Содержание к диссертации
Введение
1. Относительно свободная алгебра с тождеством лг 10
1.1. Определения и обозначения 10
1.2. Замечания о работе с тождествами 13
1.3. Тождества некоторых однородных компонент 14
1.4. Случай 19
1.5. Случай /т=0 илир>Ъ 20
1.6. Метод композиций 21
1.7. Полилинейная однородная компонента 24
1.8. Случай/т=2 29
1.9. Случай/т=3 33
1.10.Свойство коммутативности однородной компоненты мультистепени (3,3,...,3) при/7=3 37
2. Матричная алгебра инвариантов 3-го порядка 41
2.1. Порождающие и определяющие соотношения 41
2.2. Вспомогательные результаты 44
2.3. Случай характеристики равной 48
2.4. Минимальная система порождающих 51
2.5. Однородная система параметров для трех матриц 53
3. Полуинварианты *-представлений колчанов 61
3.1. Предварительные сведения 61
3.1.1. Обозначения и некоторые замечания 61
3.1.2. Представления колчанов 63
3.1.3. Распределения множеств и подгруппы Юнга 64
3.2. Опредление и свойства DP 65
3.3. Сведение случая произвольного колчана к зигзаг-колчану 69
3.4. Полуинварианты представлений зигзаг-колчанов 71
3.5. Доказательство теоремы 76
4. Некоммутативные инварианты 82
4.1. Предварительные сведения и определения 82
4.2. Алгебра инвариантов симметрической степени 84
4.3. Алгебра инвариантов внешней степени 86
Литература 89
- Замечания о работе с тождествами
- Полилинейная однородная компонента
- Случай характеристики равной
- Распределения множеств и подгруппы Юнга
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена вопросам, связанным с построением систем порождающих некоторых алгебр инвариантов.
Теория инвариантов сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина более полутора веков назад под влиянием ряда задач геометрии, алгебры и теории чисел. Ее первоначальной целью было изучение алгебраических выражений, не меняющихся (или меняющихся определенным образом) при невырожденных линейных заменах переменных. Однако в течение последующего времени и взгляд на основные задачи, и основные методы теории менялись не один раз. Причину этого следует искать в органической связи теории инвариантов с рядом математических дисциплин, все крупные достижения которых давали новые импульсы теории инвариантов. В то же время и сама теория инвариантов стимулировала развитие смежных областей и даже дала начало новым разделам алгебры (коммутативной алгебре и гомологической алгебре). Не слишком упрощая, можно сказать, что с современной точки зрения теория инвариантов — это теория действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях. Основы теории инвариантов изложены в книгах Спрингера [15], Мамфорда и Фогати [50], Крафта [8], Винберга и Попова [1].
Сформулируем основную проблему теории инвариантов. Все векторные пространства, алгебры, модули будем рассматривать над бесконечным полем К произвольной характеристики р (р = 0,2,3,...). Пусть редуктивная алгебраическая группа G регулярно действует на m-мерном аффинном многообразии V = Кт. Это действие определяет естественное действие G на координатной алгебре К[V]: (д f)(v) = /(9-1' v), где / є K[V], g eG,v Є V. Через /C[V]G обозначим алгебру инвариантов кольца K[V] относительно действия G. Согласно теореме Гильберта-Нагаты об инвариантах [51], /f[V]G является конечно порожденной градуированной алгеброй. Однако предложенное Гильбертом доказательство для полей нулевой характеристики, как и доказательство Нагаты для полей положительной характеристики, является неконструктивным. Поэтому основная проблема теории инвариантов —
отыскание системы порождающих К[V]G — остается открытой. Кроме того, с позиций конструктивной теории инвариантов желательно отыскать не произвольную, а минимальную относительно включения систему порождающих (МСП). Понятно, что рассчитывать на удовлетворительное описание системы порождающих в произвольном случае не приходится, поэтому обычно рассматривают более конкретные ситуации.
Представления колчана впервые появились в работе Габриэля [36]. Важность этого понятия заключается в том, что категория представлений данного колчана эквивалентна категории конечномерных модулей над алгеброй путей, ассоциированной с ним. Поскольку произвольная конечномерная наследственная базисная алгебра над алгебраически замкнутом полем является фактор-алгеброй некоторой алгебры путей подходящего колчана (например, см. главу 3 из [2]), ее конечномерные модули образуют полную подкатегорию категории представлений этого колчана. Произвольное представление колчана является набором из векторных пространств, индексированных вершинами колчана, и линейных отображений между ними, ориентированных „вдоль" ребер. Морфизмы представлений — это наборы линейных отображений между одноименно индексированными пространствами, коммутирующие с линейными отображениями самих представлений. Множество представлений колчана фиксированной размерности естественным образом наделяется структурой векторного пространства. Его группа автоморфизмов — это прямое произведение общих линейных групп, действующих на „вершинных" пространствах. Понятно, что орбиты этого действия тождественны классам эквивалентных (изоморфных) представлений. Построив категорный фактор этого действия, т.е. посчитав порождающие алгебры инвариантов, мы сможем разделять, по крайней мере, замкнутые орбиты, соответствующие полупростым предстает лениям.
