюду к /, и, кроме того, для всех п выполнено неравенство /п — /n+im 2«- По определению ш-нормы это означает, что существует измеримая полуметрика рп на (X,/І), мажорирующая \fn — fn+i\ /і -почти всюду, такая что рп 1( 2 2) 2"- Отметим, что полу метрика Е Рк измерима на (X,/І), /І2-ПОЧТИ всюду мажорирует разность \fn — /, и
Лемма 7. Если последовательность суммируемых полуметрик рп сходится к функции р по т-норме, и для любого є 0 энтропия Ш(Х, /І, рп) конечна при достаточно больших п, то р является допустимой полуметрикой.
Следствие 2. Если последовательность суммируемых допустимых полуметрик рп сходится к функции р по т-норме, то р тоже является допустимой полуметрикой. Иными словами, конус Adm замкнут в (М, то).
Доказательство леммы 7. Так как последовательность рп сходится в т-норме, то она сходится и в пространстве L (X , /І ), поэтому можно считать предельную функцию р измеримой полуметрикой (см. замечание 1). Пусть є 0. Тогда при достаточно большом п выполнены неравенства НЄ(Х, /І, рп) оо и \\рп — р\\т є /2. Это означает, что найдется суммируемая полуметрика d на (X,/І), такая что неравенство р рп + d выполнено /і -п. в. и rf х 2 2 є /2. Из лемм 2 и 3 имеем неравенство
Следствие 2 утверждает, что предел допустимых полуметрик в т-норме есть снова допустимая полуметрика. Оказывается, предел в норме пространства L (X , /І ) последовательности допустимых полуметрик с равномерно ограниченными энтропиями есть снова допустимая полуметрика.
Лемма 8. Если для множества суммируемых допустимых полуметрик М С Adm(X}fi) множество {НЄ(Х,/І, р): р Є М} ограничено для любого є 0; то замыкание множества М в пространстве Ь1(Х2,ц2) состоит лишь из допустимых полуметрик.
Доказательство. Возьмем любую функцию р из замыкания множества М в пространстве Ll(X2} р2) и докажем, что она является допустимой полу метрикой. Мы знаем, что существует последовательность полуметрик {рп}п С М, сходящаяся к функции р в пространстве L (X ,/І ). Ясно (см. замечание 1), что функция р является полуметрикой, и вопрос лишь в ее допустимости.
Докажем от противного. Допустим, полуметрика/) не является допустимой. Тогда по теореме 4 найдутся є 0 и множество А С X, такие что p(A) 0 И при /І2-П. в. (ж, у) Є А2 выполнено неравенство р(х,у) є. Уменьшив є, если потребуется, мы получим р(А) Є. Воспользуемся равномерной ограниченностью энтропии и найдем к Є N, сходимости в т-норме следует сходимость в пространстве L (X ,/І ). Следующая лемма в некоторой степени обращает это наблюдение.
Лемма 9. Пусть последовательность равномерно ограниченных полу метрик рп сходится к допустимой полуметрике р в норме пространства Ll(X2,p2). Тогда эта последовательность сходится в т-норме к тому же пределу.
Доказательство. Пусть R — константа, ограничивающая все полуметрики рп. Ясно, что полуметрика р ограничена /І2-ПОЧТИ всюду той же константой R. Не умаляя общности, можно считать, что полуметрика р ограничена константой R всюду (в противном случае мы можем заменить ее поточечно на полуметрику min(p, R)). Зафиксируем є Є (0,1) и, воспользовавшись допустимостью полуметрики р, найдем разбиение пространства X на попарно дизъюнктные множества Ао,Аі,.. . , Ak, где P(AQ) є, и dmp(Aj) є2 при j 0. Мы можем считать, что 5 = min{/i(A,): j = 1,... , к} 0. Пусть pj — сужение меры р на множество Ay. Pj(B) = р(В П Aj).
Зададим метрику рп на (Х,р) следующим образом. На множестве С{п) х С(п) она тождественно равна 10є, а на оставшемся она равна 2Л+10є. Мы только что доказали, что на множестве С{п) х С{п) такая метрика мажо рирует разность \рп — р\. На оставшемся множ;естве полуметрикарп ограни чена снизу числом 2Л, которое в свою очередь мажорирует функцию \рп р, поскольку все исходные полуметрики ограничены константой R. Так как чис ло R фиксировано, то при достаточно малых є метрика рп будет иметь сколь угодно малую норму в L (X , р ). Таким образом, последовательность рп схо дится к р в т-норме. Лемма доказана. Далее нам понадобится лемма об аппроксимации полуметрик срезками. Для произвольной функции / и вещественного числа R символом / обозначим срезку по уровню R, то есть fR(-) = min(/(-), і?). Ясно, что срезка измеримой полуметрики есть снова измеримая полуметрика, а срезка допустимой — допустимая.
