Введение к работе
Актуальность темы. Изучение гиперболических групп было начато в работе М.Громова [Gr] '. К настоящему моменту теория гиперболических групп и их обобщений представляет собой активно развиваемое направление в комбинаторной теории групп. Важность этого направления обусловлена многообразием приложепий этой теории за пределами алгебры (см. например монографию [ST] 2), а также связями теории гиперболических групп с классическими разделами алгебры.
История возникновения понятия гиперболической группы связана с появлением работы Дена [D] 3, в которой была решепа проблема равенства слов для фундаментальной группы замкпутой ориентируемой поверхности рода не меньшего двух. В дальнейшем оказалось возможным связать многие задачи комбинаторной теории групп с изучением класса групп, проблема равенства слов в которых решается с помощью алгоритма Депа. Поверхности рода не меньшего двух можно наделить метриками отрицательной кривизны. Отправляясь от базового примера фундаментальной группы компактного рима-нова многообразия отрицательной секционной кривизны, М.Громов в упомянутой выше работе 1987 года построил теорию, применяющую понятие "отрицательности кривизны" к произвольным конечно-порожденным группам, не обязательно возникающим из геометрических рассмотрений.
Дальнейшее развитие теории гиперболических групп показало, что класс гиперболических групп по существу совпадает с классом групп, проблема равенства слов в которых разрешима с помощью алгоритма Дена. Соответствующий результат получеы в работе И.Г.Лысепка [Ls] 4. Это позволяет использовать геометрическую технику при изучении групп с одним определяющим соотношением и кручением. Вообще говоря, гиперболическая теория является далеко идущим обобщением теории малых сокращений и распространением некоторых идей теории малых сокращений [G] 5 [LSh] 6 на группы неограниченно высокой когомологической размерности.
К настоящему времени теория гиперболических групп накопила большое количество структурно-алгебраических и алгоритмических результатов. Эти результаты изложены
'[Gr] Gromov М. / Hyperbolic groups // Essays in group theory, ed. S.M.Gersten, M.S.R.I., Publ. 8, Springer, 1987, pp. 75-263
2[ST] Соловьев ЮЛ., Троицкий E.B. / С*-алгебри и эллиптические операторы в дифференциальной токологии // М.Факториал, 1996
3[D] Dehn М. / Uber unendliche discontinuerliche Gruppen // Math. Annal. 71,1.4, 5, II.3, 1912, pp.116-144
4[Ls] Лысенок И.Г. / О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп // Изв. АН СССР, Сер. мат., 53, 4, 1989, стр. 814-832
5[G] Grindliuger M.D. / On Delia's algoritm Cor the conjugacy and word problems with applications // Coram. Pure Appl. Math., 13, 1960, pp. 641-677
6[LSh] Линдон P., Шуггп П. / Комбинаторная теория групп // М. Мир, 1980
в ряде обзоров и монографии [Gs] 7 [CDP] 8 [GA] 9. Выли исследованы связи теории гиперболических грудп с такими яркими общематематическими задачами как гипотеза Пуапкаре [GriK] 10, гипотеза Новикова о высших сигнатурах [СМ] п.
Все возрастающее значение стали приобретать геометрические аспекты теории гиперболических групп. Такие важнейшие достижения как теорема Конна-Московичи, подтверждающая гипотезу С.П.Новикова о гомотопической инвариантности высших сигнатур для многообразий с гиперболическими фундаментальными группами, и многочисленные исследования, связанные с оценкой тонкости треугольников в гиперболических группах, фактически находятся вне пределов современной алгебры и могут быть отнесены к различным разделам алгебраической и дифференциальной топологии, а также дифференциальной геометрии "в целом".