Впервые эта задача была решена в важном частном случае колчана с одной вершиной и d петлями. Его пространство представлений размерности п совпадает с пространством d матриц n-ого порядка, на котором GL(ri) действует диагонально сопряжениями. Соответствующая алгебра инвариантов называется матричной алгеброй инвариантов п-го порядка и обозначается через Rn,d- В случае р = О порождающие и определяющее соотношения Rn,d описаны Сибирским [14], Прочези [53] и Размысловым [12]. Проблема нахождения независимого от характеристики подхода к матричной алгебре была поставлена, например, Форманеком в [38]. Значительный прогресс в этой области был достигнут за последние пятнадцать лет: для произвольной харак-
теристики порождающие Rn,d были описаны Донкиным [32], а определяющие соотношения — Зубковым [3]. Метод этих работ базируется на теории модулей с хорошей фильтрацией [30].
Проблема определения МСП алгебры R24 решена Сибирским [14] для случая р = 0, Прочези [54] — для р > 2 и Домокосом, Кузьминым, Зубковым [28] — для р = 2. Кроме того, в работе Домокоса [27] для поля произвольной характеристики найдены некоторые верхние и нижние границы на максимальную степень элементов из МСП алгебры Rn,d- Для р = 0 Абеасис и Питталуга [18] при помощи компьютера вычислили мощность МСП i?3,d при d < 10 и указали алгоритм вычисления этого множества для произвольного числа матриц. В предлагаемой работе найдена МСП Rz,d для произвольного d и произвольной характеристики. Для этих целей был установлен базис ассоциативной относительно свободной алгебры с тождеством х3 = 0 над полем произвольной характеристики и, в частности, найдена ее ступень нильпотентности.
Отметим, что проблема определения C(n,d,K) — ступени нильпотентности ассоциативной относительно свободной алгебры с d порождающими и тождеством хп = 0 — восходит к теореме Дубнова-Иванова-Нагаты-Хигмана [35, 40], утверждающей, что для р — 0 или р > п выполнено C(n,d,K) < 2Л, т. е. существует верхняя оценка на C{n,d,K), не зависящая от d. Позже для полей нулевой характ теристики Размысловым и Кузьминым [9, 13] были доказаны оценки п[п + 1)/2 < C(n,d,K) < п2 и выдвинута гипотеза, что C(n,d,K) — п(п+1)/2. Эта гипотеза доказана Воган-Ли лишь для случая п < 4 [60], и есть частичный результат Шестакова и Жукаветц для п = 5 [56]. Для полей положительной характеристики верхнюю оценку на C(n,d,K) предложил Белов [22], которую затем усилил Клейн [42]: C(n,d,K) < (1/6)п6сГ и С(п, d, К) < 1/{т - 1)! пп3бГ, где т = [я/2].
Согласно лемме Нетер о нормализации Rn,d содержит однородную относительно градуировки натуральными числами систему параметров (ОСП), т.е. такое множество алгебраически независимых однородных элементов, что Rn,d цела над порожденной ими подалгеброй. Как доказал Хашимото [39], Rn,d является свободным модулем над подалгеброй, порожденной произвольной ОСП. Этим и объясняется важность нахождения ОСП для Rn,d- Работа по изучению ОСП алгебры Rnyd и ее ряда Гильберта была начата Тераниши. В случае р = 0 он нашел ОСП для #з,2 > #4,2 [57] и Для R24 при d > 2 [58]. На случай р > 0 эти результаты были обобщены в [28]. В данной работе построена ОСП для і?з,з для поля произвольной характеристики.
Метод работ [32, 3] в дальнейшем был успешно применен Донкиным
и Зубковым для нахождения порождающих и определяющих соотношений инвариантов представлений произвольных колчанов [34, 5]. В случае р = О эти результаты были независимо получены Ли Брюном, Прочези [44] и Домокосом [26].
Естественным обобщением изложенного выше было бы вычисление полуинвариантов представлений колчанов и переход к другим классическим группам. Первая задача была решена Домокосом, Зубковым [29] тем же методом, который использовался в работах [32, 34,3, 5], и независимо Дерксеном, Вейманом [24, 25] — методами теории представлений колчанов. Отметим еще работу Скофилда, Ван дер Берга [55], решивших эту проблему в случае р — 0. Что касается второй задачи, то первые шаги были сделаны в классической работе Прочези [53]. Им были посчитаны матричные инварианты ортогональных и симплектических групп над полем нулевой характеристики. Затем Зубковым [4] этот результат был обобщен для почти всех классических групп. Неисследованным остался лишь случай р = 2 для (специальных) ортогональных групп и случай специальной ортогональной группы четной степени всех характеристик, кроме нулевой [21]. Основная редукция статьи [4] фактически показывает, что наиболее общая концепция, в рамках которой может быть решена вторая задача, это понятие *-представлений колчана. В явном виде это понятие было сформулировано Зубковым в [62] под именем смешанного представления. Там же были найдены порождающие инварианты *-представлений колчанов, а также их различных обобщений, включающих ортогональные и симплектические представления симметрических колчанов, недавно введенные Дерксеном и Вейманом [24]. Кроме того, Зубковым [63] были найдены определяющие соотношения алгебр инвариантов *-представлений колчанов и намечены приложения к проблеме вычисления определяющих соотношений инвариантов ортогональных и симплектических групп. Диссертантом совместно с Зубковым была найдена порождающая система алгебры полуинвариантов -представлений колчанов.