Масштабирующая энтропийная последовательность как метрический инвариант динамической системы
Таким образом, для любой функции / Є Ll(X} 23n,/i) в силу неравенства (2.6) и замкнутости множества УАр в m-норме имеем d[f] Є JAp. Но полуметрика р порождающая, поэтому по лемме 12 сигма-алгебра на X, порожденная сигма-алгебрами ВП, п 1, плотна в сигма-алгебре 21(Х,/І) пространства (X,/І). Отсюда следует, что объединение (J L X, ВП,/І) плот-но в L (X}fi). Еще раз воспользовавшись неравенством (2.6) и замкнутостью множества Мр в m-норме, получаем, что d[f] Є Жр для любой / Є Ll(X}fi). В частности, если Л С X — измеримое множество, то СІ[ХА] разрезная полуметрика, соответствующая разбиению пространства X на А и X \ А. Следовательно, в множестве УАр лежат все разрезные полуметрики, и, более того, любые полуметрики, мажорируемые конечной суммой разрезных.
Из леммы 10 следует, что любая суммируемая допустимая полуметрика аппроксимируется в m-норме своими срезками, поэтому достаточно доказать, что любая ограниченная допустимая полуметрика лежит в УАр. Покажем, что ограниченная допустимая полуметрика р аппроксимируется в m-норме полу метриками, мажорируемыми конечными суммами разрезных. Пусть М = HPIIL00 2,/. 2) — существенный супремум метрики р. Возьмем достаточно малое 5 0. Так как полуметрика р допустима, для некоторого п Є N мы мо п
Определение 20. Последовательность h = {hn} положительных чисел называется масштабирующей энтропийной последовательностью метрической динамической системы (X, р,Т), если h Є Л(Х, ц,Т, р) для некоторой (а тогда и любой) суммируемой допустимой порождающей полуметрики р Є Adm(X,n). Класс масштабирующих энтропийных последовательностей динамической системы (Х,ц,Т) обозначим !К(Х, р,Т). Следствие 6. Класс масштабирующих энтропийных последовательностей является метрическим инвариантом динамических систем.
Из леммы 14 и определения 20 очевидно следствие. Следствие 7. Если последовательность h = {hn} является масштабирующей энтропийной последовательностью динамической системы(X,р,}Т), а р Є Adm(X,ii) — суммируемая допустимая полуметрика, то для любого є 0 выполнено Ш(Х, p,}Tvp) = 0{hn), п — +оо. В свою очередь отсюда следует "монотонность" масштабирующей энтропийной последовательности: Следствие 8. Пусть динамическая система (Х2,/І2,72) является фактором системы (ХІ,/ІІ,ТІ); a hl = {hln}, h2 = {h2n} — их масштабирующие энтропийные последовательности соответственно. Тогда h = 0{hln), п — +оо.
В этом пункте мы докажем теорему, связывающую масштабирующую энтропийную последовательность с колмогоровской энтропией. Сначала отметим такое элементарное следствие лемм 4 и 5.
Следствие 9. Пусть (X,/І,Т) — метрическая динамическая система, Є Z(X,/І) — измеримое разбиение с конечной энтропией, р — соответствующая полуметрика. Тогда для любого є 0 выполнено неравенство
Теорема 9. Пусть Т — апериодический автоморфизм пространства (X, /І). Тогда: 1) если колмогоровская энтропия h T) конечна и положительна, то последовательность hn = п является масштабирующей энтропийной последовательностью системы (X,/І,Т); 2) если hn — масштабирующая энтропийная последовательность системы (X,fi,T), то hfj,(T) = 0 тогда и только тогда, когда hn = о(п), п — +оо.
Доказательство. Пусть сначала h T) +оо. Найдем разбиение ( Є Z(X,/І) с конечной энтропией, такое что его сдвиги Тп, п Є Z, порождают сигма-алгебру А(Х, р) (доказательство существования такого разбиения см., например, в пункте 10 работы [8] В. А. Рохлина). В таком случае в силу теоремы Колмогорова-Синая h (T) = /г(Т, ). Ясно, что соответствующая этому разбиению полуметрика р является суммируемой допустимой порождающей.