Однако, многие важные алгебраические вопросы, связанные с понятием гиперболической группы, до сих пор остаются невыясненными. Здесь необходимо прежде всего отметить известную проблему финитпой аппроксимируемости (реэидуальной конечности) гиперболических групп [Kour] 12 и тесно связанную с ней классическую гипотезу Баумслага о хопфовости групп с одним определяющим соотношением и кручением [Ргі] 13. Актуальность проблемы финитной аппроксимируемости гиперболических групп обусловлена также влиянием, которое она оказывает на теорию конечных групп. Некоторые связи подобного рода установлены А.Ю.Ольшанским. А.Ю.Ольшанский доказал аппроксимируемость гиперболической группы без кручения периодическими группами конечных экспонент [Olshl] 14. Доказательство соответствующего результата для произвольных гиперболических групп получено в его совместной работе с С.В.Ивановым [ОЬЫ]15. А.Ю.Ольшанский нашел также ряд утверждений, эквивалентных свойству всех гиперболических групп быть финитно аппроксимируемыми. Обнаружена тесная связь между проблемой финитпой аппроксимируемости гиперболических групп и ограничен-
7[Gs] Гис Э. / Гиперболические группы // Математика. Новое в зарубежной науке, 48, Труды семинара Н.Бурбаки за 1990 год, М. Мир, 1996, стр. 151-178
8[CDP] Coomaert М., Delzant Т., Papadopulos A. / Notes sur les groupes hyperboliques de Gromov // I.R.M.A. Strasbourg, 1989
9[GA] Гиперболические группы по Михаилу Громову / под ред. Э.Гиса и П. де ля Арпа // М. Мир, 1982
10 [GriK] Григорчук Р.И., Курчанов П.Ф. / Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и техн., Соврем, пробл. матем., Фундам. напр., 58,1990, стр. 191-256
ll[CM] Connes A., Moscovici Н. / Conjecture de Novikov et groupes hyperboliques // C.R. Acad. Sci. Paris, 307, Serie I, 1988, 475-480
12[Kour] Unsolved problems in group theory. The Kourovka notebook // Novosibirsk, 1995, Thirteenth augmented edition, 12.64
13[Pri] Pride S.J. I The isomorphism problem for two generator one-relator groups with torsion is solvable II Trans. Amer. Math. Soc, 227,1977, pp. 109-139
14 [Olshl] Ольшанский А.Ю. / Периодические фактор-группы гиперболических групп // Мат. сборн., 182, 4,1991, стр. 543-567
15[01shl] Ivanov S.V., Ol'shanskii A.Yu. / Hyperbolic groups and their quotients of bounded exponent // Trans. Amer. Math. Soc., vol. 348, 6, 1996, pp. 2091-2138
ной проблемой Бернсайда.
Определенный интерес представляет также еще более специальная проблема существования точного линейпого представления у гиперболической группы. Наличие точного линейпого представления в сочетании со знанием некоторых элементарных свойств гиперболических групп позволило бы получить альтернативные традиционным и более прозрачные с точки зрения алгебраиста доказательства всех основпых структурных свойств гиперболических групп. Решение этого вопроса привело бы также к получению ряда новых теоретико-групповых результатов о группах М.Громова. Исследование такого рода служит первым шагом на пути к общей теории представлений гиперболических групп. В настоящее время построение такой теории сталкивается с существенными трудностями, т. к. гиперболические группы, подобно абсолютному болышшетву бесконечных дискретных групп, являются дикими.
Цель работы — нахождение гибкого геометрического критерия финитпой аппроксимируемости конечно-порожденных групп вообще, и гиперболических групп Громова в частности, а также постановка и исследование вопроса о линеаризуемости гиперболических групп и их обобщений.
Методы исследования. В диссертации использованы методы комбинаторной теории групп, теории динамических систем, топологии и функционального анализа.
Научная новизна работы. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
получен критерий финитной аппроксимируемости (пли существования достаточной системы конечномерных линейных представлений) конечно-порожденных дискретных групп в терминах существования эффективных дистальных действий на метрических компактах, рассмотрено также условие на геометрию вложения рассматриваемой группы в ее группу Бора, которое обеспечивает существование точного матричного представления;
получен критерий финитной аппроксимируемости гиперболических групп в терминах существования минимального действия на метрическом компакте без размешивания:
введено понятие гиперболической категории, развивающее понятие гиперболической группы в направлении формализма категорий и группоидов Хиггинса [Hig] іе.
введено понятие структурной устойчивости дискретных групп и доказана теорема о структурной устойчивости свободных групп конечного ранга;
доказана структурная неустойчивость группы Гейэенберга.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании проблемы
16[IIig] Higgins P.J. I Notes on categories and groupoids // Van Nostrand Reinhold Math. Studies 32, London, 1971
финитной аппроксимируемости конечно-порожденных групп различных типов: гиперболических групп, групп промежуточного роста, групп с одним определяющим соотношением. Диссертация содержит указание на некоторые новые пути развития теории гиперболических групп. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам Московского государственного университета, Санкт-Петербургского государственного университета, Московского государственного педагогического университета, МИР АН.
Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на конференции по универсальной алгебре и теории решеток, проходившей под эгидой Международного Конгресса математиков в Будапеште в 1996 году, на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997) и на 21 конференции Молодых ученых МГУ (Москва, 1999), а также на научно-исследовательских семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ.
Основные результаты данной работы были доложены автором в Математическом институте им. В.А.Стеклова (Российская академия наук) на семинаре по алгебраической геометрии под руководством А.Н.Паршина и И.Р.Щафаревича.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Текст диссертации изложен на 109 страницах. Список литературы содержит 91 наименование.