Аналогично определению алгебры инвариантов ^[Vp можно определить алгебру некоммутативных инвариантов K(V)G. Независимо друг от друга Лейн [43] и Харченко [17] доказали, что для произвольной G < GL(V) K(V)G будет свободной ассоциативной алгеброй над полем К. В отличие от классического случая, алгебра некоммутативных инвариантов не всегда является конечно порожденной. В случае поля нулевой характеристики критерий конечной порожденности K(V)G дает теорема Корюкина [7]: пусть G — группа линейных преобразований конечномерного пространства V и W — минимальное подпространство V
такое, что K{V)G С K(W); тогда K{V)G будет конечно порожденной алгеброй тогда и только тогда, когда G действует на W как конечная циклическая группа скалярных преобразований. Пусть V будет конечномерным векторным пространством и пусть SL(V) диагонально действует на симметрической степени Sr(V) и на внешней степени Ar(V). В статье Тераниши [59] были найдены базисы и свободные порождающие алгебр инвариантов K{Sr(V))SL^v\ K(Ar(V))s (у) над полем характеристики 0 и доказано, что они не являются конечно порожденными над К. В диссертации показано, как рассуждения из [59] переносятся на случай поля произвольной характеристики.
Опишем содержание диссертации по главам.
В главе 1 строится базис относительно свободной алгебры с тождеством х3 = 0 над полем произвольной характеристики, которую обозначим через N34 (теоремы 1.2,1.3 и утверждение 1.2), и, в частности, устанавливается ее ступень нильпотентности (следствие 1.1). В разделе 1.1 вводятся обозначения и понятия, необходимые в главе 1. Раздел 1.2 посвящен выведению простейших тождеств алгебры Ns,d и определению так называемого канонического вида элементов N34- В разделе 1.3 исследуются тождества некоторых однородных компонент алгебры N34 и определяются гомоморфизмы, которые далее играют важную роль. В разделе 1.5 показано, что в случае р ф 2,3 степень нильпотентности N34 постоянна, поэтому базис N34 несложно найти при помощи компьютерной программы, что и было сделано. В разделе 1.6 метод композиций приспосабливается к данной ситуации и показывается, что при р = 2,3 для нахождения базиса полилинейной компоненты алгебры iV3>d можно ограничиться рассмотрением „малых" d (утверждение 1.3). В разделе 1.7 для р = 2,3 был найден базис полилинейной компоненты 7V3)d при „малых" d посредством компьютерной программы, а затем этот результат был обобщен на произвольные d (теорема 1.1). Задача построения базисов остальных однородных компонент решена независимо от полилинейного случая при р = 2 в разделе 1.8 и сведена к нему при р — 3 в разделе 1.9. В разделе 1.10 устанавливается свойство коммутативности для некоторых однородных компонент N3td при р = 3, которое необходимо в главе 2 (утверждение 1.4).
Замечания о работе с тождествами
Слово w называем каноническим относительно ХІ, если оно имеет одну из следующих форм: гиі, W\XiW2, W\X2W2, W\X2uXiW2, где слова Wi,w2,u не содержат ХІ, слова W\,W2 могут быть пустыми. Если слово является каноническим относительно всех букв, то оно называется каноническим. Следующая лемма очевидна. Лемма 1.1. Применяя тождества хах + (х2а + ах2) = О в N3,d, а є F/, (1.1) хах2 + х2ах = 0 в N3jd, а F/, (1.2) при х = ХІ, і Є l,d, любое ненулевое слово w Є Nstd можно представить в виде суммы канонических слов, принадлежащих той же однородной компоненте, что и w. В частности, если degx.