Введение к работе
Актуальность исследования.
Теория инвариантов сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина почти два века назад под влиянием ряда задач геометрии, алгебры и теории чисел. Еще в XX-м веке она оказала большое влияние на развитие многих разделов алгебры, таких как алгебраическая геометрия и теория представлений. В настоящее время теория инвариантов имеет обширные приложения и служит основой многих исследований в коммутативной алгебре, гомологической алгебре, теории алгебр и групп Ли, теории представлений алгебраических групп, алгебраической геометрии.
Основной задачей теории инвариантов принято считать проблему построения образующих алгебры инвариантов произвольной алгебраической группы, действующих на аффинном алгебраическом многообразии, нахождение определяющих соотношений между этими образующими, указание канонических представителей орбит. В настоящее время, наряду с этими вопросами решаются задачи вычисления стабилизаторов, изучение алгебро-геометрических свойств самих орбит и их взаимного расположения, построение различного рода "сечений" и "факторов". Для того, чтобы явно описать все инварианты заданной алгебраической группы достаточно указать систему образующих алгебры инвариантов. Задача отыскания системы образующих произвольной группы сводится к вопросу о конечной порожденности алгебры инвариантов. В 1890 г. Гильберт доказал теорему конечности для алгебры инвариантов действия редуктивной линейной группы.
Для нередуктивных линейных групп проблема конечной порожденности алгебры инвариантов не имеет удовлетворительного решения и представляется чрезвычайно трудной. Ключевым моментом в ее решении является случай унипотентных групп. Действительно, пусть G С GL(V) — алгебраическая линейная группа и U — ее унипотентный радикал. Тогда если алгебра k[V}U конечно порождена, то и алгебра k[V]G конечно порождена. В 1958 г. Нагата построил пример унипотентной группы, алгебра инвариантов которой не является конечно порожденной. Вопрос о том, является ли алгебра инвариантов для произвольной алгебраической линейной группы конечно порожденной, называется 14-й проблемой Гильберта (сам Гильберт, правда, сформулировал ее в 1900 году иначе, но после появления контрпримера Нагаты она стала рассматриваться именно в такой форме). В более широкой постановке 14-ую проблему Гильберта рассматривают как проблему конечной порожденности алгебр инвариантов произвольных действий алгебраических групп на аффинных многообразиях. В этом плане интересен результат В.Попова, являющийся в некотором смысле обращением теоремы конечности Гильберта. Некоторые положительные результаты по 14-й проблеме Гильберта получил Гросс- ханс. Оказалось, что вопрос о конечной порожденности алгебры инвариантов некоторой подгруппы H редуктивной группы G на векторном пространстве сводится к вопросу о конечной порожденности алгебры k[G/H]. Д.Хаджиев показывает, что когда H — максимальная унипотентная подгруппа связной алгебраической группы G и G-алгебра конечно порождена, алгебра инвариантов действия группы H также конечно порождена. Также можно отметить результат Вайценбекка о конечной порожденности любой одномерной унипо- тентной линейной группы.
Ряд положительных результатов имеется в случае, когда параболическая подгруппа P редуктивной алгебраической группы G действует сопряжением на своем унипотентоном радикале и присоединенно на нильрадикале в соответствующей параболической подалгебре. В частности, Ричардсон показал, что это действие имеет плотную P-орбиту, называемую орбитой Ричардсона. Количество P-орбит вообще говоря не является конечным, а проблема описания P-орбит кажется очень трудной. Случай, когда P имеет конечное множество орбит в нильрадикале, был поднят в работе Попова и Рорле. Для классических групп, если основное поле нулевой характеристики или характеристика хорошая, Хилле и Рорле классифицировали параболические подгруппы, имеющие конечное множество орбит на соответствующем нильрадикале. С помощью компьютера Юргенс и Рорле расширили классификацию до исключительных групп. Более того, для параболических подгрупп в SLn имеется точное описание P-орбит8'. До настоящего времени не известно сколько-нибудь полное описание P-орбит на нильрадикале для других классических типов. Специальный случай P = B присоединенных орбит боре- левской группы в нильпотентной алгебре Ли рассматривали Бюргстейн и Хесселинк. В настоящей работе мы рассматриваем присоединенное действие максимальной унипотентной подгруппы в G на нильрадикале в соответствующей P параболической подалгебре.
Здесь представляет интерес вопрос о том, как устроены классы сопряженности унипотентных групп. Над конечным полем в ряде работ рассматривались сопряженные классы группы U(q) строго верхнетреугольных матриц. Томпсон и Хигман изучали' число классов сопряженности для U(q). Вера- Лопес и Арреджи показали, что число классов сопряженности для n ^ 13 — многочлен от q с целыми коэффициентами. Другой подход к изучению присоединенных орбит максимальной унипотентной группы состоит в том, чтобы рассматривать некоторый их класс, орбитальное многообразие, являющееся неприводимой компонентой пересечения нильпотентной орбиты и алгебры Ли строго верхнетреугольных матриц. Орбитальные многообразия изучались в ряде работ Р.Стейнберга, Н.Спалтенстейна, Э.Жозефа, Э.Бенлоло, А.Мельниковой и др. В настоящей работе среди прочего мы описываем орбиты максимальной размерности присоединенного действия максимальной унипотентной группы в нильрадикале параболической подалгебры.
Цель работы. Целями работы являются изучение алгебры и поля инвариантов присоединенного действия унитреугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры.
Методы исследования. В работе используются методы теории алгебраических групп, теории алгебр и групп Ли, теории инвариантов.
Основные результаты. В диссертации получены следующие результаты:
i. Получено полное описание поля инвариантов присоединенного действия унитреугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры, явно выписаны алгебраически независимые образующие поля инвариантов. Получена формула для размерности орбит общего положения, указаны представители орбит общего положения.
ii. Получено описание алгебры инвариантов присоединенного действия уни- треугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры для некоторой серии параболических подалгебр, выписаны образующие алгебры инвариантов и соотношения между ними.
iii. Доказана конечная порожденность алгебры инвариантов присоединенного действия унитреугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры для некоторой серии параболических подалгебр.
Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные автором лично.
Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории инвариантов нередуктивных групп; они могут представлять интерес для специалистов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Санкт- Петербургского государственного университета, Самарского государственного университета и Математического института им. В.А. Стеклова РАН и Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стек- лова РАН.
Апробация результатов. Основные результаты исследований по теме диссертации докладывались на научных семинарах кафедры алгебры и геометрии Самарского государственного университета (рук. проф. В.Е. Воскресенский), на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре им. Д.К. Фаддее- ва ПОМИ им. В.А. Стеклова (рук. проф. А.В. Яковлев), на семинаре "Алгебраические группы" кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета (рук. проф. Н.А. Вавилов), на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (2007, Самара), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева (2007, Санкт-Петербург), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша (2008, Москва), на Летней школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (2009, Самара), на Международной алгебраической конференции, посвященной 70-летию А.В. Яковлева (2010, Санкт-Петербург), на Второй школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (2011, Москва).
Публикация результатов. Основные результаты исследований отражены в работах 1-8. Статьи 1-3 опубликованы в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных журналов и изданий. В работе 1 соискателю принадлежат доказательства теорем и предложений, а соавтору — формулировки теорем, постановка задач и выбор методов решений.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка используемой литературы, содержащего 46 наименований. Первая глава состоит из 5 параграфов, вторая и третья — из 4 и 2 параграфов соответственно. Общий объем диссертации 105 страниц.