Неравенство (2.3) для последовательности hn = п для полуметрики р следует из неравенства (2.7). Более того, если h (T) = 0 и hn — масштабирующая энтропийная последовательность системы (X,/І,Т), ТО hn = о(п), п -л +оо.
Если h (T) 0, то, воспользовавшись непрерывностью функции/і(Т, ) по разбиению (см., например, пункт 8 работы [8] В. А. Рохлина), найдем конечное разбиение , являющееся укрупнением разбиения ( (то есть элементы разбиения составлены из элементов разбиения (), такое что /і(Т, ) 0. Выбрав достаточно малое є 0, из неравенства (2.8) получим оценку (2.4) для последовательности hn = п и полуметрики р . Но по построению очевидно неравенство р р , поэтому при достаточно малых є 0 неравенство (2.4) выполнено для последовательности hn = п и полу метрики р . Так как полуметрика р является суммируемой допустимой порождающей, по определению последовательность hn = п является масштабирующей энтропийной последовательностью системы (X,/І,Т).
Приведем вычисление масштабирующей энтропийной последовательности сдвига Бернулли. Пусть (А, и) — стандартное вероятностное пространство (возможно, мера v имеет точечные нагрузки). Пусть X = А — пространство двусторонних последовательностей, /І = v — продакт-мера на X, а Т: X — X — левый сдвиг.
Теорема 10. Если мера v не сосредоточена в одной точке, то последовательность hn = п является масштабирующей энтропийной последовательностью сдвига Бернулли (X,/І,Т).
Если мера v непрерывна, то энтропия пространства (А, и) бесконечна. При этом в соответствии с теоремой Колмогорова (см. [4, 5]) энтропия h (T) будет бесконечной. Таким образом, обращение утверждения 1) теоремы 9 неверно.
Доказательство теоремы 10. Выберем произвольное измеримое разбиение ( пространства (А, и) на два множества положительной меры. Пусть р — соответствующая разрезная полуметрика на (А, и). Зададим измеримое разбиение пространства (X, /І) на два множества и соответствующую ему разрезную полуметрику равенством р (х,у) = р (хо,Уо)- Зафиксируем некоторую допустимую метрику d на пространстве (A,z/), такую что р d 1. Зададим полуметрику р на X равенством р(ж, у) = d(xo,yo)- Ясно, что полуметрика р допустимая, суммируемая и порождающая для (X,/І,Т). Покажем, что последовательность hn = п является масштабирующей для полуметрики р.
Рассмотрим последовательность случайных величин fn, п 0, на X, заданных равенством fn{x) = 1, если жп Є Ло, и fn{%) = 0 в противном случае. Отметим, что, так как мера її = v — продакт мера на X, эти случайные величины независимы и одинаково распределены, причем /п = 1 с вероятностью и(Ао). Тогда математическое ожидание Е[/п] равно z/(Ao), а дисперсия Ш)[/п] равна г/(Д))(1 — г/(Ао))- Тогда по неравенству Чебышева для любого п Є N имеем оценку
Чисто точечный спектр и последовательностная энтропия Куш-ниренко
Замечание 7. Полуметрика р является -инвариантной, р (а,/3) = 1 для существенно различных а,(3 Є А. Кроме того, если р — -инвариантная полуметрика на А, то найдется С 0, такое что р Ср .
Доказательство. Первые два утверждения очевидны из определения полуметрики р\ Докажем последнее. Возьмем С = max р. Тогда по индукции по п легко показать, что р Сrп. Переходя к пределу, получаем требуемое.
Доказательство теоремы Ц- Возьмем метрику р = рЛ на А, соответствующие метрики рп на Ап, а также соответствующую ей порождающую суммируемую допустимую полуметрику р на А , заданную равенством p(v}w) = p(v0,w0).
Сначала разберем случай c() (0- Пусть р — главная « -инвариантная полуметрика на А, а /— полуметрика на А , определенная равенством p (v,w) = P (VQ,WQ). Покажем, что {hn} Є !К(Х ,/І ,Т, р ). Полуметрика р естественным образом задает отношение эквивалентности на А (буквы а,(3 Є А эквивалентны, если р (а,/3) = 0). Пусть 7г: А — В — факторотображение, a d — факторметрика на В. В силу -инвариантности полуметрики р равенство ((71(a)) = 7г( (а)) корректно определяет подстановку ( на алфавите В. Подстановка ( — подстановка длины д, факторпод-становка подстановки , наследует от подстановки примитивность. Метрика d на В является -инвариантной, откуда следует инъективность подстановки (. Единственная Т-инвариантная мера pf на компактном топологическом пространстве XQ С BN является образом меры р при отображении 7Г, а -инвариантное слово vf есть образ « -инвариантного слова іг.