(w) 3, w Є Fd, то w = Q в N3 d. Замечание 1.1. Канонический вид слова из N3jd we является единственным. Иногда подслово, к которому применяется некоторое тождество, будем брать в скобки. Если используемое тождество предполагает разбиение слова на подслова, то, в случае необходимости, будем указывать это разбиение при помощи точек. В качестве примера см. ниже вывод равенства (1.3). Получим некоторые тождества N3jd. Доказательство. Знак равенства в данном доказательстве означает равенство в N3yd. Благодаря формуле (1.1), имеем (ху)2 = (хух)у — -х2у2 - (ух2у) = у2х2. Формула (1.1) влечет (хаух)у = —х2ауу—а(ух2у) = — х2ау2+ау2х2 + ах2у2, и ха(уху) — —(хау2х) — (хах)у2 = х2ау2 + ау2х2 + х2ау2 + ах2у2. Следовательно, пункт 2 доказан. Применяя (1.1), получаем (xax)bx = —x2abx — ах2Ъх, xa(xbx) — —xax2b — xabx2 = x2axb + x2abx. Пункт 3 доказан. Пусть рфЗ. Линеаризуя тождество из пункта 2 отдельно по х и по 2/, получаем /i(x,a,6, с) = 0,12{х,а, 6, с) = 0. Применяя тождество (1.1) с х = Х\ к тождеству T3(xia,bxi,c) = 0, приходим к —Т3(х2а,Ь,с) — Тз(а, Ьх2, с) + 3(bx\ac + сЪх\а) — 0. Значит, h{x, a, 6, с) — 0. А Лемма 1.3. Слово х\х\х\ не равно 0 в N34 для любого р. Доказательство. Укажем решение системы S(3,2) для которого х2х2хі ф 0. Положим х\х\х\ — \%.х\х\х\ — —1, х\х2Х\Х2 — —1, Х2Х\Х2х\ — 1, Х\Х2Х2Х2 = 1 X2X2X2Xi = — 1, XiX2XiX2Xi = 0 и w = 0 для всех остальных слов и мультистепени (3,2). Несложно видеть, что это ДеЙСТВИТеЛЬНО ЯВЛЯетСЯ решением КаЖДОГО уравнения СИСТеМЫ «5(3,2) Л Далее, выводя тождества алгебры N34 ко всем словам будем применять лемму 1.1, а затем к подсловам, равным хуху для некоторых букв х, у, — равенство из пункта 1 леммы 1.2. Сформулируем очевидное замечание. Замечание 1.2. 1. Рассмотрим множество М = {rrii}iej С K(Fd)+. Пусть и Є F будет словом, которое является слагаемым одного и только одного элемента т\ множества М. Пусть ІХа 771 = 0 в K(Fd), где си Є К. Тогда «i = 0. 2. Пусть V = {vi,...,vs} будет некоторым множеством слов мультистепени Д, и для каждого слова w . V мультистепени А существует тождество w — fw = 0 в N34, где fw Є lin V. Тогда все тождества N34(A) вида Yli&iVi (&І Є К) являются результатами применения тождеств {w — fw} к тождествам из 5д. (Отметим, что упомянутые результаты применения тождеств определены.) Доказательство.
Согласно пункту 2 замечания 1.2 любое тождество Ar3)d(21d_1), порожденное х\,Х2,... ,xd, следует из тождеств, которые являются результатами применения (1.1), где х — х\, к тождествам из S21 -1. Если применим (1.1) с х = Яі к Г2(хі,а) = 0 в N3j, то получим тривиальное тождество. Через t обозначим результат применения (1.1) с х — х\ к тождеству t = /iT3(ai,a2,a3)/2, где аі,а2,а3 Є F/, /ь/2 Є Fd. Пусть і = ?=1и» для некоторых слов wi,..., We. Если слова иь..., щ не содержат под-слов х\ и (Li ф х\, г є 1,3, то if является следствием тождеств (а). Пусть a,b,c6F/. Если t = Тз(хі,жі,а), то і = 0. Если t = Тз(хіа,хі,6), то t = —Г3(хі,а,6). Если і = T3(axib,Х\,с), то і = —T3(ab,x\,c) — 3/з(хі,а,6,с). Если і — T3(xia,bxi,c), то = —Tz{x\a,h,c) — Т3(а, ferf, с) + 3/3(2:1,6, а, с). Если t = хіаТ3(хі,6,с), то t = —аТ3(:гі,Ь,с) — ЗД(а:і,а,6,с). Если t = x\Tz{x\,а,6), то і = —Тз ,а,6). Если і = хіТз(хіа Ь,с), то = -я5Гз(а,6,с) - Т {х\а,Ъ,с) + 3/і(хі,а,6, с). Благодаря тому, что при прочтении тождеств (а), (6) с права налево они не меняются, требуемое следует из рассмотренных случаев. А Пусть г є l,d. Несложно видеть, что для каждого і 6 1, г определен результат применения тождества (1.1) с х = ХІ к любому элементу K(Fd) мультистепени 2rld r. Для перестановки а 6 Sr рассмотрим такое отображение фа : K{Fd)(2rld-r) -+ K(Fd){2r\d-r), что фа{ї) получатся в результате следующей процедуры. Пусть t\ является результатом применения (1.1), где х = ar y(i)» к t. Для г Є 2, г пусть U будет результатом применения тождества (1.1), где х = 2V(i), к U-\. Мы полагаем фа{і) = tr. Для любого элемента t = Х а и» Є K{Fd), где а» Є Я", щ 6 F/, мультистепени 2rld-r зафиксируем некоторые перестановки 0 ,i,... ,0 ,л. 6 5Г. Рассмотрим отображение : K"(Fd)(2rld_r) — K"(Fd)(2rld_r) такое, что для t = Тл&№и «І Є if, u 6 F/, выполнено ФІР) = НІ &гФ ?гАи,д- Множество всех таких отображений ф обозначим через Фг. Лемма 1.5.Пусть d,r 1, ф б Фг. Все тождества N3td(2rld r), порожденные х\,... ,х , хг+\,... ,xd, есть следствия перечисленных ниже тождеств з, (2гГ _г); (а) ДТз(а, 6, с)/2, где для каждого к 6 1,г некоторое слово из а, 6, с, /і, /2 содержит подслово х\,
Полилинейная однородная компонента
Обозначение. Для р = 2,3 и d l рекурсивно определим множество Вуї слов мультистепени lA Пусть р — 2. Тогда 1)ЯЇ = { і};. 2) для d _2 положим B[d = XijBjd-i g - a. +liii n}U {е к Є 2,4 U {/J U {2 fe к Є 3,d}. Здесь если г 1,г 4, то і?і = ; i?i4 = В[4 U {#2 1 4 3} и е = rc2... xk Яі xfc+i... xd {d 2, fc Є 2, d); І_д = хг---Xd-2 XdXiXd-i (d 3); /id.fe = Xk x\... Xk Xd {d 3, к Є 3, d). Пусть p = 3. Тогда і)Яі = { і}; 2) для d 2 определим Вх = ari{ 1 f-i[a;, a; +i[il ri}U Здесь е к = Хз... Xk х\Х2 Xk+i... Xd {d 3, к Є 3, d). Кроме того, положим В\о = {1}, где 1 обозначает пустое слово. Цель данного подраздела — доказать следующую теорему: Теорема 1.1. ДЛЯ р = 2,3, d 1 мноэюество В і является базисом Замечание 1.4. Несложно видеть, что Пусть V будет конечномерным векторным пространством. Полагаем V = lin{vi,...,vm}, где вектора (} считаем линейно упорядоченными: v\ ... vm- Отметим, что вектора V\,...,vm не обязательно линейно независимы. Определение. Базис Vkx,..., Vk„ векторного пространства V называется минимальным (относительно линейно упорядоченного множества 1» пг), ЄСЛИ ДЛЯ ЛЮбоГО І Є 1, ТП ИМЄЄМ Vi = Y,j ij kp y Є К, ГДЄ kj і. Пусть L\ = {VJ!,...,Vje}, L2 = {vkx» %.} являются базисами V, где ji ... js, k\ ... к3. Будем писать L\ L2, если существует I M такой, что ji = ku... , jj_x = h_uji кг. Лемма 1.14.1. Базис ,...,1. векторного пространства V минимален (относительно линейно упорядоченного множества vi,..., vm) тогда и только тогда, когда он является наименьшим базисом относительно введенного линейного порядка. 2. Минимальный базис единственен. Доказательство. 1. Пусть L — это минимальный базис. Тогда если Vk . Hn{i i,...,г А;_і}, то Vk Є L\ иначе Vk . L (k Є l,w). (1.9) Следовательно, L является наименьшим базисом. Пусть L С {vi,... ,vm} — это наименьший базис. Тогда для него справедливо условие (1.9). Значит, базис L минимален. 2. Следует из пункта 1. А Применим вышесказанное о минимальных базисах к N3,d(ld)- В качестве линейно упорядоченного множества возьмем {w Є Fa\ mdeg(w) — i% Лемма 1.15.1. B(M5) — это базис iV3 d(l5). 2. Пусть d 5. Если B{Md) является базисом Nz,d{ d), то B{Md) — это минимальный базис. Доказательство. 1. Согласно определению, М5 замкнуто относительно композиции. Лемма 1.12 завершает доказательство. 2. Используя тождества M j, любое слово, не лежащее в ?(М $), можно выразить в виде линейной комбинации меньших слов. Л Лемма 1.16.1. Если р = 2 и г = 4,5, то минимальным базисом І\Г3ІІ(1 ) является Bit, где # Доказательство. По лемме 1.15 множество B(Ms) — это минимальный базис iV3)5(l5), и, в частности, не зависит от выбора М5 (см. лемму 1.14).