Итого, если ж (а) = ж(/3), то р (а,/3) = 0, а если ж (а) Ф 7г(/3), то а и [3 существенно различны, поэтому по замечанию 7 р (а}(3) = 1. Таким образом, полуметрика р является поднятой с алфавита В при помощи отображения 7Г, р = ж 1[рв]. Напомним, что для п Є N символом р обозначена соответствующая полуметрика на Ап, а символом рв — на Вп. Тогда pHv,w) = РП(К(У),Ж(У])).
Вспомним, что полу метрика р является пределом последовательности полуметрик гп, задаваемых равенством Го = р и рекуррентной формулой (2.17), из которой следует явное представление
Отметим, что похожий критерий впервые был получен в работах Камае (см. [18]) и Деккинга (см. [19]), однако там он сформулирован несколько иначе. Отличие заключается в том, что для подстановок, высота которых больше единицы, параметр с() определяется не так, как у нас, а путем рассмотрения некоторой модифицированной подстановки. Для случая /г() = 1 результат следствия 12 совпадает с их критерием — спектр чисто точечный тогда и только тогда, когда с() = 1. А для случая /г() 1 критерий 12, в отличие от их критерия, не требует перехода к модифицированной подстановке. Заключение.
Приведем коротко список основных результатов работы. Изучено пространство допустимых полуметрик на фиксированном стандартном вероятностном пространстве. На основе его геометрических свойств получен результат о независимости масштабирующей энтропийной последовательности от выбора полуметрики (в классе суммируемых допустимых порождающих полуметрик). Установлена связь масштабирующей последовательности с энтропией Колмогорова и Кушниренко. Получен критерий чистой точечности спектра в терминах масштабирующей последовательности. Вычислена масштабирующая последовательность подстановочных динамических систем, отвечающих подстановкам постоянной длины, в качестве следствия передоказан классический критерий чистой точечности спектра для них.
Приведем несколько вопросов, связанных с тематикой проведенного исследования, ответы на которые автору не известны.
Пожалуй, самым интригующим вопросом является вопрос существования масштабирующей энтропийной последовательности. Для любого ли автоморфизма Т стандартного вероятностного пространства (X, р) существует некоторая последовательность, являющаяся масштабирующей? Или же можно привести пример автоморфизма Т и допустимой метрики р Є Adm(X,p), для которых при разных є 0 рост последовательностей НЄ(Х, p,Tvp) будет совершенно разным? Автору пока не удалось обнаружить такой пример, равно как и доказать существование масштабирующей последовательности в общем случае.
Следующий вопрос касается введения числового или хотя бы функционального инварианта динамической системы (X,/І,Т), основанного на масштабирующей последовательности. Возможно ли тем или иным разумным способом, основываясь на масштабирующей последовательности hn, опреде 83 лить некоторое число или функцию от є, более точно характеризующую рост последовательности НЄ(Х,ц,Тур), которая бы не зависела от полуметрики р, тем самым являясь метрическим инвариантом?
Кроме того, возникает естественный вопрос о возможных асимптотиках роста масштабирующих энтропийных последовательностей. В работе приведены примеры роста hn 1, hn logn, hn п. Исследования по масштабированной энтропии фильтраций сигма-алгебр, проведенные, среди прочего, в работе [13], позволяют надеяться на широкий спектр возможных скоростей роста масштабирующих последовательностей динамических систем.
Благодарности
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю, Федору Владимировичу Петрову, за постановку задач, помощь в работе и непременную поддержку в любых трудных ситуациях. Автор также благодарен Анатолию Моисеевичу Вершику за постановку задач, многочисленные полезные обсуждения, комментарии и советы.
Автор благодарен коллективам математической лаборатории им. П. Л. Чебышева СПбГУ и ПОМИ РАН за поддержку и создание невероятной атмосферы для работы и для написания диссертации, в частности.
Работа автора поддержана Лабораторией им. П. Л. Чебышева СПб-ГУ, грант правительства РФ 11.G34.31.0026; ОАО "Газпром Нефть"; грантом Президента РФ для молодых исследователей МК-6133.2013.1; грантами РФФИ (номер 13-01-12422 офи_т2, номер 14-01-00373_А); грантом СПбГУ 6.38.223.2014.