Выражая старшие члены через младшие при помощи метода Гаусса, решаем систему S и находим базис АГ3)г (ld). Эти вычисления были выполнены посредством компьютерной программы для d = 4,5, р = 2,3. Л W3 =иаіа,2(із, w ,\ = 40,10,20,30,40,5, 5,2 = Шіагаз&іаб» гУб,з = «аіа2аза4а5, Лемма 1.17. Если р = 2, d 5, то а\ 0,2 а г, Md={ 2і 0,2,04, U Оз а4, й\ 0,4 и 02 аз, 0\ 02 U (аз а4 или аз as или а4 as), аі аз и (а2 04 или аг as или а4 as), а\ а4 и а% as. где все элементы М& имеют мультистепень ld, и Є Fd, а Є F/, і Є175. а\ 02 аз, аі 02,04, аі аг,аз и а4 as, аі аз,а4 и аг as, а\ а4,а5 и аг аз Если р = 3, d 5, то wz = иаіа аз, W4 = иаіа2аза4, Md = { 1 5,1 = иаіа2аза4аб, 5,2 = «аіагаза4а5, гУ5,з = Шіа2аза4а5, где есе элементы Md имеют мультистепень ld, и Є Fd, а» Є F/, г І75. Доказательство. Утверждение леммы достаточно доказать для d — 5. Через М обозначим множество из формулировки леммы. Рассматривая все варианты, получаем, что В (Ms) — {w є Fs\ mdeg(iu) = l5, w . M} (см. лемму 1.16). Л Лемма 1.18. Для р — 2,3, d 5 выполнено равенство B(Md) = Вга. Доказательство. Для р = 2,3 включение В С B(Md) следует из леммы 1.17. Далее через Wij,Wi обозначаем соответствующие слова из леммы 1.17. Случай р = 2. Включение B(Md) С BXd следует из сформулированных ниже пунктов 1, 2 при помощи индукции по d. 1. Если w = х ...Xid Є B{Md), г і 3, mo w = hd . Доказательство. Пусть w = Хіхи. Слово w содержит буквы Хі, Хг Через щ щ щ будем обозначать некоторые элементы Fd. Если и.= U1X2U2X1U3, то w = Wz Є Md — противоречие. Поэтому гг = U1X1U2X2U3. Если слово щ не пусто, то w = гУ4,г Є Md — противоречие. Если слово U2 не пусто, то w = W4,i Є Md — противоречие. Предположим, что гхз = Xjx... Xj3 и сутдествуют к, t, удовлетворяющие к t s и jk jt-Тогда w = w$ti Є Md, что является противоречием. Следовательно,
Случай характеристики равной
Алгебру i?3,d будем будем рассматривать как /f-алгебру с нулевым умножением, порожденную „символьными" элементами o k{u), и Є Fj , между которыми существуют некоторые соотношения; a R34 — как алгебру, получающуюся в результате присоединения единицы к Яз, Изучим подробнее соотношения Яз, . Лемма 2.8. Пусть р — 3. Если щщ = О в N3,d, где щ Є F/, щ К, то онtx{Ui) = 0 в B.3,d где Ui получается из щ в результате замены Xj — Xj, j Є l,d. Причем, это тождество следует из тождеств R d tr(dTi(a)e) = 0, tr(dT2(a, Ь)е) = 0, tr(dT3(a,6,c)e) = О, где а, 6, с є F/, d, є є Fd. Доказательство. Через А, В, С, D, Е обозначим слова от общих матриц. Слова D и Е могут быть пустыми. Элемент ti{DA?E) разложим (см. лемму 2.2 и доказательство леммы 2.6). При помощи линеаризации получаем tr{DT2(A,B)E) = О, Ьт{РТъ(А,В,С)Е) = 0. Откуда, благодаря линейности следа, следует, что в R34 верны все тождества, полученные навешиванием следа на тождества системы S (см. раздел 1.1). Все тождества алгебры ЛГ3, являются следствиями системы «S, поэтому любое тождество из N3td переносится в алгебру Яз, г- А Лемма 2.9. Пусть р = 3. Тогда все тождества алгебры R3 d следуют из (а) tr(d7i(a)e) = 0, ti(dT2{a,b)e) = 0, tr(dT3(a,b,c)e) = 0. (б) tr(ab) = tr(6a). (в) cr2(a) = tr(a2). (г) det(ab) = 0. (д) ак(а)=0)к 3. Здесь а, Ь, с Є F/, d, є є Fd. Доказательство. Для / Є {A,B,C,D,E} через (I) обозначим тождество, получаемое из тождества (/) при помощи его факторизации по идеалу (Rfd)2. Тождества (J), (/), в которых g,h є F/, обозначим через (/«,), (/«,), соответственно. В этом доказательстве буквами и, v, возможно, с индексами, будем обозначать слова из F/, если не оговорено противное. Все тождества Rd следуют из (Aw) и (Dw) (см. [5]). Поэтому для доказательства достаточно показать, что (До), (До), (Е) выводятся из (а)-(д). Для (Aw) это очевидно. Рассмотрим (Dw): (Тк{и ) = QLk,t&kt{u), где к 1, t 2. Пусть к = 1, t = 2. Так как 02(и) неразложим (лемма 2.6), то a\t2 = 1 и (Dw) следует из (в). Пусть к — 1, t — 3. Так как tr(u3) разложим, a det(w) неразложим (лемма 2.6), то 0:1,3 = 0 и (Dw) следует из (а). Если к — 1, t 4, то (Ц ) следует из (а), ( ?). Если к = 2, то (Д«) следует из (в) и (а), (д). Если & = 3, то (А») следует из (г), (д). Если & 4, то (Dw) следует из (д). Докажем некоторые свойства тождеств R . 1. Если некоторое тождество Яз, t(xi,... ,Xd) .= 0 выводится из (а)-(д), то и тождество t{r\U\,...,гащ) = 0, где г» -R3)d, выводится из (а)-(д). Докажем свойство 1. В силу однородности (а)-(д), тождество t(x\,...,Xd) = 0 можем считать однородным. Но тогда тождество t(r\U\,... ,rdUd) = О имеет вид г t(ui,... ,Ud) = 0, где г R ,d- Последнее же тождество легко следует из (а)-(д). 2. Рассмотрим некоторые слова щ: degxi{ui) Є {1,2}, и пусть будет тождеством в Rz,d, где оц Є К.
Тогда (2.5) выводится из (а), (б). В частности, если (2.5) — тождество в R34 и deg(wi) Ф 3s, то (2.5) следует из (а), (б). Докажем свойство 2. Тождество (2.5) можем считать однородным. Пусть degxi(wi) = 1. Тождество (2.5) перепишем в виде 52 а г і) = О, где слова Vi можем считать непустыми, а» Є К. Лемма 2.2 влечет, что 52 OLiVi = 0 в І\Г3 І. Но тогда 52 а&іХі = 0 в N34, и лемма 2.8 завершает доказательство. Пусть degxi(ui) = 2. Тождество (2.5) выводится из некоторого тождества J2PitT(vixl) = 0, РІ Є К, при помощи (а) (см. лемму 2.3), где слова Vi можем считать непустыми. Из леммы 2.4 следует, что YlPi(xiVi + ViX\) = 0 в Nz,d- Подставляя х\ вместо xi, применяя лемму 2.8 и используя (б), доказываем требуемое. 3. Тождества Яз,, вида (а)-(г), где а, 6, с некоторые элементы из K(Fd)+ и d,e — элементы из K(Fd), следуют из (а)-(г). Докажем свойство 3. Новые тождества вида (а)-(г), обозначим через (а ), (б ), (в ), (г ), соответственно. Выводимость (а ), (б ) из (а), (б) очевидна. В силу свойства 1 можем считать, что в (в ), (г )а = E=i # Ь = 2u=e+i Х{. Рассмотрим (в ): ст2(Е г) — tr((E#t)2)- Благодаря (в), тождество (в ) следует из некоторого тождества в R$,d вида EAtxfa») = 0, где Vi — слова степени 2. Последнее же тождество выводится из (а), (б) в силу свойства 2. Рассмотрим (г ): det((E=i z«)(ELa+iх )) = 0- При помощи (г), тождество (г ) следует из тождества в Д3, вида Е7гМгу0 = 0, где Wj — произведение некоторых слов XtXj (г Є 1, s, j Є s + 1,) и deg(wj) = 6. Переходя к однородным компонентам, считаем, что полученное тождество однородно мультистепени 6. Пусть 9 / (3,3). Тогда все слова wi имеют степень 1 или 2 по некоторой букве хг. Свойство 2 завершает рассмотрение этого случая. Пусть 0 = (3,3). Тогда для любого I имеем wi = (xrxq)3 для некоторых г, q, и тождество следует из (а). Доказательство свойства 3 завершено. Теперь покажем, что (Е) : crk{h) = О, к 4, h = ESi Wt» r Є-Д следует из (а)-(д). В силу свойства 1, можем считать г І = 1, щ — ХІ. Доказывать будем индукцией по к 4, а при фиксированном к — индукцией по т. База индукции. Покажем, что из (а)-(д) следует Ск{х\ + #2) = 0. Благодаря (в)-(д), это тождество следует из тождества R34 вида Ea»tr(t; ) = 0. Если к — 4,5, то deg(vi) = 4 или 5, и требуемое следует из свойства 2. Если к — 6, то, в силу (г), (J), рассматриваемое тождество следует из —a2{x\x2)—a2{x\xQ+tr{x\x2XiX2)+tT{x2x\x2Xi) = 0. Из (б) и (а) следует 0-2ІХІХ2) = 0, (ХіЯз) = 0. ТоЖДеСТВО tT(x"iX2XiX2)+tT(X2x\x2Xi) = 0 следует из (а), так как х\х\х\Х2 + х\х\х2Х\ = 0 в ЛГ3, (см. (1.13)) и см. лемму 2.8. Если к 7, то для любого і degari (vt) 3 либо deg (vi) 3, значит, «І = 0В N3,4. Поэтому tr( i) = 0 следует из (а) (см. лемму 2.8). Шаг индукции. Рассмотрим тождество R34 0 (#і + #2) = Cfe( i) + сгк(х2) + ЕІ І ДС ) = 0, где kj к, aj К. Пусть # = Е г - По предположению индукции Тк(х2\хг- д) = 0, сгл.Дс7Х2_» ,) = 0 (kj. 3) следуют из (а)-(д). Так как tr(xi + Х2) = 0 следует из (а)-(д), то
Распределения множеств и подгруппы Юнга
Распределением множества 1, t назовем набор В = (Bi,..., Д ) попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых совпадает с 1,. Множества Bi,...,Bd назовем компонентами распределения. С распределением свяжем две функции В\.\,В(.) : 1, — Af, определенные следующим образом: В\1\ = і, если / Є Віу и В{1) = \{j 1 j I, B\j\ = B\l\}\. Симметрическая группа St, действующая на 1, естественным образом, содержит подгруппу Юнга SB = {л--Є-5« тг(Д) — В» для і Є TTd}. Для а Є St обозначим В" = (Bf,..., В), где Щ = а хВи і \,d. Пересечением распределений А и В некоторого множества называется распределение А П В, получаемое путем попарного пересечения всех компонент данных распределений. Для произвольных распределений А, В некоторого множества пишем А В, если любая компонента А лежит в некоторой компоненте В. Любой вектор = (ti,...,td) Є Md задает упорядоченное распределение = (ti,...,td) множества 1,, где = = t\ + ... + « , на последовательные отрезки U = {i + ... + j_i + 1,...,i + ... + U}, і Є l,d. Несложно проверить следующую лемму. Лемма 3.2. ДЛЯ распределения В = {В\,.. .уВд) множества 1, положим = (Bi,..., \Bd\). Тогда для любого а St: 1. SB = a-lSB(T = SB, B". = B\a{.)\. 2. Существует подстановка п SaB такая, что В(сг(.)} = Ва(г)(.)}. 3. Существует подстановка р Є St такая, что В = ta для любого а Sip. Более того, существует единственная а Є Sip, удовлетворяющая ta{.) = Ї((Т{.)) Разбиением t называется вектор A = (Ai,..., Ар) Є Мр (обозначается через А \- і) такой, что Ai ... Ар и Ai -f ... -f Ар = t. Суперразбиением A Ь t называется набор из d разбиений А = (А1}..., А ), где A» Ь U, t = (h,... ,td). Суперразбиение А отождествляется с вектором (Аь..., Ар) Є Мр, где Ai = (V+--H».-I+I» -, V+.-+p.) Р = Pi + - + Р и р = (pi,.. ,Pd) называется высотой А. По суперразбиению А Є Mv строится разбиение A = (Ai,..., Ар) и подгруппа Юнга S\ как указано выше. Для групп А G через G/A, A\G, A\G/B обозначим некоторый полный набор представителей левых, правых и двойных смежных классов соответственно. Отметим, что если а пробегает множество G/A, то т-1 пробегает множество A\G и наоборот. Лемма 3.3. Пусть G — группа, L,A,B G — подгруппы. Тогда существуют такие наборы L/LП В, L П A\L/L ҐІ В, АПL/A ПЬПВ (ж-1 еЬП A\L/L ПВ), что = {gi\i Є /}. Так как L является объединением двойных смежных классов, то для любого г /существует 7г» є L такой, что 7І Є (L ҐІ А)жї1{Ь ҐІ В). Сдвигая все #» на подходяттще элементы из ЬПВ, можем считать, что для любого і ді = І Г1» гДе 7 LC\ А.
Остается выяснить, когда два элемента из {7 -117Г_1 Є L П A\L/L ҐІ В, j Є АП L} равны по модулю L П В. Если уж 1 = Уя- -1 mod(L П В), то (L П А)тт-1(Ь ПВ) = {L П А)тг/_1( ҐІ В), и значит, тг = тг . Поэтому 77Г-1 = У -1 mod(L П В) выполняется тогда и только тогда, когда 7_1У ЄЬПАПВ . А Все матрицы в этом разделе рассматриваются над некоторой коммутативной алгеброй с единицей над кольцом ZJC. Для начала будем считать, что char К = 0. В этом случае ZK = Z. Случай простой характеристики рассмотрен ниже в замечании 3.2. Для большей наглядности перед определением DP напомним определения пфаффиана и определителя. Пфаффианом 2s х 2s кососим-метрической матрицы С = () называется Под пфаффианом произвольной матрицы У = (у ) порядка 2s обычно понимается Мы будем пфаффианом произвольной матрицы У = (yij) порядка 2s называть Приведенное определение пфаффиана отличается от общепринятого только на зависящую от s константу, а именно Pf (У — YT) = (_l)s( -i)/2s Р(у). Отметим, что определитель t х t матрицы X = (rr ) равен Определение. Пусть t,s,r 0. Для (t + 2s) x (t + 2r) матрицы X = (агу), (t + 2s) x (t + 2s) матрицы У = (j/y) и ( + 2r) x (t + 2r) матрицы Z = () определим функцию DPM),.(X, Y,Z), которая представляет собой смесь определителя с двумя пфаффианами, а именно, она равна +.-+p.) Р = Pi + - + Р и р = (pi,.. ,Pd) называется высотой А. По суперразбиению А Є Mv строится разбиение A = (Ai,..., Ар) и подгруппа Юнга S\ как указано выше. Для групп А G через G/A, A\G, A\G/B обозначим некоторый полный набор представителей левых, правых и двойных смежных классов соответственно. Отметим, что если а пробегает множество G/A, то т-1 пробегает множество A\G и наоборот. Лемма 3.3. Пусть G — группа, L,A,B G — подгруппы. Тогда существуют как L является объединением двойных смежных классов, то для любого г /существует 7г» є L такой, что 7І Є (L ҐІ А)жї1{Ь ҐІ В). Сдвигая все #» на подходяттще элементы из ЬПВ, можем считать, что для любого і ді = І Г1» гДе 7 LC\ А. Остается выяснить, когда два элемента из {7 -117Г_1 Є L П A\L/L ҐІ В, j Є АП L} равны по модулю L П В. Если уж 1 = Уя- -1 mod(L П В), то (L П А)тт-1(Ь ПВ) = {L П А)тг/_1( ҐІ В), и значит, тг = тг . Поэтому 77Г-1 = У -1 mod(L П В) выполняется тогда и только тогда, когда 7_1У ЄЬПАПВ . А Все матрицы в этом разделе рассматриваются над некоторой коммутативной алгеброй с единицей
